专题02 一元一次不等式与不等式组（考题猜想，压轴必刷8大题型）七年级数学下学期新教材沪科版

专题02 一元一次不等式与不等式组 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 目录 题型一 利用一元一次不等式的定义求参数的值 1 题型二 根据一元一次不等式的解集求参数 2 题型三 利用一元一次不等式的整数解求参数的取值范围 4 题型四 利用一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围 6 题型五 根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围 8 题型六 整式方程(组)与一元一次不等式结合求参数的问题 10 题型七 整式方程(组)与一元一次不等式组结合求参数的问题 12 题型八 一元一次不等式（组）中的新定义型问题 16 题型一 利用一元一次不等式的定义求参数的值 例题：（23-24八年级下·甘肃兰州·期中）若是关于x的一元一次不等式，则n的值为 ． 【题型变式】 1．（23-24八年级下·广东深圳·期中）已知是关于的一元一次不等式，则 ． 2．（23-24八年级下·陕西咸阳·期中）若是关于的一元一次不等式，则 ． 题型二 根据一元一次不等式的解集求参数 例题：（23-24八年级上·浙江宁波·期中）关于的不等式的解集如图所示，则的值是 ． 【题型变式】 1．（23-24八年级下·四川达州·期中）如果不等式的解集是，那么a的取值范围是 ． 2．（23-24八年级下·宁夏中卫·期中）不等式的解集为，则的值为 ． 3．（23-24七年级下·广西梧州·期中）已知关于x的不等式的解集与的解集相同，则a的值是 ． 题型三 利用一元一次不等式的整数解求参数的取值范围 例题：（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）若关于x的不等式只有3个正整数解，则m的取值范围是 ． 【题型变式】 1．（23-24七年级下·吉林长春·期中）若关于的一元一次不等式只有2个正整数解，则的取值范围是 ． 2．（23-24八年级下·辽宁锦州·期中）不等式的正整数解有2个，那么的取值范围是 ． 3．（23-24七年级下·福建漳州·期中）已知关于x的不等式至少有三个负整数解，则的取值范围是 ． 题型四 利用一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围 例题：（23-24七年级下·北京·期中）若关于x的不等式组有且只有2个整数解，则m的取值范围是 ． 【题型变式】 1．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）已知关于的不等式组有四个整数解，则的取值范围是 ． 2．（23-24八年级下·河南焦作·期中）若不等式组的整数解有四个，则a的取值范围是 3．（24-25八年级上·四川成都·期中）若关于的不等式组只有3个整数解，则的取值范围为 ． 题型五 根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围 例题：（24-25八年级上·浙江金华·期中）关于的不等式组的解集是，那么的取值范围是 ． 【题型变式】 1．（23-24七年级下·全国·期中）若不等式组，的解集为，则m应满足的条件是 ． 2．（23-24七年级下·四川内江·期中）若关于的不等式组无解，则的取值范围是 ． 3．（23-24八年级下·山东菏泽·期中）若关于的一元一次不等式组的解集为，则的取值范围是 ． 题型六 整式方程(组)与一元一次不等式结合求参数的问题 例题：（23-24七年级下·全国·期中）关于的方程的解为非负数，则的取值范围是 ． 【题型变式】 1．（23-24八年级下·辽宁本溪·期中）关于的方程的解为负数，则的取值范围是 ． 2．（23-24七年级下·河南周口·期中）关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是 ． 3．（24-25八年级上·浙江金华·期中）已知关于x的方程的解为负数． （1）a的取值范围为 ． （2）若，，则的取值范围为 ． 题型七 整式方程(组)与一元一次不等式组结合求参数的问题 例题：（24-25八年级上·四川绵阳·期中）已知二元一次方程组，其中方程组的解满足，则的取值范围 ． 【题型变式】 1．（24-25八年级上·重庆·期中）若使得关于的不等式至少2个整数解，且关于x，y的方程组的解满足，则满足条件的整数之和是 ． 2．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）已知关于x、y的二元一次方程组（k为常数）． （1）若该方程组的解x，y满足，则k的取值范围为 ． （2）若该方程组的解x，y均为正整数，且，则该方程组的解为 ． 3．（24-25八年级上·浙江·期中）已知方程组的解满足x为非正数，y为负数． (1)求m的取值范围； (2)化简：； (3)在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式的解为． 题型八 一元一次不等式（组）中的新定义型问题 例题：（24-25八年级下·全国·期中）定义：三个关于x的整式A、B、C，若的解集为，则称它们构成“不等式”例如：三个整式，，有：当时的解集为，则称，，构成“不等式”． (1)整式，，1可以构成“不等式”吗？请说明理由； (2)若三个关于x的整式，x，，可以构成“不等式”，求a的值； (3)若三个整式，，构成“不等式”，求关于x的不等式组的解集． 