精品解析：北京市广渠门中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试卷

北京市广渠门中学2024-2025学年度第二学期试卷 高二年级数学学科 时间：120分钟 满分：150分 2025.3 一.选择题（共48分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1. 下列求导运算正确的是（ ） A B. C. D. 2. 已知物体的运动方程是（表示时间，表示位移），则瞬时速度为0的时刻是 A. 0秒、2秒或4秒 B. 0秒、2秒或16秒 C. 2秒、8秒或16秒 D. 0秒、4秒或8秒 3. 已知函数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 4. 若，则（ ） A. 6 B. C. D. 5. 某社区计划在端午节前夕按如下规则设计香囊：在基础配方以外，从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中至少选择一味添加到香囊，则不同的添加方案有（ ） A 种 B. 种 C. 种 D. 种 6. 设，若为函数的极大值点，则（ ） A. B. C. D. 7. 现要从6名学生中选4名代表班级参加学校4×100m接力赛，其中已确定甲跑第1棒或第4棒，乙和丙2人只能跑第2、3棒，丁不能跑第1棒，那么合适的选择方法种数为（ ） A 56 B. 60 C. 84 D. 120 8. 定义在上的可导函数的导函数的图象如图所示，则（ ） A. 是的一个零点 B. 和都是的极大值点 C. 的单调递增区间是 D. 的单调递减区间是 9. 已知，，，其中为自然对数的底数，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知，则“”是“在内单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 11. 已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为 A. B. C. D. 12. 在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为，则（ ） A. 函数的最大值为1 B. 函数的最小值为1 C. 函数的最大值为1 D. 函数的最小值为1 二.填空题（共34分） 13. （1）若，则______； （2）若，则______； （3）若，则______. 14. 的展开式有7项，则______；二项式系数最大的项为______. 15. 已知在一次降雨过程中，某地降雨量（单位：mm）与时间（单位：mm）的函数关系可近似表示为，则在时的瞬时降雨强度（某一时刻降雨量的瞬间变化率）为__________mm/min. 16. 两家夫妇各带一个小孩一起去公园游玩，购票后排队依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为________. 17. 已知点P在曲线上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是______. 18. 对于偶函数，下列结论中正确的是______ ①函数在处的切线斜率为； ②，使得； ③若，则； ④若，都有成立，则m的最大值为. 三.解答题（共68分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 19. 已知函数，. （1）求的单调区间； （2）若在区间上最大值为20，求它在该区间上的最小值. 20. 已知是的一个极值点. （1）求的值； （2）设，试问过点可作多少条直线与曲线相切？请说明理由. 21. 已知椭圆：的离心率为，长轴长为4，过椭圆右焦点的直线与椭圆交于，两点. （1）求椭圆的标准方程； （2）当直线与轴不垂直时，在轴上是否存在一点（异于点），使轴上任意点到直线，的距离均相等？若存在，求点坐标：若不存在，请说明理由. 22. 已知函数，. （1）若曲线在点处的切线平行于直线，求该切线方程； （2）若，求证：当时，； （3）若有且只有两个零点，求a值. 23. 给定正奇数，数列： 是的一个排列，定义为数列： 的位差和. （1）当时，求数列：1，3，4，2，5的位差和； （2）若位差和，求满足条件的数列：的个数； （3）若位差和，求满足条件的数列：的个数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北京市广渠门中学2024-2025学年度第二学期试卷 高二年级数学学科 时间：120分钟 满分：150分 2025.3 一.选择题（共48分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本初等函数的导数公式计算可得. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D正确； 故选：D． 2. 已知物体的运动方程是（表示时间，表示位移），则瞬时速度为0的时刻是 A. 0秒、2秒或4秒 B. 0秒、2秒或16秒 C. 2秒、8秒或16秒 D. 0秒、4秒或8秒 【答案】D 【解析】 【分析】对物体的运动方程求导为瞬时速度，令其为0得瞬时速度为0米每秒的时刻． 【详解】因为物体的运动方程为，则可知， 令得t=0或 t=4或t=8， 故选：D 3. 已知函数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，根据求导公式和运算法则可得，结合导数的定义即可求解. 【详解】由题意知，，则. 所以. 故选：B 4. 若，则（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意为展开式中含项的系数，写出展开式的通项公式，令，从而可得答案. 【详解】由题意为展开式中含项的系数. 展开式的通项公式为： 令，得， 所以 故选：D 5. 某社区计划在端午节前夕按如下规则设计香囊：在基础配方以外，从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中至少选择一味添加到香囊，则不同的添加方案有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】C 【解析】 【分析】分四种情况，利用分类计数原理即可求出结果. 【详解】从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中选一种，有种， 从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中选二种，有种， 从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中选三种，有种， 从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药全选，有种， 所以从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中至少选一种，共有种， 故选：C. 6. 设，若为函数的极大值点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到所满足的关系，由此确定正确选项. 【详解】若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故. 有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的.依题意，a为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的. 当时，由，，画出的图象如下图所示： 由图可知，，故. 当时，由时，，画出的图象如下图所示： 由图可知，，故. 综上所述，成立. 故选：D 【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答. 7. 现要从6名学生中选4名代表班级参加学校4×100m接力赛，其中已确定甲跑第1棒或第4棒，乙和丙2人只能跑第2、3棒，丁不能跑第1棒，那么合适的选择方法种数为（ ） A. 56 B. 60 C. 84 D. 120 【答案】B 【解析】 【分析】特殊位置优先排，甲很特殊，所以分当甲排第1棒时和当甲排第4棒时两类进行讨论求解可得. 【详解】由题设六人中确定甲跑第1棒或第4棒，乙、丙只能跑第2，3棒，丁不能跑第1棒 当甲排第1棒时，乙、丙均不参与则有种，乙、丙至少有一人参与则有种； 当甲排第4棒时，乙、丙均不参与则有种，乙、丙至少有一人参与则有种． 故合适的选择方法种数为种． 故选：B． 8. 定义在上的可导函数的导函数的图象如图所示，则（ ） A. 是的一个零点 B. 和都是的极大值点 C. 的单调递增区间是 D. 的单调递减区间是 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数分析函数的单调性，逐项判断即可得出结论. 【详解】当时，，函数在上单调递减， 当时，恒成立，当且仅当时，等号成立， 所以，函数在上单调递增，则是函数的极小值点， 函数无极大值点，无法判断是函数的一个零点，A错B错C对D错. 故选：C. 9. 已知，，，其中为自然对数的底数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先将化成统一形式，构造函数，研究单调性进而比较大小即可. 【详解】由题意得，，； 设，则， 当时，，所以单调递增，又， 所以，即，所以. 故选：A. 10. 已知，则“”是“在内单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数在内单调递增求出实数的取值范围，再利用集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】因为在内单调递增， 则对任意的恒成立，即， 当时，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立， 所以，. 因为，因此，“”是“在内单调递增”的充分不必要条件. 故选：A. 11. 已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先判断时，在上恒成立；若在上恒成立，转化为在上恒成立． 【详解】∵，即， （1）当时，， 当时，， 故当时，在上恒成立； 若在上恒成立，即在上恒成立， 令，则， 当函数单增，当函数单减， 故，所以．当时，在上恒成立； 综上可知，的取值范围是， 故选C． 【点睛】本题考查分段函数的最值问题，关键利用求导的方法研究函数的单调性，进行综合分析． 12. 在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为，则（ ） A. 函数的最大值为1 B. 函数的最小值为1 C. 函数的最大值为1 D. 函数的最小值为1 【答案】C 【解析】 【分析】AB选项，先判断出虚线部分为，实线部分为，求导得到在R上单调递增，AB错误；再求导得到的单调性，得到C正确，D错误． 【详解】AB选项，由题意可知，两个函数图像都在x轴上方，任何一个为导函数， 则另外一个函数应该单调递增，判断可知，虚线部分为，实线部分为， 故恒成立， 故在R上单调递增，则A，B显然错误； 对于C，D，， 由图像可知时，， 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得极大值，也为最大值，且，C正确，D错误． 故选：C 二.填空题（共34分） 13. （1）若，则______； （2）若，则______； （3）若，则______. 【答案】 ①. ②. ③. 【解析】 【分析】应用导函数的运算律结合基本初等函数计算（1）及（3）；应用复合函数求导计算（2）. 【详解】（1）若，则； （2）若，则； （3）若，则. 故答案为：；；. 14. 的展开式有7项，则______；二项式系数最大的项为______. 【答案】 ①. 6 ②. 【解析】 【分析】由二项展开式的性质求解. 【详解】因为的展开式有7项，所以； 则二项式系数最大的项为第四项， 所以， 故答案为：6， 15. 已知在一次降雨过程中，某地降雨量（单位：mm）与时间（单位：mm）的函数关系可近似表示为，则在时的瞬时降雨强度（某一时刻降雨量的瞬间变化率）为__________mm/min. 【答案】## 【解析】 【分析】将函数关于求导，再将代入上式的导函数，即可求解． 【详解】解：因为 ， ． 故在时的瞬时降雨强度（某一时刻降雨量的瞬间变化率）为mm/min. 故答案为： 16. 两家夫妇各带一个小孩一起去公园游玩，购票后排队依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为________. 【答案】24 【解析】 【分析】先将两位爸爸排在两端，然后将两个小孩视作一人与两位妈妈排在中间三个位置，进而得到答案. 【详解】第一步：将两位爸爸排在两端有2种排法；第二步：将两个小孩视作一人与两位妈妈任意排在中间三个位置上有种排法，故总的排法有＝24(种). 故答案为：24. 17. 已知点P在曲线上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】求导，结合基本不等式可得，即可根据求解. 【详解】由于，∵， ∴，∴，即， ∵，∴， 故答案为： 18. 对于偶函数，下列结论中正确的是______ ①函数在处的切线斜率为； ②，使得； ③若，则； ④若，都有成立，则m的最大值为. 【答案】①④ 【解析】 【分析】根据奇偶性得出的值，再求导即可判断①；构造，研究其最值即可判断②；构造，判断在上的单调性即可判断③④. 【详解】因为奇函数，为偶函数，则为奇函数， 得，经检验成立，故，， 得，故①正确； 令，则，则在上单调递减， 则，即，即，故②错误； 令，则， 则在上单调递减，则，， 即在上单调递减，故③错误； 因在上单调递减，则， 因，都有成立，则，故④正确. 故答案为：①④ 三.解答题（共68分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 19. 已知函数，. （1）求的单调区间； （2）若在区间上的最大值为20，求它在该区间上的最小值. 【答案】（1）的单调递增区间为；单调递减区间为. （2） 【解析】 【分析】（1）由已知得，由此即能求出的单调区间. （2）由，得或(舍)，由此结合函数的单调性可知当时，取到最大值，从而求得n的值，即可求得在区间上的最小值. 【小问1详解】 因为， 所以， 由，得， 所以的单调递增区间为； 由，得或， 所以的单调递减区间为. 【小问2详解】 由，得或(舍)， 由（1）可知，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 故当时，取到最小值， 由因， ， 所以当时，取到最大值， 所以，所以， 所以， 所以在区间上的最小值为. 20. 已知是的一个极值点. （1）求的值； （2）设，试问过点可作多少条直线与曲线相切？请说明理由. 【答案】（1）； （2）条，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）由题意可得出，求出的值，再结合函数极值点的定义验证即可； （2）设切点为，利用导数求出切线方程，将点的坐标代入切线方程，可得出，令，其中，利用导数分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出结论. 【小问1详解】 因为，该函数的定义域为，则， 由题意可得，解得， 则， 因为时，由可得，列表如下： 减 极小值 增 所以，函数在处取得极小值，合乎题意，故. 【小问2详解】 由（1）得，则，其中， 设切点为，则，切线斜率为， 所以，曲线在处的切线方程为， 将点的坐标代入切线方程可得， 整理可得， 令，其中，且，则， 由可得，列表如下： 减 极小值 增 所以，函数的减区间为，增区间为，极小值为， 且，则函数在区间上有且只有一个零点， 因为，且函数在上单调递增，， 由零点存在定理可知，存在唯一的，使得， 所以，函数在区间内存在唯一的零点， 所以，函数有且只有两个零点， 综上所述，过点可作两条直线与曲线相切. 21. 已知椭圆：的离心率为，长轴长为4，过椭圆右焦点的直线与椭圆交于，两点. （1）求椭圆的标准方程； （2）当直线与轴不垂直时，在轴上是否存在一点（异于点），使轴上任意点到直线，的距离均相等？若存在，求点坐标：若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的离心率以及长轴长求出，即可求得答案； （2）假设在轴上存在一点，使轴上任意点到直线，的距离均相等，设直线方程并联立椭圆方程，可得根与系数的关系式，结合假设得，结合根与系数关系式化简，即可得结论. 【小问1详解】 由题意知椭圆：的离心率为，长轴长为4， 设椭圆焦距为2c，故， 故椭圆的标准方程为：； 【小问2详解】 由题意可得，假设在轴上存在一点（异于点），使轴上任意点到直线，的距离均相等； 由题意可设直线，设，， 联立，整理得， 由于直线l过椭圆焦点，必有， 则， 由轴上任意点到直线，的距离均相等，可知直线，关于x轴对称， 即，即， 当时，，即， 整理得，即， 解得，即此时在轴上存在一点，使轴上任意点到直线，的距离均相等； 当时，此时l即为x轴，A，B为椭圆长轴上的两端点，此时也满足题意， 综合知x轴存在一点（异于点），使轴上任意点到直线，的距离均相等，且. 【点睛】关键点睛：本题考查了椭圆方程的求解，以及直线和椭圆位置关系中的探究性问题，解答的关键在于第二问探究形问题，解答时要假设存在，进而明确问题的含义，即为直线，关于x轴对称，即，由此结合根与系数的关系，化简求值，即可解决问题. 22. 已知函数，. （1）若曲线在点处的切线平行于直线，求该切线方程； （2）若，求证：当时，； （3）若有且只有两个零点，求a的值. 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）． 【解析】 【分析】（1）求出，根据求出，再求出，从而可求切线方程. （2）利用导数求出，根据可得不等式成立. （3）就和分类讨论，后者可根据极小值的符号来讨论. 【小问1详解】 因为，所以，故． 所以． 所求切线方程为，即． 【小问2详解】 当时，，． 当时，；当时，． 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增． 所以的最小值为． 故时，． 【小问3详解】 对于函数，． （i）当时，，没有零点； （ii）当时，． 当时，，所以在区间上单调递增； 当时，，所以在区间上单调递减； 当时，，所以在区间上单调递增． 所以是的极大值，是的极小值． 因为， 所以在上有且只有一个零点． 由于， ①若，即，在区间上没有零点； ②若，即，区间上只有一个零点； ③若，即，由于，所以在区间上有一个零点． 由（2）知，当时，，所以． 故在区间上有一个零点． 因此时，在区间上有三个零点． 综上，当有两个零点时，． 23. 给定正奇数，数列： 是一个排列，定义为数列： 的位差和. （1）当时，求数列：1，3，4，2，5的位差和； （2）若位差和，求满足条件的数列：的个数； （3）若位差和，求满足条件的数列：的个数. 【答案】（1）;（2） ;（3）. 【解析】 【分析】（1）当时，结合数列的新定义，直接求解即可； （2）由，可得分为两种情况：当，且和当分别等于或或，分求解，即可得到答案； （3）将去绝对值符号后，得到结果为的形式，其中恰好有个数前面为减号，得到，进而得到减号的个数最小为：2个1，2个2，…，2个 和1个， 进而求得数列的个数. 【详解】（1）当时，可得. （2）若数列：的位差和，有如下两种情况： 当，且， 其他项（其中）时， 有种可能， 当分别等于或或， 其他项（其中）时，有种可能； 综上，满足条件的数列：的个数为：. 例如：时， 形如2，1，4，3，5，共有种：2，1，4，3，5；2，1，3，5，4；1，3，2，5，4； 形如3，2，1，4，5，共有种：3，2，1，4，5；1，4，3，2，5；1，2，5，4，3； 形如2，3，1，4，5，共有种：2，3，1，4，5；1，3，4，2，5；1，2，4，5，3； 形如3，1，2，4，5，共有种：3，1，2，4，5；1，4，2，3，5；1，2，5，3，4. （3）将去绝对值符号后， 所得结果为形式，其中恰好有个数前面为减号， 这表明 ， 此不等式成立是因为前面为减号的个数最小为：2个1，2个2，…，2个 和1个， 所以所求的数列：是使得最大的数列，这样的数列在时，要求从中任选一个数作为，将剩余数中较大的个数的排列作为的对应值，较小的个数的排列作为 的对应值， 于是所求数列的个数为， 综上，满足条件的数列的个数为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$