清单02 一元一次不等式与不等式组（7个考点清单+8个题型解读）七年级数学下学期新教材沪科版

清单02 一元一次不等式与不等式组 清单01 不等式的概念 一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式． 清单02 不等式的基本性质 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c． 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)． 清单03 不等式的解与解集 1.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 2.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 注意： 不等式的解 是具体的未知数的值，不是一个范围 不等式的解集 是一个集合，是一个范围．其含义： ①解集中的每一个数值都能使不等式成立； ②能够使不等式成立的所有数值都在解集中 清单04 一元一次不等式（组）的定义 1.一元一次不等式 一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 2.一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的定义： 几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． 清单05 解一元一次不等式（组） 1.解一元一次不等式 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 2.解一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． （2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组． （3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 清单06 一元一次不等式（组）的整数解 1.解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题． 2.一元一次不等式组的整数解 （1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）． 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． （2）已知解集（整数解）求字母的取值． 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 清单07 一元一次不等式（组）的应用 （1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． （2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． （3）列一元一次不等式（组）解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数． ②根据题中的不等关系列出不等式． ③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解． 【考点题型一】不等式的定义（） 例题：（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）以下表达式：；；；；．其中不等式有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【考点变式】 1．（23-24七年级下·全国·期中）在下列数学表达式中∶⑤．不等式的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（23-24七年级下·河南周口·期中）下列各式中：①；②；③；④；⑤，其中不等式的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）下列式子：；；；；；；其中不等式有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【考点题型二】不等式的基本性质（） 例题：（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）以下表达式：；；；；．其中不等式有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【考点变式】 1．（23-24七年级下·全国·期中）在下列数学表达式中∶⑤．不等式的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（23-24七年级下·河南周口·期中）下列各式中：①；②；③；④；⑤，其中不等式的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）下列式子：；；；；；；其中不等式有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【考点题型三】不等式的解与解集（） 例题：（23-24七年级下·河南周口·期中）下列说法中：①是不等式的一个解；②是不等式的一个解；③不等式的解集为，正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【考点变式】 1．（23-24七年级下·四川眉山·期中）下列不等式的解集中，不包括的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·广东茂名·期中）是下列不等式（    ）的一个解． A． B． C． D． 3．（22-23七年级下·湖南衡阳·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．不等式的解集是 B．是不等式的一个解 C．不等式的整数解有无数个 D．不等式的正整数解有4个 【考点题型四】一元一次不等式（组）的识别（） 例题：（23-24八年级下·河南郑州·期中）下列各式中，是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【考点变式】 1．（23-24七年级下·河南新乡·期中）以下是一元一次不等式的是（     ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·山西晋城·期中）下列不等式中，一元一次不等式有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（23-24八年级下·河南郑州·期中）下列各项中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【考点题型五】解一元一次不等式（组）（） 例题：（23-24八年级下·江西吉安·期中）解不等式（组）： (1)； (2)，并把它的解集表示在数轴上． 【考点变式】 1．（24-25八年级上·上海·期中）解下列不等式（组） (1) (2) 2．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）（1）解不等式； （2）解一元一次不等式组，并把不等式组的解在数轴上表示出来． 3．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）（1）解不等式：． （2）解不等式组：，并把解集表示在数轴上． 【考点题型六】求一元一次不等式（组）的整数解（） 例题：（24-25八年级上·浙江杭州·期中）不等式的负整数解是 ． 【考点变式】 1．（23-24七年级下·全国·期中）不等式的最大整数解是 ． 2．（22-23八年级上·浙江丽水·期中）若不等式的最大整数解是方程的解，则a的值是 ． 3．（22-23八年级下·山东潍坊·期中）能使不等式成立的的最大整数值是 ． 【考点题型七】一元一次不等式（组）求解中错解复原问题（） 例题：（23-24八年级下·山西运城·期中）小明解不等式的过程如下，请认真阅读并完成相应任务． 解：去分母，得，第一步 去括号，得，第二步 移项，得，第三步 合并同类项，得，第四步 系数化为1，得．第五步 (1)①以上求解过程中，去分母是依据______进行变形的．（从下面选项选一个） A．等式的基本性质    B．分式的基本性质    C．不等式的性质 ②第______步开始出现错误，错误的原因是______． (2)该不等式的正确解集是______． (3)请你根据平时的学习经验，就解不等式需要注意的事项给其他同学提两条建议． 【考点变式】 1．（23-24八年级下·山西太原·期中）下面是小斌同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：去分母，得．第一步 去括号，得．第二步 移项，得．第三步 合并同类项，得．第四步 两边都除以，得．第五步 任务： (1)上述求解过程中，第一步变形的依据是______； (2)上述求解过程中的第______步发生错误，具体错误是______； (3)该不等式的解集应为______． 2．（23-24九年级下·宁夏吴忠·期中）解不等式组：． 下面是某同学的部分解答过程，请认真阅读并完成任务： 解：由①得：……第1步 ……第2步 ……第3步 ……第4步 任务一：该同学的解答过程第__________步出现了错误，错误的原因是__________；不等式①的正确解集是__________； 任务二：解不等式②，并写出该不等式组的解集． 3．（23-24七年级下·河南南阳·期中）解不等式组 下面是某同学的部分解答过程，请认真阅读并完成任务： 解：由①得： 第1步 第2步 第3步 第4步 任务一：该同学的解答过程第_______步出现了错误，错误原因是_____________________，不等式①的正确解集是_______； 任务二：解不等式②；（要求过程完整） 任务三：请在数轴上表示不等式①②的解集，并写出该不等式组的解集． 【考点题型八】用一元一次不等式的解决实际问题（） 例题：（24-25八年级上·上海·期中）某校计划为教师购买甲、乙两种词典，已知购买1本甲种词典和2本乙种词典共需170元，购买2本甲种词典和3本乙种词典共需290元． (1)求每本甲种词典和每本乙种词典的价格分别为多少元． (2)学校计划购买甲种词典和乙种词典共30本，总费用不超过1700元，那么最多可购买甲种词典多少本？ 【考点变式】 1．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）随着哈尔滨市全力打造旅游城市政策的实施，哈尔滨这座历史悠久的北方名城，吸引了国内外多方友人奔赴而来，极大促进了哈市经济的发展，中央大街某商家抓住了这一商机，该商家决定购进甲､乙两种纪念品进行销售，若购进甲种纪念品1件和乙种纪念品2件共需要元；若购进甲种纪念品2件和乙种纪念品3件共需要元． (1)求购进甲､乙两种纪念品每件各需要多少元？ (2)该商场决定购进甲､乙两种纪念品共件，若每件甲种纪念品的售价为元，每件乙种纪念品的售价为元，销售完这件纪念品所获得的利润不低于元，则该商场最少购进甲种纪念品多少件？ 2．（24-25八年级上·浙江·期中）为奖励运动会表现突出的同学，王老师准备购买笔记本和水笔作为奖品．已知购买5本笔记本和4支水笔共需37元，3本笔记本比2支水笔的费用多9元． (1)求每本笔记本和每支水笔的价格． (2)现在王老师准备用100元钱去购买笔记本和水笔共30件．求王老师最多买几本笔记本？ (3)王老师还是用100元钱去购买笔记本和水笔．要求购买的笔记本比水笔多，并且奖品的件数尽可能多．王老师需要购买多少本笔记本和多少支水笔？ 3．（23-24七年级下·广西梧州·期中）某中学为了给同学们提供更好的学习环境，计划购买一批桂花树和香樟树来绿化校园，经市场调查发现购买2棵桂花树和3棵香樟树共需460元，购买3棵桂花树和2棵香樟树共需440元． (1)求桂花树和香樟树的单价各是多少元？ (2)根据学校实际情况，需购买两种树苗共130棵，总费用不超过12000元，且购买香樟树的棵树不少于桂花树的1.5倍，请你算算，该校本次购买桂花树和香樟树共有哪几种方案． 4．（23-24七年级下·甘肃天水·期中）“全民阅读”深入人心，读书好，好读书，读好书，让人终身受益．