【题型变式】 1．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）阅读下列材料：定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程是不等式组的相伴方程． (1)方程是不是不等式组的相伴方程？请说明理由； (2)若关于的方程是不等式组的相伴方程，求的取值范围． 2．（23-24七年级下·四川宜宾·期中）对、定义一种新运算，规定：（其中均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：．已知． (1)求的值； (2)若关于的不等式，恰好有个整数解，求的取值范围． 3．（24-25七年级上·吉林·期中）【定义】若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”．例如：的解为的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”． 【问题解决】（1）在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”是______（填序号）； （2）若关于的方程是不等式组的“子方程”，求的取值范围； （3）若方程是关于的不等式组的“子方程”，直接写出的取值范围． 4．（23-24七年级下·山东威海·期中）（1）我们规定．关于，的二元一次方程，若满足，则称这个方程为“幸福”方程．例如：方程，其中，满足，则方程是“幸福”方程，把两个“幸福”方程合在一起叫“幸福”方程组．根据上述规定，回答下列问题， ①判断方程 “幸福”方程（填“是”或“不是”）； ②若关于的二元一次方程是“幸福”方程，求的值； ③若是关于的“幸福”方程组的解，求的值． （2）对于实数我们定义一种新运算（其中均为非零常数）．等式右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为，其中叫做线性数的一个数对．若实数都取正整数，我们称这样的线性数为正格线性数，这时的叫做正格线性数的正格数对． ①若，则 ， ； ②已知，若正格线性数求满足不等式组的所有的值． $$专题02 一元一次不等式与不等式组 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 目录 题型一 利用一元一次不等式的定义求参数的值 1 题型二 根据一元一次不等式的解集求参数 2 题型三 利用一元一次不等式的整数解求参数的取值范围 4 题型四 利用一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围 6 题型五 根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围 8 题型六 整式方程(组)与一元一次不等式结合求参数的问题 10 题型七 整式方程(组)与一元一次不等式组结合求参数的问题 12 题型八 一元一次不等式（组）中的新定义型问题 16 题型一 利用一元一次不等式的定义求参数的值 例题：（23-24八年级下·甘肃兰州·期中）若是关于x的一元一次不等式，则n的值为 ． 【答案】 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】本题主要考查一元一次不等式定义的“未知数的最高次数为1次”这一条件；还要注意，未知数的系数不能是0．根据一元一次不等式的定义，且，分别进行求解即可． 【详解】解：不等式是一元一次不等式， ， 解得：， 故答案为：． 【题型变式】 1．（23-24八年级下·广东深圳·期中）已知是关于的一元一次不等式，则 ． 【答案】 【知识点】绝对值方程、一元一次不等式的定义 【分析】本题考查一元一次不等式的定义，根据定义得到，解不等式即可得到答案，熟记一元一次不等式的定义是解决问题的关键． 【详解】解：是关于的一元一次不等式， ，则或，且，解得， 故答案为：． 2．（23-24八年级下·陕西咸阳·期中）若是关于的一元一次不等式，则 ． 【答案】 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】本题考查一元一次不等式的定义，根据一元一次不等式的定义可得且，据此求解即可，掌握一元一次不等式的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴且， 解得， 故答案为：． 题型二 根据一元一次不等式的解集求参数 例题：（23-24八年级上·浙江宁波·期中）关于的不等式的解集如图所示，则的值是 ． 【答案】3 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，根据题意得出不等式的解集是解题的关键．先用表示出不等式的解集，再由数轴上不等式的解集得出关于的方程，求出的值即可． 【详解】解：解不等式得，， 由数轴上不等式的解集可知，， ， 解得， 故答案为：3． 【题型变式】 1．（23-24八年级下·四川达州·期中）如果不等式的解集是，那么a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集、不等式的性质 【分析】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 由不等式的性质可知，不等式两边同时除以时，不等式方向改变了，由此可确定的符号，即可求解． 【详解】解：∵不等式的解集是， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（23-24八年级下·宁夏中卫·期中）不等式的解集为，则的值为 ． 【答案】2 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】先用表示出不等式的解集，再根据不等式的解集是求出的值即可．本题考查的是解一元一次不等式，先把当作已知条件表示出的取值范围是解答此题的关键． 【详解】解：不等式的两边同时除以3得，， 移项，合并同类项得，， 不等式的解集是， ∴， 解得． 故答案为：2 3．（23-24七年级下·广西梧州·期中）已知关于x的不等式的解集与的解集相同，则a的值是 ． 【答案】14 【知识点】求一元一次不等式的解集、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查了求解一元一次不等式的解，解一元一次方程，先分别解不等式与根据不等式与的解集完全相同，建立关于a的方程求解即可得到a的值． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 根据题意得：， 解得：， 故答案为：14． 题型三 利用一元一次不等式的整数解求参数的取值范围 例题：（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）若关于x的不等式只有3个正整数解，则m的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】本题主要考查一元一次不等式的含参问题，掌握求一元一次不等式的方法，取值方法是解题的关键． 首先解不等式，然后根据不等式只有3个正整数解即可得到一个关于m的不等式，求得m的范围． 【详解】解： 移项，得： ， 合并同类项，得： ， 系数化为1，得： ， ∵不等式只有3个正整数解， ∴， 故答案为： ． 【题型变式】 1．（23-24七年级下·吉林长春·期中）若关于的一元一次不等式只有2个正整数解，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】本题考查了不等式的特殊解，熟悉掌握不等式的运算方法是解题的关键． 化简，得到，根据只有2个正整数解列式运算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵关于的一元一次不等式只有个正整数解， ∴， 解得：， 故答案为：． 2．（23-24八年级下·辽宁锦州·期中）不等式的正整数解有2个，那么的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，根据不等式组解的情况求参数，解一元一次不等式组得，结合不等式的正整数解有2个，得出，求解即可． 【详解】解：解不等式得：， 不等式的正整数解有2个， ， 解得：， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·福建漳州·期中）已知关于x的不等式至少有三个负整数解，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】此题主要考查了一元一次不等式的整数解，要熟练掌握，解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．根据关于x的一元一次不等式至少有3个负整数解只能是、、，得出，求出a的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵关于x的不等式至少有三个负整数解， ∴关于x的一元一次不等式至少有的三个负整数解是：、、， ∴ ∴解得：． 故答案为： 题型四 利用一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围 例题：（23-24七年级下·北京·期中）若关于x的不等式组有且只有2个整数解，则m的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查了由不等式组解集的情况求参数，先求出，则，再结合关于x的不等式组有且只有2个整数解，故，即可作答． 【详解】解：解不等式，得 ∴关于x的不等式组的解集是， ∵关于x的不等式组有且只有2个整数解， ∴． 故答案为： 【题型变式】 1．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）已知关于的不等式组有四个整数解，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的整数解个数可得m的取值范围． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， 所以不等式组的解集为：， ∵关于的不等式组有四个整数解， ∴整数解为， ∴， 解得：， 故答案为：． 2．（23-24八年级下·河南焦作·期中）若不等式组的整数解有四个，则a的取值范围是 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数、求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解．先解每一个不等式，再根据不等式组解集的范围内有四个整数解，得出新的不等式，求a的取值范围． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∵不等式组有四个整数解，即为， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·四川成都·期中）若关于的不等式组只有3个整数解，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数、求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组整数解情况可得关于a的不等式组，解之即可得出答案． 【详解】解：由得：， 由得：， 不等式组只有3个整数解， 不等式组的整数解为3、2、1， 则， 解得， 故答案为：． 题型五 根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围 例题：（24-25八年级上·浙江金华·期中）关于的不等式组的解集是，那么的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式，由不等式组的解集求参数，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先解第一个不等式得到，由于不等式组的解集为，则利用同大取大可得到的范围． 【详解】解：解不等式， 得， 而不等式组的解集是， ∴． 故答案为：． 【题型变式】 1．（23-24七年级下·全国·期中）若不等式组，的解集为，则m应满足的条件是 ． 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题主要考查了不等式组的解集，先用含有m的式子表示不等式组的解集，再结合不等式组的解集得出答案． 【详解】解不等式组，得． ∵不等式组的解集是， ∴． 故答案为：． 2．（23-24七年级下·四川内江·期中）若关于的不等式组无解，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查了根据不等式组的解集情况求参数，正确解不等式组是解题关键．分别解不等式，再根据不等式组无解，确定的取值范围即可． 【详解】解：， 解不等式①得： 解不等式②得：， 不等式组无解， ， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·山东菏泽·期中）若关于的一元一次不等式组的解集为，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查了解不等式组，先分别解出每个不等式，得出或，因为它们公共部分解集为，则，解出即可作答． 【详解】解：， ∴由得出， 由得出， ∵关于的一元一次不等式组的解集为， ∴， 解得． 故答案为： 题型六 整式方程(组)与一元一次不等式结合求参数的问题 例题：（23-24七年级下·全国·期中）关于的方程的解为非负数，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了解一元一次方程、解一元一次不等式及非负数的意义，根据题意得出不等式及熟练应用以上知识点是解题的关键． 解方程得出 ，由解是非负数列出不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】解： 解得 关于的方程的解为非负数， 解得． 故答案为： 【题型变式】 1．（23-24八年级下·辽宁本溪·期中）关于的方程的解为负数，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【知识点】求一元一次不等式的解集、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】此题考查了一元一次方程的解，以及一元一次不等式的解法，解一元一次不等式时，若在不等式左右两边同时乘以或除以同一个负数时，不等号方向要改变．把看作常数，求出已知方程的解，根据方程的解是负数得到小于0，列出关于的不等式，求出不等式的解集即可得到的范围． 【详解】解：， 移项得：， 解得：， 由方程的解是负数，得到， 即， 解得：， 故答案为：． 2．（23-24七年级下·河南周口·期中）关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集、方程的解 【分析】本题考查了一元一次方程的解与解不等式，把m看作常数求出x的表达式是解题的关键．先用含m的代数式表示出方程的解，然后根据解解为负数列不等式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵方程的解为非负数， ∴， 解得． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·浙江金华·期中）已知关于x的方程的解为负数． （1）a的取值范围为 ． （2）若，，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、不等式的性质、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了解一元一次方程与不等式，以及不等式的性质． ①先解出关于x的方程的解，再根据解是负数列出不等式，解关于a的不等式即可， ②变形，把第一问的结果代入，即可． 【详解】解①：解关于x的方， 得 因为解为负数， 所以 解这个不等式，得 所以a的取值范围是； ② ∴， ， 故答案为：，． 题型七 整式方程(组)与一元一次不等式组结合求参数的问题 例题：（24-25八年级上·四川绵阳·期中）已知二元一次方程组，其中方程组的解满足，则的取值范围 ． 【答案】 【知识点】不等式组和方程组结合的问题、加减消元法 【分析】本题考查了二元一次方程组的解和解一元一次不等式组的应用，先求出方程组的解，再把解代入到不等式中，最后解不等式即可求解，正确求出方程组的解是解题的关键． 【详解】解： 得，， 把代入①得，， ∴， ∴方程组的解为， ∵方程组的解满足， ∴， 即， 解得， 故答案为：． 【题型变式】 1．（24-25八年级上·重庆·期中）若使得关于的不等式至少2个整数解，且关于x，y的方程组的解满足，则满足条件的整数之和是 ． 【答案】 【知识点】不等式组和方程组结合的问题 【分析】本题主要考查了不等式组和方程组相结合的问题，先求出不等式组两个不等式的解集，再根据不等式组至少有两个整数解得到；再利用加减消元法得到，则，据此求出即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组至少2个整数解， ∴， ∴； 得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴满足条件的整数m有3、4、5、6、7， ∴满足条件的整数之和是， 故答案为：． 2．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）已知关于x、y的二元一次方程组（k为常数）． （1）若该方程组的解x，y满足，则k的取值范围为 ． （2）若该方程组的解x，y均为正整数，且，则该方程组的解为 ． 【答案】 【知识点】不等式组和方程组结合的问题 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组和二元一次方程组，解题的关键是得出关于k的不等式． （1）将方程组中的两个方程相加，即可得到用含k的代数式表示出，然后根据，即可求得k的取值范围 (2)先用含k的式子表示出方程组的解，再根据x，y均为正整数，且，即可得到该方程组的解． 【详解】解：（1） ①+②，得 ， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）由解得 ， ∵均为正整数，且， ∴当时，； 当时，，不合题意，舍去； 当时，，不符合题意，都舍去， 由上可得，该方程组的解为． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·浙江·期中）已知方程组的解满足x为非正数，y为负数． (1)求m的取值范围； (2)化简：； (3)在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式的解为． 【答案】(1)； (2)； (3) 【知识点】不等式组和方程组结合的问题、已知二元一次方程组的解的情况求参数、化简绝对值 【分析】 本题考查的是解二元一次方程组、一元一次不等式组及绝对值的性质，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）解方程组得出，由x为非正数，y为负数知，解之即可； （2）根据m的取值范围判断出，，再去绝对值符号、合并同类项即可； （3）由不等式的解为，知；据此可得，结合以上所求m的范围知，继而可得整数m的值． 【详解】 解：（1）解方程组得：， ∵x为非正数，y为负数， ∴， 解得：； （2）∵， ∴，， 则原式． （3）由不等式的解为，知； 所以， 又因为， 所以， 因为m为整数， 所以． 题型八 一元一次不等式（组）中的新定义型问题 例题：（24-25八年级下·全国·期中）定义：三个关于x的整式A、B、C，若的解集为，则称它们构成“不等式”例如：三个整式，，有：当时的解集为，则称，，构成“不等式”． (1)整式，，1可以构成“不等式”吗？请说明理由； (2)若三个关于x的整式，x，，可以构成“不等式”，求a的值； (3)若三个整式，，构成“不等式”，求关于x的不等式组的解集． 【答案】(1)可以，见解析 (2)或1 (3)或或 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，解题的关键是根据“不等式”的定义列出对应的不等式，从中得出m、n之间的数量关系及其符号． （1）由，即的解集为即可得出答案； （2）分、、三种情况分别求解即可； （3）分、、三种情况，依据新定义得出m、n之间的数量关系及m、n的正负情况，再代入方程组消掉m或n，进一步求解即可． 【详解】（1）解：，1，可以构成“不等式”， ∵，即的解集为， ∴，1，可以构成“不等式”； （2）解：①若，即， 则，即且， 解得（舍）； ②若，即， 则，即且， 此时； ③若，即，则， 即且； 综上，； 即或1； （3）解：①若，即，则， 即且，化简得， 代入得， 即，则， 由， 得：， 即， ∴； 由，得：， ∴， 此时不等式组的解集为； ②若，即， 则，， 化简得，代入， 得：，则， 由， 得：，即， ∴， 由，得：， ∴， 此时不等式组的解集为； ③若，即， 则，即，且， 化简得， 代入得， 解得，则， 由，得：， 即， ∴， 由，得：， ∴， 此时不等式组的解集为； 综上，或或． 【题型变式】 1．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）阅读下列材料：定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程是不等式组的相伴方程． (1)方程是不是不等式组的相伴方程？请说明理由； (2)若关于的方程是不等式组的相伴方程，求的取值范围． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) 【知识点】求不等式组的解集、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查了新定义“相伴方程”，正确理解新定义“相伴方程”，熟练掌握解一元一次方程和一元一次不等式组的方法是解题关键． （1）分别求解方程和不等式组，然后根据“相伴方程”的定义，即可获得答案； （2）分别求解不等式组和方程，结合“相伴方程”的定义可得关于的不等式组，求解即可获得答案． 【详解】（1）解：方程是不等式组的相伴方程，理由如下： 解不等式组，得：， 解方程，得：， ∵， ∴方程是不等式组的相伴方程； （2）解不等式组，得：， 解方程，得：， ∵关于的方程是不等式组的相伴方程， ∴，解得． 2．（23-24七年级下·四川宜宾·期中）对、定义一种新运算，规定：（其中均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：．已知． (1)求的值； (2)若关于的不等式，恰好有个整数解，求的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数、求不等式组的解集、加减消元法 【分析】（）根据新运算法则及，可得方程组，解方程即可求解； （）由（）可得，即可由不等式组得到，求得不等式组的解集为，再根据不等式组恰好有个整数解，可得，解不等式即可求解； 本题考查了解二元一次方程组以及一元一次不等式组的整数解，读懂题意，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， 方程组化简得，， 解得， ∴，； （2）解：∵，， ∴， ∴不等式组为， 化简得， 由得，， 由得，， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组恰好有个整数解， ∴，即， 解得． 3．（24-25七年级上·吉林·期中）【定义】若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”．例如：的解为的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”． 【问题解决】（1）在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”是______（填序号）； （2）若关于的方程是不等式组的“子方程”，求的取值范围； （3）若方程是关于的不等式组的“子方程”，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①②；（2）；（3） 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、求不等式组的解集、由不等式组解集的情况求参数 【分析】（1）先分别求得各一元一次方程的解和不等式组的解集，再根据题中定义判断即可解答； （2）先求得方程和不等式组的解集，再根据定义得到关于k的不等式组，然后解不等式组即可求解； （3）先解方程，再求出不等式组的解集，然后根据定义求解即可． 【详解】（1）解：解方程得：， 解方程得：， 解方程得：， 解不等式组得：， 所以不等式组 的“子方程”是①②． （2）解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为， 解方程，得， 由题意，得， ∴， 解得：； （3）解方程，得：， 解不等式组得：， ∴不等式组得解集为， ∴在范围内， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查解一元一次方程和一元一次不等式组，以及一元一次方程的解和一元一次不等式组的解集的关系，理解题中定义，正确得到满足条件的参数对应的不等式（组）是解答的关键． 4．（23-24七年级下·山东威海·期中）（1）我们规定．关于，的二元一次方程，若满足，则称这个方程为“幸福”方程．例如：方程，其中，满足，则方程是“幸福”方程，把两个“幸福”方程合在一起叫“幸福”方程组．根据上述规定，回答下列问题， ①判断方程 “幸福”方程（填“是”或“不是”）； ②若关于的二元一次方程是“幸福”方程，求的值； ③若是关于的“幸福”方程组的解，求的值． （2）对于实数我们定义一种新运算（其中均为非零常数）．等式右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为，其中叫做线性数的一个数对．若实数都取正整数，我们称这样的线性数为正格线性数，这时的叫做正格线性数的正格数对． ①若，则 ， ； ②已知，若正格线性数求满足不等式组的所有的值． 【答案】（1）①是；②的值是5；③11； （2）①5，3；②的值有3，4，5，6 【知识点】新定义下的实数运算、加减消元法、求不等式组的解集 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，有理数的混合运算，准确理解新定义，熟练掌握计算法则是解题的关键． （1）①直接根据“幸福”方程的定义判断即可；②根据“幸福”方程的定义可得，求解即可；③根据“幸福”方程组的定义得出，求出的值，再根据整体思想求解即可； （2）①直接根据新定义求解即可；②先根据新定义得出，进而得出，解不等式组即可求解． 【详解】（1）①∵方程，其中，， ∴， 方程是“幸福”方程， 故答案为：是； ②关于，的二元一次方程是“幸福”方程， ， 解得， 的值是5； ③方程组是“幸福”方程组， ∴，解得， 原方程组为， 是关于，的“幸福”方程组的解， ， 两式相加，解得，．即的值为11． （2）解：①， ，， 故答案为：5，3； ② ， ∴， ∴，解得：， 和均为为正整数， 的值有3，4，5，6． $$