6.2.2 导数与函数的极值、最值-第1课时导学案-2024-2025学年高二下学期数学人教B版（2019）选择性必修第三册

6.2.2　导数与函数的极值、最值 第1课时　函数的导数与极值 学习目标：1.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值.3.体会导数与单调性、极值的关系． 学习重点：利用导数求函数的极值． 学习难点：极值的判断、与极值有关的参数问题． 知识点 1：极值、极值点的概念 情境：在群山之中，各个山峰的顶端虽然不一定是群山的最高处，但它却是其附近的最高点，同样，各个谷底虽然不一定是群山之中的最低处，但它却是其附近的最低点. 观察图中函数的图像，指出其中是否有类似山峰、山谷的地方，如果有，尝试用数学语言描述. 极值点与极值 一般地，设函数的定义域为D，设x0∈D，如果对于x0附近的任意不同于x0的x，都有： (1) ，则称x0为函数的一个 ，且在x0处取 ， 例如极大值点有 极大值有 ； (2) ，则称x0为函数的一个 ，且在x0处取 ， 例如极小值点有 极小值有 ； 思考：在一个函数中，极大值一定比极小值大吗？ 知识点 2：可导函数的极值与导数的关系 探究：从图所示的函数图像中可以看出，A，B，C，D对应的横坐标都是函数的极值点，已知曲线在A，B，C，D处都存在切线. (1)A，B，C，D处的切线具有什么特征？这说明在处的导数具有什么特点？ (2)曲线在A，B，C，D附近的点处的切线具有什么特征？ 归纳：一般地，如果是的极值点，且在处可导，则必有 . 思考：若有，则一定是函数的极值点吗？ 典例剖析 题型1 极值的判断 例 1：已知，求所有使得的，并判断所求得的数是否为函数的极值点. 归纳总结 判断极值点 一般地，设函数在处可导，且. (1)如果对于左侧附近的任意x，都有，对于右侧附近的任意x，都有 ，那么此时是的极大值点. (2)如果对于左侧附近的任意x，都有，对于右侧附近的任意x，都有 ，那么此时是的极小值点. (3)如果在的左侧附近与右侧附近同号（均为正号或均为负号），则一定不是的极值点. 练习1. 函数f (x)的导函数的图象如图所示，试找出函数的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点. 判断函数 y = f (x) 的极值的充要条件： ； 题型2：求函数的极值 例 2：已知函数，求函数的极值，并作出函数图像的示意图. 练习2. 求下列函数的极值． (1)求函数 f (x) = 6x2 – x – 2 的极值. (2)f(x)＝. (3)f(x)＝x2e－x. 题型三　已知函数的极值求参数 例3　已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，求常数a，b的值． 练习3 已知f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝1与x＝－时都取得极值． (1)求a，b的值； (2)若f(－1)＝，求f(x)的单调区间和极值． 题型4　利用极值解决函数零点或方程根的问题 例4　已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a只有一个零点，求实数a的取值范围． 练习4　设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R. (1)求函数f(x)的单调区间和极值； (2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同的实根，求实数a的取值范围． 第1课时【随堂检测】 1． (2023·全国乙卷)函数f(x)＝x3＋ax＋2存在3个零点，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－2) B．(－∞，－3) C．(－4，－1) D．(－3，0) 2．设函数f(x)＝＋ln x，则(　　) A．x＝为f(x)的极大值点 B．x＝为f(x)的极小值点 C．x＝2为f(x)的极大值点 D．x＝2为f(x)的极小值点 3．(多选)定义在区间上的函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列结论正确的是(　　) A．函数f(x)在区间(0，4)上单调递增 B．函数f(x)在区间上单调递减 C．函数f(x)在x＝1处取得极大值 D．函数f(x)在x＝0处取得极小值 4．若函数f(x)＝x3－2ax＋a在(0，1)上有极小值没有极大值，则实数a的取值范围是________． 5．(2023·北京高考)设函数f(x)＝x－x3eax＋b，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝－x＋1. (1)求a，b的值； (2)设函数g(x)＝f′(x)，求g(x)的单调区间；(3)求f(x)的极值点个数． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$6.2.2 导数与函数的极值、最值 第 1 课时 函数的导数与极值 学习目标：1.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.能利用 导数求某些函数的极大值、极小值.3.体会导数与单调性、极值的关系． 学习重点：利用导数求函数的极值． 学习难点：极值的判断、与极值有关的参数问题． 知识点 1：极值、极值点的概念 情境：在群山之中，各个山峰的顶端虽然不一定是群山的最高处，但它却是其附近的最高 点，同样，各个谷底虽然不一定是群山之中的最低处，但它却是其附近的最低点. 观察图中函数𝒚 = 𝒇(𝒙)的图像，指出其中是否有类似山峰、山谷的地方，如果 有，尝试用数学语言描述. 从图中可以看出，函数𝑦 = 𝑓(𝑥)在𝑥1，𝑥3，𝑥5这三点对应的函数值，都是其附近的函 数值中的最大者；而在𝑥2，𝑥4这两点对应的函数值,都是其附近的函数值之中的最小者. 概念讲解 极值点与极值 一般地，设函数𝑦 = 𝑓(𝑥)的定义域为 D，设 x0∈D，如果对于 x0 附近的任意不同于 x0 的 x，都有 (1) 𝑓(𝑥) < 𝑓(𝑥0)，则称 x0为函数𝑓(𝑥)的一个极大值点，且𝑓(𝑥)在 x0处取极大值， 例如极大值点有 x1，x3 ，x5极大值有𝑓(𝑥1), 𝑓(𝑥3), 𝑓(𝑥5)； (2) 𝑓(𝑥) > 𝑓(𝑥0)，则称 x0为函数𝑓(𝑥)的一个极小值点，且𝑓(𝑥)在 x0处取极小值， 例如极小值点有 x2，x4极小值有𝑓(𝑥2), 𝑓(𝑥4)； 思考：在一个函数中，极大值一定比极小值大吗？ 答：由概念可知，函数的极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函数的局部性 质，并且一个函数可以有若干个极大值与极小值. 如图，函数 y = f (x) 的极小值 f (a) 大于极大值 f (d)；极大值 f (b) 大于极小值 f (c)；即函数的极大值与极小值没有必然的大小关系. 知识点 2：可导函数的极值与导数的关系 探究：从图所示的函数𝑦 = 𝑓(𝑥)图像中可以看出，A，B，C，D 对应的横坐标𝑥1，𝑥2， 𝑥3，𝑥4都是函数的极值点，已知曲线𝑦 = 𝑓(𝑥)在 A，B，C，D 处都存在切线. (1)A，B，C，D 处的切线具有什么特征？这说明𝑓(𝑥)在𝑥1，𝑥2，𝑥3，𝑥4处的导数具有什么 特点？ 图中可以看出，曲线𝑦 = 𝑓(𝑥)在 A，B，C，D 处的切线都是水平的，这等价于 𝑓′(𝑥1) = 𝑓 ′(𝑥2) = 𝑓 ′(𝑥3) = 𝑓 ′(𝑥4) = 0. (2)曲线𝑦 = 𝑓(𝑥)在 A，B，C，D 附近的点处的切线具有什么特征？ 在 A 点与 C 点左侧的附近，曲线的切线斜率都大于零，在右侧的附近曲线的切线斜率 都小于零；在 B 点与 D 点的附近则正好相反，因此𝑓′(𝑥)在𝑥1，𝑥2，𝑥3，𝑥4两侧附近的符 号不一样. 归纳：一般地，如果𝑥0是𝑦 = 𝑓(𝑥)的极值点，且𝑓(𝑥)在𝑥0处可导，则必有𝑓 ′(𝑥0) = 0. 思考：若有𝑓′(𝑥0) = 0，则𝑥0一定是函数的极值点吗？ 答：我们先看下面的例题； 典例剖析 题型 1 极值的判断 例 1：已知𝑓(𝑥) = 𝑥3，求所有使得𝑓′(𝑥) = 0的𝑥，并判断所求得的数是否为函数的极 值点. 解：因为𝑓′(𝑥) = 3𝑥2， 令𝑓′(𝑥) = 0，可解得𝑥 = 0 . 但 0 不是𝑓(𝑥) = 𝑥3的极值点，因为𝑓(0) = 0，而 0 左侧点的函数值总是小于 0，且 0 右端的点的函数值总是大于 0. 归纳总结 判断极值点 一般地，设函数𝑓(𝑥)在𝑥0处可导，且𝑓′(𝑥0) = 0. (1)如果对于𝑥0左侧附近的任意 x，都有𝑓′(𝑥0) > 0，对于𝑥0右侧附近的任意 x，都有 𝑓′(𝑥0) < 0 ，那么此时𝑥0是𝑓(𝑥)的极大值点. (2)如果对于𝑥0左侧附近的任意 x，都有𝑓′(𝑥0) < 0，对于𝑥0右侧附近的任意 x，都有 𝑓′(𝑥0) > 0 ，那么此时𝑥0是𝑓(𝑥)的极小值点. (3)如果𝑓′(𝑥0)在𝑥0的左侧附近与右侧附近同号（均为正号或均为负号），则𝑥0一定不是 𝑦 = 𝑓(𝑥)的极值点. 判断函数 y = f (x) 的极值的充要条件：① 𝑓′(𝑥0) = 0；② 𝑓 ′(𝑥) 在 x = x0 两侧异 号；即𝑥0是𝑦 = 𝑓 ′(𝑥)的变号零点； 练习 1. 函数 f (x) 的导函数𝑦 = 𝑓 ′(𝑥)的图象如图所示，试找出函数𝑓 (𝑥)的极值点， 并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点. 解：函数 f (x) 的极值点有：x2 和 x4，其中极大值点为 x2 ，极小值点为 x4. 注意：虽然 f ′(x6) = 0，但 f ′(x) 在 x = x6 两侧同号，故不是极值. 题型 2：求函数的极值 例 2：已知函数𝑓(𝑥) = 1 3 𝑥3 − 4𝑥 + 4，求函数的极值，并作出函数图像的示意图. 解：由题意可得𝑓′(𝑥) = 𝑥2 − 4 = (𝑥 + 2)(𝑥 − 2). 解方程𝑓′(𝑥) = 0，可得𝑥 = −2或𝑥 = 2. 解方程𝑓′(𝑥) > 0，可得𝑥 < −2或𝑥 > 2，此时𝑓(𝑥)递增. 解方程𝑓′(𝑥) < 0，可得−2 < 𝑥 < 2，此时𝑓(𝑥)递减. 因此，𝑓(𝑥)在(−∞, −2)上递增，在(-2,2)上递减，在(2, +∞)上递增. 从而可知𝑥 = −2是函数的极大值点，极大值为𝑓(−2) = 28 3 ； 𝑥 = 2是函数的极小值点，极小值为𝑓(2) = − 4 3 . 练习 2.求下列函数的极值． (1) f (x) = 6x2 – x – 2. 解：∵ f ′(x) = 12x – 1， 令 f ′(x) = 0，解得 x = 1 12 ， 当𝑥 < 1 12 时，𝑓′(𝑥) < 0，此时𝑓(𝑥)递减. 当𝑥 > 1 12 时，𝑓′(𝑥) > 0，此时𝑓(𝑥)递增. 因此，𝑓(𝑥)在(−∞, 1 12 )上递减，在( 1 12 ， + ∞)上递增. 从而可知𝑥 = 1 12 是函数的极小值点，极小值为𝑓 ( 1 12 ) = − 49 24 . (2)f(x)＝ ln x x . 解：(2)函数 f(x)＝ ln x x 的定义域为(0，＋∞)，且 f′(x)＝ 1－ln x x2 . 令 f′(x)＝0，得 x＝e. 当 x 变化时，f′(x)与 f(x)的变化情况如下表： x (0，e) e (e，＋∞) f′(x) ＋ 0 － f(x) 1 e 因此，x＝e 是函数的极大值点，极大值为 f(e)＝ 1 e ，函数 f(x)没有极小值． (3)f(x)＝x2e －x. 解：(2)函数的定义域为 R. f′(x)＝2xe －x－x2e －x＝x(2－x)e －x. 令 f′(x)＝0，得 x＝0 或 x＝2. 当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，0) 0 (0，2) 2 (2，＋∞) f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x) 极小值 0 极大值 4 e2 由上表可以看出， 当 x＝0 时，函数有极小值，极小值为 f(0)＝0； 当 x＝2 时，函数有极大值，极大值为 f(2)＝ 4 e2 . 题型三 已知函数的极值求参数 例 3 已知 f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在 x＝－1 时有极值 0，求常数 a，b 的值． 解：因为 f(x)在 x＝－1 时有极值 0， 且 f′(x)＝3x2＋6ax＋b， 所以   f′（－1）＝0， f（－1）＝0， 即   3－6a＋b＝0， －1＋3a－b＋a2＝0， 解得   a＝1， b＝3 或   a＝2， b＝9. 当 a＝1，b＝3 时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0， 所以 f(x)在 R 上为增函数，无极值，故舍去． 当 a＝2，b＝9 时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3). 当 x∈(－3，－1)时，f′(x)<0，f(x)为减函数； 当 x∈(－∞，－3]和[－1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数． 所以 f(x)在 x＝－1 时取得极小值， 因此 a＝2，b＝9. 练习 3 已知 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c 在 x＝1 与 x＝－ 2 3 时都取得极值． (1)求 a，b 的值； (2)若 f(－1)＝ 3 2 ，求 f(x)的单调区间和极值． 解：(1)令 f′(x)＝3x2＋2ax＋b＝0. 由题设，知 x＝1，x＝－ 2 3 为 f′(x)＝0 的解． 由一元二次方程根与系数的关系，得 － 2a 3 ＝1－ 2 3 ， b 3 ＝1×   － 2 3 . ∴a＝－ 1 2 ，b＝－2. (2)由(1)知 f(x)＝x3－ 1 2 x2－2x＋c， f′(x)＝3x2－x－2. 由 f(－1)＝－1－ 1 2 ＋2＋c＝ 3 2 ，得 c＝1. ∴f(x)＝x3－ 1 2 x2－2x＋1. 当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x    －∞，－ 2 3 － 2 3    － 2 3 ，1 1 (1，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 49 27 － 1 2 ∴f(x)的单调递增区间为   －∞，－ 2 3 和[1，＋∞)，单调递减区间为   － 2 3 ，1 . 当 x＝－ 2 3 时，f(x)有极大值，极大值为 f   － 2 3 ＝ 49 27 ； 当 x＝1 时，f(x)有极小值，极小值为 f(1)＝－ 1 2 ． 题型 4 利用极值解决函数零点或方程根的问题 例 4 已知函数 f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a 只有一个零点，求实数 a 的取值范围． 解：f′(x)＝－3x2＋6x＋9. 令 f′(x)＝0，解得 x1＝－1，x2＝3. 列表： x (－∞，－1) －1 (－1，3) 3 (3，＋∞) f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x) 极 小值 极 大值 所以当 x＝－1 时，f(x)有极小值 f(－1)＝a－5； 当 x＝3 时，f(x)有极大值 f(3)＝a＋27. 画出函数 f(x)的大致图象，要使函数 f(x)只有一个零点，只需极小值大于 0(如图 1)或极 大值小于 0(如图 2). 所以 a－5>0 或 a＋27<0， 解得 a>5 或 a<－27. 故实数 a 的取值范围为(－∞，－27)∪(5，＋∞). 练习 4 设函数 f(x)＝x3－6x＋5，x∈R. (1)求函数 f(x)的单调区间和极值； (2)若关于 x 的方程 f(x)＝a 有三个不同的实根，求实数 a 的取值范围． 解 (1)f′(x)＝3x2－6，令 f′(x)＝0， 解得 x1＝－ 2，x2＝ 2. 因为当 x> 2或 x<－ 2时，f′(x)>0， 当－ 2<x< 2时，f′(x)<0， 所以函数 f(x)的单调递增区间为(－∞，－ 2]和[ 2，＋∞)，单调递减区间为[－ 2， 2]. 当 x＝－ 2时，f(x)有极大值 5＋4 2； 当 x＝ 2时，f(x)有极小值 5－4 2. (2)由(1)的分析知 y＝f(x)的图象的大致形状及走向如图所示，当 5－4 2<a<5＋4 2 时，直线 y＝a 与 y＝f(x)的图象有三个不同的交点，即方程 f(x)＝a 有三个不同的实根. 【随堂检测】 1．(2023·全国乙卷)函数 f(x)＝x3＋ax＋2 存在 3 个零点，则 a 的取值范围是( ) A．(－∞，－2) B．(－∞，－3) C．(－4，－1) D．(－3，0) 答案 B 解析 f(x)＝x3＋ax＋2，则 f′(x)＝3x2＋a，若 f(x)存在 3 个零点，则 f(x)存在极大值和极 小值，则 a<0.令 f′(x)＝3x2＋a＝0，解得 x＝－ －a 3 或 x＝ －a 3 ，且当 x∈       －∞，－ －a 3 ∪       －a 3 ，＋∞ 时，f′(x)>0，当 x∈       － －a 3 ， －a 3 时，f′ (x)<0，故 f(x)的极大值为 f       － －a 3 ，极小值为 f       －a 3 ，若 f(x)存在 3 个零点，则   f     － －a 3 >0， f       －a 3 <0， 即    a 3 －a 3 －a －a 3 ＋2>0， －a 3 －a 3 ＋a －a 3 ＋2<0， 解得 a<－3.故选 B. 2．设函数 f(x)＝ 2 x ＋ln x，则( ) A．x＝ 1 2 为 f(x)的极大值点 B．x＝ 1 2 为 f(x)的极小值点 C．x＝2 为 f(x)的极大值点 D．x＝2 为 f(x)的极小值点 答案 D 解析 ∵f(x)＝ 2 x ＋ln x，x>0，∴f′(x)＝－ 2 x2 ＋ 1 x ，令 f′(x)＝0，即－ 2 x2 ＋ 1 x ＝ x－2 x2 ＝0， 解得 x＝2.当 0<x<2 时，f′(x)<0；当 x>2 时，f′(x)>0，∴x＝2 为 f(x)的极小值点，无极大 值点． 3．(多选)定义在区间   － 1 2 ，4 上的函数 f(x)的导函数 f′(x)的图象如图所示，则下列结论 正确的是( ) A．函数 f(x)在区间(0，4)上单调递增 B．函数 f(x)在区间   － 1 2 ，0 上单调递减 C．函数 f(x)在 x＝1 处取得极大值 D．函数 f(x)在 x＝0 处取得极小值 答案 ABD 解析 根据导函数图象可知，在区间   － 1 2 ，0 上，f′(x)<0，f(x)单调递减；在区间(0， 4)上，f′(x)>0，f(x)单调递增．所以函数 f(x)在 x＝0 处取得极小值，没有极大值．所以 A，B，D 正确，C 错误．故选 ABD. 4．若函数 f(x)＝x3－2ax＋a 在(0，1)上有极小值没有极大值，则实数 a 的取值范围是 ________． 答案    0， 3 2 解析 f′(x)＝3x2－2a，∵f(x)在(0，1)上有极小值，没有极大值，∴   f′（0）<0， f′（1）>0 ⇒   －2a<0， 3－2a>0， 即 0<a< 3 2 .故实数 a 的取值范围是   0， 3 2 ． 5．(2023·北京高考)设函数 f(x)＝x－x3eax ＋b，曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为 y＝－x＋1. (1)求 a，b 的值； (2)设函数 g(x)＝f′(x)，求 g(x)的单调区间； (3)求 f(x)的极值点个数． 解 (1)因为 f(x)＝x－x3eax ＋b，x∈R，所以 f′(x)＝1－(3x2＋ax3)eax ＋b， 因为曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为 y＝－x＋1， 所以 f(1)＝－1＋1＝0，f′(1)＝－1， 则   1－13×e a＋b＝0， 1－（3＋a）ea ＋b＝－1， 解得   a＝－1， b＝1， (2)由(1)得 g(x)＝f′(x)＝1－(3x2－x3)e －x＋1(x∈R)， 则 g′(x)＝－x(x2－6x＋6)e －x＋1， 令 x2－6x＋6＝0，解得 x＝3± 3， 不妨设 x1＝3－ 3，x2＝3＋ 3，则 0<x1<x2， 易知 e －x＋1>0 恒成立， 所以令 g′(x)<0，解得 0<x<x1 或 x>x2；令 g′(x)>0，解得 x<0 或 x1<x<x2； 所以 g(x)在(0，x1)，(x2，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)，(x1，x2)上单调递增， 即 g(x)的单调递减区间为(0，3－ 3)和(3＋ 3，＋∞)，单调递增区间为(－∞，0)和(3 － 3，3＋ 3). (3)由(1)得 f(x)＝x－x3e －x＋1(x∈R)，f′(x)＝1－(3x2－x3)e －x＋1， 由(2)知 f′(x)在(0，x1)，(x2，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)，(x1，x2)上单调递增， 当 x<0 时，f′(－1)＝1－4e2<0，f′(0)＝1>0， 即 f′(－1)f′(0)<0， 所以 f′(x)在(－∞，0)上存在唯一零点，不妨设为 x3，则－1<x3<0， 此时，当 x<x3时，f′(x)<0，则 f(x)单调递减；当 x3<x<0 时，f′(x)>0，则 f(x)单调递 增， 所以 f(x)在(－∞，0)上有一个极小值点； 当 x∈(0，x1)时，f′(x)在(0，x1)上单调递减， 则 f′(x1)＝f′(3－ 3)<f′(1)＝1－2<0， 故 f′(0)f′(x1)<0， 所以 f′(x)在(0，x1)上存在唯一零点，不妨设为 x4，则 0<x4<x1， 此时，当 0<x<x4时，f′(x)>0，则 f(x)单调递增；当 x4<x<x1 时，f′(x)<0，则 f(x)单调 递减， 所以 f(x)在(0，x1)上有一个极大值点； 当 x∈(x1，x2)时，f′(x)在(x1，x2)上单调递增， 则 f′(x2)＝f′(3＋ 3)>f′(3)＝1>0， 故 f′(x1)f′(x2)<0， 所以 f′(x)在(x1，x2)上存在唯一零点，不妨设为 x5，则 x1<x5<x2， 此时，当 x1<x<x5 时，f′(x)<0，则 f(x)单调递减；当 x5<x<x2 时，f′(x)>0，则 f(x)单调 递增， 所以 f(x)在(x1，x2)上有一个极小值点； 当 x>x2＝3＋ 3>3 时，3x2－x3＝x2(3－x)<0， 所以 f′(x)＝1－(3x2－x3)e －x＋1>0，则 f(x)单调递增， 所以 f(x)在(x2，＋∞)上无极值点． 综上，f(x)在(－∞，0)和(x1，x2)上各有一个极小值点，在(0，x1)上有一个极大值点，共 有 3 个极值点． 6.2.2　导数与函数的极值、最值 第1课时　函数的导数与极值 学习目标：1.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值.3.体会导数与单调性、极值的关系． 学习重点：利用导数求函数的极值． 学习难点：极值的判断、与极值有关的参数问题． 知识点 1：极值、极值点的概念 情境：在群山之中，各个山峰的顶端虽然不一定是群山的最高处，但它却是其附近的最高点，同样，各个谷底虽然不一定是群山之中的最低处，但它却是其附近的最低点. 观察图中函数的图像，指出其中是否有类似山峰、山谷的地方，如果有，尝试用数学语言描述. 从图中可以看出，函数在这三点对应的函数值，都是其附近的函数值中的最大者；而在这两点对应的函数值,都是其附近的函数值之中的最小者. 概念讲解 极值点与极值 一般地，设函数的定义域为D，设x0∈D，如果对于x0附近的任意不同于x0的x，都有 (1) ，则称x0为函数的一个极大值点，且在x0处取极大值， 例如极大值点有x1，x3 ，x5极大值有, , ； (2) ，则称x0为函数的一个极小值点，且在x0处取极小值， 例如极小值点有x2，x4极小值有, ； 思考：在一个函数中，极大值一定比极小值大吗？ 答：由概念可知，函数的极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函数的局部性质，并且一个函数可以有若干个极大值与极小值. 如图，函数 y = f (x) 的极小值 f (a) 大于极大值 f (d)；极大值 f (b) 大于极小值 f (c)；即函数的极大值与极小值没有必然的大小关系. 知识点 2：可导函数的极值与导数的关系 探究：从图所示的函数图像中可以看出，A，B，C，D对应的横坐标都是函数的极值点，已知曲线在A，B，C，D处都存在切线. (1)A，B，C，D处的切线具有什么特征？这说明在处的导数具有什么特点？ 图中可以看出，曲线在A，B，C，D处的切线都是水平的，这等价于 (2)曲线在A，B，C，D附近的点处的切线具有什么特征？ 在A点与C点左侧的附近，曲线的切线斜率都大于零，在右侧的附近曲线的切线斜率都小于零；在B点与D点的附近则正好相反，因此在两侧附近的符号不一样. 归纳：一般地，如果是的极值点，且在处可导，则必有. 思考：若有，则一定是函数的极值点吗？ 答：我们先看下面的例题； 典例剖析 题型1 极值的判断 例 1：已知，求所有使得的，并判断所求得的数是否为函数的极值点. 解：因为， 令，可解得 但0不是的极值点，因为，而0左侧点的函数值总是小于0，且0右端的点的函数值总是大于0. 归纳总结 判断极值点 一般地，设函数在处可导，且. (1)如果对于左侧附近的任意x，都有，对于右侧附近的任意x，都有 ，那么此时是的极大值点. (2)如果对于左侧附近的任意x，都有，对于右侧附近的任意x，都有 ，那么此时是的极小值点. (3)如果在的左侧附近与右侧附近同号（均为正号或均为负号），则一定不是的极值点. 判断函数 y = f (x) 的极值的充要条件：① ；② 在 x = x0 两侧异号；即是的变号零点； 练习1. 函数 f (x) 的导函数的图象如图所示，试找出函数的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点. 解：函数 f (x) 的极值点有：x2 和 x4，其中极大值点为 x2 ，极小值点为 x4. 注意：虽然 f ′(x6) = 0，但 f ′(x) 在 x = x6 两侧同号，故不是极值. 题型2：求函数的极值 例 2：已知函数，求函数的极值，并作出函数图像的示意图. 解：由题意可得 . 解方程，可得或. 解方程，可得或，此时递增. 解方程，可得，此时递减. 因此，在()上递增，在(-2,2)上递减，在()上递增. 从而可知是函数的极大值点，极大值为； 是函数的极小值点，极小值为. 练习2.求下列函数的极值． (1) f (x) = 6x2 – x – 2. 解：∵ f ′(x) = 12x – 1， 令 f ′(x) = 0，解得 x = ， 当时，，此时递减. 当时，，此时递增. 因此，在()上递减，在()上递增. 从而可知是函数的极小值点，极小值为 (2)f(x)＝. 解：(2)函数f(x)＝的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝. 令f′(x)＝0，得x＝e. 当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表： x (0，e) e (e，＋∞) f′(x) ＋ 0 － f(x)   因此，x＝e是函数的极大值点，极大值为f(e)＝，函数f(x)没有极小值． (3)f(x)＝x2e－x. 解：(2)函数的定义域为R. f′(x)＝2xe－x－x2e－x＝x(2－x)e－x. 令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，0) 0 (0，2) 2 (2，＋∞) f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x)  极小值0 极大值 由上表可以看出， 当x＝0时，函数有极小值，极小值为f(0)＝0； 当x＝2时，函数有极大值，极大值为f(2)＝. 题型三　已知函数的极值求参数 例3　已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，求常数a，b的值． 解：因为f(x)在x＝－1时有极值0， 且f′(x)＝3x2＋6ax＋b， 所以即 解得或 当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0， 所以f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去． 当a＝2，b＝9时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3). 当x∈(－3，－1)时，f′(x)<0，f(x)为减函数； 当x∈(－∞，－3]和[－1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数． 所以f(x)在x＝－1时取得极小值， 因此a＝2，b＝9. 练习3 已知f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝1与x＝－时都取得极值． (1)求a，b的值； (2)若f(－1)＝，求f(x)的单调区间和极值． 解：(1)令f′(x)＝3x2＋2ax＋b＝0. 由题设，知x＝1，x＝－为f′(x)＝0的解． 由一元二次方程根与系数的关系，得 －＝1－，＝1×. ∴a＝－，b＝－2. (2)由(1)知f(x)＝x3－x2－2x＋c， f′(x)＝3x2－x－2. 由f(－1)＝－1－＋2＋c＝，得c＝1. ∴f(x)＝x3－x2－2x＋1. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x － 1 (1，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)   －  ∴f(x)的单调递增区间为和[1，＋∞)，单调递减区间为. 当x＝－时，f(x)有极大值，极大值为f＝； 当x＝1时，f(x)有极小值，极小值为f(1)＝－． 题型4　利用极值解决函数零点或方程根的问题 例4　已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a只有一个零点，求实数a的取值范围． 解：f′(x)＝－3x2＋6x＋9. 令f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝3. 列表： x (－∞，－1) －1 (－1，3) 3 (3，＋∞) f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x)  极小值  极大值  所以当x＝－1时，f(x)有极小值f(－1)＝a－5； 当x＝3时，f(x)有极大值f(3)＝a＋27. 画出函数f(x)的大致图象，要使函数f(x)只有一个零点，只需极小值大于0(如图1)或极大值小于0(如图2). 所以a－5>0或a＋27<0， 解得a>5或a<－27. 故实数a的取值范围为(－∞，－27)∪(5，＋∞). 练习4　设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R. (1)求函数f(x)的单调区间和极值； (2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同的实根，求实数a的取值范围． 解　(1)f′(x)＝3x2－6，令f′(x)＝0， 解得x1＝－，x2＝. 因为当x>或x<－时，f′(x)>0， 当－<x<时，f′(x)<0， 所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－]和[，＋∞)，单调递减区间为[－，]. 当x＝－时，f(x)有极大值5＋4； 当x＝时，f(x)有极小值5－4. (2)由(1)的分析知y＝f(x)的图象的大致形状及走向如图所示，当5－4<a<5＋4时，直线y＝a与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，即方程f(x)＝a有三个不同的实根. 【随堂检测】 1．(2023·全国乙卷)函数f(x)＝x3＋ax＋2存在3个零点，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－2) B．(－∞，－3) C．(－4，－1) D．(－3，0) 答案　B 解析　f(x)＝x3＋ax＋2，则f′(x)＝3x2＋a，若f(x)存在3个零点，则f(x)存在极大值和极小值，则a<0.令f′(x)＝3x2＋a＝0，解得x＝－或x＝ ，且当x∈∪时，f′(x)>0，当x∈时，f′(x)<0，故f(x)的极大值为f，极小值为f，若f(x)存在3个零点，则即解得a<－3.故选B. 2．设函数f(x)＝＋ln x，则(　　) A．x＝为f(x)的极大值点 B．x＝为f(x)的极小值点 C．x＝2为f(x)的极大值点 D．x＝2为f(x)的极小值点 答案　D 解析　∵f(x)＝＋ln x，x>0，∴f′(x)＝－＋，令f′(x)＝0，即－＋＝＝0，解得x＝2.当0<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0，∴x＝2为f(x)的极小值点，无极大值点． 3．(多选)定义在区间上的函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列结论正确的是(　　) A．函数f(x)在区间(0，4)上单调递增 B．函数f(x)在区间上单调递减 C．函数f(x)在x＝1处取得极大值 D．函数f(x)在x＝0处取得极小值 答案　ABD 解析　根据导函数图象可知，在区间上，f′(x)<0，f(x)单调递减；在区间(0，4)上，f′(x)>0，f(x)单调递增．所以函数f(x)在x＝0处取得极小值，没有极大值．所以A，B，D正确，C错误．故选ABD. 4．若函数f(x)＝x3－2ax＋a在(0，1)上有极小值没有极大值，则实数a的取值范围是________． 答案　 解析　f′(x)＝3x2－2a，∵f(x)在(0，1)上有极小值，没有极大值，∴⇒即0<a<.故实数a的取值范围是． 5．(2023·北京高考)设函数f(x)＝x－x3eax＋b，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝－x＋1. (1)求a，b的值； (2)设函数g(x)＝f′(x)，求g(x)的单调区间； (3)求f(x)的极值点个数． 解　(1)因为f(x)＝x－x3eax＋b，x∈R，所以f′(x)＝1－(3x2＋ax3)eax＋b， 因为曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝－x＋1， 所以f(1)＝－1＋1＝0，f′(1)＝－1， 则解得 (2)由(1)得g(x)＝f′(x)＝1－(3x2－x3)e－x＋1(x∈R)， 则g′(x)＝－x(x2－6x＋6)e－x＋1， 令x2－6x＋6＝0，解得x＝3±， 不妨设x1＝3－，x2＝3＋，则0<x1<x2， 易知e－x＋1>0恒成立， 所以令g′(x)<0，解得0<x<x1或x>x2；令g′(x)>0，解得x<0或x1<x<x2； 所以g(x)在(0，x1)，(x2，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)，(x1，x2)上单调递增， 即g(x)的单调递减区间为(0，3－)和(3＋，＋∞)，单调递增区间为(－∞，0)和(3－，3＋). (3)由(1)得f(x)＝x－x3e－x＋1(x∈R)，f′(x)＝1－(3x2－x3)e－x＋1， 由(2)知f′(x)在(0，x1)，(x2，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)，(x1，x2)上单调递增， 当x<0时，f′(－1)＝1－4e2<0，f′(0)＝1>0， 即f′(－1)f′(0)<0， 所以f′(x)在(－∞，0)上存在唯一零点，不妨设为x3，则－1<x3<0， 此时，当x<x3时，f′(x)<0，则f(x)单调递减；当x3<x<0时，f′(x)>0，则f(x)单调递增， 所以f(x)在(－∞，0)上有一个极小值点； 当x∈(0，x1)时，f′(x)在(0，x1)上单调递减， 则f′(x1)＝f′(3－)<f′(1)＝1－2<0， 故f′(0)f′(x1)<0， 所以f′(x)在(0，x1)上存在唯一零点，不妨设为x4，则0<x4<x1， 此时，当0<x<x4时，f′(x)>0，则f(x)单调递增；当x4<x<x1时，f′(x)<0，则f(x)单调递减， 所以f(x)在(0，x1)上有一个极大值点； 当x∈(x1，x2)时，f′(x)在(x1，x2)上单调递增， 则f′(x2)＝f′(3＋)>f′(3)＝1>0， 故f′(x1)f′(x2)<0， 所以f′(x)在(x1，x2)上存在唯一零点，不妨设为x5，则x1<x5<x2， 此时，当x1<x<x5时，f′(x)<0，则f(x)单调递减；当x5<x<x2时，f′(x)>0，则f(x)单调递增， 所以f(x)在(x1，x2)上有一个极小值点； 当x>x2＝3＋>3时，3x2－x3＝x2(3－x)<0， 所以f′(x)＝1－(3x2－x3)e－x＋1>0，则f(x)单调递增， 所以f(x)在(x2，＋∞)上无极值点． 综上，f(x)在(－∞，0)和(x1，x2)上各有一个极小值点，在(0，x1)上有一个极大值点，共有3个极值点． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1 6.2.2 导数与函数的极值、最值 第 1 课时 函数的导数与极值 学习目标：1.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.能利用 导数求某些函数的极大值、极小值.3.体会导数与单调性、极值的关系． 学习重点：利用导数求函数的极值． 学习难点：极值的判断、与极值有关的参数问题． 知识点 1：极值、极值点的概念 情境：在群山之中，各个山峰的顶端虽然不一定是群山的最高 处，但它却是其附近的最高点，同样，各个谷底虽然不一定是 群山之中的最低处，但它却是其附近的最低点. 观察图中函数𝒚 = 𝒇(𝒙)的图像，指出其中是否有类似山 峰、山谷的地方，如果有，尝试用数学语言描述. 极值点与极值 一般地，设函数𝑦 = 𝑓(𝑥)的定义域为 D，设 x0∈D，如果对于 x0 附近的任意不同于 x0 的 x，都有： (1) 𝑓(𝑥) < 𝑓(𝑥0)，则称 x0为函数𝑓(𝑥)的一个 ，且𝑓(𝑥)在 x0 处取 ， 例如极大值点有 极大值有 ； (2) 𝑓(𝑥) > 𝑓(𝑥0)，则称 x0为函数𝑓(𝑥)的一个 ，且𝑓(𝑥)在 x0 处取 ， 例如极小值点有 极小值有 ； 思考：在一个函数中，极大值一定比极小值大吗？ 知识点 2：可导函数的极值与导数的关系 探究：从图所示的函数𝑦 = 𝑓(𝑥)图像中可以看出，A，B，C，D 对应的横坐标𝑥1，𝑥2， 𝑥3，𝑥4都是函数的极值点，已知曲线𝑦 = 𝑓(𝑥)在 A，B，C，D 处都存在切线. (1)A，B，C，D 处的切线具有什么特征？这说明𝑓(𝑥)在𝑥1，𝑥2，𝑥3，𝑥4处的导数具有什么 特点？ (2)曲线𝑦 = 𝑓(𝑥)在 A，B，C，D 附近的点处的切线具有什么特征？ 归纳：一般地，如果𝑥0是𝑦 = 𝑓(𝑥)的极值点，且𝑓(𝑥)在𝑥0处可导，则必有 . 思考：若有𝑓′(𝑥0) = 0，则𝑥0一定是函数的极值点吗？ 2 典例剖析 题型 1 极值的判断 例 1：已知𝑓(𝑥) = 𝑥3，求所有使得𝑓′(𝑥) = 0的𝑥，并判断所求得的数是否为函数的极 值点. 归纳总结 判断极值点 一般地，设函数𝑓(𝑥)在𝑥0处可导，且𝑓′(𝑥0) = 0. (1)如果对于𝑥0左侧附近的任意 x，都有𝑓′(𝑥0) > 0，对于𝑥0右侧附近的任意 x，都有 𝑓′(𝑥0) < 0 ，那么此时𝑥0是𝑓(𝑥)的极大值点. (2)如果对于𝑥0左侧附近的任意 x，都有𝑓′(𝑥0) < 0，对于𝑥0右侧附近的任意 x，都有 𝑓′(𝑥0) > 0 ，那么此时𝑥0是𝑓(𝑥)的极小值点. (3)如果𝑓′(𝑥0)在𝑥0的左侧附近与右侧附近同号（均为正号或均为负号），则𝑥0一定不是 𝑦 = 𝑓(𝑥)的极值点. 练习 1. 函数 f (x)的导函数𝑦 = 𝑓 ′(𝑥)的图象如图所示，试找出函数𝑓 (𝑥)的极值点，并 指出哪些是极大值点，哪些是极小值点. 判断函数 y = f (x) 的极值的充要条件： ； 题型 2：求函数的极值 例 2：已知函数𝑓(𝑥) = 1 3 𝑥3 − 4𝑥 + 4，求函数的极值，并作出函数图像的示意图. 3 练习 2. 求下列函数的极值． (1)求函数 f (x) = 6x2 – x – 2 的极值. (2)f(x)＝ ln x x . (3)f(x)＝x2e －x. 题型三 已知函数的极值求参数 例 3 已知 f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在 x＝－1 时有极值 0，求常数 a，b 的值． 4 练习 3 已知 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c 在 x＝1 与 x＝－ 2 3 时都取得极值． (1)求 a，b 的值； (2)若 f(－1)＝ 3 2 ，求 f(x)的单调区间和极值． 题型 4 利用极值解决函数零点或方程根的问题 例 4 已知函数 f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a 只有一个零点，求实数 a 的取值范围． 练习 4 设函数 f(x)＝x3－6x＋5，x∈R. (1)求函数 f(x)的单调区间和极值； (2)若关于 x 的方程 f(x)＝a 有三个不同的实根，求实数 a 的取值范围． 5 第 1 课时【随堂检测】 1．函数 f(x)＝ax3＋bx 在 x＝1 处有极值－2，则 a，b 的值分别为( ) A．1，－3 B．1，3 C．－1，3 D．－1，－3 2．设函数 f(x)＝ 2 x ＋ln x，则( ) A．x＝ 1 2 为 f(x)的极大值点 B．x＝ 1 2 为 f(x)的极小值点 C．x＝2 为 f(x)的极大值点 D．x＝2 为 f(x)的极小值点 3．(多选)定义在区间   － 1 2 ，4 上的函数 f(x)的导函 数 f′(x)的图象如图所示，则下列结论正确的是( ) A．函数 f(x)在区间(0，4)上单调递增 B．函数 f(x)在区间   － 1 2 ，0 上单调递减 C．函数 f(x)在 x＝1 处取得极大值 D．函数 f(x)在 x＝0 处取得极小值 4．若函数 f(x)＝x3－2ax＋a 在(0，1)上有极小值没有极大值，则实数 a 的取值范围是 ________． 5．已知函数 f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d 的图象与 y 轴的交点坐标为(0，4)，其导函数 y＝ f′(x)是以 y 轴为对称轴的抛物线，大致图象如图所示． (1)求函数 f(x)的解析式； (2)求函数 f(x)的极值． 6 第 1 课时【课后精练】 一、选择题 1．函数 y＝f(x)是定义在 R 上的可导函数，则下列说法不正确的是( ) A．若函数在 x＝x0时取得极值，则 f′(x0)＝0 B．若 f′(x0)＝0，则函数在 x＝x0处取得极值 C．若在定义域内恒有 f′(x)＝0，则 y＝f(x)是常数函数 D．函数 f(x)在 x＝x0 处的导数是一个常数 2．下列函数中，x＝0 是极值点的函数是( ) A．y＝－x3 B．y＝cos2x C．y＝tanx－x D．y＝ 1 x 3.设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f′(x)，且函数 y＝(2－x)·f′(x)的图象如图所示， 则下列结论中一定成立的是( ) A．函数 f(x)有极大值 f(1)和极小值 f(－1) B．函数 f(x)有极大值 f(1)和极小值 f(2) C．函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1) D．函数 f(x)有极大值 f(－1)和极小值 f(2) 4．(2023·全国乙卷)函数 f(x)＝x3＋ax＋2 存在 3 个零点，则 a 的取值范围是( ) A．(－∞，－2) B．(－∞，－3) C．(－4，－1) D．(－3，0) 5．(多选)(2023·新课标Ⅱ卷)若函数 f(x)＝a ln x＋ b x ＋ c x2 (a≠0)既有极大值也有极小值，则( ) A．bc>0 B．ab>0 C．b2＋8ac>0 D．ac<0 二、填空题 6．函数 f(x)＝ ln x－1 x 的极大值为________． 7．函数 f(x)＝a ln x＋bx2＋3x 的极值点为 x1＝1，x2＝2，则 a＝________，b＝ ________． 8．已知 x＝x1和 x＝x2 分别是函数 f(x)＝2ax－ex2(a＞0 且 a≠1)的极小值点和极大值 点，若 x1＜x2，则 a 的取值范围是________． 三、解答题(写纸上) 9．已知 a，b 是实数，1 和－1 是函数 f(x)＝x3＋ax2＋bx 的两个极值点． (1)求 a，b 的值； (2)设函数 g(x)的导函数 g′(x)＝f(x)＋2，求 g(x)的极值点． 10．设 a 为实数，函数 f(x)＝－x3＋3x＋a. (1)求 f(x)的极值； (2)a 为何值时，方程 f(x)＝0 恰好有两个实数根？ 11．(2023·北京高考)设函数 f(x)＝x－x3eax ＋b，曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为 y＝－x＋1. (1)求 a，b 的值； (2)设函数 g(x)＝f′(x)，求 g(x)的单调区间；(3)求 f(x)的极值点个数．