5.5.2　第2课时　简单的三角恒等变换(二) 导学案-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第2课时　简单的三角恒等变换(二) 学案 学习目标 1.掌握辅助角公式并且能够利用三角恒等变换对三角函数进行化简、合并. 2.能够利用三角恒等变换解决几何中的问题以及生活中的实际问题. 　 情境导入 我们从开始学习两角差的余弦，就尝试对展开式进行合并，尤其是一些特殊的形式，比如sin x＋cos x等，其实从那个时候起，就开始有了辅助角公式的影子，大家知道吗？辅助角公式是由我国数学家李善兰先生提出的，辅助角公式的提出，对整个三角函数产生了巨大的影响. 新知探究 思维提升 知识点一　辅助角公式 问题引导 　1.利用和差角的正弦公式，如何化简三角函数式sin α＋cos α？ 提示：sin α＋cos α＝sin αcos＋cos αsin＝sin(α＋). 2.利用和差角的正弦公式，如何化简三角函数式sin α＋cos α？ 提示：sin α＋cos α＝2(sin α＋cos α)＝2sin(α＋) 知识点总结 辅助角公式 asin α＋bcos α＝·(sin α＋cos α)， 设cos φ＝，sin φ＝，即tan φ＝. 可得到asin α＋bcos α＝ sin(α＋φ). 其中φ为辅助角. 典例探究 例1已知函数f(x)＝sin(－x)sin x－cos2x. (1)求f(x)的最小正周期和最大值； (2)讨论f(x)在区间[，]上的单调性. 解：(1)f(x)＝sin(－x)sin x－cos2x ＝cos xsin x－(1＋cos 2x)＝sin 2x－cos 2x－＝sin(2x－)－， 因此f(x)的最小正周期为π，最大值为. (2)当x∈[，]时，0≤2x－≤π，从而当0≤2x－≤，即≤x≤时，f(x)单调递增；当＜2x－≤π，即＜x≤时，f(x)单调递减.综上可知，f(x)在区间[，]上单调递增；在区间(，]上单调递减. 1.为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提. 2.解此类题时要充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，为讨论函数性质提供保障. 变式训练 1.已知函数f(x)＝2asin ωxcos ωx＋2cos2ωx－(a＞0，ω＞0)的最大值为2，且最小正周期为π. (1)求函数f(x)的解析式及其对称轴方程； (2)若f(α)＝，求sin (4α＋)的值. 解：(1)f(x)＝asin 2ωx＋cos 2ωx ＝sin (2ωx＋φ)(其中，tan φ＝)， 由题意知f(x)的最小正周期为π， 由＝π，知ω＝1. 由f(x)的最大值为2，得 ＝2， 又a＞0，∴a＝1，tan φ＝，φ＝. ∴f(x)＝2sin (2x＋). 令2x＋＝＋kπ(k∈Z)， 解得f(x)的对称轴为x＝＋(k∈Z). (2)由f(α)＝，知2sin (2α＋)＝， 即sin (2α＋)＝， ∴sin (4α＋)＝sin [2(2α＋)－] ＝－cos [2(2α＋)] ＝－1＋2sin2(2α＋) ＝－1＋2×()2＝－. 知识点二　三角恒等变换在几何中的应用 典例探究 例2　(链接教材P227例10)某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 m，求割出的长方形桌面的最大面积(如图). 解：如图，连接OC，设∠COB＝θ，则0°＜θ＜45°，OC＝1. 因为AB＝OB－OA＝cos θ－AD＝cos θ－sin θ， 所以S矩形ABCD＝AB·BC＝(cos θ－sin θ)·sin θ＝－sin2θ＋sin θcos θ＝－(1－cos 2θ)＋sin 2θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)－ ＝cos (2θ－45°)－. 当2θ－45°＝0°，即θ＝22.5°时， S(矩形ABCD)max＝(m2)，所以割出的长方形桌面的最大面积为 m2. 三角函数与平面几何有着密切联系，几何中的角度、长度、面积等问题，常借助三角变换来解决，体现了数学中的化归思想. 变式训练 2.如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB的周长最长？ 解：设∠AOB＝α，△OAB的周长为l， 则AB＝Rsin α，OB＝Rcos α， 所以l＝OA＋AB＋OB＝R＋Rsin α＋Rcos α ＝R(sin α＋cos α)＋R ＝Rsin (α＋)＋R. 因为0＜α＜，所以＜α＋＜， 所以当α＋＝，即α＝时，l的最大值为R＋R＝(＋1)R，故当α＝时，△OAB的周长最长. 知识点三　三角恒等变换在实际问题中的应用 典例探究 例3　如图，某公司有一块边长为1百米的正方形空地ABCD，现要在正方形空地中规划一个三角形区域PAQ种植花草，其中P，Q分别为边BC，CD上的动点，∠PAQ＝，其他区域安装健身器材，设∠BAP为θ弧度. (1)求△PAQ面积S关于θ的函数解析式S(θ)； (2)求面积S的最小值. 解：(1)因为∠BAP＝θ，正方形边长为1百米，所以AP＝，AQ＝. 如图，过点P作AQ的垂线，垂足为E， 则PE＝AP＝·. 所以S(θ)＝·· ＝，其中θ∈[0，]. (2)因为S(θ)＝， 所以S(θ)＝， 因为0≤θ≤，所以≤2θ＋≤， 因此当2θ＋＝，即θ＝时，取得最小值为－1.故当θ＝时，面积S的最小值为－1. 实际问题的意义常反映在三角形的边、角关系上，故常用建立三角函数模型解决实际的优化问题. 变式训练 3.在北京召开的国际数学家大会的会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.弦图由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).如果正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，则cos 2θ＝　　　　. 解析：由题意得5cos θ－5sin θ＝1，θ∈(0，)，所以cos θ－sin θ＝， 又(cos θ＋sin θ)2＋(cos θ－sin θ)2＝2， 所以cos θ＋sin θ＝，所以cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝(cos θ＋sin θ)(cos θ－sin θ)＝. 答案： 课堂小结 1.主要问题 (1)辅助角公式.其实质为和、差角正弦、余弦公式的逆用. (2)三角恒等变换的综合问题. (3)三角函数在实际问题中的应用. 2.方法归纳：转化与化归. 3.常见误区：易忽视实际问题中的定义域. 课堂练习 1.已知sin x＋cos x＝，则cos(x－)等于(　　) A. B. C. D. 解析：B　∵sin x＋cos x＝2sin(x＋)＝， ∴sin(x＋)＝， 则cos(x－)＝sin(x＋)＝. 2.若函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x，则(　　) A.函数f(x)的最小正周期为2π B.函数f(x)的最大值为2 C.函数f(x)的一个对称中心为(，0) D.函数f(x)在(π，)上单调递增 解析：D　f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝sin(2x＋)， ∴函数f(x)的最小正周期为π，函数f(x)的最大值为，故A，B错误；由f()＝sin(2×＋)＝≠0，故C错误；由π＜x＜，得＜2x＋＜，可知函数f(x)在(π，)上单调递增，故D正确. 3.若3sin x－cos x＝2sin(x＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝　　　　. 解析：3sin x－cos x＝2sin(x－)＝2sin(x＋φ)，因为φ∈(－π，π)，所以φ＝－. 答案：－ 4.函数y＝sin 2x＋cos2x的最小正周期为　　　　. 解析：y＝sin 2x＋cos2x ＝sin 2x＋ ＝sin (2x＋)＋， ∴T＝π. 答案：π 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2课时　简单的三角恒等变换(二) 学案 学习目标 1.掌握辅助角公式并且能够利用三角恒等变换对三角函数进行化简、合并. 2.能够利用三角恒等变换解决几何中的问题以及生活中的实际问题. 　 情境导入 我们从开始学习两角差的余弦，就尝试对展开式进行合并，尤其是一些特殊的形式，比如sin x＋cos x等，其实从那个时候起，就开始有了辅助角公式的影子，大家知道吗？辅助角公式是由我国数学家李善兰先生提出的，辅助角公式的提出，对整个三角函数产生了巨大的影响. 新知探究 思维提升 知识点一　辅助角公式 问题引导 　1.利用和差角的正弦公式，如何化简三角函数式sin α＋cos α？ 2.利用和差角的正弦公式，如何化简三角函数式sin α＋cos α？ 知识点总结 辅助角公式 asin α＋bcos α＝·(sin α＋cos α)， 设cos φ＝，sin φ＝，即tan φ＝. 可得到asin α＋bcos α＝ sin(α＋φ). 其中φ为辅助角. 典例探究 例1已知函数f(x)＝sin(－x)sin x－cos2x. (1)求f(x)的最小正周期和最大值； (2)讨论f(x)在区间[，]上的单调性. 1.为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提. 2.解此类题时要充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，为讨论函数性质提供保障. 变式训练 1.已知函数f(x)＝2asin ωxcos ωx＋2cos2ωx－(a＞0，ω＞0)的最大值为2，且最小正周期为π. (1)求函数f(x)的解析式及其对称轴方程； (2)若f(α)＝，求sin (4α＋)的值. 知识点二　三角恒等变换在几何中的应用 典例探究 例2　(链接教材P227例10)某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 m，求割出的长方形桌面的最大面积(如图). 变式训练 2.如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB的周长最长？ 知识点三　三角恒等变换在实际问题中的应用 典例探究 例3　如图，某公司有一块边长为1百米的正方形空地ABCD，现要在正方形空地中规划一个三角形区域PAQ种植花草，其中P，Q分别为边BC，CD上的动点，∠PAQ＝，其他区域安装健身器材，设∠BAP为θ弧度. (1)求△PAQ面积S关于θ的函数解析式S(θ)； (2)求面积S的最小值. 变式训练 3.在北京召开的国际数学家大会的会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.弦图由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).如果正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，则cos 2θ＝　　　　. 课堂小结 1.主要问题 (1)辅助角公式.其实质为和、差角正弦、余弦公式的逆用. (2)三角恒等变换的综合问题. (3)三角函数在实际问题中的应用. 2.方法归纳：转化与化归. 3.常见误区：易忽视实际问题中的定义域. 课堂练习 1.已知sin x＋cos x＝，则cos(x－)等于(　　) A. B. C. D. 2.若函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x，则(　　) A.函数f(x)的最小正周期为2π B.函数f(x)的最大值为2 C.函数f(x)的一个对称中心为(，0) D.函数f(x)在(π，)上单调递增 3.若3sin x－cos x＝2sin(x＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝　　　　. 4.函数y＝sin 2x＋cos2x的最小正周期为　　　　. 学科网（北京）股份有限公司 $$