专题03 导数（6考点40题）（人教B版2019，辽宁专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期中真题分类汇编

专题03 导数（6考点40题） 题型概览 题型01导数的运算 题型02切线问题 题型03单调性问题 题型04极值与最值问题 题型05恒成立问题 题型06零点问题 优选提升题 导数的运算题型01 1．(23-24高二下·辽宁大连育明高级中学·期中)设函数在上可导，且，则等于（    ） A．1 B． C．2024 D． 2．(23-24高二下·辽宁朝阳建平县高级中学·期中)函数在上的平均变化率是（    ） A． B．8 C． D． 3．(23-24高二下·辽宁本溪县级重点高中协作体·期中)一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离与时间之间的函数关系式为，则时，此木块在水平方向的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 4．(23-24高二下·辽宁大连滨城高中联盟·期中)函数的导数为（    ） A． B． C． D． 5．(23-24高二下·辽宁朝阳建平县高级中学·期中)（多选）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．(23-24高二下·辽宁本溪县级重点高中协作体·期中)若函数的导函数为，则 . 7．(23-24高二下·辽宁葫芦岛东北师范大学连山实验高中·期中)已知函数的导函数为，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 8．(23-24高二下·辽宁重点高中沈阳郊联体·期中)（多选）下列选项正确的是（    ） A．，则 B．，则 C． D．设函数且，则 切线问题题型02 9．(23-24高二下·辽宁部分高中·期中)曲线在处的切线方程为 . 10．(23-24高二下·辽宁本溪县级重点高中协作体·期中)若过点可以作曲线的两条切线，则（    ） A． B． C． D． 11．(23-24高二下·辽宁大连滨城高中联盟·期中)已知，则曲线在点处切线方程为 . 12．(23-24高二下·辽宁朝阳建平县高级中学·期中)曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 13．(23-24高二下·辽宁重点高中沈阳郊联体·期中)已知函数的图象经过点，且在处取得极值. (1)求，的值； (2)求经过点且与曲线相切的切线方程. 单调性问题题型03 14．(23-24高二下·辽宁大连滨城高中联盟·期中)函数的单调增区间是（    ） A． B． C． D． 15．(23-24高二下·辽宁部分高中·期中)函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 16．(23-24高二下·辽宁本溪县级重点高中协作体·期中)定义在上的函数的导函数为，且，则下列函数一定是增函数的是（    ） A． B． C． D． 17．(23-24高二下·辽宁大连滨城高中联盟·期中)已知是可导函数，且对于恒成立，则（    ） A． B． C． D． 18．(23-24高二下·辽宁部分高中·期中)已知定义在上的函数的导函数为，若，，则（    ） A． B． C． D． 19．(23-24高二下·辽宁重点高中沈阳郊联体·期中)函数的导函数的图象如图所示，给出下列选项正确的是（    ） A．是函数的极大值点； B．是函数的最小值点； C．在区间上单调递增； D．在处切线的斜率小于零． 20．(23-24高二下·辽宁大连滨城高中联盟·期中)已知函数． (1)当时，求在处的切线方程； (2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围； (3)求证：．（参考数据：） 21．(23-24高二下·辽宁实验中学北校区·期中)（1）求函数的极值． （2）已知曲线，求曲线过点的切线方程． （3）讨论函数，的单调性 极值与最值问题题型04 22．(23-24高二下·辽宁大连第八中学·期中)函数的极小值点为 ． 23．(23-24下·辽宁沈阳第二中学·期中)（多选）已知函数有唯一的极值点，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 24．设函数，已知，且，若的最小值为，则的值为 ． 25．(23-24高二下·辽宁部分高中·期中)已知函数（为常数），曲线在点处的切线平行于轴. (1)求的值； (2)求函数的单调减区间和极值. 26．(23-24下·辽宁沈阳第二中学·期中)设函数. (1)若，讨论的单调性； (2)若，证明：在区间内，存在唯一的极小值点，且. 27．(23-24下·辽宁沈阳第二中学·期中)有两个条件：（1）函数的图象过点，且函数在区间上是减函数，在区间上是增函数.（2）在时取得极大值.这两个条件中，请选择一个合适的条件将下面的题目补充完整（只要填写序号），并解答本题.题目：已知函数存在极值，并且______. (1)求的解析式； (2)当时，求函数的最值 恒成立问题题型05 28．(23-24下·辽宁沈阳第二中学·期中)下列不等式中不是恒成立的是（    ） A． B． C． D． 29．(23-24高二下·辽宁部分高中·期中)已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若，求的取值范围. 30．(23-24高二下·辽宁重点高中沈阳郊联体·期中)已知函数. (1)若，求在上的最大值和最小值； (2)若，当时，证明：恒成立； (3)若函数在处的切线与直线垂直，且对，恒成立，求实数的取值范围. 31．(23-24高二下·辽阳集美中学·期中)已知函数，. (1)求函数的最值； (2)若不等式在上恒成立，求的取值范围； (3)证明不等式：，. 零点问题题型06 32．(23-24高二下·辽宁部分高中·期中)已知函数有三个不同的零点，则的取值范围是 . 33．(23-24高二下·辽宁本溪县级重点高中协作体·期中)已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若有个零点，求的取值范围. 34．(23-24高二下·辽宁本溪县级重点高中协作体·期中)（多选）已知，函数的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 35．(23-24高二下·辽宁本溪县级重点高中协作体·期中)如图，在长方体中，四边形的周长为，长方体的体积为. (1)求的表达式； (2)若自变量从变到，求的平均变化率； (3)若，求在处的瞬时变化率. 36．(23-24高二下·辽阳集美中学·期中)（多选）已知，，则下列说法正确的是（    ） A． B．在处的切线方程为 C．在上单调递增 D．方程有两个不同的解 37．(23-24高二下·辽宁本溪县级重点高中协作体·期中)以表示数集中最小的数，表示数集中最大的数，则 ， . 38．(23-24高二下·辽阳集美中学·期中)已知函数，有且只有一个负整数，使成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 39．(23-24下·辽宁沈阳第二中学·期中)设函数的极值点为，则 .已知数列满足，若，则 . 40．(23-24高二下·辽宁部分高中·期中)已知函数. (1)求函数的最小值； (2)若，且，求证：. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 导数（6考点40题） 题型概览 题型01导数的运算 题型02切线问题 题型03单调性问题 题型04极值与最值问题 题型05恒成立问题 题型06零点问题 优选提升题 导数的运算题型01 1．(23-24高二下·辽宁大连育明高级中学·期中)设函数在上可导，且，则等于（    ） A．1 B． C．2024 D． 【答案】D 【来源】辽宁省大连育明高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】根据给定条件，利用导数的定义计算即得. 【详解】依题意，， 所以. 故选：D 2．(23-24高二下·辽宁朝阳建平县高级中学·期中)函数在上的平均变化率是（    ） A． B．8 C． D． 【答案】A 【来源】辽宁省朝阳市建平县高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】根据平均变化率的概念求解即可. 【详解】函数在上的平均变化率是. 故选：A. 3．(23-24高二下·辽宁本溪县级重点高中协作体·期中)一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离与时间之间的函数关系式为，则时，此木块在水平方向的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】辽宁省本溪市县级重点高中协作体2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】根据导数的几何意义知瞬时速度为该时刻处的导数值. 【详解】因为，所以时，此木块在水平方向的瞬时速度为. 故选：A 4．(23-24高二下·辽宁大连滨城高中联盟·期中)函数的导数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】辽宁省大连市滨城高中联盟2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】由题意结合导数的乘法运算法则和复合函数求导法则计算即可. 【详解】. 故选：. 5．(23-24高二下·辽宁朝阳建平县高级中学·期中)（多选）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【来源】辽宁省朝阳市建平县高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】根据基本初等函数的导数求导，求出导数值逐项检验即可得解. 【详解】A选项中，，所以，故A错误； B选项中，，所以，故B正确； C选项中，，所以，故C错误； D选项中，，所以，故D正确. 故选：BD. 6．(23-24高二下·辽宁本溪县级重点高中协作体·期中)若函数的导函数为，则 . 【答案】 【来源】辽宁省本溪市县级重点高中协作体2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】求函数的导数，令，求出，得到的解析式，再令，即可得到. 【详解】由题意得， 令，得， 则，所以. 故答案为：. 7．(23-24高二下·辽宁葫芦岛东北师范大学连山实验高中·期中)已知函数的导函数为，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【来源】辽宁省葫芦岛市东北师范大学连山实验高中2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题 【分析】求导可得，令运算即可. 【详解】因为，则， 令，可得，解得. 故选：B. 8．(23-24高二下·辽宁重点高中沈阳郊联体·期中)（多选）下列选项正确的是（    ） A．，则 B．，则 C． D．设函数且，则 【答案】AC 【来源】辽宁省重点高中沈阳市郊联体2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】结合导数的求导法则依次求解． 【详解】对于A项，，则，故A项正确； 对于B项，，故B项错误； 对于C项，，故C项正确； 对于D项，，由，得，故D项错误； 故选：AC 切线问题题型02 9．(23-24高二下·辽宁部分高中·期中)曲线在处的切线方程为 . 【答案】 【来源】辽宁省部分高中2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】求导数可得切线斜率，点斜式可求方程. 【详解】由得，，所以，又， 所以曲线在处的切线方程为，即. 故答案为： 10．(23-24高二下·辽宁本溪县级重点高中协作体·期中)若过点可以作曲线的两条切线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】辽宁省本溪市县级重点高中协作体2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】设切点点，写出切线方程，将点代入切线方程得，此方程有两个不同的解，利用导数求b的范围. 【详解】在曲线上任取一点， ， 所以曲线在点处的切线方程为. 由题意可知，点在直线上，可得， 令函数， 则. 当时，，此时单调递减， 当时，，此时单调递增， 所以. 设， 所以， 所以当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以， 所以， 所以， 当时，，所以， 当时，，所以， 的图象如图： 由题意可知，直线与的图象有两个交点，则. 故选：B 11．(23-24高二下·辽宁大连滨城高中联盟·期中)已知，则曲线在点处切线方程为 . 【答案】 【来源】辽宁省大连市滨城高中联盟2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】先求导函数，再求斜率和切点的纵坐标，即可求切线方程. 【详解】， 所以，且， 所以曲线在点处切线方程为，即. 故答案为：. 12．(23-24高二下·辽宁朝阳建平县高级中学·期中)曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】辽宁省朝阳市建平县高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】先求出处的切线方程，然后分别求出切线与轴交点的横坐标、纵坐标，然后求出出三角形的面积，即可得解. 【详解】由，得，所以切线的斜率为， 因为，所以曲线在处的切线方程为， 即， 令，得，令，得， 所以切线与坐标轴围成的三角形的面积为. 故选：B. 13．(23-24高二下·辽宁重点高中沈阳郊联体·期中)已知函数的图象经过点，且在处取得极值. (1)求，的值； (2)求经过点且与曲线相切的切线方程. 【答案】(1) (2)或 【来源】辽宁省重点高中沈阳市郊联体2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】（1）利用点在函数的图象上和函数极值点的定义即可求解； （2）设切点为，利用直线的点斜式写出切线方程，再利用导数的几何意义、切点在曲线上和切线上建立方程组，解出切点坐标及切线的斜率即可求解. 【详解】（1）因为， 所以. 因为函数图象经过点， 所以 因为函数在处取得极值， 所以， 所以，解得, 所以。 （2）由（1）知, 所以， 所以 设切点坐标为，设切线方程为， 由题意可得，解得或， 所以切线方程为或. 单调性问题题型03 14．(23-24高二下·辽宁大连滨城高中联盟·期中)函数的单调增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】辽宁省大连市滨城高中联盟2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】通过求导，令导函数大于，即可求解. 【详解】函数的定义域为， ， 令，即，解得， 所以函数的单调递增区间为. 故选：. 15．(23-24高二下·辽宁部分高中·期中)函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】辽宁省部分高中2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】由题意可得在上恒成立，利用参变分离法将其转化为，只需求出在上的最大值即得. 【详解】依题意，在上恒成立，即在上恒成立， 不妨设，，因在上恒成立， 故在上单调递减，则，故. 故选：D. 16．(23-24高二下·辽宁本溪县级重点高中协作体·期中)定义在上的函数的导函数为，且，则下列函数一定是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】辽宁省本溪市县级重点高中协作体2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】对各选项求导，结合题意即可得出答案. 【详解】对于A，，，无法判断单调性，故A错误； 对于B，，，无法判断单调性，故B错误； 对于C，恒成立，则义在上是增函数，故C正确； 对于D，，，无法判断单调性，故D错误. 故选：C. 17．(23-24高二下·辽宁大连滨城高中联盟·期中)已知是可导函数，且对于恒成立，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】辽宁省大连市滨城高中联盟2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】构造函数，由导数及确定单调性，得出及，即可得出判断． 【详解】设，则， 因为，所以，即在上单调递增， 所以，即，整理得， ，即，整理得， 故选：D． 18．(23-24高二下·辽宁部分高中·期中)已知定义在上的函数的导函数为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】辽宁省部分高中2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】由函数在定义域上为增函数及题设条件，可得，令，利用导数研究单调性，利用单调性即可判断各选项正误. 【详解】函数在定义域上为增函数，因为， 则，即，其中，所以， 令，则，所以在上递增， 所以， 即， 又，所以，，，. 故选：D 19．(23-24高二下·辽宁重点高中沈阳郊联体·期中)函数的导函数的图象如图所示，给出下列选项正确的是（    ） A．是函数的极大值点； B．是函数的最小值点； C．在区间上单调递增； D．在处切线的斜率小于零． 【答案】C 【来源】辽宁省重点高中沈阳市郊联体2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】利用函数的导函数的图象对A，B，C，D四个选项逐个判断即可． 【详解】解：由函数的导函数的图象可知， A．左侧的导数小于0，而右侧的导数大于0，所以是函数的极小值点，故错误，不符合题意； B．左侧的导数大于0，右侧的导数大于0，不是函数的最小值点，故B错误，不符合题意； C．当时，，单调递增，故C正确，符合题意； D．由图象得，所以在处切线的斜率大于零，故D错误，不符合题意； 故选：C． 20．(23-24高二下·辽宁大连滨城高中联盟·期中)已知函数． (1)当时，求在处的切线方程； (2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围； (3)求证：．（参考数据：） 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【来源】辽宁省大连市滨城高中联盟2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】（1）由题意，求出，即可得出切线方程； （2）由函数在上单调递增得，当时，分离参数得对于恒成立，由导数求出最值，即可求解； （3）法一：由（2）可知，当时，在上单调递增，令得，，根据累加法即可证明；法二：设数列的前项和，得出，证明即可，证法同法一；法三：用数学归纳法证明． 【详解】（1）当时，， 所以求在处的切线方程为：． （2）， 若函数在上单调递增， 则当，，即对于恒成立， 令，则，则函数在上单调递增， 所以，故． （3）法一：由（2）可知，当时，在上单调递增， 所以当时，，即，即在上总成立， 令得，， 化简得：，所以，， 累加得，即，命题成立． 法二：可设数列的前项和， 当时，， 当时，，时也成立， 所以， 本题即证，以下证明同法一． 法三：（i）当时，左式，右式显然成立； （ii）假设当不等式成立，即， 那么当时，左式， 证明，即需证， 设，则， 即只需证，即， 设， 所以在单调递增，，可知不等式是也成立， 综上可知，不等式对于任意正整数都成立． 注意：中，写成或都可以． 21．(23-24高二下·辽宁实验中学北校区·期中)（1）求函数的极值． （2）已知曲线，求曲线过点的切线方程． （3）讨论函数，的单调性 【答案】（1）极小值-1；（2），；（3）答案见解析 【来源】辽宁省实验中学北校区2023-2024学年高二下学期期中测试数学试题 【分析】（1）对函数求导，利用导数判断函数的单调性，求函数的极值即可； （2）分点为切点和点不是切点两种情况，分别求切线方程； （3）对函数求导，根据导数，分、、三种情况，结合二次函数的开口方向，根的正负大小讨论函数的单调性即可. 【详解】（1）因为，所以， 令，即，即，解得，， 1 单调递减 极小值 单调递增 单调递增 所以时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以函数在时有极小值，，无极大值. （2）令，所以，， 当为切点时，直线斜率，此时切线方程为， 即； 当不是切点时，设切点为，此时切线的斜率， 又因为，根据导数的几何意义有，， 所以，整理有，① 又在曲线上，所以，② 联立①②，有， 整理得，，解得或（舍）， 将代入①，解得，所以切点为，又切线过点， 所以切线方程为，整理有：. 所以曲线过点的切线方程为，. （3）因为，所以， 即， 当时，，令，解得， 所以时，，所以在上单调递减， 时，，所以在上单调递增； 当时， ， 令，， 当时，令，则，， 所以方程有、两个根， 解得，， 因为，，所以，， 所以不在定义域内， 时，，单调递减， 时，，单调递增； 时，当时，即时，在上恒成立， 所以在上单调递减； 当，即时，方程有、两个根， 解得，， 因为，，所以，， ，又因为，， 所以当时，，单调递减， 时，，单调递增， 时，，单调递减； 综上所述：时，    在是单调递减，在单调递增； 时，在上单调递减，在上单调递增 时，在和上单调递减， 在上单调递增； 时，在单调递减. 【点睛】关键点点睛：本题讨论函数的单调性，结合导数的形式，利用判别式和利用韦达定理判断出根的个数与正负，分情况进行讨论. 极值与最值问题题型04 22．(23-24高二下·辽宁大连第八中学·期中)函数的极小值点为 ． 【答案】2 【来源】辽宁省大连市第八中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】求导，根据函数的单调性，结合极值点的定义即可求解. 【详解】解：因为， 令，得或， 则在上单调递增，在上单调递减，所以极小值点为2． 故答案为：2 23．(23-24下·辽宁沈阳第二中学·期中)（多选）已知函数有唯一的极值点，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【来源】辽宁省沈阳市第二中学2023-2024学年下学期期中考试数学试卷 【分析】求导可得，可得存在唯一的变号正实根，进而对在上的零点情况分类讨论，求得的范围即可判断结论. 【详解】由，可得， 依题意可得存在唯一的变号正实根，即存在唯一的变号正实根， 当时，不存在正实根， 又，当时，，当时，， 所以符合题意，只有一个极大值点，且， 当时，若要只有一个极值点， 则需在上没有零点或只有1这个零点， 当没有零点时，即在上没有零点， 又时，，则恒成立， 所以在上恒成立，令， 则，当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 故，所以，所以， 当在有一个零点时，则， 所以或，由于，， 所以，，可以是的值. 因为， 令，求导可得， 当时，，故函数单调递增， 所以，故，故不符合题意. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理． 24．设函数，已知，且，若的最小值为，则的值为 ． 【答案】1 【来源】云南省昭通市2022届高三期末数学（理）试题 【分析】令，由图象可知，构造函数，利用导数求函数最小值即得. 【详解】令，则．    因为，则，， 可得，则． 令，则， 当时，即时，在内恒成立， 可知在上单调递减， 则，解得，经检验满足题意； 当时，即时，令，解得；令，解得； 可知在上单调递减，在上单调递增， 则，解得 这与矛盾，舍去； 综上所述：． 故答案为：1. 25．(23-24高二下·辽宁部分高中·期中)已知函数（为常数），曲线在点处的切线平行于轴. (1)求的值； (2)求函数的单调减区间和极值. 【答案】(1) (2)单调减区间为；极大值为，极小值为 【来源】辽宁省部分高中2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义建立方程求解即可； （2）求出导函数，求出函数的单调区间，列表，根据极值的概念求解即可. 【详解】（1）函数的定义域为， 在点处的切线平行于轴，， . （2）由（1）可得， 令得或，列表如下： 2 + 0 - 0 + 极大值 极小值 由表格知单调减区间为，极大值为，极小值为. 26．(23-24下·辽宁沈阳第二中学·期中)设函数. (1)若，讨论的单调性； (2)若，证明：在区间内，存在唯一的极小值点，且. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【来源】辽宁省沈阳市第二中学2023-2024学年下学期期中考试数学试卷 【分析】（1）由题意整理函数解析式并求导，利用分类讨论的思想，利用一元二次函数的性质，可得答案； （2）根据函数解析式求导，再将导数求导研究其单调性，利用极小值的充分条件，可得答案. 【详解】（1），，设方程， 当，即时，，此时在上为单调递减； 当，即或，此时方程两根为， 当时，此时两根均为负，在上单调递减； 当时，此时两根均为正，在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递减. 综上：时，在上单调递减； 时，在上单调递减， 在上单调递增. （2）由，则，令，则， 因为，，所以在内单调递增. 因为，，所以存在，使得. 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在区间内有唯一的极小值点，没有极大值点. 由得，于是. 因为当时，，所以 综上，在区间内有唯一的极小值点，没有极大值点，且. 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于对于含参导数的整理化简，一般采用的方法有两种：一是分解因式根据方程的解的判别；二是对导数再次求导研究其单调性. 27．(23-24下·辽宁沈阳第二中学·期中)有两个条件：（1）函数的图象过点，且函数在区间上是减函数，在区间上是增函数.（2）在时取得极大值.这两个条件中，请选择一个合适的条件将下面的题目补充完整（只要填写序号），并解答本题.题目：已知函数存在极值，并且______. (1)求的解析式； (2)当时，求函数的最值 【答案】(1) (2) 【来源】辽宁省沈阳市第二中学2023-2024学年下学期期中考试数学试卷 【分析】（1）选①，根据函数单调性确定极值，利用极值点是导数对应方程的根列式求出答案；选②，根据极值的定义列式求出，并检验. （2）利用导数判断单调性求出最值. 【详解】（1）选①：， 因为函数在区间上是减函数，在区间上是增函数， 所以1，2是的根，所以，解得.因为， 故. 选②：因为，所以， 由题意知，解得， 故， 经检验在时取得极大值，故符合题意. 所以. （2），令，所以或， 所以和时，单调递增； 时，单调递减； 因此在单调递减，在单调递增， 则， ，所以. 恒成立问题题型05 28．(23-24下·辽宁沈阳第二中学·期中)下列不等式中不是恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】辽宁省沈阳市第二中学2023-2024学年下学期期中考试数学试卷 【分析】A选项，令，，利用导数方法求出最小值，即可判定出A正确；B选项，令，，导数方法研究单调性，求出范围，即可判定B错；C选项，令，导数的方法求出最小值，即可判定C正确；D选项，令，导数的方法求出最小值，即可判定D正确. 【详解】A选项，因为，令，令， 则，所以在上单调递增， 所以，即，即在时恒成立；故A正确； B选项，令，， 则显然恒成立， 所以在上单调递减，又， 所以当时，，所以，故B错； C选项，令，则， 当时，，即单调递增； 当时，，所以单调递减；则， 即恒成立；故C正确； D选项，令，则， 令，则恒成立， 所以单调递增，又， 所以当时，，即单调递增； 当时，，即单调递减； 所以，因此恒成立，故D正确. 故选：B. 29．(23-24高二下·辽宁部分高中·期中)已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【来源】辽宁省部分高中2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】（1）对函数求导，对导函数中的参数进行分类讨论，即得函数的单调性； （2）法一，将不等式恒成立问题转化成求时，结合（1）的结论，通过对参数分类讨论，利用求得参数的范围；法二，将不等式运用参变分离法化成，故只须求的最大值即得参数的范围. 【详解】（1）函数的定义域是， 因， ①若，则在上单调递增； ②若，则当时，单调递减； 当时，单调递增； 综上，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增 （2）法一： 恒成立，即对（*） ①若 则，由（1）知，在上单调递增， 而，故（*）式不成立； ②若由（1）知，在上单调递减，上单调递增， 则由，可得 设，因在上恒成立， 则在为增函数，又，故需使， 即的取值范围是. 法二：因为函数的定义域是 即为，可化为. 设，依题意需使. 因，令， 因在上恒成立，则在上是减函数， 又因为，所以当时，，则在上是增函数； 当时，，，则在上是减函数. 所以在处取得极大值，也是最大值，即，所以. 故的取值范围是. 30．(23-24高二下·辽宁重点高中沈阳郊联体·期中)已知函数. (1)若，求在上的最大值和最小值； (2)若，当时，证明：恒成立； (3)若函数在处的切线与直线垂直，且对，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)最大值是，最小值是 (2)证明见解析 (3) 【来源】辽宁省重点高中沈阳市郊联体2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】（1）利用导数研究函数的单调性，进而求最值即可； （2）构造函数，然后利用导数研究函数的单调性，进而求最值即可证明； （3）根据题意，先求参数，进而用分离参数的方法解决恒成立问题即可. 【详解】（1）当时，，， 令可得，故当时，在单调递减； 当时，在单调递增； 故递减区间为，递增区间为 函数的极小值是唯一的极小值，无极大值. 又， 在上的最大值是，最小值是 （2）因为，所以令， . 当时，，则在上单调递增， 所以当时，，所以恒成立. （3）因为函数的图象在处的切线与直线垂直， 所以，即，解得 所以. 因为对，恒成立， 所以对，恒成立. 令，则 令，解得；令，解得， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，则，解得：. 所以实数的取值范围为 31．(23-24高二下·辽阳集美中学·期中)已知函数，. (1)求函数的最值； (2)若不等式在上恒成立，求的取值范围； (3)证明不等式：，. 【答案】(1)当时，函数取得最小值为；函数无最大值； (2)； (3)证明见详解. 【来源】辽阳市集美中学2023-2024学年下学期期中考试高二数学 【分析】（1）利用导数研究函数的单调性，从而求得函数的最值； （2）对分离参数得，设，，则，利用导数求出即可； （3）由（2）得在上恒成立，令，则，累加得即可得证. 【详解】（1）定义域为，，由得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以，当趋于正无穷大时，趋于正无穷大，所以无最大值， 故当时，函数取得最小值为；函数无最大值. （2）因为不等式在上恒成立， 所以，即， 因为，所以在上恒成立， 设，，则； ，由得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以，故, 所以的取值范围为. （3）由（2）得在上恒成立， 令，则， 所以， 即， 因为，所以，即， 所以. 【点睛】方法技巧:对于利用导数研究不等式的恒成立的求解策略: 1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解； 2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题； 4、若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法. 零点问题题型06 32．(23-24高二下·辽宁部分高中·期中)已知函数有三个不同的零点，则的取值范围是 . 【答案】 【来源】辽宁省部分高中2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】根据有三个不同的零点，可推出具有三个不同的解，可得与的图象共有三个交点，构造函数，求解的范围. 【详解】根据有三个不同的零点， 则具有三个不同的解， 可得与的共有三个解， 构造函数，则，故，则， 当，，当，， 所以，当时，，当时，， 所以或，解得或， 故的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】函数的零点问题转化为方程的解或函数的交点问题即可求解参数范围. 33．(23-24高二下·辽宁本溪县级重点高中协作体·期中)已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若有个零点，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【来源】辽宁省本溪市县级重点高中协作体2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】（1）求导可得，利用导函数分类讨论可求单调区间； （2）若，求得零点，可判断不符合题意，由有3个零点，结合（1）可得，可求的取值范围. 【详解】（1）， 当时，恒成立，所以在上单调递增. 当时，令，解得或，所以在和上单调递 增，在上单调递减. 当时，令，解得或，所以在和上单调递增，在上单调递减. （2）当时，，令，解得或， 不符合题意，故， 由（1）可知，又有3个零点，所以，. 由，所以， 因，所以，可得或或， 即的取值范围为. 34．(23-24高二下·辽宁本溪县级重点高中协作体·期中)（多选）已知，函数的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【来源】辽宁省本溪市县级重点高中协作体2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】分别在、和的情况下，结合函数奇偶性和导数判断出函数的单调性，进而确定ABC正确；根据D中图象可确定，知D错误. 【详解】对于A，当时，， ，为定义在上的奇函数，图象关于原点对称； 当时，，， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减，且当时，恒成立， 由对称性知：在上单调递减，在上单调递增，且当时，恒成立， 又，A正确； 对于B，当时，， ，为定义在上的偶函数，图象关于轴对称； 当时，，， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减，且当时，恒成立， 由对称性知：在上单调递增，在上单调递减，且当时，恒成立， 又，B正确； 对于C，当时，，， ，的定义域为， 为定义在上的偶函数，图象关于轴对称； 当时，，， 在上单调递减，且当时，恒成立； 由对称性知：在上单调递增，且当时，恒成立，C正确； 对于D，由图象可知：，即在处有意义，则； 又图象关于轴对称，为偶函数，， 此时图象应为B中图象，D错误. 故选：ABC. 35．(23-24高二下·辽宁本溪县级重点高中协作体·期中)如图，在长方体中，四边形的周长为，长方体的体积为. (1)求的表达式； (2)若自变量从变到，求的平均变化率； (3)若，求在处的瞬时变化率. 【答案】(1) (2)22 (3) 【来源】辽宁省本溪市县级重点高中协作体2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】（1）由已知可得，利和长方体的体积公式可求； （2）由平均变化率的定义可得，计算可得平均变化率； （3）由，可求，进而求得可得在处的瞬时变化率. 【详解】（1）（1）因为四边形的周长为12，所以， 所以， 因为，所以， 所以. （2）若自变量从变到，则的平均变化率为. （3）由，得. ， 则， 所以在处的瞬时变化率为-30. 36．(23-24高二下·辽阳集美中学·期中)（多选）已知，，则下列说法正确的是（    ） A． B．在处的切线方程为 C．在上单调递增 D．方程有两个不同的解 【答案】BC 【来源】辽阳市集美中学2023-2024学年下学期期中考试高二数学 【分析】求导即可判断AC，根据导数的几何意义即可判断B，将方程的解转化为函数图像的交点，即可判断D. 【详解】 ，故A错误； 因为，则，且， 则在处的切线方程为， 即，故B正确； 因为，则， 令可得，其中，则， 所以在上单调递增，故C正确； 方程的解的个数，即为的解的个数， 即函数与函数图像交点个数， 作出函数与的图像，如图所示， 由图像可知，方程只有一个解，故D错误； 故选：BC 37．(23-24高二下·辽宁本溪县级重点高中协作体·期中)以表示数集中最小的数，表示数集中最大的数，则 ， . 【答案】 【来源】辽宁省本溪市县级重点高中协作体2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】根据的结构特征，可构造函数，利用导数判断其单调性，即可比较的大小关系，再结合作商法比较大小，即可求得答案. 【详解】构造函数，则. ，当时，，则在上单调递减， 而，故，所以. 又，，所以， 故. 故答案为：； 38．(23-24高二下·辽阳集美中学·期中)已知函数，有且只有一个负整数，使成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】辽阳市集美中学2023-2024学年下学期期中考试高二数学 【分析】根据题意，将问题转化为有且只有一个负整数解，分别构造与，做出函数图像，结合图像可得，即可求解. 【详解】    已知函数， 则有且只有一个负整数解， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得最小值为， 且时，，时，， 设，则恒过点， 在同一坐标系中分别做出与图像，如图所示， 显然，由题意可得，解得， 所以，即的取值范围是. 故选：A 【点睛】关键点睛：本题主要考查了利用导数研究函数图像问题以及利用函数图像求解不等式问题，难度较大，解答本题的关键在于在同一坐标系中分别做出与图像，结合图像，进行求解. 39．(23-24下·辽宁沈阳第二中学·期中)设函数的极值点为，则 .已知数列满足，若，则 . 【答案】 1 －2 【来源】辽宁省沈阳市第二中学2023-2024学年下学期期中考试数学试卷 【分析】对函数求导，分析函数的单调性，设出极值点，得到满足的关系，可计算的值；结合上面的结论和数列的递推公式，先推导出，再用表示出，，再求. 【详解】因为，. 所以， 由. 设，则恒成立， 所以在上单调递减，又，，所以唯一存在，使得. 则在上单调递增，在上单调递减. 所以为函数的极大值点，且. 所以. 因为. 所以，. 又因为，即. 又有唯一的解，所以有唯一解，所以. 所以， ， 所以.（因为）. 故答案为：1； 【点睛】关键点点睛：根据数列的递推公式，得到，又有有唯一解，所以得到是解决问题的关键. 40．(23-24高二下·辽宁部分高中·期中)已知函数. (1)求函数的最小值； (2)若，且，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【来源】辽宁省部分高中2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】（1）求出导函数，利用导数研究单调性，进而求出函数的最小值； （2）根据题目条件构造函数，从而，所证不等式转化为证明，令，利用导数研究函数的单调性，利用最值得，再利用的单调性得证. 【详解】（1）由且定义域为，得， 令且定义域为，则， 所以在单调递增，又， 当时，单调递减； 当时，单调递增. 所以函数在时，有最小值； （2）因为， 即， 所以， 因为， 设，则由得，，且. 不妨设，要证，即证，即证， 由及的单调性知，. 令，则， 因为，所以， 所以在为减函数，所以， 所以，取，则， 又，则， 又，且在单调递增， 所以. 所以原命题得证. 【点睛】关键点点睛：第二问利用导数证明不等式，此类问题的解答难度较大，解答时要利用同构得，换元并利用函数，继而将原不等式转化为证明成立，构造函数，利用导数解决极值点偏移问题. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$