精品解析：广西南宁市第二十中学2024-2025学年高一下学期3月质量评估数学试题

南宁市第二十中学2025年春季学期3月高一数学质量评估 考试范围：6.1-7.2；考试时间：120分钟；命题人：黄东岳；审题人：梁继飞、梁晶晶、李琼、曾惠、丁春凤 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 设点O是正三角形ABC的中心，则向量，，是（ ） A. 相同的向量 B. 模相等的向量 C. 共线向量 D. 共起点的向量 3. 已知向量满足，且，则的值为（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 4. 在矩形中，为线段的中点，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知平面向量满足，且，则的夹角为（ ） A. B. C. D. 6. 平面内顺次连接所组成的图形是（ ） A. 平行四边形 B. 直角梯形 C. 等腰梯形 D. 以上都不对 7. 如图，某市人民广场正中央有一座铁塔，为了测量塔高，小胡同学先在塔的正西方点C处测得塔顶的仰角为，然后从点C处沿南偏东方向前进140米到达点D处，在D处测得塔顶的仰角为，则铁塔的高度是（ ） A. 70米 B. 80米 C. 90米 D. 100米 8. 已知复数z满足，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.（在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知为虚数单位，复数，则（ ） A. 与互为共轭复数 B. C. 为纯虚数 D. 10. 若，是平面内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是（ ） A. 可以表示平面内的所有向量 B. 对于平面中的任一向量，使的实数，有无数多对 C. ，，，均为实数，且向量与共线，则有且只有一个实数，使 D. 若存在实数，，使，则 11. 在中，，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的面积为2 C. 的外接圆直径是 D. 的内切圆半径是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数是纯虚数，其中为虚数单位，则实数的值为__________． 13. 已知向量，则与向量平行的单位向量为______（填入其中一个向量的坐标） 14. 已知中，角的对边分别为，且的面积为，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. （1）已知单位向量与的夹角为，且，求； （2）已知，求. 16. 已知向量，且. （1）求的值； （2）求向量与的夹角的余弦值. 17. 如图，在△ABC中，，，，，． （1）设，求x，y的值，并求； （2）求的值． 18. 在中，内角所对的边分别为，且． （1）求角的大小； （2）若的中线，求的最大值． 19. 在平面四边形中（在的两侧），. （1）若，求； （2）若，求四边形的面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南宁市第二十中学2025年春季学期3月高一数学质量评估 考试范围：6.1-7.2；考试时间：120分钟；命题人：黄东岳；审题人：梁继飞、梁晶晶、李琼、曾惠、丁春凤 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，进而求出. 【详解】因为，所以， 所以 故选：B 2. 设点O是正三角形ABC的中心，则向量，，是（ ） A. 相同的向量 B. 模相等的向量 C. 共线向量 D. 共起点的向量 【答案】B 【解析】 【分析】根据正三角形的中心到三个顶点的距离相等，得到这三个向量的模长相等，即可判断得解 【详解】是正的中心，向量分别是以三角形的中心和顶点为起点和终点的向量， 到三个顶点的距离相等，但向量，，不是相同向量，也不是共线向量，也不是起点相同的向量. 故选：B 3. 已知向量满足，且，则的值为（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件直接化简求解即可. 【详解】因为向量满足，且， 所以. 故选：C. 4. 在矩形中，为线段的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用向量线性运算的数乘和减法、加法法则即可得解. 【详解】在矩形中，为的中点， 故选：C． 5. 已知平面向量满足，且，则的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设夹角为，根据向量数量积的运算律即可求解． 【详解】因为，所以，即， 设夹角为，则，， 又因为，所以， 故选：D． 6. 平面内顺次连接所组成的图形是（ ） A. 平行四边形 B. 直角梯形 C. 等腰梯形 D. 以上都不对 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，然后通过判断它们间的关系进行判断即可. 【详解】因为， 所以，， 所以，，∥， 所以四边形为直角梯形. 故选：. 7. 如图，某市人民广场正中央有一座铁塔，为了测量塔高，小胡同学先在塔的正西方点C处测得塔顶的仰角为，然后从点C处沿南偏东方向前进140米到达点D处，在D处测得塔顶的仰角为，则铁塔的高度是（ ） A. 70米 B. 80米 C. 90米 D. 100米 【答案】A 【解析】 【分析】先由题意得出，，再在中，由余弦定理即可求解. 【详解】由题， 所以， 故在中，由余弦定理得， 所以即， （舍去）或，故铁塔的高度是70米. 故选：A. 8. 已知复数z满足，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设复数z在复平面内对应的点为Z，由复数的几何意义可知点的轨迹为轴，则问题转化为轴上的动点到定点距离的最小值，从而即可求解. 