为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购文学名著和动漫书两类图书，经了解，30本文学名著和60本动漫书共需3000元，15本文学名著与20本动漫书的费用一样（注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的动漫书价格都一样）． (1)求每本文学名著和动漫书各多少元？ (2)若学校要求购买文学名著比动漫书多50本，动漫书和文学名著总数不低于90本，总费用不超过3610元，请问有几种购书方案？ 5．（23-24七年级下·江苏南通·期中）【综合与实践】根据以下信息，探索完成设计购买方案的任务． 信息1：某校初一举办了科技比赛，学校为获奖的40名同学每人购买一份奖品，奖品分为，，三类． 信息2：若购买2份A奖品和3份B奖品共需220元；购买3份A奖品和2份B奖品共需230元．单独购买一份C奖品需要15元． 信息3：计划获A奖品的人数要少于获B奖品的人数．购买时有优惠活动：每购买1份A奖品就赠送一份C奖品． 任务1：求A奖品和B奖品的单价； 任务2：若获A奖品的人数等于获C奖品的人数，且获得A奖品的人数超过10人，求此次购买A奖品有几种方案； 任务3：若购买奖品的总预算不超过1150元，要让获A奖品的人数尽量多，请你直接写出符合条件的购买方案． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单02 一元一次不等式与不等式组 清单01 不等式的概念 一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式． 清单02 不等式的基本性质 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c． 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)． 清单03 不等式的解与解集 1.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 2.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 注意： 不等式的解 是具体的未知数的值，不是一个范围 不等式的解集 是一个集合，是一个范围．其含义： ①解集中的每一个数值都能使不等式成立； ②能够使不等式成立的所有数值都在解集中 清单04 一元一次不等式（组）的定义 1.一元一次不等式 一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 2.一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的定义： 几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． 清单05 解一元一次不等式（组） 1.解一元一次不等式 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 2.解一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． （2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组． （3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 清单06 一元一次不等式（组）的整数解 1.解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题． 2.一元一次不等式组的整数解 （1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）． 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． （2）已知解集（整数解）求字母的取值． 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 清单07 一元一次不等式（组）的应用 （1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． （2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． （3）列一元一次不等式（组）解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数． ②根据题中的不等关系列出不等式． ③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解． 【考点题型一】不等式的定义（） 例题：（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）以下表达式：；；；；．其中不等式有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【知识点】不等式的定义 【分析】本题主要考查了不等式的定义，根据不等式的定义进行判断即可，熟知用不等号连接的式子是不等式是解本题的关键． 【详解】解：是不等式； 是不等式； 是整式； 是等式； 是不等式； 综上：是不等式，共个， 故选：． 【考点变式】 1．（23-24七年级下·全国·期中）在下列数学表达式中∶⑤．不等式的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【知识点】不等式的定义 【分析】由不等号，，，，连接的式子叫不等式．本题考查了不等式的定义，熟练掌握不等式的定义是解题的关键． 【详解】解：不等式有：①；②；④；⑤； ∴共有4个． 故选：C． 2．（23-24七年级下·河南周口·期中）下列各式中：①；②；③；④；⑤，其中不等式的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】不等式的定义 【分析】本题考查不等式的定义：用“”不等号表示不相等关系的式子是不等式，熟练掌握不等式的定义是解题的关键．根据不等式定义可得答案． 【详解】解：①；②；③；④；⑤， 其中是不等式的有：①；③；④， ②是等式，⑤是整式， 故不等式的个数为3， 故选：C． 