第17章 一元二次方程 单元检测卷 2024-2025学年沪科版八年级数学下册（安徽专版）

第17章　单元检测卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1.下列关于x的方程中，是一元二次方程的是　　　（　C　） A.x2＋＝－1 B.x2－4＝2y C.－2x2＋3＝0 D.（a－1）x2－2x＝0 2.一元二次方程（x＋2）2＝9可转化为两个一元一次方程，若其中一个一元一次方程是x＋2＝3，则另一个一元一次方程是　　（　D　） A.x－2＝－3 B.x－2＝3 C.x＋2＝3 D.x＋2＝－3 3.一元二次方程x2－x＋1＝0的根的情况是（　D　） A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 4.用配方法解一元二次方程x2－6x＋8＝0，配方后得到的方程是（　D　） A.（x＋6）2＝28 B.（x－6）2＝28 C.（x＋3）2＝1 D.（x－3）2＝1 5.若x＝1是一元二次方程x2＋ax＋2b＝0的根，则－a－2b的值为（　B　） A.－1 B.1　 C.2　 D.－2 6.已知关于x的一元二次方程（m－1）x2＋2x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是（　D　） A.m＜2 B.m≤2 C.m＜2且m≠1 D.m≤2且m≠1 7.某景点去年第一季度接待游客25万人次，第二、三季度共接待游客150万人次.设该景点去年第一季度到第三季度每个季度接待游客人次的增长率均为x，则可列方程为（　D　） A.25（1＋x）2＝150 B.25（1＋x）＝150 C.25＋25（1＋x）＋25（1＋x）2＝150 D.25（1＋x）＋25（1＋x）2＝150 8.若实数x，y满足x2－2xy＋y2＋x－y－6＝0，则x－y的值是（　B　） A.－2或3 B.2或－3 C.－1或6 D.1或－6 9.在解一元二次方程x2＋px＋q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是－3，1.小明看错了一次项系数p，得到方程的两个根是5，－4，则原来的方程是（　B　） A.x2＋2x－3＝0 B.x2＋2x－20＝0 C.x2－2x－20＝0 D.x2－2x－3＝0 10.关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方程y2＋qy＋p＝0也有两个同号非零整数根，则下列说法正确的是（　D　） A.p是正数，q是负数 B.（p－2）2＋（q－2）2＜8 C.q是正数，p是负数 D.（p－2）2＋（q－2）2＞8 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11.若关于x的方程（k－1）x｜k｜＋1＋6x－7＝0是一元二次方程，则k＝　－1　. 12.若x＝－2是关于x的方程x2－2ax＋8＝0的一个根，则方程的另一个根为　x＝－4　. 13.若实数a，b分别满足a2－4a＋3＝0，b2－4b＋3＝0，且a≠b，则＋的值为　　. 14.关于x的方程a（x＋k）2＋2 023＝0的根是x1＝－2，x2＝1（a，k均为常数，a≠0）. （1）关于x的方程 a（x＋k＋2）2＋2 023＝0的根是　x1＝－4，x2＝－1　； （2）关于x的方程a（x－k＋2）2＋2 023＝0的根是　x1＝0，x2＝－3　. 三、（本题满分16分） 15.用适当的方法解下列方程： （1）x2－4x－2＝0； 解：移项，得x2－4x＝2. 配方，得x2－4x＋4＝2＋4，即（x－2）2＝6. 开平方，得x－2＝±. ∴x1＝2－，x2＝2＋. （2）2x2－x－1＝0； 解：分解因式，得（2x＋1）（x－1）＝0. ∴x1＝－，x2＝1. （3）2x（x＋1）＝x＋1； 解：移项，得2x（x＋1）－（x＋1）＝0. 分解因式，得（x＋1）（2x－1）＝0. ∴x1＝－1，x2＝. （4）x2－6x＋9＝（5－2x）2. 解：移项，得（x－3）2－（5－2x）2＝0. 分解因式，得（x－3＋5－2x）（x－3－5＋2x）＝0.即（－x＋2）（3x－8）＝0. ∴x1＝2，x2＝. 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 16.x取何值时，代数式3x2－6x＋5的值与2x2－4的值相等？ 解：根据题意，得3x2－6x＋5＝2x2－4. 整理，得x2－6x＋9＝0. 分解因式，得（x－3）2＝0. ∴x－3＝0，∴x1＝x2＝3. 17.关于x的一元二次方程x2－（m＋2）x＋2m－1＝0. （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； 解：（1）证明：∵a＝1，b＝－（m＋2），c＝2m－1， ∴b2－4ac＝[－（m＋2）]2－4（2m－1）＝（m－2）2＋4. ∵在实数范围内，m无论取何值，都有（m－2）2＋4＞0，即b2－4ac＞0， ∴关于x的一元二次方程x2－（m＋2）x＋2m－1＝0总有两个不相等的实数根. （2）若此方程的一个根为x＝1，求m的值. 解：（2）将x＝1代入方程x2－（m＋2）x＋2m－1＝0，得12－（m＋2）＋2m－1＝0， 解得m＝2. 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 18.已知关于x的一元二次方程x2＋4x＋2k＝0有两个不相等的实数根x1，x2. （1）求k的取值范围； 解：（1）∵关于x的一元二次方程x2＋4x＋2k＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝b2－4ac＝42－4×1×2k＞0，解得k＜2. （2）若＋＝k2＋2k，求k的值. 解：（2）由题意，得x1＋x2＝－4，x1x2＝2k. ∵＋＝k2＋2k， ∴（x1＋x2）2－2x1x2＝k2＋2k， 即（－4）2－2×2k＝k2＋2k. 整理，得k2＋6k－16＝0， ∴（k＋8）（k－2）＝0，解得k1＝－8，k2＝2. ∵k＜2，∴k的值为－8. 19.在学习了乘法公式“（a±b）2＝a2±2ab＋b2”的应用后，李老师提出问题：求代数式－x2＋2x＋2的最大值.同学们经过探索和交流，最后得到如下的解法： 解：－x2＋2x＋2＝－（x2－2x＋12－12）＋2＝－（x－1）2＋3. ∵－（x－1）2≤0， ∴－（x－1）2＋3≤3. 当－（x－1）2＝0时，－（x－1）2＋3的值最大，最大值是3， ∴－x2＋2x＋2的最大值是3. 请你根据上述方法，解答下列问题： （1）求代数式－y2－6y＋2的最大值； 解：（1）－y2－6y＋2＝－（y＋3）2＋11. ∵－（y＋3）2≤0，∴－（y＋3）2＋11≤11， ∴－y2－6y＋2的最大值是11. （2）求代数式－2a2＋8a－3的最大值； 解：（2）－2a2＋8a－3＝－2（a2－4a＋4－4）－3＝－2（a－2）2＋5. ∵－2（a－2）2≤0，∴－2（a－2）2＋5≤5， ∴－2a2＋8a－3的最大值是5. （3）若x2－3x＋y－10＝0，求y－x的最大值. 解：（3）∵x2－3x＋y－10＝0，∴y＝－x2＋3x＋10， ∴y－x＝－x2＋2x＋10＝－（x－1）2＋11. ∵－（x－1）2≤0，∴－（x－1）2＋11≤11， ∴y－x的最大值是11. 六、（本题满分12分） 20.一个长、宽分别为20 m和12 m的长方形水池ABCD如图所示，要在水池中建一个各边与长方形的边互相平行的正方形观赏亭和连接观赏亭的四条道路，道路的宽均相等，其中两条与AB平行，另两条与BC平行，已知道路的宽为正方形观赏亭边长的，道路与观赏亭的面积之和是原长方形水池面积的. （1）设道路的宽为x m，则正方形的面积为 　16x2　m2；（用含x的代数式表示） （2）根据题中所给的信息，列方程求道路的宽. 解：依题意，得x（20－4x）＋ x（12－4x）＋（4x）2＝×20×12， 整理，得x2＋4x－5＝0， 解得x1＝1，x2＝－5（不合题意，舍去）. 答：道路的宽为1 m. 七、（本题满分12分） 21.商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施.经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件. （1）若某天该商品每件降价3元，则当天可获利多少元？ 解：（1）（50－3）×（30＋2×3）＝47×36＝1 692（元）. 答：若某天该商品每件降价3元，则当天可获利1 692 元. （2）设每件商品降价x元，则商场日销售量增加　2x　件，每件商品盈利　（50－x）　元.（用含x的代数式表示） （3）要使商场日盈利达到2 000元，则每件商品应降价多少元？ 解：（3）依题意，得（50－x）（30＋2x）＝2 000. 整理，得x2－35x＋250＝0， 解得x1＝10，x2＝25. ∵为了尽快减少库存， ∴x＝25. 答：每件商品应降价25元. 八、（本题满分14分） 22.如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”.设其中的一个根为t，则另一个根为2t，因此ax2＋bx＋c＝a（x－t）（x－2t）＝ax2－3atx＋2t2a，所以有b2－ac＝0.我们记K＝b2－ac，即当K＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0为倍根方程.下面我们根据所获信息来解决问题： （1）以下为倍根方程的是　②　.（填序号） ①x2－x－2＝0；②x2－6x＋8＝0. （2）若关于x的方程mx2＋（n－2m）x－2n＝0是倍根方程，求4m2＋5mn＋n2的值. 解：（2）mx2＋（n－2m）x－2n＝0， 因式分解，得（x－2）（mx＋n）＝0，解得x1＝2，x2＝－. ∵方程mx2＋（n－2m）x－2n＝0是倍根方程，∴2＝－或4＝－，∴m＝－n或m＝－n，∴m＋n＝0或4m＋n＝0， ∴4m2＋5mn＋n2＝（4m＋n）（m＋n）＝0. （3）若A（m，n）在一次函数y＝3x－8的图象上，且关于x的一元二次方程x2－x＋n＝0是倍根方程，求此倍根方程. 解：（3）∵x2－x＋n＝0是倍根方程， ∴K＝（－）2－×1×n＝0. 整理，得m＝3n. ∵A（m，n）在一次函数y＝3x－8的图象上， ∴n＝3m－8，∴n＝1，m＝3， ∴此倍根方程为x2－x＋＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第17章　单元检测卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1.下列关于x的方程中，是一元二次方程的是　　　（　　） A.x2＋＝－1 B.x2－4＝2y C.－2x2＋3＝0 D.（a－1）x2－2x＝0 2.一元二次方程（x＋2）2＝9可转化为两个一元一次方程，若其中一个一元一次方程是x＋2＝3，则另一个一元一次方程是　　（　　） A.x－2＝－3 B.x－2＝3 C.x＋2＝3 D.x＋2＝－3 3.一元二次方程x2－x＋1＝0的根的情况是（　　） A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 4.用配方法解一元二次方程x2－6x＋8＝0，配方后得到的方程是（　　） A.（x＋6）2＝28 B.（x－6）2＝28 C.（x＋3）2＝1 D.（x－3）2＝1 5.若x＝1是一元二次方程x2＋ax＋2b＝0的根，则－a－2b的值为（　　） A.－1 B.1　 C.2　 D.－2 6.已知关于x的一元二次方程（m－1）x2＋2x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是（　　） A.m＜2 B.m≤2 C.m＜2且m≠1 D.m≤2且m≠1 7.某景点去年第一季度接待游客25万人次，第二、三季度共接待游客150万人次.设该景点去年第一季度到第三季度每个季度接待游客人次的增长率均为x，则可列方程为（　　） A.25（1＋x）2＝150 B.25（1＋x）＝150 C.25＋25（1＋x）＋25（1＋x）2＝150 D.25（1＋x）＋25（1＋x）2＝150 8.若实数x，y满足x2－2xy＋y2＋x－y－6＝0，则x－y的值是（　　） A.－2或3 B.2或－3 C.－1或6 D.1或－6 9.在解一元二次方程x2＋px＋q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是－3，1.小明看错了一次项系数p，得到方程的两个根是5，－4，则原来的方程是（　　） A.x2＋2x－3＝0 B.x2＋2x－20＝0 C.x2－2x－20＝0 D.x2－2x－3＝0 10.关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方程y2＋qy＋p＝0也有两个同号非零整数根，则下列说法正确的是（　　） A.p是正数，q是负数 B.（p－2）2＋（q－2）2＜8 C.q是正数，p是负数 D.（p－2）2＋（q－2）2＞8 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11.若关于x的方程（k－1）x｜k｜＋1＋6x－7＝0是一元二次方程，则k＝　 　. 12.若x＝－2是关于x的方程x2－2ax＋8＝0的一个根，则方程的另一个根为　 　. 13.若实数a，b分别满足a2－4a＋3＝0，b2－4b＋3＝0，且a≠b，则＋的值为　 　. 14.关于x的方程a（x＋k）2＋2 023＝0的根是x1＝－2，x2＝1（a，k均为常数，a≠0）. （1）关于x的方程 a（x＋k＋2）2＋2 023＝0的根是　 　； （2）关于x的方程a（x－k＋2）2＋2 023＝0的根是　 　. 三、（本题满分16分） 15.用适当的方法解下列方程： （1）x2－4x－2＝0； （2）2x2－x－1＝0； （3）2x（x＋1）＝x＋1； （4）x2－6x＋9＝（5－2x）2. 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 16.x取何值时，代数式3x2－6x＋5的值与2x2－4的值相等？ 17.关于x的一元二次方程x2－（m＋2）x＋2m－1＝0. （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若此方程的一个根为x＝1，求m的值. 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 18.已知关于x的一元二次方程x2＋4x＋2k＝0有两个不相等的实数根x1，x2. （1）求k的取值范围； （2）若＋＝k2＋2k，求k的值. 19.在学习了乘法公式“（a±b）2＝a2±2ab＋b2”的应用后，李老师提出问题：求代数式－x2＋2x＋2的最大值.同学们经过探索和交流，最后得到如下的解法： 解：－x2＋2x＋2＝－（x2－2x＋12－12）＋2＝－（x－1）2＋3. ∵－（x－1）2≤0， ∴－（x－1）2＋3≤3. 当－（x－1）2＝0时，－（x－1）2＋3的值最大，最大值是3， ∴－x2＋2x＋2的最大值是3. 请你根据上述方法，解答下列问题： （1）求代数式－y2－6y＋2的最大值； （2）求代数式－2a2＋8a－3的最大值； （3）若x2－3x＋y－10＝0，求y－x的最大值. 六、（本题满分12分） 20.一个长、宽分别为20 m和12 m的长方形水池ABCD如图所示，要在水池中建一个各边与长方形的边互相平行的正方形观赏亭和连接观赏亭的四条道路，道路的宽均相等，其中两条与AB平行，另两条与BC平行，已知道路的宽为正方形观赏亭边长的，道路与观赏亭的面积之和是原长方形水池面积的. （1）设道路的宽为x m，则正方形的面积为 　 　m2；（用含x的代数式表示） （2）根据题中所给的信息，列方程求道路的宽. 七、（本题满分12分） 21.商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施.经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件. （1）若某天该商品每件降价3元，则当天可获利多少元？ （2）设每件商品降价x元，则商场日销售量增加　 　件，每件商品盈利　 　元.（用含x的代数式表示） （3）要使商场日盈利达到2 000元，则每件商品应降价多少元？ 八、（本题满分14分） 22.如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”.设其中的一个根为t，则另一个根为2t，因此ax2＋bx＋c＝a（x－t）（x－2t）＝ax2－3atx＋2t2a，所以有b2－ac＝0.我们记K＝b2－ac，即当K＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0为倍根方程.下面我们根据所获信息来解决问题： （1）以下为倍根方程的是　 　.（填序号） ①x2－x－2＝0；②x2－6x＋8＝0. （2）若关于x的方程mx2＋（n－2m）x－2n＝0是倍根方程，求4m2＋5mn＋n2的值. （3）若A（m，n）在一次函数y＝3x－8的图象上，且关于x的一元二次方程x2－x＋n＝0是倍根方程，求此倍根方程. 学科网（北京）股份有限公司 $$