易错05 二次函数（六大易错分析+举一反三+易错题通关）-备战2025年中考数学考试易错题（浙江专用）

易错05 二次函数 易错陷阱一：二次函数的图象与性质理解错误 1. 对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象： 形状：抛物线； 对称轴：直线；顶点坐标：； 2、抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说y随x的增大而增大（或减小）是不对的，必须在确定a的正负后，附加一定的自变量x取值范围； 3、当a＞0，抛物线开口向上，函数有最小值；当a＜0，抛物线开口向下，函数有最大值；而函数的最值都是定点坐标的纵坐标。 例1.（2024·浙江宁波·二模）已知抛物线，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．与 轴的交点 C．顶点坐标为 D．当 时，随的增大而增大 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数的图象和性质．由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴及顶点坐标、增减性，进而求解． 【详解】A．  二次项系数为负数， 因此抛物线开口向下，不符题意； B． 与 轴的交点为 ，不符题意； C ． 顶点坐标为 ，不符题意． D． 在 左边，又因为开口向下，所以 时，随的增大而增大，符合题意． 故选 D 【变式1-1】（2024·浙江宁波·模拟预测）已知二次函数，下列结论正确的是（    ） A．当时，函数图象的顶点坐标为 B．当时，的值随的增大而增大 C．当，时，的取值范围是 D．当时，的最大值为8，则或 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．根据条件和二次函数的性质，逐项分析判断原说法的正误即可． 【详解】解：A、当时，，顶点坐标是，故原说法错误，不符合题意； B、当时，，当时，的值随的增大而增大，但前提条件没有说，故原说法错误，不符合题意； C、当时，，当时，，解得，故原说法错误，不符合题意； D、抛物线对称轴是直线． 若，则时，的最大值为8， ∴， ∴； 若，则时，的最大值为8， ∴， ∴． ∴当时，的最大值为8，则或，正确，符合题意； 故选：D． 【变式1-2】（2023·浙江杭州·二模）已知抛物线交轴于点和，下列四个命题： ①； ②对于抛物线上的一点，当时，； ③若，则； ④抛物线上有两点，和，，若，且，则；其中真命题的序号是（   ） A．①② B．①③④ C．③④ D．②③④ 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、求抛物线与x轴的交点坐标、判断命题真假 【分析】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握二次函数的性质及二次函数与一元二次方程的关系． 由抛物线与轴有两个交点可得，解得范围可判断①是假命题；由二次函数性质可知时，随的增大而减小，而时，故当时，，可判断②是假命题；由抛物线的对称轴为直线知，可判断③是真命题；由，且，，可得，即可判断④是真命题． 【详解】解：抛物线与轴有两个交点，则判别式， ， 解得，故①是假命题； 抛物线， 抛物线对称轴为直线， 抛物线开口向下， 时，随的增大而减小， 时， 当时，，故②是假命题； 若，则， 由抛物线的对称轴为直线知， ，故③是真命题； ， ，， ，， ，即，故④是真命题； 真命题有③④， 故选：． 【变式1-3】（2024·浙江·模拟预测）已知y关于x的二次函数，下列结论中正确的序号是（    ） ①当时，函数图象的顶点坐标为； ②当时，函数图象总过定点； ③当时，函数图象在x 轴上截得的线段的长度大于； ④当时，函数在时，y随x的增大而减小． A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 【答案】A 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】①把代入，再化为顶点式即可；②求得与轴的交点，进而求得的值，即可判断；③由，可知当时，的值与无关，然后求出，的对应值即可；依据题意，由抛物线与轴交点为，，结合对称轴是直线，又，故，抛物线开口向下，进而可得当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，从而可以判断④．本题考查的是抛物线与轴的交点，主要考查二次函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． 【详解】解：①当时，， 顶点坐标为， 故①正确； ②当时，， 当时，的值与无关， 此时，， 当，；当时，， 函数图象总经过两个定点，， 故②正确； ③当时，由得： ， ， ，， ， 函数图象截轴所得的线段长度大于， 故③正确； 由题意，抛物线与轴交点为，， 对称轴是直线． ， ，抛物线开口向下． 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小． 当，时，随的增大而减小，这个说法不正确，故④错误． 故选：A 易错陷阱二、二次函数图象与系数的关系理解错误 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0） ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小． 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小． ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异） ③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）． ④抛物线与x轴交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 例2.（24-25九年级上·湖北十堰·期末）抛物线 的顶点为，抛物线与y轴的交点位于x轴上方． 以下结论：①；  ②； ③；  ④ ；⑤； ⑥，其中正确的个数是 （    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号 【分析】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图像与系数的关系．根据二次函数的解析式结合二次函数的性质，逐一分析判断，即可解题． 【详解】解：抛物线 的顶点为， 抛物线对称轴为直线， ，异号， 不能确定， 故①错误； 抛物线与y轴的交点位于x轴上方． ， 故②错误； 抛物线 的顶点为， ， 故③正确； 抛物线 的顶点为，抛物线的开口方向不确定， 的取值不确定； 故④错误； 抛物线对称轴为直线， ， ， ； 故⑤正确； 抛物线 的顶点为， ， ， 整理得， 故⑥正确． 综上所述，正确的有③⑤⑥共3个； 故选：B． 【变式2-1】（2023·山东泰安·二模）如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标，与轴的交点在，之间（包含端点），则下列结论：①；②；③对于任意实数，总成立；④关于的方程有两个不相等的实数根．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本次主要考查了二次函数图像与性质，准确的找出隐含的等量关系和利用数形结合的思想是解题关键．根据抛物线图像的性质得到的范围，根据对称轴和轴上的点可得到两个等量关系，变形替换从而可以判断①②，根据顶点最高可得到③符合题意，由数形结合可得到④不符合题意． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， ∵抛物线顶点坐标为， ∴抛物线对称轴为直线， ∴， ∴，故①符合题意； ∵在抛物线上， ∴， ∴， ∴， ∵与轴的交点在，，之间包含端点， ∴， ∴， ∴，故②符合题意； ∵顶点坐标 ，抛物线开口向下， ∴当时，y有最大值，最大值为， ∴对于任意实数，， ∴， ∴，故③符合题意； ∵顶点坐标，且开口向下， ∴直线与抛物线没有交点， ∴关于的方程没有实数根，故④不符合题意． 故选：C． 【变式2-2】（2024·浙江宁波·一模）二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③；④若图象上有两点，且，则．其中正确结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质．依据题意，由抛物线开口向下，从而，又抛物线为，故，再结合抛物线与轴交于负半轴，可得，进而可以判断①；又，从而可以判断②；又当时，，又，故，进而可以判断③；由抛物线的对称轴是直线，从而当时与当时函数值相等，进而可得当，则，故可以判断④． 【详解】解：由题意，抛物线开口向下， ． 又抛物线为． ． 抛物线与轴交于负半轴， ． ，故①正确． 又， ，故②正确． 由题意，当时，． 又， ，故③正确． 抛物线的对称轴是直线， 当时与当时函数值相等． 当，则，故④错误． 综上，正确的有：①②③． 故选：C． 【变式2-3】（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，二次函数的图象过点．下列结论中一定正确的有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】二次函数图象与各项系数符号 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，会利用对称轴的范围求与的关系．由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①图象开口向下， ， 当时，，由图象可知交轴正半轴一点， ， 对称轴在轴右侧， ， ， ， ， 即，，， ①正确； ②图象过点， 将代入中有， 时，， ， ， ， ， ②正确； ③对称轴为直线， ， ， ， ③错误； ④，， ，即， ， 时，， ， ，， ， ， ， ④正确； 即①②④正确，共个． 故选：C． 易错陷阱三、二次函数图象共存问题理解错误 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0） ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小． 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小． ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异） ③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）． ④抛物线与x轴交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 例3.（2023·广东东莞·二模）当时，与的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题考查二次函数与一次函数的图象的性质，要求学生理解系数与图象的关系．根据题意，，即a、b同号，分与两种情况讨论，分析选项可得答案． 【详解】解：根据题意，、则a、b同号， 当时，则，抛物线开口向上，过原点、一次函数过一、二、三象限； 此时，没有选项符合， 当时，则，抛物线开口向下，过原点、一次函数过二、三、四象限； 此时，D选项符合， 故选：D． 【变式3-1】（2024·广东东莞·一模）已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致为（　　） A．B．C．D． 【答案】C 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题考查了一次函数与二次函数综合判断．先根据二次函数图象求出，，再根据一次函数图象与其系数的关系判断出一次函数经过的象限即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限， 故选：C． 【变式3-2】（2024·广东珠海·三模）已知二次函数的图象如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象大致是（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断、一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】本题考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，根据二次函数图象开口方向与对称轴判断出的正负情况，再根据二次函数图象与轴的交点判断出的正负情况，然后根据一次函数图象与系数的关系，反比例函数图象与系数的关系判断出两图象的大致情况即可得解． 【详解】解：二次函数图象开口向下， ， 对称轴， ， 二次函数图象与轴交于正半轴， ， 一次函数过第一、三、四象限，反比例函数位于第一、三、象限， 纵观各选项，只有B选项符合． 故选：B． 【变式3-3】（2024·广东广州·一模）已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象和反比例函数的图象在同一坐标系中大致为（    ） A．B． C． D． 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、反比例函数、二次函数图象综合判断 【分析】先根据二次函数的图象开口向上和对称轴可知，由抛物线交的正半轴，可知，然后利用排除法即可得出正确答案．本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，反比例函数及一次函数的性质，熟知以上知识是解答此题的关键． 【详解】解：二次函数的图象开口向上， ， ， ， ， 的图象必在二，四象限， 抛物线与轴相交于正半轴， ， ， 的图象经过一，二，四象限， 故A、B、C错误，D正确； 故选：D． 易错陷阱四、二次函数与x轴交点问题理解错误 1、求抛物线与x轴的交点，就是让抛物线解析式的y=0，就得到了一元二次方程，而①一元二次方程的解法、②根的判别式、③根与系数的关系等性质也就分别对应①抛物线与x轴交点横坐标、②交点个数、③交点横坐标与其对称轴的关系的考点； 2、求抛物线与直线的交点时，联立抛物线与直线的解析式，得新的一元二次方程时，上述结论与用法大多依然适用，使用时注意联想和甄别。 例4.（2024·浙江宁波·二模）二次函数 与坐标轴的交点个数为 个． 【答案】1 【知识点】求抛物线与y轴的交点坐标、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查的是抛物线和坐标轴的交点，分与轴和轴有无交点讨论求解即可． 【详解】解：函数与轴交点： 令，则，故与轴交于一个点； 与轴交点：令，则，此时，方程无解，故与 轴无交点， 综上，二次函数与坐标轴只有一个交点． 故答案为：1． 【变式4-1】（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）若函数的图象与轴有交点，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，一次函数图象与坐标轴的交点问题．分别求出，两种情况下，函数与轴有交点时的取值范围，即可求解． 【详解】解：当时，函数是二次函数，令，即， 当时，二次函数的图象与轴有交点， 解得：， 当时，函数是一次函数，其解析式为， 直线与轴有交点， 故的取值范围是． 故答案为：． 【变式4-2】（2024·浙江·一模）若在二次函数中，函数值y与自变量x的部分对应值如表： x …… 0 1 3 …… y …… 2 7 …… 则方程的解是 ． 【答案】 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、已知二次函数的函数值求自变量的值 【分析】本题考查了求抛物线解析式，一元二次方程的解，抛物线解析式为，将代入求出，然后代入方程即可求解． 