19.1.1变量与函数 课件2024-2025学年人教版八年级数学下册

变量与函数 人教版 数学 八年级 下册 1 1. 结合实例，了解变量、常量的意义，并能正确区分常量与变量. 2. 体会运动变化过程中的数量变化. 学习目标 3. 能确定两个量之间的关系式. 请你欣赏 大千世界处在不停的运动变化之中,如何从数学的角度来刻画这些运动变化并寻找规律呢? 行星在宇宙中的位置随时间而变化 万物皆变 气温随海拔而变化 汽车行驶里程随行驶时间而变化 为了更深刻地认识千变万化的世界，本节课，我们将学习有关一种量随另一种量变化的知识，共同见证事物变化的规律. 游戏：数青蛙 一只青蛙一张嘴，两只眼睛四条腿；两只青蛙两张嘴，四只眼睛八条腿；三只青蛙三张嘴，六只眼睛十二条腿. 新课引入 这里有变化的量吗？如果有,是什么？它们之间有什么关系？ 这游戏中有变化的量吗？如果有,是什么？它们之间有关系吗？ 青蛙的只数、嘴巴数、眼睛数、腿数都是变化的量. 随着青蛙的只数的改变，青蛙的嘴巴数、眼睛数和腿数都在发生变化. 嘴巴数与只数相等，眼睛数是只数的2倍，腿数是只数的4倍. t /h 1 2 3 4 5 s /km 汽车以60 km/h的速度匀速行驶，行驶路程为s km，行驶时间为t h，填写下表，s的值随t 的值的变化而变化吗？ (1)请同学们根据题意填写上表： (2)在以上这个过程中，变化的量是______________, 不变化的量是_____. (3)试用含t的式子表示s 是_______. 时间t，路程s. 速度 s=60t 120 60 180 240 300 知识点 常量与变量 你见过水中涟漪吗？圆形水波慢慢地扩大.在这一过程中，当圆的半径分别为10cm，20 cm，30 cm时，圆的面积S分别为多少？S的值随r的值的变化而变化吗？ 当圆的半径为10cm时，面积为S=100π cm2 ; 当圆的半径为20cm时，面积为S=400π cm2 ; 当圆的半径为30cm时，面积为S=900π cm2 . 圆面积S与圆的半径r之间的关系式是————————； 其中变化的量是—————；不变化的量是————————. S= πr2 S， r π 注意：此处的2是一种运算 这个问题反映了___________随________的变化过程． 圆的面积S 半径r s = 60t y = 10x 变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量. 常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量为常量. 2（x+y)=10 S=πr2 提示：在同一个变化过程中，理解变量与常量的关键词：发生了变化和始终不变. 区分常量与变量，就是看在某个变化过程中，该量的值是否可以改变，即是否可以取不同的值. 方法 某人要在规定的时间内加工100个零件，则工作量W与时间t之间的关系中，下列说法正确的是( ) A. 数100和W，t都是变量 B. 数100和W都是常量 C. W和t是变量 D. 数100和t都是常量, C C 考点 实际问题中常量与变量的识别 指出下列关系式中的变量与常量： (1) y = 3x －4; (2) y=x; (3) y= x2＋2x－8; (4) S = πr2． 解：（1）3和-4是常量，x和y是变量． （2）1是常量，x、y是变量． （3）1、2、-8是常量，x、y是变量． （4）π是常量，s、r是变量． 考点 关系式中常量与变量的识别 典例精析 例 指出下列事件过程中的常量与变量 (1)某水果店橘子的单价为5元／千克，买a千橘子的总价为m元，其中常量是 ，变量是 ； (2)周长C与圆的半径r之间的关系式是C＝2πr，其中常量是 ，变量是 ； (3)三角形的一边长5cm，它的面积S(cm2)与这边上的高h(cm)的关系式 中，其中常量是 ，变量是 ； 5 a，m. 2，π. C， r. 注意：π是一个确定的数，是常量. S， h. 　　指出下列变化过程中的变量和常量： 　 （1）汽油的价格是7.4元/升，加油 x L，车主加油付油费为 y 元； （2）小明看一本200 页的小说，看完这本小说需要t 天，平均每天所看的页数为 n； （3）用长为40 cm 的绳子围矩形，围成的矩形一边长为 x cm，其面积为 S cm2． （4）若直角三角形中的一个锐角的度数为α，则另一个锐角β(度)与α间的关系式是β=90－α. 练一练 怎样用含重物质量m（kg）的式子表示受力后的弹簧长度 l(cm)? 弹簧的长度与所挂重物有关．如果弹簧原长为10cm，每1kg重物使弹簧伸长0.5cm，试填下表： 解：由题意可知m每增加1，l增加0.5，所以l=10+0.5m. 重物的质量(kg) 1 2 3 4 5 弹簧长度(cm) 10.5 11 11.5 12 12.5 考点 确定两个量之间的关系式 摩天轮 你坐过摩天轮吗？想一想，如果你坐在摩天轮上，随着时间的变化，你离开地面的高度是如何变化的？ O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 h（米） t（分） 探究1 下图反映了摩天轮上的一点的高度h (m)与旋转时间t(min) 之间的关系. (1)根据右图填表： t/min 0 1 2 3 4 5 … h/m … 3 10 38 45 35 10 (2)对于给定的时间t ，相应的高度h确定吗？ 确定，每一个时间t,都有唯一确定的高度h与之对应. 填表并思考，对于给定任一层数n，相应的物体总数y确定吗？有几个y值和它对应？ 1 2 3 4 5 … … 层数n 物体总数y 1 3 6 10 15 对于给定任一层数n，相应的物体总数y确定，有唯一一个y值和它对应. 一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到-273℃，则气体的压强为零.因此，物理学把-273℃作为热力学温度的零度.热力学温度T(K)与摄氏温度t(℃)之间有如下数量关系：T=t+273,T≥0. (1)当t分别为-43 ℃ ，-27 ℃ ，0 ℃ ，18 ℃时，相应的热力学温度T是多少？ 解：230K、246K 、273K、291K； (2) 给定任一个大于-273 ℃的摄氏温度t值，相应的热力学温度T确定吗？有几个T值和它对应？ 解：确定；有唯一一个T值与之对应. 上面的三个问题中，有什么共同特点？ ①时间 t 、相应的高度 h ； ②层数n、物体总数y； ③摄氏温度t 、热力学温度T. 共同特点：都有两个变量，给定其中某一个变量的值，相应地就确定了另一个变量的值. 对于x的每一个值，y总有唯一的值与它对应，y才是x的函数。 下列各式中，X是自变量，请判断Y是不是X的函数？ （3）y＝ + （4）y= （1）y＝ 2x （2）y＝ 练习1 是 是 不是 是 x是自变量，y是自变量的函数 （1）4y=5-x 下面哪个量是自变量？哪个量是自变量的函数？ 练习2 （3）s=100v r是自变量，s是自变量的函数 v是自变量，s是自变量的函数 π是一个常数哟！ 一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量. 注意：函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系. 函数的概念 练一练 　　下列问题中，一个变量是否是另一个变量的函数？如果是，请指出自变量. 　（1）改变正方形的边长 x，正方形的面积 S 随之变化； （2）秀水村的耕地面积是106 m2，这个村人均占有耕地面积 y （单位：m2）随这个村人数 n 的变化而变化； （3）P是数轴上的一个动点，它到原点的距离记为 x，它对应的实数为 y，y 随 x 的变化而变化． 解：（1）S 是x的函数，其中x是自变量. （2）y 是n的函数，其中n是自变量. （3）y 不是x的函数. 例如，到原点的距离为1的点对应实数1或-1. 典例精析 例 下列关于变量x ，y 的关系式：y =2x+3；y =x2+3；y =2|x|；④ ；⑤y2-3x=10，其中表示y 是x 的函数关系的是 ．  判断一个变量是否是另一个变量的函数，关键是看当一个变量确定时，另一个变量有唯一确定的值与它对应. 方法 一个x值有两个y 值与它对应 例已知函数 (1)求当x=2，3，-3时，函数的值； (2)求当x取什么值时，函数的值为0. 解：（1）当x=2时，y= ; 当x=3时，y= ; 当x=-3时，y=7; （2）令 解得x= 即当x= 时，y=0. 把自变量x的值带入关系式中，即可求出函数的值. 列表法 图象法 关系式法 探究一：图象法、列表法； 探究二：列表法； 探究三：关系式法. 表示函数的一般方法 说一说三个探究分别用了什么表示方法？ 30 图象法 列表法 关系式法 表示函数的一般方法有哪些呢？ 表示函数的一般方法有：列表法、关系式法和图象法. 小明骑车从家到学校速度是15千米/时，你能表示出他走过的路程s与时间t之间的变化关系吗？ s t 0 S=15t 路程s随时间t的变化的图象是什么？ 你明白了吗？ S是t的函数吗？ S是t的函数 自变量t的取值范围：___________. 自变量t的取值范围:__________. 自变量的取值范围 自变量n的取值范围：___________. t≥-273 探究： 探究： 探究： n取正整数 t≥0 注意：自变量的取值范围是函数的一个有机组成部分，通常要根据实际问题确定. 函数值的概念 即如果y是x的函数，当x=a时，y=b，那么b叫做当x=a时的函数值． 对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于a时的函数值． 注意：函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系． 而函数值是一个数，它是自变量确定时对应的因变量的值． 例汽车的油箱中有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶里程x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km. （1）写出表示y与x的函数关系的式子. 解:(1) 函数关系式为: y = 50－0.1x 0.1x表示的意义是什么？ 叫做函数的解析式 考点 确定自变量的取值范围 （2）指出自变量x的取值范围； (2) 由x≥0及50－0.1x ≥0　 得0 ≤ x ≤ 500。 所以自变量的取值范围是 0 ≤ x ≤ 500. 提示：确定自变量的取值范围时，不仅要考虑使函数解析式有意义，而且还要注意各变量所代表的实际意义. 汽车行驶里程，油箱中的油量均不能为负数！ 解: （3）汽车行驶200 km时，油箱中还有多少油？ (3)当 x = 200时,函数y的值为y=50－0.1×200=30. 因此,当汽车行驶200 km时,油箱中还有油30L. 解: 下列函数中自变量x的取值范围是什么？ （1） ; （2） ; （3） ; 解: x取全体实数; （1） （2） 由x+2≠0得 ; x≠-2 （3） 由x-5≥0得 ; 变式训练 (4) . 使函数解析式有意义的自变量的全体. （4） x取全体实数. 随堂练习 下列图象中，不能表示y是x的函数的是（ ）。 A B C D 【解析】D选项中，对于x的每一个取值，y不满足有唯一确定的值与之对应，故选D. D 在下图中，不能表示y是x的函数的是（  ）。 A B C D D 油箱中有油30kg,油从管道中匀速流出，1h流完，则油箱中剩余油量Q （kg）与流出时间t（min）之间的函数关系式是__________，自变量t的取值范围是__________. 已知函数 (1)求当x=2，3，-3时，函数的值； (2)求当x取什么值时，函数的值为0. 解：(1)当x=2时，y=2;当x=3时，y=2.5 ;当x=-3时，y=7; (2)当x=0.5时，y=0. 下列说法中，不正确的是（ ）。 A.函数不是数，而是一种关系 B.多边形的内角和是边数的函数 C.一天中时间是温度的函数 D.一天中温度是时间的函数 下列各表达式不是表示y是x的函数的是( ) A. B. C. D. C C 基础巩固题 课堂检测 下列说法中，不正确的是（ ）。 A.函数不是数，而是一种关系 B.多边形的内角和是边数的函数 C.一天中时间是温度的函数 D.一天中温度是时间的函数 下列各表达式不是表示y是x的函数的是( ) A. B. C. D. C C 下列函数中自变量x的取值范围是什么？ （1） ; （2） ; （3） ; （4） . 解: x取全体实数; （1） （4） （2） 由x+2≠0得 x≠-2; （3） 由x-5≥0得 所以x≥-2且x≠-1. 填表并回答问题： （1）对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应吗？答： . （2）y是x的函数吗？为什么？ x 1 4 9 16 y=+2x 2和－2 8和－8 18和－18 32和－32 不是 答：不是，因为y的值不是唯一的. 下列问题中，一个变量是否是另一个变量的函数？如果是，请指出自变量. （1）改变正方形的边长 x，正方形的面积 S 随之变化； （2）秀水村的耕地面积是106 m2，这个村人均占有耕地面积y （单位：m2）随这个村人数 n 的变化而变化； （3）P是数轴上的一个动点，它到原点的距离记为 x，它对应的实数为 y，y 随 x 的变化而变化． 解：（1）S 是x的函数，其中x是自变量. （2）y 是n的函数，其中n是自变量. （3）y不是x的函数. 数学日记： 年 月 日 星期 天气: 学习课题 ： 知识归纳与整理： 我的收获与困惑： 自我评价： 悄悄话：老师我想对您说： 回顾与反思 函数和函数值 函数值 自变量的取值范围 1.使函数解析式有意义 2.符合实际意义 课堂小结 函数的概念 在某个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么x是自变量，y是x的函数. 谢 谢 再 见 49 $$