3．（23-24七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）下列式子：；；；；；；其中不等式有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【知识点】不等式的定义 【分析】本题主要考查了不等式的定义，用不等号连接的式子是不等式，据此逐个进行判断即可． 【详解】，是不等式，符合题意； ，是不等式，符合题意； ，是等式，不符合题意； ，是多项式，不符合题意； ，是不等式，符合题意； ，是不等式，符合题意； 综上：是不等式的有，共4个， 故选：B． 【考点题型二】不等式的基本性质（） 例题：（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）以下表达式：；；；；．其中不等式有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【知识点】不等式的定义 【分析】本题主要考查了不等式的定义，根据不等式的定义进行判断即可，熟知用不等号连接的式子是不等式是解本题的关键． 【详解】解：是不等式； 是不等式； 是整式； 是等式； 是不等式； 综上：是不等式，共个， 故选：． 【考点变式】 1．（23-24七年级下·全国·期中）在下列数学表达式中∶⑤．不等式的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【知识点】不等式的定义 【分析】由不等号，，，，连接的式子叫不等式．本题考查了不等式的定义，熟练掌握不等式的定义是解题的关键． 【详解】解：不等式有：①；②；④；⑤； ∴共有4个． 故选：C． 2．（23-24七年级下·河南周口·期中）下列各式中：①；②；③；④；⑤，其中不等式的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】不等式的定义 【分析】本题考查不等式的定义：用“”不等号表示不相等关系的式子是不等式，熟练掌握不等式的定义是解题的关键．根据不等式定义可得答案． 【详解】解：①；②；③；④；⑤， 其中是不等式的有：①；③；④， ②是等式，⑤是整式， 故不等式的个数为3， 故选：C． 3．（23-24七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）下列式子：；；；；；；其中不等式有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【知识点】不等式的定义 【分析】本题主要考查了不等式的定义，用不等号连接的式子是不等式，据此逐个进行判断即可． 【详解】，是不等式，符合题意； ，是不等式，符合题意； ，是等式，不符合题意； ，是多项式，不符合题意； ，是不等式，符合题意； ，是不等式，符合题意； 综上：是不等式的有，共4个， 故选：B． 【考点题型三】不等式的解与解集（） 例题：（23-24七年级下·河南周口·期中）下列说法中：①是不等式的一个解；②是不等式的一个解；③不等式的解集为，正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】C 【知识点】不等式的解集 【分析】本题考查了不等式的解的定义，准确计算是解题的关键，根据不等式解的定义分别判断①②③是否正确即可解答． 【详解】解：①把代入不等式，成立，故是不等式的一个解，正确； ②把代入不等式，成立，故是不等式的解，正确； ③不等式的解集为，正确． 故选C. 【考点变式】 1．（23-24七年级下·四川眉山·期中）下列不等式的解集中，不包括的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】不等式的解集 【分析】主要考查了不等式的解集的概念：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，称为这个不等式的解集．根据不等式的解集的概念进行判断即可． 【详解】解：不等式的解集中，不包括的是， 故选：C． 2．（23-24八年级下·广东茂名·期中）是下列不等式（    ）的一个解． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】不等式的解集 【分析】本题考查了不等式的解，解题的关键是理解不等式的解的意义；把分别代入各选项判定即可； 【详解】解：、当时，，故本选项不符合题意； 、当时，，故本选项不符合题意； 、当时，，故本选项不符合题意； 、当时，，故本选项符合题意； 故选：． 3．（22-23七年级下·湖南衡阳·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．不等式的解集是 B．是不等式的一个解 C．不等式的整数解有无数个 D．不等式的正整数解有4个 【答案】C 【知识点】不等式的解集 【分析】先求出不等式的解集，再依次判断解的情况． 【详解】解：A、该不等式的解集为，故错误，不符合题意； B、∵，故错误，不符合题意； C、正确，符合题意； D、因为该不等式的解集为，所以无正整数解，故错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了不等式的性质和不等式的解集的理解，解题关键是根据解集正确判断解的情况． 【考点题型四】一元一次不等式（组）的识别（） 例题：（23-24八年级下·河南郑州·期中）下列各式中，是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】本题考查了一元一次不等式，根据一元一次不等式的定义逐项判断即可求解，掌握一元一次不等式的定义是解题的关键． 【详解】解：、是一元一次不等式，该选项符合题意； 、不是一元一次不等式，该选项不符题意； 、不是一元一次不等式，该选项不符题意； 、不是一元一次不等式，该选项不符题意； 故选：． 【考点变式】 1．（23-24七年级下·河南新乡·期中）以下是一元一次不等式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】本题考查一元一次不等式的定义，一元一次不等式的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，左右两边都是整式的不等式，叫做一元一次不等式，据此判断即可． 【详解】解：A. ，有两个未知数，不符合题意； B. ，是一元一次不等式； C. ，未知数的次数为2次，不符合题意； D. ，没有未知数，不符合题意； 故选B． 2．（23-24七年级下·山西晋城·期中）下列不等式中，一元一次不等式有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】本题主要依据的知识是一元一次不等式的定义．熟记不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这是解题的关键． 根据一元一次不等式的定义“不等式的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1”，进行解答即可． 【详解】①不是一元一次不等式，因为最高次数是2； ②不是一元一次不等式，因为是分式； ③不是一元一次不等式，因为有两个未知数； ④是一元一次不等式； ⑤是一元一次不等式． 综上，只有2个是一元一次不等式． 故选B． 3．（23-24八年级下·河南郑州·期中）下列各项中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元一次不等式组的定义 【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义，根据一元一次不等式组的定义逐个判断即可．含有相同字母的几个不等式，如果每个不等式都是一次不等式，那么这几个不等式组合在一起，就叫一元一次不等式组． 【详解】解：A. 第二个不等式中有的式子不是整式，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；     B. 有两个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；     C. 最高二次，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；     D. 是一元一次不等式组，故本选项符合题意； 故选：D． 【考点题型五】解一元一次不等式（组）（） 例题：（23-24八年级下·江西吉安·期中）解不等式（组）： (1)； (2)，并把它的解集表示在数轴上． 【答案】(1) (2)，见解析 【知识点】求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查解一元一次不等式和解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解集是基础，熟知几个不等式的解集的公共部分的找法是解题关键． （1）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得解集； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出不等式组的解集即可． 【详解】（1）解：去括号，得， 移项得：， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）解不等式，得， 解不等式，得， 则不等式组的解集为． 将不等式组的解集表示在数轴上如下： 【考点变式】 1．（24-25八年级上·上海·期中）解下列不等式（组） (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】求一元一次不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组： （1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可； （2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可． 【详解】（1）解： 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为． 2．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）（1）解不等式； （2）解一元一次不等式组，并把不等式组的解在数轴上表示出来． 【答案】（1）（2），见解析 【知识点】求一元一次不等式的解集、求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】（1）根据解一元一次不等式的方法解答即可； （2）根据解一元一次不等式组的方法求得不等式组的解集，并在数轴上表示出来即可． 本题考查的是解一元一次不等式组，解一元一次不等式，在数轴上表示不等式组的解集，熟知以上知识是解题的关键． 【详解】（1）解： 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）解：∵ ∴解不等式①，得，解不等式②，得， ∴不等式组的解集为，数轴表示如下：    3．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）（1）解不等式：． （2）解不等式组：，并把解集表示在数轴上． 【答案】（1）； （2），数轴见解析． 【知识点】求一元一次不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】本题主要考查了一元一次不等式和一元一次不等式组的解法．解一元一次不等式的步骤有：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为；求一元一次不等式组的解集就是找不等式组中所有不等式解集的公共部分． 根据解一元一次不等式的步骤解不等式即可； 先分别求出不等式组中每一个不等式的解集，然后把它们的解集表示在数轴上，从数轴上找出解集的公共部分即可． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：； 解不等式组：， 解不等式得：， 解不等式得：， 表示在数轴上为： 不等式组解集为：． 【考点题型六】求一元一次不等式（组）的整数解（） 例题：（24-25八年级上·浙江杭州·期中）不等式的负整数解是 ． 【答案】， 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】此题考查了求一元一次不等式的负整数解，解题的关键是掌握解一元一次不等式的基本步骤． 首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的负整数即可． 【详解】解： 移项得， 系数化为1得， 故不等式的负整数解为，． 故答案为：，． 【考点变式】 1．（23-24七年级下·全国·期中）不等式的最大整数解是 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】本题考查解一元一次不等式，根据一元一次不等式的解法得到，进而按要求得到不等式的最大整数解，熟练掌握一元一次不等式的解法是解决问题的关键． 【详解】解：， ， 不等式的最大整数解是， 故答案为：． 2．（22-23八年级上·浙江丽水·期中）若不等式的最大整数解是方程的解，则a的值是 ． 【答案】1 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、求一元一次不等式的整数解 【分析】本题考查求一元一次不等式的整数解，解一元一次方程，先求出不等式的解集，再求出最大整数解，代入得到关于a的一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：解不等式，得， 不等式的最大整数解是1， 将代入，得， 解得， 故答案为：1． 3．（22-23八年级下·山东潍坊·期中）能使不等式成立的的最大整数值是 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】本题考查求一元一次不等式的整数解，先求出不等式的解集，进而求出的最大整数值即可． 【详解】解： 解得：， ∴使不等式成立的的最大整数值是； 故答案为：． 【考点题型七】一元一次不等式（组）求解中错解复原问题（） 例题：（23-24八年级下·山西运城·期中）小明解不等式的过程如下，请认真阅读并完成相应任务． 解：去分母，得，第一步 去括号，得，第二步 移项，得，第三步 合并同类项，得，第四步 系数化为1，得．第五步 (1)①以上求解过程中，去分母是依据______进行变形的．（从下面选项选一个） A．等式的基本性质    B．分式的基本性质    C．不等式的性质 ②第______步开始出现错误，错误的原因是______． (2)该不等式的正确解集是______． (3)请你根据平时的学习经验，就解不等式需要注意的事项给其他同学提两条建议． 【答案】(1)①C；②一；去分母时，1漏乘6 (2) (3)移项时注意变号；去分母时不要漏乘；系数化为1时注意不等号的方向等（答案不唯一）． 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式： （1）①观察解题过程可知，去分母是依据不等式的性质进行变形的；②观察求解过程可知，第一步开始出现错误，错误的原因是去分母时，1漏乘6； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式即可； （3）根据解不等式时的易错点写出建议即可． 【详解】（1）解：①以上求解过程中，去分母是依据不等式的性质进行变形的． 故答案为：C． ②观察求解过程可知，第一步开始出现错误，错误的原因是去分母时，1漏乘6． 故答案为：一；去分母时，1漏乘6； （2）解： 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 故答案为：， （3）解：在解不等式时，移项时注意变号；去分母时不要漏乘；系数化为1时注意不等号的方向等（答案不唯一）． 【考点变式】 1．（23-24八年级下·山西太原·期中）下面是小斌同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：去分母，得．第一步 去括号，得．第二步 移项，得．第三步 合并同类项，得．第四步 两边都除以，得．第五步 任务： (1)上述求解过程中，第一步变形的依据是______； (2)上述求解过程中的第______步发生错误，具体错误是______； (3)该不等式的解集应为______． 【答案】(1)不等式的基本性质 (2)第五步；两边都除以时，不等号方向没有改变 (3) 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式； （1）去分母的依据不等式两边同乘以或除以一个正数，不等号的方向不变，即可求解； （2）按解一元一次不等式的步骤的依据进行检查，即可求解； （3）由（2）即可求解； 理解了解一元一次不等式的步骤及依据是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得 依据：不等式两边同乘以或除以一个正数，不等号的方向不变； 故答案：不等式的基本性质； （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边都除以，得； 故答案：第五步；两边都除以时，不等号方向没有改变； （3）解：由（2）得 不等式的解集应为； 故答案：． 2．（23-24九年级下·宁夏吴忠·期中）解不等式组：． 下面是某同学的部分解答过程，请认真阅读并完成任务： 解：由①得：……第1步 ……第2步 ……第3步 ……第4步 任务一：该同学的解答过程第__________步出现了错误，错误的原因是__________；不等式①的正确解集是__________； 任务二：解不等式②，并写出该不等式组的解集． 【答案】任务一：4，不等式两边同除，不等号的方向没变，； 任务二： 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键． 任务一：根据不等式的解法逐步分析即可； 任务二：根据不等式的解法求出不等式②的解集，然后求出解集即可． 【详解】解：任务一：该同学的解答过程中第4步出现了错误，错误原因是不等式两边同除，不等号的方向没变，不等式①的正确解集是； 故答案为：4，不等式两边同除，不等号的方向没变，； 任务二：由②得： ， ， ， ， 不等式组的解集为：． 3．（23-24七年级下·河南南阳·期中）解不等式组 下面是某同学的部分解答过程，请认真阅读并完成任务： 解：由①得： 第1步 第2步 第3步 第4步 任务一：该同学的解答过程第_______步出现了错误，错误原因是_____________________，不等式①的正确解集是_______； 任务二：解不等式②；（要求过程完整） 任务三：请在数轴上表示不等式①②的解集，并写出该不等式组的解集． 【答案】任务一：4；不等式两边同除以负数时，不等号方向没有改变；；任务二：见解析；任务三：数轴见解析，该不等式组的解集是． 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】本题考查解一元一次不等式，求不等式组的解集．解题的关键是正确的求出每一个不等式的解集，注意系数化1时，系数是负数，不等号的方向要发生改变． 任务一：系数化1时，系数小于0，不等号的方向要发生改变，即可得出结论； 任务二：根据求不等式的步骤求解即可； 任务三：在数轴上表示不等式①②的解集，即可写出该不等式组的解集． 【详解】解：任务一：该同学的解答过程第4步出现了错误，错误原因是不等式两边同除以负数时，不等号方向没有改变，不等式①的正确解集是； 故答案为：4；不等式两边同除以负数时，不等号方向没有改变；； 任务二：移项，得， 合并同类项，得， 两边都除以，得； 任务三：把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： 所以，该不等式组的解集是． 【考点题型八】用一元一次不等式的解决实际问题（） 例题：（24-25八年级上·上海·期中）某校计划为教师购买甲、乙两种词典，已知购买1本甲种词典和2本乙种词典共需170元，购买2本甲种词典和3本乙种词典共需290元． (1)求每本甲种词典和每本乙种词典的价格分别为多少元． (2)学校计划购买甲种词典和乙种词典共30本，总费用不超过1700元，那么最多可购买甲种词典多少本？ 【答案】(1)每本甲种词典的价格为70元，每本乙种词典的价格为50元 (2)学校最多可购买甲种词典10本 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用： （1）设每本甲种词典的价格为x元，每本乙种词典的价格为y元，根据“购买1本甲种词典和2本乙种词典共需170元，购买2本甲种词典和3本乙种词典共需290元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设学校购买甲种词典m本，则购买乙种词典本，根据总价单价数量结合总费用不超过1700元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论． 【详解】（1）解：设每本甲种词典的价格为x元，每本乙种词典的价格为y元， 由题意得， 解得， 答：每本甲种词典的价格为70元，每本乙种词典的价格为50元； （2）解：设学校计划购买甲种词典m本，则购买乙种词典本， 根据题意，得， 解得， 答：学校最多可购买甲种词典10本． 【考点变式】 1．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）随着哈尔滨市全力打造旅游城市政策的实施，哈尔滨这座历史悠久的北方名城，吸引了国内外多方友人奔赴而来，极大促进了哈市经济的发展，中央大街某商家抓住了这一商机，该商家决定购进甲､乙两种纪念品进行销售，若购进甲种纪念品1件和乙种纪念品2件共需要元；若购进甲种纪念品2件和乙种纪念品3件共需要元． (1)求购进甲､乙两种纪念品每件各需要多少元？ (2)该商场决定购进甲､乙两种纪念品共件，若每件甲种纪念品的售价为元，每件乙种纪念品的售价为元，销售完这件纪念品所获得的利润不低于元，则该商场最少购进甲种纪念品多少件？ 【答案】(1)购进甲种纪念品每件需要元，乙种纪念品每件需要元 (2)该商场最少购进甲种纪念品件 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用．找准等量关系，正确列出二元一次方程组与根据各数量关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． （1）设购进甲种纪念品每件需要元，乙种纪念品每件需要元，根据“购进甲种纪念品1件和乙种纪念品2件共需要元，购进甲种纪念品2件和乙种纪念品3件共需要元”，可列出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设该商场购进件甲种纪念品，则购进件乙种纪念品，利用总利润每件的销售利润销售数量，结合利润不低于元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中最小值即可得出结论． 【详解】（1）解：设购进甲种纪念品每件需要元，乙种纪念品每件需要元， 根据题意得：， 解得：． 答：购进甲种纪念品每件需要元，乙种纪念品每件需要元． （2）设该商场购进件甲种纪念品，则购进件乙种纪念品， 根据题意得：， 解得：， 的最小值为． 答：该商场最少购进甲种纪念品件． 2．（24-25八年级上·浙江·期中）为奖励运动会表现突出的同学，王老师准备购买笔记本和水笔作为奖品．已知购买5本笔记本和4支水笔共需37元，3本笔记本比2支水笔的费用多9元． (1)求每本笔记本和每支水笔的价格． (2)现在王老师准备用100元钱去购买笔记本和水笔共30件．求王老师最多买几本笔记本？ (3)王老师还是用100元钱去购买笔记本和水笔．要求购买的笔记本比水笔多，并且奖品的件数尽可能多．王老师需要购买多少本笔记本和多少支水笔？ 【答案】(1)每本笔记本为5元，每支水笔为3元 (2)王老师最多买5本笔记本 (3)需要13本笔记本和11支水笔或14本笔记本和10支水笔． 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、不等式组的方案选择问题、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用． （1）设每本笔记本为元，每支水笔为元，根据“购买5本笔记本和4支水笔共需37元，3本笔记本比2支水笔的费用多9元”列二元一次方程组，求解即可； （2）设王老师买本笔记本，根据题意列不等式，求解即可； （3）设王老师购买了本笔记本，支水笔，根据题意，得不等式组，结合是正整数，且钱需尽量用完，据此即可求解． 【详解】（1）解：设每本笔记本为元，每支水笔为元， 根据题意，得， 解得， 答：每本笔记本为5元，每支水笔为3元； （2）解：设王老师买本笔记本， 根据题意，得， 解得． 答：王老师最多买5本笔记本； （3）解：设王老师购买了本笔记本，支水笔， 根据题意，得， 是正整数，且钱需尽量用完， 符合条件的的值可以有或或或或或或， 奖品的件数尽可能多， 或， 答：需要13本笔记本和11支水笔或14本笔记本和10支水笔． 3．（23-24七年级下·广西梧州·期中）某中学为了给同学们提供更好的学习环境，计划购买一批桂花树和香樟树来绿化校园，经市场调查发现购买2棵桂花树和3棵香樟树共需460元，购买3棵桂花树和2棵香樟树共需440元． (1)求桂花树和香樟树的单价各是多少元？ (2)根据学校实际情况，需购买两种树苗共130棵，总费用不超过12000元，且购买香樟树的棵树不少于桂花树的1.5倍，请你算算，该校本次购买桂花树和香樟树共有哪几种方案． 【答案】(1)桂花树每棵80元，香樟树每棵100元 (2)有三种购买方案：①购买桂花树50棵，香樟树80棵；②购买桂花树51棵，香樟树79棵；③购买桂花树52棵，香樟树78棵 【知识点】一元一次不等式组的其他应用、和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系． （1）设桂花树的单价为x元/棵，香樟树的单价是y元/棵，然后根据购买2棵桂花树和3棵香樟树共需460元，购买3棵桂花树和2棵香樟树共需440元，列出二元一次方程组，求解即可； （2）设购买桂花树a棵，表示出香樟树为棵，然后根据总费用和两种树的棵数关系列出不等式组，求出a的取值范围，在根据a是正整数确定出购买方案． 【详解】（1）解：设桂花树每棵x元，香樟树每棵y元． 根据题意得： 解得 答：桂花树每棵80元，香樟树每棵100元． （2）解：设桂花树a棵，则香樟树棵． 根据题意得：， 解得： ∵a取整数， ∴ 所以有三种购买方案： ①购买桂花树50棵，香樟树80棵， ②购买桂花树51棵，香樟树79棵， ③购买桂花树52棵，香樟树78棵． 4．（23-24七年级下·甘肃天水·期中）“全民阅读”深入人心，读书好，好读书，读好书，让人终身受益．为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购文学名著和动漫书两类图书，经了解，30本文学名著和60本动漫书共需3000元，15本文学名著与20本动漫书的费用一样（注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的动漫书价格都一样）． (1)求每本文学名著和动漫书各多少元？ (2)若学校要求购买文学名著比动漫书多50本，动漫书和文学名著总数不低于90本，总费用不超过3610元，请问有几种购书方案？ 【答案】(1)每本文学名著40元，每本动漫书为30元 (2)有四种方案 【知识点】和差倍分问题(二元一次方程组的应用)、一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的实际应用，找准等量关系，是解题的关键： （1）设每本文学名著和动漫书分别为，元，根据30本文学名著和60本动漫书共需3000元，15本文学名著与20本动漫书的费用一样，列出方程组进行求解即可； （2）设购买文学名著本，则动漫书本，根据动漫书和文学名著总数不低于90本，总费用不超过3610元，列出不等式组，求出整数解，即可． 【详解】（1）解：设每本文学名著和动漫书分别为，元， 根据题意，得：， 解得：，     答：每本文学名著40元，每本动漫书为30元； （2）设购买文学名著本，则动漫书本， 由题意得，解得：， ∵为正整数， ∴有四种方案： ①文学名著70本，则动漫书20本， ②文学名著71本，则动漫书21本， ③文学名著72本，则动漫书22本， ④文学名著73本，则动漫书23本． 5．（23-24七年级下·江苏南通·期中）【综合与实践】根据以下信息，探索完成设计购买方案的任务． 信息1：某校初一举办了科技比赛，学校为获奖的40名同学每人购买一份奖品，奖品分为，，三类． 信息2：若购买2份A奖品和3份B奖品共需220元；购买3份A奖品和2份B奖品共需230元．单独购买一份C奖品需要15元． 信息3：计划获A奖品的人数要少于获B奖品的人数．购买时有优惠活动：每购买1份A奖品就赠送一份C奖品． 任务1：求A奖品和B奖品的单价； 任务2：若获A奖品的人数等于获C奖品的人数，且获得A奖品的人数超过10人，求此次购买A奖品有几种方案； 任务3：若购买奖品的总预算不超过1150元，要让获A奖品的人数尽量多，请你直接写出符合条件的购买方案． 【答案】任务1：A奖品单价50元，B奖品单价为40元； 任务2：此次购买A奖品共有3种购买方案； 任务3：购买11份A奖品，12份B奖品，6份C奖品． 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组、一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查了二元一次方程组和不等式的实际应用，解答本题的关键是读懂题意，列出方程组或不等式． 任务1：设A奖品单价x元，B奖品单价y元．根据题意列方程组解答即可； 任务2：设获A奖品的人数为a人，则获B奖品的人数为人，根据题意列不等式组解答即可； 任务2：设购买A奖品m份，C奖品n份，则B奖品份，根据题意列出不等式组，解得关于m、n的不等式，由m、n都是正整数，即可得到答案． 【详解】任务1：设A奖品单价为x元，B奖品单价为y元，得： 解得： 答：A奖品单价为50元，B奖品单价为40元． 任务2：设购买A奖品a份，则购买B奖品份，得 解得：， a为正整数， a可取的值有11，12，13． 答：此次购买A奖品共有3种购买方案． 任务3： 设购买A奖品m份，C奖品n份， 则B奖品份数为：，依题意得： ， 解得：，即， m、n均为正整数， 可以取的值有：，，，，，，，，，，， 当时，，即，无解 当时，，即，所以 ，，此时奖品人数最多 方案为：购买A奖品11份，C奖品6份，B奖品12份，此时预算为（元），符合题意． 故答案为：购买11份A奖品，12份B奖品，6份C奖品． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$