【详解】解：由表格可知抛物线经过， 抛物线解析式为：， 将代入可得： ， 解得：， ∴该抛物线的解析式为， ∵， ∴，整理得： 因式分解可得： 解得：． 故答案为∶ ． 【变式4-3】（2024·浙江·一模）已知抛物线与直线的交点横坐标分别为1，4，则抛物线的对称轴为直线 ． 【答案】 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数的图象与x轴的交点问题，二次函数的图象上的点的特征等知识，解题的关键是掌握二次函数的性质．根据抛物线与直线的交点横坐标分别为1，4，可得抛物线与x轴的交点，据此求解即可． 【详解】抛物线与直线的交点横坐标分别为1，4， 抛物线必过两点， 抛物线的对称轴为直线， 故答案为： 易错陷阱五、二次函数与几何图形综合问题理解错误 1.二次函数性质的综合应用 （1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项． （2）二次函数与方程、几何知识的综合应用 将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题 例5.（2024·浙江湖州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为4，顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，抛物线 经过B，C两点，点D为抛物线的顶点，连结，，． (1)求此抛物线的表达式； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)； (2)12． 【知识点】面积问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的顶点式解析式、三角形面积等知识，掌握相关知识是解题关键． （1）由正方形性质，得到，，将其代入，利用待定系数法解题； （2）利用配方法，将解析式化为顶点式，即可得到顶点坐标，最后根据结合三角形面积公式解题． 【详解】（1）由已知得：，， 把B与C坐标代入得 ， 解得：， 则解析式为； （2）∵， ∴抛物线顶点D坐标为， 则． 【变式5-1】（2025·浙江宁波·一模）已知二次函数． (1)当函数图象过点时： ①求二次函数的表达式． ②若和都是二次函数图象上的点，且，求的最小值． (2)当时，二次函数有最小值，请直接写出实数k的值为 ． 【答案】(1)①；② (2)或． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、把y=ax²+bx+c化成顶点式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】此题考查了待定系数法求出二次函数解析式，二次函数的性质，解题的关键是掌握以上知识点． （1）①利用待定系数法求解即可； ②首先表示出，，然后表示出，然后利用二次函数的性质求解即可； （2）首先将二次函数配方成，得到对称轴为直线，判断出抛物线开口向上，然后分3种情况讨论：①当时，②当时，③当时，分别根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）①解：∵二次函的图象过点， ∴，   ∴， ∴二次函数的表达式为； ②解：∵和都是二次函数图象上的点， ，， ， ∵， ∴， ， ∵， ∴的最小值是； （2）∵ ∴对称轴为直线 ∵二次项系数为 ∴抛物线开口向上 ∵当时，二次函数有最小值， ①当时， ∴当时，二次函数有最小值， ∴ 解得，不符合题意，舍去； ②当时， ∴当时，二次函数有最小值， ∴ 解得或（不符合题意，舍去）； ③当时， ∴当时，二次函数有最小值， ∴ 解得； 综上所述，实数k的值为或． 【变式5-2】（2025·浙江杭州·一模）已知二次函数（为常数）， (1)当二次函数的图象经过点时，求二次函数的表达式； (2)当时，的最小值为1，求的值； (3)当时，把抛物线向下平移个单位长度得到新抛物线过点，且，请求出的取值范围． 【答案】(1) (2)或． (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查的是求解二次函数的解析式，二次函数的性质； （1）由二次函数的图象经过点，再建立方程求解即可； （2）分两种情况讨论：如图，当时，此时当时，时，取得最小值，而的最小值为1，当时，如图，当时，此时，函数取得最小值，再建立方程求解即可； （3）先求解平移后的函数解析式为，把代入可得：，可得，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得：； ∴二次函数为； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 如图，当时，此时当时，时，取得最小值，而的最小值为1， ∴， 解得：， 当时，如图，当时， 此时，函数取得最小值， ∴， 解得：或（舍去） 综上：或． （3）解：当时，抛物线为 把向下平移个单位长度得到新抛物线为， 把代入可得： ， ∴， 当时，的最小值为， ∵， ∴当时，， 当时，， ∵， ∴． 【变式5-3】（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，抛物线 交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，直线的解析式为 ． (1)求、的值； (2)点在第一象限的抛物线上，过点分别作轴、轴的平行线，交直线于点、，设点的横坐标为，线段的长为，求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)在（2）的条件下，点为抛物线的顶点，连接、、，交轴于点，连接，若 ，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、相似三角形的判定与性质综合、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）在中，令，即可求得的纵坐标，然后根据是等腰直角三角形求得的坐标，利用待定系数法求得和的值； （2）首先求得直线的解析式，则可求得和的纵坐标，则的长即可求得，然后根据是等腰直角三角形即可表示出的长； （3）延长交轴于点，延长交轴于点，过作轴于点，连接，在直角和直角中，利用三角函数即可列方程求得的值，再根据求解． 【详解】（1）解：在中，令，则，即的坐标是， 直角中，， ，即的坐标是． 根据题意得：， 解得：， ； （2）二次函数的解析式是， 设的解析式是， 则， 解得， 则直线的解析式是，是等腰直角三角形． 把代入，得，即的纵坐标是， 把代入，得，即的纵坐标是． 把代入，得，即的横坐标是． ，， 轴，轴， ，即是直角三角形， ， 是等腰直角三角形， ， 即； （3）延长交轴于点，延长交轴于点． 的坐标是，的坐标是， 在直角中，， 在直角中，， ， ， ． 是等腰直角三角形， ． ， ． 或0（舍去）． ， ，，． 二次函数的解析式是的顶点的坐标是． 点到的距离是， 过作轴于点，连接． ， 和都是等腰直角三角形， ，， ． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式以及图形的面积的计算，在（3）中正确求得的值是解题的关键． 易错陷阱六、利用二次函数解决实际问题理解错误 二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义． （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 例6.（2025·浙江宁波·模拟预测）某茶叶经销商以每千克30元的价格购进一批宁波白茶鲜茶叶加工后出售，该商户对该茶叶试销期间，销售单价不低于成本单价，且每千克获利不得高于成本单价的，经试销发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）符合一次函数关系，且时，时，．求： (1)y与x之间的表达式； (2)若该商户每天获得利润（不计加工费用）为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价每千克定为多少元时，商户每天可获得最大利润，最大利润是多少元？ (3)若该商户每天获得利润不低于225元，试确定销售单价x的范围． 【答案】(1) (2)当时，最大利润为元 (3) 【知识点】求一次函数解析式、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查待定系数法求函数解析式及二次函数的应用，理解题意找到题目蕴含的相等关系是解题的关键． （1）待定系数法求解可得； （2）根据“总利润每千克的利润销售量”列出函数解析式，由“销售单价不低于成本单价，且每千克获利不得高于成本单价的”得出的范围，结合二次函数与的性质即可得函数的最值； （3）根据“每天获得利润不低于元”列出不等式，解不等式后结合可得答案． 【详解】（1）解：设表达式为，将 和 代入 得： ，解得， ； （2）解：∵这批白茶每千克获利不得高于元， 根据题意得： ， 解得， 在对称轴左侧，随的增大而增大， ∴当时，最大利润为元； （3）解：当时，， 解得或， 由得， ∴销售单价的范围为． 【变式6-1】（2024·浙江嘉兴·一模）某电脑商城准备购进两种型号的电脑，已知每台电脑的进价型比型多元，用万元购进型电脑和用万购进型电脑的数量相同． (1)两种型号电脑每台进价各是多少？ (2)随着技术的更新，型号电脑升级为型号，该商城计划一次性购进两种型号电脑共台，型号电脑的每台售价元．经市场调研发现，销售型号电脑所获利润(万元)与销售量台()，如图所示，为线段，为抛物线一部分()．若这两种电脑全部售出，则该商城如何进货利润最大？(利润销售总价总进价) 【答案】(1)型电脑每台进价元，型电脑每台进价元 (2)型电脑总共购进台，型电脑总共购进台 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、销售问题(实际问题与二次函数)、分式方程的经济问题 【分析】（）设型电脑每台进价元，则型电脑每台进价元，根据题意列出方程即可求解； （）由题意可得型电脑购进台 ，型电脑购进台，即得型电脑的利润为万元， 再根据函数图象可得，设总利润为万 元，可分别求出时，时，进而即可求解； 本题考查了分式方程的应用，一次函数和二次函数的应用，根据题意正确列出分式方程和函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：设型电脑每台进价元，则型电脑每台进价元， 根据题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，符合题意， ∴， 答：型电脑每台进价元，型电脑每台进价元； （2）解：∵销售量台， ∴型电脑购进台 ， ∴型电脑购进台， ∴型电脑的利润为万元， 由图象可知，当时，与的函数解析式为， 把代入得，， ∴， ∴， 把代入得，， 解得， ∴， ∴， 设总利润为万 元， 当时，总利润， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，有最大值，(万元)； 当时，总利润， ∵，对称轴为直线， ∴当时，有最大值，(万元)； ∵， ∴型电脑总共购进台，型电脑总共购进台时，利润最大． 【变式6-2】（2024·浙江宁波·二模）蛟蛟水果店现出售一批高级水果，以每千克元的价格购入，再以每千克元的价格出售， 统计发现月份的销售量为千克． (1)由于水果畅销，预计月份的销售量将达到千克．求月份到月份的销售量月平均增长率； (2)经过市场调研发现，以月份为标准，保持进价不变的基础之上，若每千克售价上涨元，月销量将减少千克， 同时运输的消耗每月按照销售量每千克支出元． 设上涨元（为正整数），当月总利润为，试求与之间的函数关系式． 现要保证每月的总利润达到元，同时又要尽可能的给予顾客优惠， 则每千克应涨价多少元． 【答案】(1)月份到月份的销售量月平均增长率为； (2)；每千克应涨价元． 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、营销问题(一元二次方程的应用)、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】（）设月份到月份的销售量月平均增长率，根据题意列出方程，解方程并检验即可； （）由题意销售量：千克，售价：元，运输的消耗：元，据此列出函数关系式即可； 当时，得，解方程并检验即可； 本题考查了一元二次方程的应用，求二次函数解析式，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：设月份到月份的销售量月平均增长率， 由题意得：， 解得：，（舍去）； 答：月份到月份的销售量月平均增长率为； （2）解：由题意销售量：千克，售价：元，运输的消耗：元， ； 由题意得：， 解得 或， 由于要尽可能的给予顾客优惠， 答：每千克应涨价元． 【变式6-3】（2025·浙江·模拟预测）某九年一贯制学校由于学生较多，学校食堂采取错时用餐，初中部每个同学必须在30分钟用好午餐．为了给食堂管理提出合理的建议，小明同学调查了某日11:30下课后15分钟内进入食堂累计人数（人）与经过的时间分钟（为自然数）之间的变化情况，部分数据如下： 经过的时间 /分钟 0 1 2 3 4 5 … 10 累计人数 （人） 0 95 180 255 320 375 … 500 当时与之间的函数关系式，（） 已知每位同学需排队取餐，食堂开放5个窗口，每个窗口每分钟4个同学取好餐． (1)根据上述数据，请利用已学知识，求出当时，与之间的函数关系式． (2)排队人数最多时有多少人？ (3)若开始取餐分钟后增设个窗口（受场地限制，窗口总数不能超过10个），以便在11点40分时（第10分钟）正好完成前300位同学的取餐，求，的值． 【答案】(1) (2)排队人数最多时有320人 (3)， 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、待定系数法求二次函数解析式、其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查二次函数，一次函数的运用，理解数量关系，掌握待定系数法求解析式，二次函数，一次函数求最值的方法是解题的关键． （1）运用待定系数法即可求解； （2）设排队人数为，则当时，，则当时，有最大值320（人）；当时，，则当时，有最大值300（人）；由此即可求解； （3）若开始取餐分钟后增设个窗口，在11点40分时正好完成前300位同学的取餐， 则：，由，都是自然数，得到，，由此即可求解． 【详解】（1）解：当时，随着时间的变化，人数的增加较多， ∴设与之间的函数关系式为， 当时，，当时，，当时，， ∴， 解得，， ∴当时，与之间的函数关系式为； （2）解：①设排队人数为，则： 当时，， ， 当时，有最大值320（人）； 当时，， 当时，有最大值300（人）； ， 排队人数最多时有320人． （3）解：若开始取餐分钟后增设个窗口，在11点40分时正好完成前300位同学的取餐， 则：， ∴， ，都是自然数， ，． 一、单选题 1．（2025·浙江宁波·模拟预测）点在二次函数（m为常数）的图象上，．当时，二次函数的最大值与最小值的差为（   ） A． B． C．12 D． 【答案】D 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键．把点代入求出t的值，即可得到，然后根据m的取值范围得到最值求差解题即可． 【详解】解：， ， 解得：或 (舍去)， ， ， ∴抛物线的对称轴为直线：， ， ， 当时，有最大值，， 当时，有最小值， ， ∴函数的最大值与最小值的差为， 故选：D． 2．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）已知关于x的二次函数（m，n为常数），则下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴在y轴的左侧 C．若，该函数图象与x轴没有交点 D．当时，该函数的最大值与最小值的差为4 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值、抛物线与x轴的交点问题 【分析】此题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象与x轴交点问题，二次函数的最值问题，正确掌握二次函数的知识是解题的关键． 【详解】解：由，所以开口向下，故A选项错误； 抛物线对称轴为，不能确定对称轴的位置，故B选项错误； 若，即，所以，该函数图象与x轴有两个交点，故C选项错误； 当时，有最小值为，当时，有最大值为，所以最大值与最小值的差为4，故D选项正确； 故选：D． 3．（2024·浙江杭州·一模）二次函数（a，b，c为常数，且）中的x与y的部分对应值如表： x 0 1 3 y 3 5 3 下列结论：①该函数图象的开口向下； ②该函数图象的顶点坐标为； ③当时，y随x的增大而减少； ④是方程的一个根． 正确的是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据题意可得抛物线的对称轴是直线，再根据抛物线的性质可得时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，继而得，可判断①②③，时，，可得，即可判断④． 【详解】根据表格数据可得，抛物线的对称轴是直线， ∴二次函数图象在时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，③错误； ∴，即抛物线开口向下，①正确； ∵抛物线的对称轴是直线， ∴该函数图象的顶点坐标不为，②错误； ∵时，， ∴， ∴是方程的一个根，④正确； 综上，①④正确， 故选：D． 4．（2024·浙江温州·二模）已知直线与抛物线交于A，B两点，则抛物线的图象可能是（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．先根据开口方向、对称轴、与坐标轴的交点、抛物线与直线的交点位置判定系数的符合及，再利用字母的正负判定抛物线的图象． 【详解】∵抛物线开口向上，∴， ∵对称轴在轴的左侧，∴， ∵抛物线与轴交于正半轴，∴， 联立，得， 解得：，， ∴A点的横坐标为：， ∵A点在第三象限， ∴， 对于抛物线，∵，∴该抛物线的开口向下，选项A和B不符合题意； ∵对称轴为：，∴抛物线的对称轴在轴的左边，选项D不符合题意； 故选： C． 5．（2023·浙江·模拟预测）如图，二次函数图象的对称轴为直线，且经过点，则下列说法①；②；③若是抛物线上的两点，则；④正确的是（    ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【知识点】二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】根据抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，，再由对称轴为直线得到，即可判断①；根据当时，，即可判断②；根据抛物线开口向下，离对称轴越远函数值越小，即可判断③；根据二次函数的性质可知当时，函数有最大值，即可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①正确； 由函数图象可知，当时，， ∴，故②正确； ∵抛物线开口向下， ∴离对称轴越远函数值越小， ∵， ∴，故③错误； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，函数有最大值， ∴， ∴，故④正确； 故选C． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，根据二次函数图象判断式子符号等等，解题的关键是灵活应用图中信息解决问题，属于中考常考题型． 二、填空题 6．（2024·浙江·一模）已知点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是 ．（用“＞”连接） 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的增减性，掌握二次函数的增减性、对称性是解题的关键．根据二次函数的对称性和二次函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：∵二次函数解析式为， 抛物线开口向上，对称轴是直线，在对称轴右侧y随x的增大而增大， ∴时取得最小值， ∵点关于直线的对称点为 ， ． 故答案为：． 7．（2024·浙江温州·二模）已知，，当时，则S的最大值为 ． 【答案】10 【知识点】y=ax²+bx+c的最值 【分析】此题考查二次函数的最值．首先求出的函数解析式，然后由进一步得出的取值范围即可． 【详解】解：， ， ， 当时，函数有最小值，等于， 当时，最大值为； 故答案为：10． 8．（23-24九年级上·重庆铜梁·阶段练习）如图，抛物线交轴于点，对称轴为直线，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据交点确定不等式的解集 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，先根据抛物线的对称轴可得抛物线过，再结合图象可得答案． 【详解】解：∵抛物线交y轴于点，对称轴为直线， ∴图象过点， ∵图象开口向下， ∴当时，x的取值范围是． 故答案为：． 9．（2024·浙江宁波·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与 轴交于 ， ，且经过点 ， 为直线 上方抛物线上的一点， 当  时，点 的横坐标为 ． 【答案】/ 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、解直角三角形的相关计算、求一次函数解析式 【分析】本题考查二次函数，一次函数，锐角三角形的知识，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，过点作轴交轴于点，根据题意，利用待定系数法求出二次函数的解析式，根据，则，根据，求出，可得，将直线向下平移，使得点与点重合，可得直线的解析式为：，得到直线的解析式，联立抛物线和直线的解析式，即可． 【详解】解：过点作轴交轴于点， ∵抛物线与 轴交于 ， ，且经过点 ， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为：， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 将直线向下平移，使得点与点重合， ∴， ∴直线的解析式为：， ∵， ∴直线的解析式， ∴联立和， ∴， 解得：（舍去）或， ∴点 的横坐标为， 故答案为：． 10．（2023·浙江杭州·二模）对于二次函数．有下列说法： ①若，则当时，y随x的增大而增大． ②无论k为何值，该函数图象与x轴必有两个交点． ③无论k为何值，该函数图象一定经过点和两点． ④若k为整数，且该二次函数的图象与x轴的两个交点都为整数点，则． 其中正确的是 ．（只需填写序号） 【答案】①③④ 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题 【分析】根据二次函数的图象与性质逐个判断即可． 【详解】解：①∵二次函数的对称轴为直线， ∴若，则，该函数图象开口向上， ∴当时，y随x的增大而增大．故①正确； ②∵ ， 当时，，该函数图象与x轴有一个交点， 当时，，该函数图象与x轴有两个交点， 故②错误； ③∵ ， 当时，，当时，， ∴无论k为何值，该函数图象一定经过点和两点， 故③正确； ④∵ ， 当时，，， ∴若k为整数，且该二次函数的图象与x轴的两个交点都为整数点，则（-1不符合题意，舍去）， 故④正确。 综上，正确的是①③④， 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查二次函数图象与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 三、解答题 11．（2025·浙江宁波·一模） 已知点在二次函数  的图象上， 且满足． (1)如图，若二次函数的图象经过点，若，此时二次函数图象的顶点为点P，求； (2)当时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异侧，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据二次函数的对称性求函数值、面积问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题主要考查了待定系数法求解析式、二次函数的对称性、二次函数的性质、面积问题等知识点，熟练掌握二次函数的性质和最值是解题的关键． （1）把点代入解析式中求得a的值，得到抛物线线解析式可确定顶点坐标P，由得到点是对称点得到，结合，确定点，进而求得、、，再根据三角形的面积公式求解即可； （2）根据二次函数得到顶点，可判定函数最大值为2，结合最大值与最小值的差为1，确定函数的最小值为1，根据函数的性质分类计算即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴， ． ∴二次函数的表达式为：． ∴该抛物线的顶点坐标为． ∵， ∴M、N关于抛物线的对称轴对称， ∵对称轴是直线，顶点为且， ∴，即， ∴，解得， ，， ∴，，， ． （2）∵二次函数，顶点为， ∴函数的最大值为2， ①当时，如图， ∵最大值与最小值的差为1， ， 设，的对称点为， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ， ∴， 根据题意得，解得：， ， ∴， ， ∴，解得， ∴，解得； ②当时，如图， ∵最大值与最小值的差为1， ， 设的对称点为， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ， ∴， 根据题意得，解得：， ， ∴， ， ∴，解得， ∴，解得； 综上，a的取值范围为． 12．（2025·浙江·一模）在平面直角坐标系中，设二次函数（是常数）． (1)若，当时，，求的函数表达式． (2)当时，判断函数与轴的交点个数，并说明理由． (3)当时，该函数图象顶点为，最大值与最小值差为5，求的值． 【答案】(1) (2)两个，理由见解析 (3) 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数的图象与性质： （1）用待定系数法求解即可； （2）求出根的判别式即可判断； （3）分3种情况求解：当时；当时；当时. 【详解】（1）解：把代入得，， 当时，， ， ， 二次函数的关系式为； （2）解：， ∴ 函数的图象与轴有两个交点； （3）解：的对称轴为直线：， 当时， 函数最大值为：， 函数最小值为， ，即， 解得：（舍去）， ； 当时， 函数最大值为：， 函数最小值为， ，不符合题意； 当时， 函数最大值为：， 函数最小值为， ，即， （两个都不符合题意，舍去）； 的值为. 13．（2024·浙江杭州·一模）在平面直角坐标系中，点和都在二次函数是常数）的图象上． (1)若，求该二次函数的表达式． (2)若，求b的取值范围． (3)已知点也都在该二次函数图象上，若且，试比较的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、其他问题(二次函数综合)、求不等式组的解集、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）当时，用待定系数法可得二次函数的表达式为； （2）当时，可得，又，故，得； （3）由，可得，又，即可知且；求出，用作差的方法可得到答案． 【详解】（1）解：当时，把和代入得： ， 解得， ∴二次函数的表达式为； （2）解：当时，， 把和代入得：， ， ， 解得， ∴的取值范围是； （3）解：把和代入得： ， ， ， 或， 由得， ， ∴无解， 即无解， 则 且， 把代入， 得：， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，二次函数图象上点坐标的特征，解不等式组，作差法比较大小等，解题的关键是掌握二次函数图象上点坐标的特征和不等式的基本性质． 14．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，已知抛物线 与x轴相交于A、B两点，若已知A点的坐标为． (1)求抛物线的解析式及它的对称轴方程； (2)连接，求线段所在直线的解析式，并直接写出当抛物线在直线下方时x的取值范围； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标，请说明理由． 【答案】(1)， (2)，或 (3)或或 【知识点】根据交点确定不等式的解集、特殊三角形问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式，对称轴公式求出对称轴即可； （2）先求出B、C的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式即可； （3）设，利用勾股定理得到，，，再根据等腰三角形的定义分三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：把代入抛物线解析式中得， 解得， ∴抛物线解析式为； ∴对称轴为直线； （2）解：在中，令，则， ∴点C的坐标为； 在中，令，则， 解得或， ∴点B的坐标为； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 由图象可知：或； （3）解：存在， 设， ∴，，， 当时，则，此时方程无解，不符合题意； 当时，则， 解得或， ∴点Q的坐标为或； 当时，则， 解得， ∴点Q的坐标为； 综上所述，点Q的坐标为或或． 15．（2024·浙江·模拟预测）某个农场有一个花卉大棚，是利用部分墙体建造的．其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体上，另一端固定在墙体上，其横截面有2根支架，相关数据如图1所示，其中支架，，这个大棚用了400根支架．    为增加棚内空间，农场决定将图1中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化，如图2所示，调整后C与E上升相同的高度，增加的支架单价为60元/米（接口忽略不计），需要增加的经费不超过32000元． (1)分别以和所在的直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系． ①求出改造前的函数解析式． ②当米，求的长度． (2)只考虑经费情况下，求出的最大值． 【答案】(1)①；②米 (2)1.6米 【知识点】其他问题(实际问题与二次函数)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）①设改造前的函数解析式为，根据所建立的平面直角坐标系得到，，，然后代入解析式得到关于a、b、c的方程组，求解即可； ②根据已知条件得到函数的解析式，再利用函数解析式得到、的坐标即可得到结论； （2）根据已知条件表示出、的坐标得到a的不等式，进而得到的最大值． 【详解】（1）解：①如图，以O为原点，分别以OB和OA所在的直线为x轴和y轴建立如图所示的平面直角坐标系， 由题意可知：，，， 设改造前的抛物线解析式为， ， 解得：， ∴改造前的抛物线的函数表达式为；    ②如图，建立与（1）相同的平面直角坐标系， 由①知改造前抛物线的解析式为， ∴对称轴为直线， 设改造后抛物线解析式为：， ∵调整后C与E上升相同的高度，且， ∴对称轴为直线，则有， 当时，， ， ，， 改造后抛物线解析式为：， 当时， 改造前：， 改造后：， 米， ∴的长度为米； （2）解：如图，设改造后抛物线解析式为，    ∵当时，， 当时，， ，， ， 由题意可列不等式：， 解得：， ， 要使最大，需a最小， ∴当时，的值最大，最大值为米． ( 19 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 易错05 二次函数 易错陷阱一：二次函数的图象与性质理解错误 1. 对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象： 形状：抛物线； 对称轴：直线；顶点坐标：； 2、抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说y随x的增大而增大（或减小）是不对的，必须在确定a的正负后，附加一定的自变量x取值范围； 3、当a＞0，抛物线开口向上，函数有最小值；当a＜0，抛物线开口向下，函数有最大值；而函数的最值都是定点坐标的纵坐标。 例1.（2024·浙江宁波·二模）已知抛物线，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．与 轴的交点 C．顶点坐标为 D．当 时，随的增大而增大 【变式1-1】（2024·浙江宁波·模拟预测）已知二次函数，下列结论正确的是（    ） A．当时，函数图象的顶点坐标为 B．当时，的值随的增大而增大 C．当，时，的取值范围是 D．当时，的最大值为8，则或 【变式1-2】（2023·浙江杭州·二模）已知抛物线交轴于点和，下列四个命题： ①； ②对于抛物线上的一点，当时，； ③若，则； ④抛物线上有两点，和，，若，且，则；其中真命题的序号是（   ） A．①② B．①③④ C．③④ D．②③④ 【变式1-3】（2024·浙江·模拟预测）已知y关于x的二次函数，下列结论中正确的序号是（    ） ①当时，函数图象的顶点坐标为； ②当时，函数图象总过定点； ③当时，函数图象在x 轴上截得的线段的长度大于； ④当时，函数在时，y随x的增大而减小． A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 易错陷阱二、二次函数图象与系数的关系理解错误 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0） ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小． 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小． ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异） ③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）． ④抛物线与x轴交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 例2.（24-25九年级上·湖北十堰·期末）抛物线 的顶点为，抛物线与y轴的交点位于x轴上方． 以下结论：①；  ②； ③；  ④ ；⑤； ⑥，其中正确的个数是 （    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2-1】（2023·山东泰安·二模）如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标，与轴的交点在，之间（包含端点），则下列结论：①；②；③对于任意实数，总成立；④关于的方程有两个不相等的实数根．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2-2】（2024·浙江宁波·一模）二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③；④若图象上有两点，且，则．其中正确结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2-3】（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，二次函数的图象过点．下列结论中一定正确的有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 易错陷阱三、二次函数图象共存问题理解错误 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0） ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小． 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小． ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异） ③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）． ④抛物线与x轴交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 例3.（2023·广东东莞·二模）当时，与的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】（2024·广东东莞·一模）已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致为（　　） A．B．C．D． 【变式3-2】（2024·广东珠海·三模）已知二次函数的图象如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象大致是（    ） A．B．C．D． 【变式3-3】（2024·广东广州·一模）已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象和反比例函数的图象在同一坐标系中大致为（    ） A．B． C． D． 易错陷阱四、二次函数与x轴交点问题理解错误 1、求抛物线与x轴的交点，就是让抛物线解析式的y=0，就得到了一元二次方程，而①一元二次方程的解法、②根的判别式、③根与系数的关系等性质也就分别对应①抛物线与x轴交点横坐标、②交点个数、③交点横坐标与其对称轴的关系的考点； 2、求抛物线与直线的交点时，联立抛物线与直线的解析式，得新的一元二次方程时，上述结论与用法大多依然适用，使用时注意联想和甄别。 例4.（2024·浙江宁波·二模）二次函数 与坐标轴的交点个数为 个． 【变式4-1】（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）若函数的图象与轴有交点，则的取值范围是 ． 【变式4-2】（2024·浙江·一模）若在二次函数中，函数值y与自变量x的部分对应值如表： x …… 0 1 3 …… y …… 2 7 …… 则方程的解是 ． 【变式4-3】（2024·浙江·一模）已知抛物线与直线的交点横坐标分别为1，4，则抛物线的对称轴为直线 ． 易错陷阱五、二次函数与几何图形综合问题理解错误 1.二次函数性质的综合应用 （1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项． （2）二次函数与方程、几何知识的综合应用 将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题 例5.（2024·浙江湖州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为4，顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，抛物线 经过B，C两点，点D为抛物线的顶点，连结，，． (1)求此抛物线的表达式； (2)求四边形的面积． 【变式5-1】（2025·浙江宁波·一模）已知二次函数． (1)当函数图象过点时： ①求二次函数的表达式． ②若和都是二次函数图象上的点，且，求的最小值． (2)当时，二次函数有最小值，请直接写出实数k的值为 ． 【变式5-2】（2025·浙江杭州·一模）已知二次函数（为常数）， (1)当二次函数的图象经过点时，求二次函数的表达式； (2)当时，的最小值为1，求的值； (3)当时，把抛物线向下平移个单位长度得到新抛物线过点，且，请求出的取值范围． 【变式5-3】（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，抛物线 交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，直线的解析式为 ． (1)求、的值； (2)点在第一象限的抛物线上，过点分别作轴、轴的平行线，交直线于点、，设点的横坐标为，线段的长为，求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)在（2）的条件下，点为抛物线的顶点，连接、、，交轴于点，连接，若 ，求四边形的面积． 易错陷阱六、利用二次函数解决实际问题理解错误 二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义． （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 例6.（2025·浙江宁波·模拟预测）某茶叶经销商以每千克30元的价格购进一批宁波白茶鲜茶叶加工后出售，该商户对该茶叶试销期间，销售单价不低于成本单价，且每千克获利不得高于成本单价的，经试销发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）符合一次函数关系，且时，时，．求： (1)y与x之间的表达式； (2)若该商户每天获得利润（不计加工费用）为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价每千克定为多少元时，商户每天可获得最大利润，最大利润是多少元？ (3)若该商户每天获得利润不低于225元，试确定销售单价x的范围． 【变式6-1】（2024·浙江嘉兴·一模）某电脑商城准备购进两种型号的电脑，已知每台电脑的进价型比型多元，用万元购进型电脑和用万购进型电脑的数量相同． (1)两种型号电脑每台进价各是多少？ (2)随着技术的更新，型号电脑升级为型号，该商城计划一次性购进两种型号电脑共台，型号电脑的每台售价元．经市场调研发现，销售型号电脑所获利润(万元)与销售量台()，如图所示，为线段，为抛物线一部分()．若这两种电脑全部售出，则该商城如何进货利润最大？(利润销售总价总进价) 【变式6-2】（2024·浙江宁波·二模）蛟蛟水果店现出售一批高级水果，以每千克元的价格购入，再以每千克元的价格出售， 统计发现月份的销售量为千克． (1)由于水果畅销，预计月份的销售量将达到千克．求月份到月份的销售量月平均增长率； (2)经过市场调研发现，以月份为标准，保持进价不变的基础之上，若每千克售价上涨元，月销量将减少千克， 同时运输的消耗每月按照销售量每千克支出元． 设上涨元（为正整数），当月总利润为，试求与之间的函数关系式． 现要保证每月的总利润达到元，同时又要尽可能的给予顾客优惠， 则每千克应涨价多少元． 【变式6-3】（2025·浙江·模拟预测）某九年一贯制学校由于学生较多，学校食堂采取错时用餐，初中部每个同学必须在30分钟用好午餐．为了给食堂管理提出合理的建议，小明同学调查了某日11:30下课后15分钟内进入食堂累计人数（人）与经过的时间分钟（为自然数）之间的变化情况，部分数据如下： 经过的时间 /分钟 0 1 2 3 4 5 … 10 累计人数 （人） 0 95 180 255 320 375 … 500 当时与之间的函数关系式，（） 已知每位同学需排队取餐，食堂开放5个窗口，每个窗口每分钟4个同学取好餐． (1)根据上述数据，请利用已学知识，求出当时，与之间的函数关系式． (2)排队人数最多时有多少人？ (3)若开始取餐分钟后增设个窗口（受场地限制，窗口总数不能超过10个），以便在11点40分时（第10分钟）正好完成前300位同学的取餐，求，的值． 一、单选题 1．（2025·浙江宁波·模拟预测）点在二次函数（m为常数）的图象上，．当时，二次函数的最大值与最小值的差为（   ） A． B． C．12 D． 2．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）已知关于x的二次函数（m，n为常数），则下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴在y轴的左侧 C．若，该函数图象与x轴没有交点 D．当时，该函数的最大值与最小值的差为4 3．（2024·浙江杭州·一模）二次函数（a，b，c为常数，且）中的x与y的部分对应值如表： x 0 1 3 y 3 5 3 下列结论：①该函数图象的开口向下； ②该函数图象的顶点坐标为； ③当时，y随x的增大而减少； ④是方程的一个根． 正确的是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 4．（2024·浙江温州·二模）已知直线与抛物线交于A，B两点，则抛物线的图象可能是（    ） A．B．C．D． 5．（2023·浙江·模拟预测）如图，二次函数图象的对称轴为直线，且经过点，则下列说法①；②；③若是抛物线上的两点，则；④正确的是（    ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 二、填空题 6．（2024·浙江·一模）已知点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是 ．（用“＞”连接） 7．（2024·浙江温州·二模）已知，，当时，则S的最大值为 ． 8．（23-24九年级上·重庆铜梁·阶段练习）如图，抛物线交轴于点，对称轴为直线，若，则的取值范围是 ． 9．（2024·浙江宁波·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与 轴交于 ， ，且经过点 ， 为直线 上方抛物线上的一点， 当  时，点 的横坐标为 ． 10．（2023·浙江杭州·二模）对于二次函数．有下列说法： ①若，则当时，y随x的增大而增大． ②无论k为何值，该函数图象与x轴必有两个交点． ③无论k为何值，该函数图象一定经过点和两点． ④若k为整数，且该二次函数的图象与x轴的两个交点都为整数点，则． 其中正确的是 ．（只需填写序号） 三、解答题 11．（2025·浙江宁波·一模） 已知点在二次函数  的图象上， 且满足． (1)如图，若二次函数的图象经过点，若，此时二次函数图象的顶点为点P，求； (2)当时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异侧，求a的取值范围． 12．（2025·浙江·一模）在平面直角坐标系中，设二次函数（是常数）． (1)若，当时，，求的函数表达式． (2)当时，判断函数与轴的交点个数，并说明理由． (3)当时，该函数图象顶点为，最大值与最小值差为5，求的值． 13．（2024·浙江杭州·一模）在平面直角坐标系中，点和都在二次函数是常数）的图象上． (1)若，求该二次函数的表达式． (2)若，求b的取值范围． (3)已知点也都在该二次函数图象上，若且，试比较的大小，并说明理由． 14．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，已知抛物线 与x轴相交于A、B两点，若已知A点的坐标为． (1)求抛物线的解析式及它的对称轴方程； (2)连接，求线段所在直线的解析式，并直接写出当抛物线在直线下方时x的取值范围； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标，请说明理由． 15．（2024·浙江·模拟预测）某个农场有一个花卉大棚，是利用部分墙体建造的．其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体上，另一端固定在墙体上，其横截面有2根支架，相关数据如图1所示，其中支架，，这个大棚用了400根支架．    为增加棚内空间，农场决定将图1中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化，如图2所示，调整后C与E上升相同的高度，增加的支架单价为60元/米（接口忽略不计），需要增加的经费不超过32000元． (1)分别以和所在的直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系． ①求出改造前的函数解析式． ②当米，求的长度． (2)只考虑经费情况下，求出的最大值． ( 19 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$