【详解】解：设复数z在复平面内对应的点为Z， 因为复数z满足，所以由复数的几何意义可知，点到点和的距离相等， 所以在复平面内点的轨迹为轴， 又表示点到点的距离， 所以问题转化为轴上的动点到定点距离的最小值， 所以的最小值为2， 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.（在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知为虚数单位，复数，则（ ） A. 与互为共轭复数 B. C. 为纯虚数 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，根据共轭复数的定义分析判断，对于B，分别求出两复数的模进行判断，对于C，直接计算进行判断，对于D，直接计算判断. 【详解】对于A，因为的共轭复数为，所以与不互为共轭复数，所以不正确； 对于B，因为，所以B正确； 对于C，因为，为实数，所以C不正确； 对于D，因为，所以，所以D正确. 故选：BD 10. 若，是平面内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是（ ） A. 可以表示平面内的所有向量 B. 对于平面中的任一向量，使的实数，有无数多对 C. ，，，均为实数，且向量与共线，则有且只有一个实数，使 D. 若存在实数，，使，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理结合线性运算分析判断. 【详解】由题意可知：，可以看成一组基底向量， 根据平面向量基本定理可知：A，D正确，B不正确； 对于C，当时，则， 此时任意实数均有，故C不正确； 故选：BC． 11. 在中，，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的面积为2 C. 的外接圆直径是 D. 的内切圆半径是 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用二倍角公式求出，根据同角三角函数的基本关系求出，再由余弦定理求出，由正弦定理求出外接圆的直径，利用面积公式及等面积法判断B、D； 【详解】解：因为，所以， 所以，，故A、B正确； 由余弦定理，即，所以， 所以外接圆的直径，故C错误； 设的内切圆半径为，则，即，所以，故D正确； 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数是纯虚数，其中为虚数单位，则实数的值为__________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据纯虚数的概念，列出关系式，求解即可得出答案. 【详解】由已知可得，，解得. 故答案为：1. 13. 已知向量，则与向量平行的单位向量为______（填入其中一个向量的坐标） 【答案】（或） 【解析】 【分析】根据平行向量和单位向量的定义求解即可. 【详解】因为，所以， 所以与向量平行的单位向量为 或. 故答案为：.（或） 14. 已知中，角的对边分别为，且的面积为，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】先利用三角形的面积列方程求出，再利用余弦定理求出，从而可求出的值. 【详解】，解得， ， . 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. （1）已知单位向量与的夹角为，且，求； （2）已知，求. 【答案】（1）；（2）2 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到，利用向量数量积的运算律展开，即可求解； （2）根据题意，对两边平方，并代入，即可求解. 【详解】（1）单位向量与的夹角为，则. . （2）由，即. 16. 已知向量，且. （1）求的值； （2）求向量与的夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用平面向量垂直的坐标公式计算即可. （2）运用平面向量夹角公式计算即可. 【小问1详解】 因为，， 所以，解得. 故的值为3. 【小问2详解】 由（1）知，， 所以， 所以， 所以. 故与的夹角的余弦值为. 17. 如图，在△ABC中，，，，，． （1）设，求x，y的值，并求； （2）求的值． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）以为基底，由向量的线性运算求出，再由向量数量积的运算性质求模即可； （2）根据向量的线性运算转化为基底表示，再由数量积的运算求解即可. 【小问1详解】 ，， ， ， . 【小问2详解】 . 18. 在中，内角所对的边分别为，且． （1）求角的大小； （2）若的中线，求的最大值． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】（1）. . （2）为中线结果. 【小问1详解】 由题可得，，结合正弦定理可得， 因为，所以，得， 因为，所以． 【小问2详解】 易知，（技巧：向量的平行四边形法则） 两边同时平方得，得． 法一：可化为， 因为，所以， 所以，得， 当且仅当时取等号．（点拨：运用基本不等式求最值时，注意等号是否可以取到） 所以的最大值是4． 法二：， 令 则， 所以， 当且仅当，即时等号成立．（点拨：三角函数的有界性） 所以的最大值为4． 19. 在平面四边形中（在的两侧），. （1）若，求； （2）若，求四边形的面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中用余弦定理求出，再由角度之间的关系，在中用正弦定理可求出； （2）将四边形，分成，，的面积为定值，的面积可用余弦定理与三角形面积公式求出最大值. 【小问1详解】 在中，由余弦定理得， 即. 因为，，所以， 又，所以. 在中，由正弦定理得， 所以， 又，所以，所以； 【小问2详解】 设，所以. 在中，由余弦定理得. 所以的面积 ， 所以，此时， 又的面积， 所以四边形的面积的最大值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $