精品解析：安徽省阜南实验中学（阜南县教师进修学校）2024-2025学年高二下学期第一次质量检测（3月）数学试题

阜南实验中学2024-2025学年高二下学期第一次质量检测 数学试卷 （时间：120分钟，满分：150分） 一、单选题（共40分） 1. 已知等差数列的首项，，则公差等于（ ） A. 5 B. 3 C. 2 D. 1 2. 数列，，，，的一个通项公式为（ ） A. B. C. D. 3. 已知等比数列中，，公比，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 函数从1到4的平均变化率为（ ） A. B. C. 1 D. 3 5. 已知数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列中，，，则的前12项和为（ ） A. 12 B. 15 C. 18 D. 20 7. 设等差数列的前项和为，且，则取最小值时，的值为（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 15或16 8. 等差数列的前项和分别为，且，则（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 二、多选题（共18分） 9. 若为等差数列，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是数列中的项 C. 数列单调递减 D. 数列前7项和最大 10. 等比数列的前项和为，且满足，则（ ） A. 数列的公比为8 B. 数列的公比为2 C. D. 11. 已知为等差数列的公差，为数列的前项和.若为递减数列，则下列结论正确的为（ ） A. 数列为递减数列 B. 数列是等差数列 C. 若前10项中，偶数项的和与奇数项的和之比为，且，则公差为 D. 若，则 三、填空题（共15分） 12. 在数列中，，，则等于______. 13. 已知数列为等比数列，若，则公比的值为______. 14. 已知数列中，，且满足，则______. 四、解答题（共77分） 15. 数列的通项公式是. （1）这个数列的第4项是多少？ （2）150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ 16. 已知函数 （1）用导数的定义求函数的导数； （2）求出，的值 17. 设是等差数列，若，. （1）求的通项公式； （2）若，求的前项和 18. 已知等比数列的公比，且，的等差中项为10，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 19. 已知数列的前项和为，满足． （1）求证：数列是等比数列； （2）求数列的通项公式； （3）若不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 阜南实验中学2024-2025学年高二下学期第一次质量检测 数学试卷 （时间：120分钟，满分：150分） 一、单选题（共40分） 1. 已知等差数列的首项，，则公差等于（ ） A. 5 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式求解. 【详解】由，得，解得. 故选：C. 2. 数列，，，，的一个通项公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用观察法即可得解. 【详解】观察数列，，，， 可知其分母为，其分子是交替出现，故分子可为， 所以该数列的一个通项公式为. 故选：A. 3. 已知等比数列中，，公比，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合等比数列的通项公式，得到，即可求解. 【详解】由等比数列中，，公比， 又由，可得． 故选：B. 4. 函数从1到4的平均变化率为（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】A 【解析】 【详解】，故选A． 5. 已知数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，利用递推关系，直接求解即可. 【详解】因为，，所以，， 故选：C. 6. 已知数列中，，，则的前12项和为（ ） A. 12 B. 15 C. 18 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件，将数列的前12项和进行分组，然后计算每组的和，最后求出总和. 【详解】数列的前12项和. 根据，可将上式分组为.  由可知，每组的和都为.  一共有组，每组和为，所以. 故选：C. 7. 设等差数列的前项和为，且，则取最小值时，的值为（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 15或16 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知及等差数列的通项公式、前n项和公式求基本量，结合及数列单调性确定取最小值时的值. 【详解】由， 由， 所以数列的公差，且， 所以，且数列单调递增， 故取最小值时，的值为15或16. 故选：D. 8. 等差数列的前项和分别为，且，则（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的性质及等差数列的求和公式即得. 