第18章 勾股定理 单元检测卷 2024-2025学年沪科版八年级数学下册（安徽专版）

第18章　单元检测卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1.下列各组数是勾股数的是（　　） A.1，2， B.0.3，0.4，0.5 C.5，12，13 D.4，5，6 2.在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝1.将边AB与数轴重合，点A，B对应的数分别为0，3.以点A为圆心，AC的长为半径画弧，与数轴的一个交点D如图所示，则点D表示的数为　（　　） A.3 B.－3 C. D.－ 3.如图，所有阴影部分的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形.若正方形A，B，D的面积依次为6，10，24，则正方形C的面积为　　　（　　） A.4 B.6 C.8 D.12 4.已知在△ABC中，∠C＝90°，AC2＝3BC2，AB＝4，则AC的长为（　　） A.2 B. C.2 D.2 5.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中，不正确的是（　　） A.如果∠A－∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形 B.如果a2＝b2－c2，那么△ABC是直角三角形且∠C＝90° C.如果∠A∶∠B∶∠C＝1∶3∶2，那么△ABC是直角三角形 D.如果a2∶b2∶c2＝9∶16∶25，那么△ABC是直角三角形 6.如图，在平面直角坐标系中，点B，C的坐标分别为（－3，0），（7，0），AB＝AC＝13，则点A的坐标为（　　） A.（2，12） B.（3，13） C.（5，12） D.（5，13） 7.甲、乙两艘客轮在一个港口同时离开，航行的速度都是 40 m/min，甲客轮用15 min到达A地，乙客轮用20 min到达B地.若A，B两地之间的直线距离为1 000 m，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是　　　（　　） A.北偏西30° B.南偏西30° C.南偏东60° D.南偏西60° 8.如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地ABCD，测得AB＝9 m，BC＝12 m，CD＝8 m，AD＝17 m，且∠ABC＝90°，则这块菜地的面积是（　　） A.48 m2 B.114 m2 C.122 m2 D.158 m2 9.如图，“赵爽弦图”是用四个全等的直角三角形与一个小正方形无缝隙地拼成的一个大正方形.已知大正方形的面积为25，用x，y表示直角三角形的两直角边长（x＞y），（x＋y）2＝49，下列选项正确的是（　　） A.小正方形的面积为4 B.x2＋y2＝5 C.x2－y2＝7 D.xy＝24 10.如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B到点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A处爬到点B处，那么它爬行的最短距离是（　　） A.5 B.25 C.10＋5 D.35 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11.已知直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边的长为　 　. 12.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7 m，梯子顶端到地面的距离AC为2.4 m.如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙，梯子顶端到地面的距离A'D为1.5 m，那么小巷的宽为　 　. 13.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，现将△ABC沿BD进行翻折，使点A刚好落在边BC上，则CD＝　 　. 14.如图，在△ABC中，∠C＝90°，D为边AB的中点，E，F分别为边AC，BC上的点，且AE＝AD，BF＝BD，连接EF，DE，DF. （1）∠EDF＝　 　； （2）若DE＝EF＝，则线段AB的长为 　 　. 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分 16分） 15.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°. （1）若c＝25，b＝15，求a； （2）若a＝，∠B＝60°，求b，c. 16.如图，在离水面高度为8 m的岸上点C处，有人用绳子拉船欲停靠岸边点A处，开始时绳子BC的长为17 m，此人以1 m/s 的速度收绳，7 s 后船移动到点D的位置，问船向岸边点A处移动了多少米？（假设绳子是直的） 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分 16分） 17.已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且a－b＝8，ab＝2，c＝2，试判断△ABC的形状，并说明理由. 18.如图，在5×5的网格中有线段AB，在网格线的交点上找一点C，使△ABC满足如下条件.（仅用直尺作图） （1）在图1中作一个等腰三角形ABC； （2）在图2中作一个直角三角形ABD，使两直角边的长均为无理数. 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分 20分） 19.如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝15，D是边AC上的一点，且AD＝12，BD＝9. （1）求底边BC的长； （2）取底边BC的中点E，连接AE，求线段AE的长. 20.如图，学校有一块三角形空地ABC，其中AC＝10 m，AB＝17 m，BC＝21 m.学校计划将这块空地建成一个花园，预计花园每平方米造价80元，求学校修建这个花园需要投资多少元. 六、（本题满分12分） 21.（14分）如图，观察下列各式，然后解答问题. O＝1＋（）2，S1＝； ＝1＋（）2，S2＝； ＝1＋（）2，S3＝； …… （1）OA10＝　 　； （2）用含n（n是正整数）的式子表示：O＝　 　，Sn＝　 　； （3）求＋＋＋＋…＋的值. 七、（本题满分12分） 22.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10 cm，BC＝6 cm，动点P从点A出发，以2 cm/s的速度沿A→C→B→A运动，设点P的运动时间为t s. （1）当t为何值时，点P恰好在AB的垂直平分线上？ （2）当t为何值时，点P在BC上，且恰好在∠BAC的平分线上？ 八、（本题满分14分） 23.如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点D在△ABC内，且AD＝2，BD＝3，CD＝1. （1）猜想BD与CE的关系，并证明你的猜想； （2）求∠ADC的度数； （3）求△BCD的面积. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第18章　单元检测卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1.下列各组数是勾股数的是（　C　） A.1，2， B.0.3，0.4，0.5 C.5，12，13 D.4，5，6 2.在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝1.将边AB与数轴重合，点A，B对应的数分别为0，3.以点A为圆心，AC的长为半径画弧，与数轴的一个交点D如图所示，则点D表示的数为　（　D　） A.3 B.－3 C. D.－ 3.如图，所有阴影部分的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形.若正方形A，B，D的面积依次为6，10，24，则正方形C的面积为　　　（　C　） A.4 B.6 C.8 D.12 4.已知在△ABC中，∠C＝90°，AC2＝3BC2，AB＝4，则AC的长为（　D　） A.2 B. C.2 D.2 5.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中，不正确的是（　B　） A.如果∠A－∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形 B.如果a2＝b2－c2，那么△ABC是直角三角形且∠C＝90° C.如果∠A∶∠B∶∠C＝1∶3∶2，那么△ABC是直角三角形 D.如果a2∶b2∶c2＝9∶16∶25，那么△ABC是直角三角形 6.如图，在平面直角坐标系中，点B，C的坐标分别为（－3，0），（7，0），AB＝AC＝13，则点A的坐标为（　A　） A.（2，12） B.（3，13） C.（5，12） D.（5，13） 7.甲、乙两艘客轮在一个港口同时离开，航行的速度都是 40 m/min，甲客轮用15 min到达A地，乙客轮用20 min到达B地.若A，B两地之间的直线距离为1 000 m，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是　　　（　C　） A.北偏西30° B.南偏西30° C.南偏东60° D.南偏西60° 8.如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地ABCD，测得AB＝9 m，BC＝12 m，CD＝8 m，AD＝17 m，且∠ABC＝90°，则这块菜地的面积是（　B　） A.48 m2 B.114 m2 C.122 m2 D.158 m2 9.如图，“赵爽弦图”是用四个全等的直角三角形与一个小正方形无缝隙地拼成的一个大正方形.已知大正方形的面积为25，用x，y表示直角三角形的两直角边长（x＞y），（x＋y）2＝49，下列选项正确的是（　C　） A.小正方形的面积为4 B.x2＋y2＝5 C.x2－y2＝7 D.xy＝24 10.如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B到点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A处爬到点B处，那么它爬行的最短距离是（　B　） A.5 B.25 C.10＋5 D.35 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11.已知直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边的长为　4或　. 12.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7 m，梯子顶端到地面的距离AC为2.4 m.如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙，梯子顶端到地面的距离A'D为1.5 m，那么小巷的宽为　2.7 m　. 13.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，现将△ABC沿BD进行翻折，使点A刚好落在边BC上，则CD＝　　. 14.如图，在△ABC中，∠C＝90°，D为边AB的中点，E，F分别为边AC，BC上的点，且AE＝AD，BF＝BD，连接EF，DE，DF. （1）∠EDF＝　45°　； （2）若DE＝EF＝，则线段AB的长为 　2　. 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分 16分） 15.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°. （1）若c＝25，b＝15，求a； 解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝25，b＝15， ∴a＝＝＝20. （2）若a＝，∠B＝60°，求b，c. 解：（2）∵∠C＝90°，∠B＝60°，∴∠A＝30°， ∴AB＝2BC，即c＝2a＝2. 在Rt△ABC中，b＝＝3， 16.如图，在离水面高度为8 m的岸上点C处，有人用绳子拉船欲停靠岸边点A处，开始时绳子BC的长为17 m，此人以1 m/s 的速度收绳，7 s 后船移动到点D的位置，问船向岸边点A处移动了多少米？（假设绳子是直的） 解：∵∠CAB＝90°，BC＝17 m，AC＝8 m， ∴AB＝＝15 m. 由题意，得CD＝17－1×7＝10（m）， ∴AD＝＝＝6（m）， ∴BD＝AB－AD＝15－6＝9（m）. 答：船向岸边点A处移动了9 m. 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分 16分） 17.已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且a－b＝8，ab＝2，c＝2，试判断△ABC的形状，并说明理由. 解：△ABC是直角三角形.理由如下： ∵a－b＝8，ab＝2， ∴a2＋b2＝（a－b）2＋2ab＝82＋2×2＝68. 又∵c＝2，∴c2＝68， ∴a2＋b2＝c2， ∴△ABC是以c为斜边的直角三角形. 18.如图，在5×5的网格中有线段AB，在网格线的交点上找一点C，使△ABC满足如下条件.（仅用直尺作图） （1）在图1中作一个等腰三角形ABC； 解：（1）如图1，△ABC，△ABC1即为所求. （2）在图2中作一个直角三角形ABD，使两直角边的长均为无理数. 　　 解：（2）如图2，△ABD，△ABD1即为所求. 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分 20分） 19.如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝15，D是边AC上的一点，且AD＝12，BD＝9. （1）求底边BC的长； 解：（1）∵AB＝15，AD＝12，BD＝9， ∴AD2＋BD2＝AB2， ∴∠ADB＝90°. ∵AC＝15，AD＝12，∴DC＝3. 在Rt△CBD中，DC2＋BD2＝BC2， ∴BC＝＝3. （2）取底边BC的中点E，连接AE，求线段AE的长. 解：（2）∵AB＝AC，BE＝CE，∴AE⊥BC， ∴S△ABC＝BD·AC＝AE·BC， ∴AE＝＝＝. 20.如图，学校有一块三角形空地ABC，其中AC＝10 m，AB＝17 m，BC＝21 m.学校计划将这块空地建成一个花园，预计花园每平方米造价80元，求学校修建这个花园需要投资多少元. 解：如图，过点A作AD⊥BC于点D. 设BD＝x m，则CD＝（21－x）m. 在Rt△ABD和Rt△ACD中， ∵AD2＝AB2－BD2，AD2＝AC2－CD2， ∴AB2－BD2＝AC2－CD2，即172－x2＝102－（21－x）2，解得x＝15， ∴AD＝＝＝8（m）， ∴S△ABC＝BC·AD＝×21×8＝84（m2）， ∴84×80＝6 720（元）. 答：学校修建这个花园需要投资6 720元. 六、（本题满分12分） 21.（14分）如图，观察下列各式，然后解答问题. O＝1＋（）2，S1＝； ＝1＋（）2，S2＝； ＝1＋（）2，S3＝； …… （1）OA10＝　　； （2）用含n（n是正整数）的式子表示：O＝　n　，Sn＝　　； （3）求＋＋＋＋…＋的值. 解：＋＋＋＋…＋ ＝＋＋＋＋…＋ ＝（1＋2＋3＋4＋…＋n）＝. 七、（本题满分12分） 22.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10 cm，BC＝6 cm，动点P从点A出发，以2 cm/s的速度沿A→C→B→A运动，设点P的运动时间为t s. （1）当t为何值时，点P恰好在AB的垂直平分线上？ 解：由勾股定理，得AC＝＝＝8（cm）. （1）如图1，当点P在AC上时，连接PB. ∵点P恰好在AB的垂直平分线上， ∴PA＝PB＝2t（cm），∴PC＝8－2t（cm）， ∴（8－2t）2＋62＝（2t）2， 解得t＝. 当点P在AB上时，PA＝PB＝5 cm， ∴点P运动的路程为8＋6＋5＝19（cm）， ∴t＝. 综上所述，当t的值为或时，点P恰好在AB的垂直平分线上. （2）当t为何值时，点P在BC上，且恰好在∠BAC的平分线上？ 解：（2）如图2，过点P作PF⊥AB于点F. ∵AP平分∠BAC，∠ABC＝90°， ∴PF＝PC＝（2t－8）cm， ∴BP＝BC－PC＝（14－2t）cm. 在△APF和△APC中，易得AF＝AC， ∴BF＝BA－AF＝BA－AC＝2 cm. 在Rt△BPF中，由勾股定理，得 （2t－8）2＋22＝（14－2t）2，解得t＝， ∴当t的值为时，点P在BC上，且恰好在∠BAC的平分线上. 八、（本题满分14分） 23.如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点D在△ABC内，且AD＝2，BD＝3，CD＝1. （1）猜想BD与CE的关系，并证明你的猜想； 解：（1）猜想：BD＝CE，BD⊥CE. 证明：如图，延长BD交CE于点F. ∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAC－∠CAD＝∠DAE－∠CAD， ∴∠BAD＝∠CAE. ∵AB＝AC，AD＝AE， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE， ∴∠DBC＋∠ACB＋∠ACE＝∠ABD＋∠DBC＋∠ACB＝∠ABC＋∠ACB＝90°， ∴∠BFC＝90°，∴BD⊥CE. （2）求∠ADC的度数； 解：（2）∵∠DAE＝90°，AD＝AE＝2， ∴∠ADE＝45°. 由勾股定理，得DE2＝AD2＋AE2＝8. 由（1），知CE＝BD＝3. ∵CD＝1，∴DE2＋CD2＝8＋1＝9，CE2＝9， ∴DE2＋CD2＝CE2，∴△CDE为直角三角形， ∴∠CDE＝90°， ∴∠ADC＝∠CDE＋∠ADE＝135°. （3）求△BCD的面积. 解：（3）由（1）（2）可知，DF为Rt△CDE斜边上的高， ∴DF＝＝. 由勾股定理，得CF＝＝， ∴S△BCD＝BD·CF＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$