1.2直角三角形 同步练习2024-2025学年北师大版数学八年级下册

1.2直角三角形 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，，于点C，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在4个均由16个小正方形组成的网格正方形中，各有一个格点三角形，那么这4个正方形网格中不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 3．一个三角形的两边长为6和8，要使该三角形为直角三角形，则第三条边长为（    ） A．3 B．10 C．41或10 D．10或 4．如图，在四边形ABCD中，CD∥AB，AC⊥BC，若∠B＝50°，则∠DCA等于（     ） A．30° B．35° C．40° D．45° 5．已知是的三边，且满足，则的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 6．如图所示的一块地，已知，，，，，则这块地的面积为（      ）． A． B． C． D． 7．有一长、宽、高分别为5 cm，4 cm，3 cm的木箱，在它里面放入一根细木条(木条的粗细、形变忽略不计)要求木条不能露出木箱．请你算一算，能放入的细木条的最大长度是(      )cm. A．5 B．5 C．6 D．6 8．下面几组数：①7，8，9；②12，9，15；③，，（为正整数）；④，，．其中能组成直角三角形三边长的是（    ）． A．①② B．②③ C．①③ D．③④ 9．给出下列几组数：① 4,5,6；②8，15，16;③n2－1，2n，n2＋1；④m2－n2，2mn，m2＋n2（m>n>0）．其中—定能组成直角三角形三边长的是（    ）． A．①② B．③④ C．①③④ D．④ 10．在同一平面直角坐标系中，点A的坐标（2，﹣1）、点B的坐标（﹣3，﹣4），则线段AB的长度为（　　） A．4 B． C．5 D．6 11．如图，有四个三角形，各有一边长为6，一边长为8，若第三边分别为6，8，10，12，则面积最大的三角形是（　） A． B． C． D． 12．如图，中，，于点D，则下列结论不一定成立的是（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 13．在中，，，则是________三角形． 14．一个三角形的三边长分别是，，，则这个三角形的面积是 ． 15．甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是．甲客轮用到达点，乙客轮用到达点．若两点的直线距离为，甲客轮沿着北偏东的方向航行，则乙客轮的航行方向为 ． 16．如图，中，，，，若 恰好经过点，交于，则的度数为 ° 17．如图，，，若，则 °．    三、解答题 18．综合与探究 如图，在和中，，，，的延长线交于点F． (1)求证：． (2)若，请直接写出的度数． (3)过点A作于点H，求证：． 19．已知：AB⊥BC，AD⊥DC，∠1=∠2，问：△ABC≌△ADC吗？说明理由． 20．在中，，是斜边上的高． (1)如图1，若是中线，，填空： ①则与的周长差为______； ②则高的长为_______； (2)如图2，若是角平分线，，求的度数． 21．已知，如图，，C为上一点，与相交于点F，连接．，． （1）求证：； （2）已知，，，求的长度． 22．如图所示,正方形网格中的每个小正方形边长都是1，画出一个周长为的三角形，且使它的每个顶点都在小正方形的顶点上，判断你所画三角形的形状，并说明理由． 23．已知中，记，. （1）如图，若平分，、分别是的外角和的平分线，，用含的代数式表示的度数，用含的代数式表示的度数，并说明理由. （2）如图，若点 为的三条内角平分线的交点，于点 ， 猜想（1）中的两个结论是否发生变化，补全图形并直接写出你的结论. . . 24．如图，在中，，，，点F在直线上，连接．若为直角三角形，求的度数．    《1.2直角三角形》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D C D C B B D B 题号 11 12 答案 C B 1．B 【分析】本题考查平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等得，再根据直角三角形两锐角互余即可得解．掌握直角三角形两锐角互余是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 故选：B． 2．C 【分析】先判断A选项中的三角形，再计算其余每个选项中三角形的边长后，利用勾股定理逆定理进行判断即可． 【详解】解：由观察可知，A选项中的三角形是直角三角形； B选项中的三角形三边长分别为，符合， 因此B选项中的三角形是直角三角形； C选项中的三角形三边长分别为，不满足有两边的平方和等于第三边的平方， 因此C选项中的三角形不是直角三角形； D选项中的三角形三边长分别为，符合， 因此D选项中的三角形是直角三角形； 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，解题关键是掌握如果一个三角形有两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 3．D 【分析】设第三条边长为x，分两种情况：当x是斜边时，当8是斜边时，进行计算即可解答． 【详解】解：设第三条边长为x， 分两种情况： 当x是斜边时，， 当8是斜边时，， 综上可知，第三条边长为10或， 故选择：D 【点睛】本题考查了勾股定理，利用分类讨论思想，分两类进行计算是解题的关键． 4．C 【分析】由AC⊥BC可得∠ACB＝90°，又∠B＝50°，根据直角三角形两个锐角互余可得∠CAB＝40°，再根据平行线的性质可得∠DCA＝∠CAB＝40°． 【详解】解：∵AC⊥BC， ∴∠ACB＝90°， 又∵∠B＝50°， ∴∠CAB＝90°﹣∠B＝40°， ∵CD∥AB， ∴∠DCA＝∠CAB＝40°． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及直角三角形的性质，解题的关键是根据题意得出∠CAB的度数． 5．D 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定以及非负数的性质，熟练掌握非负数的性质以及勾股定理的逆定理等知识是解题的关键． 根据非负数的性质可得关于的等式，继而可得，根据均大于零，且，继而可得，综合两种情况，可判断出的形状． 【详解】解：∵均大于零， ∴且， 又∵，即 故第一种情况，即， ∴是等腰三角形， 第二种情况， ∴是直角三角形 ∴等腰三角形或直角三角形 故选：． 6．C 【分析】连接，先利用勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，再由的面积减去的面积就是所求的面积，即可． 【详解】解：如图，连接．   在中，∵， ∴， 又∵， ∴是直角三角形， ∴这块地的面积 ． 故答案为：C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，根据勾股定理逆定理得到是直角三角形是解题的关键． 7．B 【分析】长方体对角线是最长的，当木条在木箱里对角放置的时候露在外面的长度最小，这样就是求出木箱的对角线长度即可． 【详解】如图所示：由题意可知AB=4cm，AC=5cm，CD=3cm 在直角三角形ABC中：BC= = = cm; 在直角三角形BCD中：BD= = = cm 故本题答案为：B 【点睛】本题重点考查学生的空间想象能力及勾股定理的应用，根据题意分析长方体对角线即为所求是解题关键. 8．B 【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判定即可． 【详解】解：①72+82=113≠92，故不能组成直角三角形； ②92+122=225=152，故能组成直角三角形； ③(5m)2+(12m)2=169m2=(13m)2，故能组成直角三角形； ④(a2)2+(2a2)2=5a4≠(3a2)2, 故不能组成直角三角形． 故选B． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理．在应用该定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断． 9．D 【详解】①42+52≠62，∴不能组成直角三角形；②82+152≠162，∴不能组成直角三角形；③当n=1时，三边长为：0、2、2，不能组成直角三角形；④(m2－n2)2+( 2mn)2=( m2＋n2)2,且m>n>0，∴能组成直角三角形. 故选D. 【点睛】本题关键在于勾股定理逆定理的运用． 10．B 【详解】利用两点间的距离公式d=求线段AB的长度． 解：∵在同一平面直角坐标系中，点A的坐标（2，﹣1）、点B的坐标（﹣3，﹣4）， ∴线段AB的长度为：=． 故选B． 11．C 【详解】如图，作出每一个三角形长度为8的边上的高，根据垂线段最短可得选项A、B、D中，长度为8的边上的高都小于6； 选项C中，因，这个三角形为直角三角形，所以长度为8的边上的高为6， 因此在这4个选项中，底都为8时，选项C的高最大，所以选项C的面积最大， 故选：C． 12．B 【分析】借助直角三角形两锐角互余，依次判断即可． 【详解】解：中， ∵， ∴，故A正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴，故C正确； ∵， ∴， ∵ ∴，故D正确； ∵不一定是，故B符合题意 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，根据直角三角形两锐角互余这一性质来解题是关键． 13．等腰直角 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，结合，即可得出结论． 【详解】∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形． 14． 【分析】先利用勾股定理的逆定理判断出三角形的形状，再利用三角形的面积公式，即可求出其面积． 【详解】解：， ∴此三角形是直角三角形， ∴此直角三角形的面积为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a，b，c，且满足，那么这个三角形就是直角三角形．能够根据具体数据，运用勾股定理的逆定理判定该三角形是直角三角形是解题的关键． 15．南偏东 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理以及方向角，根据、、的长度，利用勾股定理的逆定理找出是解题的关键．依照题意画出图形，根据路程速度时间可求出、，根据、、的长度，利用勾股定理的逆定理即可得出，结合的度数即可求出的度数，此题得解． 【详解】解：依照题意画出图形，如图所示． ，，， ， ， 为直角三角形，且， ， 乙客轮的航行方向为南偏东； 故答案为：南偏东． 16． 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟记性质并准确识图是解答本题的关键． 根据直角三角形两锐角互余，求出，根据全等三角形对应边相等得到，全等三角形对应角相等可得，然后根据等腰三角形的性质求出，再求出，然后根据三角形的外角的性质得到结果． 【详解】解：由已知得， ，， ， ， ，， ， ， ， 在中， ． 故答案为：． 17．30 【分析】本题考查了垂直的定义，直角三角形的两锐角互余，解题的关键是熟练掌握垂直的定义， 根据垂直的定义和直角三角形的性质 即可求解 【详解】解： 故答案为：30 18．(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）可利用证明结论； （2）由全等三角形的性质可得，结合平角的定义可得，根据，可求得，即可求解； （3）连接，过点A作于点J．结合全等三角形的性质利用证明，可得，，进而可证明结论． 【详解】（1）证明：∵． ∴． 在和中， ， ∴； （2）∵， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴； （3）证明：如图，连接，过点A作于点J． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定条件是解题的关键． 19．见解析 【详解】试题分析：根据全等三角形的判定定理AAS进行证明． 试题解析：解：△ABC≌△ADC．理由如下： ∵AB⊥BC，AD⊥DC，∴∠B=∠D=90°． 在△ABC与△ADC中，∵，∴△ABC≌△ADC（AAS）． 点睛：本题考查了全等三角形的判定．注意挖掘出隐含在题中的已知条件：AC是公共边． 20．(1)①2；② (2) 【分析】本题考查了三角形中线的性质、角平分线的定义，熟练掌握直角三角形的两锐角互余是解此题的关键． （1）①根据是中线可得，分别表示出出与的周长，作差即可得到答案； ②根据代入数据进行计算即可； （2）由角平分线的定义可得，再由直角三角形的两锐角互余得出，最后根据进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：①在中，，是中线， ， 的周长，的周长， 与的周长差， 故答案为：2； ②， ， ， 故答案为：； （2）解：，平分， ， 是斜边上的高， ， ， ， ． 21．（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）先证明再结合证明 从而可得结论； （2）先证明 再证明 从而利用等面积法可得的长度. 【详解】解：（1） ， 而 （2） ，，， 【点睛】本题考查的是三角形的外角的性质，平行线的性质与判定，勾股定理的逆定理的应用，证明是解本题的关键. 22．见解析，是直角三角形，见解析 【分析】先根据题意画出图形，即有一条边长是5，另外两条边长分别是的三角形，再根据勾股定理的逆定理即可判断三角形的形状． 【详解】解：如图，(或)就是所求的三角形； 以为例： ∵， ∴，， ∴， ∴是直角三角形． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理：如果两边的平方和等于第三边的平方，那么这样的三角形是直角三角形． 23．（1），；（2）， 【分析】（1）根据三角形内角和定理可求出，根据邻补角的性质可求出，再根据角平分线的性质可得=，根据三角形内角和定理算出∠BPC．由三角形外角的性质得出，进而利用直角三角形两锐角互余求出. （2）根据角平分线性质和三角形外角性质可得， ，进而可得答案. 【详解】（1）解：∵在中，， ∴ 又∵， ∴ ∴ ∵在中， ∴ ∵ ∴ 又∵平分 ∴ 同理 ∵ ∴ ∴ ∵在中，， ∴ （2）如图2，若点为的三条内角平分线的交点，于点，猜想（1）中的两个结论已发生变化 ∵点为的三条内角平分线的交点， ∴，， =，即： ， ∴， ， ∴， . 故答案为；． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线，三角形外角的性质．注意知识的灵活运用，对角进行代换运算． 24．的度数为或 【分析】在中，利用三角形内角和定理可求出的度数，结合“两直线平行，同位角相等”可得出分度数，分及两种情况考虑，当时，利用三角形内角和定理可求出的度数，将其代入中即可求出的度数；当时，由即可求出的度数． 【详解】解：在中，，， ． ， ，    分两种情况考虑： 当时，， ； 当时，， 综上，的度数为或． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理以及平行线的性质，分及两种情况，求出的度数是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$