【详解】∵， ∴由等差数列的性质及等差数列的求和公式可得， . 故选：B. 二、多选题（共18分） 9. 若为等差数列，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是数列中的项 C. 数列单调递减 D. 数列前7项和最大 【答案】ACD 【解析】 【分析】由为等差数列，列方程组求得首项与公差，就可得到通项公式，然后对选项逐一判断即可. 【详解】因为数列为等差数列，且，则，解得，，故A选项正确， 由，得，故B错误， 因为，所以数列单调递减，故C正确， 由数列通项公式可知，前7项均为正数，，所以前7项和最大,故D正确. 故选：ACD 10. 等比数列的前项和为，且满足，则（ ） A. 数列的公比为8 B. 数列的公比为2 C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据通项公式求出，再根据求和公式求出. 【详解】显然，因为，即，解得，故A错误，B正确； 所以，故C错误，D正确； 故选：BD 11. 已知为等差数列的公差，为数列的前项和.若为递减数列，则下列结论正确的为（ ） A. 数列为递减数列 B. 数列是等差数列 C. 若前10项中，偶数项的和与奇数项的和之比为，且，则公差为 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】举反例排除A，利用等差数列的求和公式判断B，利用等差数列奇数项与偶数项和，结合等差数列的性质判断C，利用等差数列的求和公式与等差数列的性质判断D，从而得解. 【详解】对于A，因为数列是递减的等差数列，所以， 不妨举例数列为， 则9，这三项不构成递减数列，故A错误； 对于B，，是关于的一次函数， 因此是等差数列，故B正确； 对于C，数列前10项中，奇数项的和为， 偶数项的和， 所以，设，则，解得， 所以公差，故C正确； 对于D，，则， ，则， 所以，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题（共15分） 12. 在数列中，，，则等于______. 【答案】 【解析】 【分析】由递推关系知是常数列，结合即可得答案. 【详解】因为，所以是常数列，. 故答案为：. 13. 已知数列为等比数列，若，则公比的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由求出公比. 【详解】设等比数列的公比为，根据等比数列通项公式可得，. 已知，将，代入可得：， 由于，得：，解得.  故答案为： 14. 已知数列中，，且满足，则______. 【答案】 【解析】 【分析】取倒数即可得为等差数列，即可根据等差数列的通项求解. 【详解】由可得， 故为等差数列，且公差为2，首项为2， 故，故， 故答案为： 四、解答题（共77分） 15. 数列的通项公式是. （1）这个数列的第4项是多少？ （2）150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ 【答案】（1） （2）是，第16项 【解析】 【分析】（1）利用数列的通项公式能求出这个数列的第4项； （2）令，求出方程的解，即可判断． 【小问1详解】 解：数列的通项公式是． 这个数列的第4项是：． 【小问2详解】 解：令，即， 解得或（舍， 是这个数列的项，是第16项． 16. 已知函数 （1）用导数的定义求函数的导数； （2）求出，的值 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】（1）计算，再计算，取极限即可； （2）计算在和的函数值. 【小问1详解】 ， 则， 则当时，，故； 【小问2详解】 ， 17. 设是等差数列，若，. （1）求的通项公式； （2）若，求的前项和 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式和已知条件建立方程组，即可求解； （2）根据裂项相消法求和即可求解. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由， ， 可得，即， 解得则. 【小问2详解】 因为 所以 18. 已知等比数列的公比，且，的等差中项为10，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用已知条件求出首项与公差，然后求数列的通项公式； （2）化简，利用错位相减法求数列的前项和． 【详解】（1）由题意可得：， ， ，，数列的通项公式为． （2），， ， 上述两式相减 可得 ． 【点睛】本题考查数列的递推关系式，数列求和的方法，考查逻辑推理能力、运算求解能力． 19. 已知数列的前项和为，满足． （1）求证：数列是等比数列； （2）求数列的通项公式； （3）若不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由条件取时可解得，利用项与项的递推式做差，可得与的关系，构造等比数列形式，可证明结论. （2） 由数列是等比数列，可求得. （3）设，通过做差研究单调性，求出的最大值，恒成立等价于即可解得结果. 【小问1详解】 证明：由，得，即， 由，可得， 两式相减得， 所以数列是首项为，公比为的等比数列. 【小问2详解】 由数列是首项为，公比为的等比数列 所以即. 【小问3详解】 设， 当时，， 当时，， 恒成立等价于 解得 所以实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $