4.4  反比例（2个知识点+5类热点题型精讲+习题巩固）同步分层作业-2024-2025学年数学六年级下册（北师大版）

4.4  反比例 学习重难点 学习目标 1、通过具体情境认识反比例的意义，并能正确判断成反比例的量。(重点) 2、能根据反比例的意义，判断两个相关联的量是不是成反比例。(难点) 1、经历探索具体实例的过程，认识反比例以及反比例表示的意义。 2、能根据反比例的意义判断两个相关联的量是否成反比例。 知识点一反比例的意义 1、反比例的意义。 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫作成反比例的量，它们的关系叫作反比例关系。如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的积(一定)，反比例关系可以表示为x·y=k(一定)。 知识点二判断两个量是否组成反比例 1、判断两个量是不是成反比例。 要先想这两个量是不是相关联的量;再运用数量关系式进行判断，看这两个量的积是否一定;最后作出结论。 题型一直接判断两个量能否组成反比例 1．下面各题中的两个量是否成比例？如果成比例，成什么比例？在括号里填一填。 （1）一个圆的周长与它的半径。（ ） （2）煤的总量一定，每天烧煤量和能烧的天数。（ ） 【答案】（1）正比例 （2）反比例 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【解答】（1）圆的周长＝π×半径×2； 圆的周长÷半径＝2π（一定），圆的周长与它的半径成正比例。 （2）每天烧煤量×能烧的天数＝煤的总吨数（一定），每天烧煤量和能烧的天数成反比例。 2．在括号里填上“成正比例”、“成反比例”或“不成比例”。 （1）收入一定，支出与结余（ ）。 （2）全班人数一定，出勤人数和出勤率（ ） （3）长方体的体积一定，底面积和高（ ）。 【答案】（1）不成比例 （2）成正比例 （3）成反比例 【分析】判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定；如果是比值（商）一定，这两种相关联的量成正比例；如果是乘积一定，这两种相关联的量成反比例。如果既不是比值一定，也不是乘积一定，则这两种相关联的量不成比例。 【解答】（1）支出＋结余＝收入（一定） 和一定，则支出与结余不成比例。 （2）出勤人数÷出勤率＝全班人数（一定） 商一定，则出勤人数和出勤率成正比例。 （3）底面积×高＝长方体的体积（一定） 乘积一定，则底面积和高成反比例。 3．把一块橡皮泥捏成圆柱形，它的底面积和高成（ ）比例；在同一幅地图上，图上距离和实际距离成（ ）比例。 【答案】反 正 【分析】判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定；如果是比值（商）一定，这两种相关联的量成正比例；如果是乘积一定，这两种相关联的量成反比例。 【解答】把一块橡皮泥捏成圆柱形，根据圆柱的底面积×高＝圆柱的体积（一定），乘积一定，那么它的底面积和高成反比例； 在同一幅地图上，根据图上距离∶实际距离＝比例尺（一定），比值一定，那么图上距离和实际距离成正比例。 题型二根据等式判断两个量能否组成反比例 4．一个数与它的倒数成（ ）比例；（x、y均不为0），x与y成（ ）比例。 【答案】反 正 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。 【解答】因为乘积是1的两个数互为倒数，所以一个数与它的倒数成反比例； ，则y∶x＝（一定），x与y成正比例。 5．如果＝3（、都不为0），则和成（ ）比例；如果＝3，则和成（ ）比例。 【答案】正 反 【分析】判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定；如果是比值（商）一定，这两种相关联的量成正比例；如果是乘积一定，这两种相关联的量成反比例。 【解答】如果＝3（、都不为0），则＝3，比值一定，则和成正比例； 如果＝3，积一定，则和成反比例。 6．如果，那么（ ）∶（ ），则x和y成（ ）比例。 【答案】1 12 正 【分析】比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。如果，则3x＝y，根据比例的基本性质可得：x∶y＝∶3，再根据比的基本性质化简比即可。 两种相关联的量，如果它们的比值或商一定，则这两种量成正比例关系；如果它们的乘积一定，则这两种量成反比例关系。据此解答。 【解答】，则3x＝y，那么x∶y＝∶3＝1∶12； x∶y＝1∶12＝，比值一定，则x和y成正比例。 题型三根据反比例填表 7．如表中，若A与B成正比例，则“☆”代表的数是（ ），若A与B成反比例，则“☆”代表的数是（ ）。 A 2 4 B 6 ☆ 【答案】12 3 【分析】根据题意，若A和B成正比例，则2∶6＝4∶☆，进而求出☆的值；若A和B成反比例，则2×6＝4×☆，进而求出☆的值。 【解答】若A和B成正比例， 则2∶6＝4∶☆ 2☆＝6×4 2☆＝24 2☆÷2＝24÷2 ☆＝12 若A和B成反比例， 则2×6＝4×☆ 12＝4☆ 4☆÷4＝12÷4 ☆＝3 所以若A与B成正比例，则“☆”代表的数是12，若A与B成反比例，则“☆”代表的数是3。 8．下表中，如果a和b成正比例，那么▲是（ ），如果a和b成反比例，那么▲是（ ）。 a 6 ▲ b 9 3 【答案】2 18 【分析】设▲为，如果a和b成正比例，则；如果a和b成反比例，则；求出的值即可。 【解答】解：设▲为，如果a和b成正比例，则 如果a和b成反比例，则 所以，如果a和b成正比例，那么▲是2，如果a和b成反比例，那么▲是18。 9．新修一条路，每天修的长度和所需的时间如下表。 每天修的长度/米 250 125 100 50 所需时间/天 2 4 5 10 （1）表中每天修的长度和所需时间是相关联的量，所需时间随着（ ）的变化而变化。 （2）表中这两种量相对应的两个数的积是500，这个积所表示的意义是（ ）。 （3）因为每天修的长度和所需时间的乘积是一定的，所以每天修的长度和所需要时间成（ ）比例。 【答案】（1）每天修的长度 （2）这条路的总长度 （3）反 【分析】（1）通过观察表中的数据可知：每天修的长度越短，所需时间就越长，即所需时间随着每天修的长度的变化而变化。 （2）根据每天修的米数×天数＝这条路的总米数，用250×2＝125×4＝100×5＝50×10＝500，也就是这条路长500米，即这个积表示这条路的总长度。 （3）判断两种量成正比例还是成反比例，关键看这两种相关联的量中相对应的两个数是比值一定还是乘积一定。如果比值一定，就成正比例；如果乘积一定，就成反比例；如果比值和乘积都不是定量，就不成比例。据此判断每天修的长度和所需要时间成什么比例。 【解答】（1）表中每天修的长度和所需时间是相关联的量，所需时间随着每天修的长度的变化而变化。 （2）表中这两种量相对应的两个数的积是500，这个积所表示的意义是这条路的总长度。 （3）根据反比例的意义可知：因为每天修的长度和所需时间的乘积是一定的，所以每天修的长度和所需要时间成反比例。 题型四反比例的简单应用 10．发电厂运来一批煤，计划每天烧6吨，可以烧54天。实际每天比计划节约10%，这批煤实际可以烧多少天？ 【答案】60天 【分析】已知计划每天烧6吨，实际每天比计划节约10%，把计划每天烧煤的吨数看作单位“1”，则实际每天烧煤的吨数是计划的（1－10%），单位“1”已知，则计划每天烧煤的吨数×（1－10%）＝实际每天烧煤的吨数； 根据题意可知，这批煤的总吨数不变；即每天烧煤的吨数×烧的天数＝煤的总吨数（一定），乘积一定，那么每天烧煤的吨数与烧的天数成反比例关系，据此列出反比例方程，并求解。 【解答】解：设这批煤实际可以烧天。 6×（1－10%）×＝6×54 6×0.9×＝324 5.4＝324 ＝324÷5.4 ＝60 答：这批煤实际可以烧60天。 11．如图是两个相互啮合的齿轮，它们在同一时间内转动时，大齿轮与小齿轮转过的总齿数是相同的。大齿轮有34个齿，小齿轮有24个齿。当大齿轮每分钟转60圈时，小齿轮每分钟转多少圈？ 【答案】85圈 【分析】根据“在同一时间内转动时，大齿轮与小齿轮转过的总齿数是相同的”，即齿数×齿轮转的圈数＝总齿数（一定），积一定，则齿数与齿轮转的圈数成反比例关系，据此列出反比例方程，并求解。 【解答】解：设小齿轮每分钟转圈。 24＝34×60 24＝2040 ＝2040÷24 ＝85 答：小齿轮每分钟转85圈。 12．爸爸买一堆同样的铁钉。先数100根称了称是50克，又称了全部的质量是600克，这堆铁钉有多少根？（用比例解） 【答案】1200根 【分析】根据题意可知，每一根铁钉子的质量是一定的，即的比值一定；铁钉的根据与质量成正比例；设这堆铁钉有x根，列方程：＝，解方程，即可解答。 【解答】解：设这堆铁钉有x根。 ＝ 50x＝100×600 50x＝60000 x＝60000÷50 x＝1200 答：这堆铁钉有1200根。 【点评】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，成正比例，如果乘积一定，则成反比例，据此判断出铁钉质量与根数成什么比例，列出相应的方程求解。 题型五运用反比例解决复杂问题 13．某运输公司为灾区抢运360吨救灾物资，如果要一次把所有救灾物资全部运出，车辆的载重量与所需车辆的数量如下表： 载重量/吨 4 6 9 12 车辆数/辆 90 60 （1）请把表格填写完整。 （2）车辆的载重量和所需车辆的数量成什么比例？为什么？ （3）如果用载重量为18吨的卡车来运，一共需要多少辆卡车？ 【答案】（1）40；30； （2）成反比例，原因见详解 （3）20辆 【分析】（1）一共有360吨救灾物资，根据数量关系：车辆的载重量×所需车辆的数量＝360，得出所需车辆的数量＝360÷车辆的载重量。 （2）从（1）中可知车辆的载重量×所需车辆的数量＝360（一定），乘积一定，车辆的载重量和所需车辆的数量成反比例。 （3）从（2）可知，车辆的载重量和所需车辆的数量成反比例。则需车辆的数量＝360÷车辆的载重量。 【解答】（1）360÷9＝40（吨） 360÷12＝30（吨） （2）因为所需车辆的数量是随着车辆的载重量的增加而减少的，车辆的载重量×所需车辆的数量＝360（一定），所以车辆的载重量和所需车辆的数量成反比例。 （3）360÷18＝20（辆） 答：一共需要20辆卡车。 14．打一篇稿子，每分打字个数与所需的时间如下表。 （1）每分打字个数和所需时间成什么比例关系？为什么？ 每分打字个数（个） 120 100 75 60 所需时间（分） 25 30 40 50 （2）如果每分打150个字，打完这篇稿子需要多少分？ 【答案】（1）反比例；原因见详解 （2）20分 【分析】（1）两种相关联的量，如果它们的比值或商一定，则这两种量成正比例关系；如果它们的乘积一定，则这两种量成反比例关系。据此解答。 （2）由（1）可知，每分打字个数和所需时间成反比例关系。设如果每分打150个字，打完这篇稿子需要x分，则150x＝60×50，解出方程即可。 【解答】（1）答：每分打字个数和所需时间成反比例关系。因为120×25＝100×30＝75×40＝60×50＝3000（一定），乘积一定，则每分打字个数和所需时间成反比例关系。 （2）解：设打完这篇稿子需要x分。 150x＝60×50 150x＝3000 x＝3000÷150 x＝20 答：打完这篇稿子需要20分。 15．某电视机制造厂装配车间装配一批电视机，每天装配的台数和需要的天数如下表。 每天装配的台数 60 45 30 15 10 … 所需要的天数 3 4 6 12 18 … （1）每天装配的台数和所需要的天数成反比例吗？说明理由。 （2）如果5天装配完这批电视机，平均每天要装配多少台？ 【答案】（1）每天装配的台数和所需要的天数成反比例，理由如下：因为60×3＝45×4＝…＝10×18＝180（定值），所以每天装配的台数和所需的天数成反比例。 （2）平均每天要装配36台。 【分析】（1）每天装配的台数x所需要的天数＝总台数，据此列式，看乘积是否一定即可解决问题。 （2）求平均每天要装配多少台，用总台数（60×3）除以时间5天即可。 【解答】（1）因为60×3＝45×4＝30×6＝15×12＝10×18＝180，乘积一定，所以每天装配的台数和所需要的天数成反比例。 （2）60×3÷5 ＝180÷5 ＝36（台） 答：如果5天装配完这批电视机，平均每天要装配36台。 【点评】此题属于辨识成正、反比例的量以及利用反比例的意义解决实际问题。 一、选择题 1．若，则x和y（    ）。 A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D．无法确定 2．下面各组中的两个量，成反比例关系的是（    ）。 A．一个圆的半径和它的面积 B．看一本书，每天看的页数和看完的天数 C．一个圆的周长和直径 D．买同一种苹果，买的数量与付的金额 3．某地发生水灾，需要为灾区抢运360吨救灾物资，如果要一次性把所有救灾物资全部运出，车辆的载重量与所需车辆的数量如下表。车辆的载重量和所需车辆的数量（    ）。 载重量/吨 4 6 9 12 车辆数/辆 90 60 40 30 A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D．无法判断 4．已知、是两个相关联的量，且都不为0，则下面式子中，、成反比例的是（    ）。 A． B． C． D． 5．如下表，已知a和b成反比例关系，则x表示的数是（    ）。 a 4 2 b 8 x A．16 B．10 C．8 D．4 二、填空题 6．在如下表中，当与成正比例时，“？”处应填（ ）；当与成反比例时，“？”处应填（ ）。 x 6 ？ y 9 12 7．如果，那么（ ）∶（ ），则x和y成（ ）比例。 8．一间正方形教室，用面积为0.64m2的方砖铺地，正好需要100块；如果改用面积为0.25m2的方砖铺地，需要（ ）块。 9．如表，若x与y成正比例，则a＝（ ）；若x与y成反比例，则b＝（ ）。 x 4 a 8 y 6 2 b 10．把一堆玉米平均装在袋子中，每袋装的质量与所需袋子的数量关系如下图。 （1）观察图象，可知每袋装的质量和所需袋子的数量的（ ）一定，这两个量成（ ）比例； （2）这堆玉米有（ ）kg。若每袋装20kg，则需要（ ）个袋子；若把这堆玉米装在15个袋子里，则袋子装（ ）kg。 三、解答题 11．青东小学一年级同学参加阳光体育大课间活动比赛，每行站20人，正好站18行，如果每行站24人，可以站多少行？（用比例知识解） 12． 平均每天看的页数 10 15 20 30 40 看完全书所需天数 12 （1）把上表补充完整。 （2）说一说看完全书所需天数与平均每天看的页数的变化关系。 （3）平均每天看的页数与看完全书所需天数是不是成反比例？说明理由。 13．某运输公司为灾区抢运360吨救灾物资，如果要一次把所有救灾物资全部运出，车辆的载重量与所需车辆的数量如下表： 载重量/吨 4 6 9 12 车辆数/辆 90 60 （1）请把表格填写完整。 （2）车辆的载重量和所需车辆的数量成什么比例？为什么？ （3）如果用载重量为18吨的卡车来运，一共需要多少辆卡车？ 14．王老师要从学校去县城开会，不同交通工具所需的时间如下表。 速度/千米 8 40 50 80 时间/时 10 （1）将上面的表格补充完整。 （2）不同交通工具的速度和所需的时间有什么关系？说明理由。 （3）从学校到县城有多远？ 参考答案 1．【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【解答】 2x×5＝3y 10x＝3y x∶y＝（一定） x和y的比值一定，所以x和y成正比例。 故答案为：A。 2．【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系； 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的积，反比例关系可以用xy＝k（一定）表示。据此逐项分析即可解答。 【解答】A．由圆的面积变形可得，即一个圆的半径的平方和它的面积成正比例关系，不符合题意； B．每天看的页数×看完的天数＝这本数的总页数（一定），故看一本书，每天看的页数和看完的天数成反比例关系，原说法正确； C．由圆的周长变形可得，即一个圆的周长和直径成正比例关系，不符合题意； D．付的金额÷买的数量＝苹果单价（一定），即买同一种苹果，买的数量与付的金额成正比例关系，不符合题意。 故答案为：B 3．【分析】两个相关联的量，乘积一定，两个量成反比例；比值一定，两个量成正比例，据此解答即可。 【解答】救灾物资总量＝每辆车的载重量×车辆的数量，救灾物资总量是360吨（一定），即乘积一定，所以车辆的载重量和所需车辆的数量成反比例关系。 故答案为：B 4．【分析】两种相关联的量，如果它们的比值或商一定，则这两种量成正比例关系；如果它们的乘积一定，则这两种量成反比例关系。据此解答。 【解答】A．，根据比例的基本性质可得：，比值一定，则m和n成正比例； B．，和一定，m和n不成比例； C．，根据等式的性质可得：，mn＝4，积一定，则m和n成反比例； D．，商一定，m和n成正比例。 故答案为：C 5．【分析】两种相关联的量，一种量变化另一种量随着变化，无论怎么变，如果两种量的乘积一定，这两种量就是成反比例的量，据此写出反比例算式，计算即可。 【解答】2x＝4×8 解：2x＝32 2x÷2＝32÷2 x＝16 已知a和b成反比例关系，则x表示的数是16。 故答案为：A 6．【分析】正比例关系可以用式子表示为：（一定），据此列关于的方程，，根据比例的内项之积等于外项之积，求出应表示的数；反比例关系可以用式子表示为：（一定），据此列关于的方程，，根据比例的内项之积等于外项之积，求出应表示的数，据此解答。 【解答】若与成正比例关系，则 若与成反比例关系，则 故当与成正比例时，“？”处应填8；当与成反比例时，“？”处应填4.5。 7．【分析】比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。如果，则3x＝y，根据比例的基本性质可得：x∶y＝∶3，再根据比的基本性质化简比即可。 两种相关联的量，如果它们的比值或商一定，则这两种量成正比例关系；如果它们的乘积一定，则这两种量成反比例关系。据此解答。 【解答】，则3x＝y，那么x∶y＝∶3＝1∶12； x∶y＝1∶12＝，比值一定，则x和y成正比例。 8．【分析】根据题意可知，每块方砖的面积×方砖的块数＝这间正方形教室的面积（一定），积一定，则每块方砖的面积和方砖的块数成反比例关系，据此列出反比例方程，并求解。 【解答】解：设如果改用面积为0.25m2的方砖铺地，需要块。 0.25＝0.64×100 0.25＝64 ＝64÷0.25 ＝256 如果改用面积为0.25m2的方砖铺地，需要256块。 9．【分析】若x与y成正比例，说明x和y的比值一定，可以写出比例a∶2＝4∶6，根据比例的基本性质，先写成6a＝2×4的形式，两边同时除以6即可； 若x与y成反比例，说明x和y的乘积一定，可以写出比8b＝4×6，根据等式的性质2，两边同时除以8即可。 【解答】a∶2＝4∶6 解：6a＝2×4 6a÷6＝8÷6 a＝ 8b＝4×6 解：8b＝24 8b÷8＝24÷8 b＝3 若x与y成正比例，则a＝；若x与y成反比例，则b＝3。 10．【分析】（1）每袋质量×所需袋子的数量＝总质量，根据x÷y＝k（一定），x和y成正比例关系，xy＝k（一定），x和y成反比例关系，进行分析； （2）根据第（1）小题求出的总质量，填上第一个空；总质量÷每袋装的质量＝需要的袋子数量，总质量÷袋子数量＝每袋装的质量，列式计算即可。 【解答】（1）60×2＝120（kg） 40×3＝120（kg） 20×6＝120（kg） 每袋装的质量和所需袋子的数量的积一定，这两个量成反比例。 （2）120÷20＝6（个） 120÷15＝8（kg） 这堆玉米有120kg。若每袋装20kg，则需要6个袋子；若把这堆玉米装在15个袋子里，则袋子装8kg。 11．【分析】总人数固定时，每行人数与行数成反比例。设每行站24人时可站行，根据反比例的定义可知等量关系式：每行24人×行数＝每行20人×18，据此列方程并求解。 【解答】解：设每行站24人时可站行。 答：可以站15行。 12．【分析】（1）已知每天看10页，12天可以看完，用每天看的页数乘看的天数，求出这本书的总页数；再用总页数除以平均每天看的页数，即可求出看完全书所需的天数，据此把表格补充完整。 （2）观察表格中的数据，得出完全书所需天数与平均每天看的页数的变化关系。 （3）反比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量成反比例关系。 【解答】（1）10×12＝120（页） 120÷15＝8（天） 120÷20＝6（天） 120÷30＝4（天） 120÷40＝3（天） 平均每天看的页数 10 15 20 30 40 看完全书所需天数 12 8 6 4 3 （2）看完全书所需天数随每天看的页数的变化而变化，平均每天看的页数增加，则需要的天数减少。 （3）10×12＝15×8＝20×6＝30×4＝40×3＝120（一定） 平均每天看的页数与看完全书所需天数成反比例。因为平均每天看的页数×看完全书所需天数＝总页数（一定），乘积一定，所以平均每天看的页数与看完全书所需天数成反比例。 13．【分析】（1）一共有360吨救灾物资，根据数量关系：车辆的载重量×所需车辆的数量＝360，得出所需车辆的数量＝360÷车辆的载重量。 （2）从（1）中可知车辆的载重量×所需车辆的数量＝360（一定），乘积一定，车辆的载重量和所需车辆的数量成反比例。 （3）从（2）可知，车辆的载重量和所需车辆的数量成反比例。则需车辆的数量＝360÷车辆的载重量。 【解答】（1）360÷9＝40（吨） 360÷12＝30（吨） （2）因为所需车辆的数量是随着车辆的载重量的增加而减少的，车辆的载重量×所需车辆的数量＝360（一定），所以车辆的载重量和所需车辆的数量成反比例。 （3）360÷18＝20（辆） 答：一共需要20辆卡车。 14．【分析】（1）根据骑自行车去开会的速度和所用时间，求出学校到县城的路程。根据所用时间＝路程÷速度，求出各种交通工具的速度，并补充完整表格； （2）不同交通工具的速度和所需的时间的乘积都表示两地的路程，且路程是一定的，据此判断不同交通工具的速度和所需的时间所成的比例； （3）根据骑自行车去开会的速度和所用时间，即可求出学校到县城的路程，据此解答。 【解答】（1）8×10＝80（千米） 公交车：80÷40＝2（小时） 摩托车：80÷50＝1.6（小时） 轿车：80÷80＝1（小时） 所以在表格的空格处依次填写2；1.6；1。 （2）因为“不同交通工具的速度×所需的时间＝路程（一定）”，所以不同交通工具的速度和所需的时间成反比例。 （3）8×10＝80（千米） 答：从学校到县城有80千米远。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$