专题02 数列（5考点50题）（人教B版2019，辽宁专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期中真题分类汇编

专题02 数列（5考点50题） 题型概览 题型01等差数列 题型02等比数列 题型03数列的概念与递推关系 题型04数列中的奇偶项问题 题型05数列新定义 优选提升题 等差数列题型01 1．(23-24高二下·辽宁辽宁七校协作体·期中)等差数列的前n项和为，若，，则（    ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】B 【来源】辽宁省辽宁省七校协作体2023-2024学年高二下学期5月期中数学试题 【分析】根据题意，求得，结合等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，，可得，解得， 所以. 故选：B. 2．(23-24高二下·辽宁大连第二十四中学·期中)在等差数列中，，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【来源】辽宁省大连市第二十四中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】由等差数列的性质，，求出，再由求值即可. 【详解】等差数列中，有， ，得，则. 故选：D. 3．(23-24高二下·辽阳集美中学·期中)在公差不为零的等差数列中,是与的等比中项,则（    ） A． B． C．5 D．4 【答案】C 【来源】辽阳市集美中学2023-2024学年下学期期中考试高二数学 【分析】设等差数列的公差为,利用已知建立关系,用表示,再用表示出及前项和即可得解. 【详解】设等差数列的公差为, 因为是与的等比中项, 所以, 则. 故选:C. 4．(23-24高二下·辽宁实验中学北校区·期中)设是等差数列的前n项和，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】辽宁省实验中学北校区2023-2024学年高二下学期期中测试数学试题 【分析】由等差数列的性质，与的关系，等差中项的性质，前项和公式逐一分析即可； 【详解】因为是等差数列的前n项和， 由， 由， 设公差为，则， 对于A：，故A正确； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D正确； 故选：A. 5．(23-24高二下·辽宁部分高中·期中)已知数列，则由这两个数列公共项从小到大排列得到的数列为，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】辽宁省部分高中2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】根据两数列的项的特征，易推得由公共项构成的新数列项的特征，写出通项公式化简即得. 【详解】因数列是首项为1，公差为2的等差数列，而数列是首项为1，公差为3的等差数列， 则这两个数列的公共项从小到大排列构成的新数列是首项为1，公差为6的等差数列， 故. 故选：D. 6．(23-24高二下·辽宁实验中学·期中)记等差数列等比数列的前项和分别为、，若，，，则公比 ． 【答案】 【来源】辽宁省实验中学2023-2024学年高二下学期期中阶段测试数学试卷 【分析】由等差数列和等比数列及其前项和的定义和性质即可求解. 【详解】设，， 化简为， 即， 所以， 所以. 故答案为： 7．(23-24高二下·辽宁辽宁七校协作体·期中)（多选）已知数列的前n项和是，则下列说法正确的是（    ） A．若，则是等差数列 B．若，，则是等比数列 C．若是等差数列，则，，成等差数列 D．若是等比数列，则，，成等比数列， 【答案】BC 【来源】辽宁省辽宁省七校协作体2023-2024学年高二下学期5月期中数学试题 【分析】由与的关系，即可得到数列的通项公式，即可判断A，由等比数列的定义即可判断B，由等差数列与等比数列前项和的性质即可判断CD. 【详解】对于A，若，当时，， 当时，， 且不满足上式，则，则不是等差数列，故错误； 对于B，由条件变形可得，所以， 且，所以数列是首项为5，公比为2的等比数列，故正确； 对于C，设等差数列的首项为，公差为，则， 同理， 所以，所以成等差数列，故正确； 对于D，设，则，，所以此数列不是等比数列，故错误； 故选：BC 8．(23-24高二下·辽宁本溪县级重点高中协作体·期中)已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且是和的等差中项，是和的等差中项. (1)证明：. (2)已知，记数列是将数列和中的项从小到大依次排列而成的新数列，求. 【答案】(1)证明见解析 (2)185 【来源】辽宁省本溪市县级重点高中协作体2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】（1）设数列的公差为，由等差中项的性质可得，再由等比数列和等差数列的性质代入化简即可得出答案； （2）先求出数列和的通项公式，分析得，从而得解. 【详解】（1）设数列的公差为， 因为是和的等差中项，是和的等差中项， 所以， ， 所以，解得，得证. （2）因为，所以. . 为奇数，为偶数，故数列和没有相同的项. 因为，， 所以的前100项中，含有7个， 所以. 9．(23-24高二下·辽宁重点高中沈阳郊联体·期中)已知正项等差数列，为数列的前项和，且满足，，设数列满足. (1)分别求数列和的通项公式； (2)将数列中与数列相同的项剔除后，按从小到大的顺序构成数列，记数列的前项和为，求. 【答案】(1)， (2)11302 【来源】辽宁省重点高中沈阳市郊联体2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】（1）利用等差数列基本量运算求得，再由的和式采用作差法求得并验证即得通项； （2）由，列出数列的前8项，求出他们对应的数列中的相同项，确定为的前107项的和减去的前7项的和. 【详解】（1）设正项等差数列的公差为， 因为，，所以，解得： 所以. 数列满足 设， 当时，有，即， 当时，有，得 符合，所以 （2）根据（1）的结论，所以数列的前8项依次为：2、4、8、16、32、64、128、256， 对应数列第1、2、4、8、16、32、64、128项， 故数列的前100项为数列的前107项，剔除数列的前7项的数列 设数列的前项和为，所以 . 等比数列题型02 10．(23-24高二下·辽宁大连第二十四中学·期中)设等比数列的前项和为，已知，，则（    ） A．9 B．12 C．27 D．48 【答案】C 【来源】辽宁省大连市第二十四中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】首先根据已知条件得到，从而得到，再求即可. 【详解】设等比数列的公比为，由，则， 所以，解得， 则有. 故选：C. 11．(23-24高二下·辽宁辽宁七校协作体·期中)已知等比数列中，，，则 . 【答案】 【来源】辽宁省辽宁省七校协作体2023-2024学年高二下学期5月期中数学试题 【分析】由等比中项的性质和等比数列的性质计算即可. 【详解】由等比中项的性质可得， 设等比数列的公比为， 因为， 所以， 故答案为：6. 12．(23-24高二下·辽宁沈阳联合体·期中)在正项等比数列中，为其前项和，若，，则的值为（    ） A．30 B．35 C．40 D．75 【答案】B 【来源】辽宁省沈阳市联合体2023-2024学年高二下学期期中检测数学试题 【分析】利用等比数列的片段和性质列式运算即可得解. 【详解】因为正项等比数列中，为其前项和， 则也是等比数列，即， 又，，所以，解得. 故选：B. 13．(23-24高二下·辽宁部分高中·期中)（多选）已知等比数列的公比为，前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【来源】辽宁省部分高中2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】利用题设等式进行等比数列的基本量运算，求得，代入公式即可一一判断. 【详解】依题，，解得故A错误，B正确； 则，，故C错误，D正确. 故选：BD. 14．(23-24高二下·辽阳集美中学·期中)在各项均为正数的等比数列中，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【来源】辽阳市集美中学2023-2024学年下学期期中考试高二数学 【分析】利用等比数列性质得到，进而得到. 【详解】由得，即， 因为等比数列各项均为正数，所以， 故选：D. 15．(23-24高二下·辽宁本溪县级重点高中协作体·期中)已知等比数列的前项和为，若恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【来源】辽宁省本溪市县级重点高中协作体2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】利用求出数列的公比，进而求出通项公式，求出数列的前项和，然后利用放缩法和恒成立问题的应用求出的最大值，最后得到结果． 【详解】设等比数列的公比为，由，得， 则，即， 因为，所以，解得，所以， 所以， 当为奇数时，，所以， 当为偶数时，，所以，所以. 故选：C. 16．(23-24高二下·辽宁本溪县级重点高中协作体·期中)已知正项等比数列的前项和为，若，则的最小值为 . 【答案】/0.064 【来源】辽宁省本溪市县级重点高中协作体2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】根据条件求得，，当时，有最小值，计算求得满足此不等关系的项. 【详解】设等比数列的公比为，由题意知且，则， 解得，则，所以. 易知当时，，当时，， 故的最小值为. 故答案为： 17．(23-24高二下·辽宁实验中学·期中)（多选）若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设是公比为q的无穷等比数列，下列关于的选项中，一定能成为该数列“基本量”的是（    ）（注：其中n为大于1的整数，为的前n项和．） A．与 B．与 C．与 D．q与 【答案】AD 【来源】辽宁省实验中学2023-2024学年高二下学期期中阶段测试数学试卷 【分析】对于A：根据与可知为唯一定值；对于B：根据题意可得，结合一元二次方程分析判断；对于CD：结合等比数列的通项公式分析判断. 【详解】对于选项A：已知与，则， 可知为唯一定值，即与为基本量，故A正确； 对于选项B：已知与，则， 整理得，令，解得或， 当且仅当或，关于的方程有唯一解， 可知与不为基本量，故B错误； 对于选项C：已知与：因为， 虽然已知，也不能确定唯一的值， 例如，可知，所以与不为基本量，故C错误； 对于选项D：已知与：则，则唯一确定，所以与为基本量，故D正确； 故选：AD. 18．(23-24高二下·辽宁大连第二十四中学·期中)已知数列是公比为的正项等比数列，且，若，则（    ） A．4050 B．2025 C．4052 D．2026 【答案】A 【来源】辽宁省大连市第二十四中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】先由得，再由等比中项的性质得， 再得定值，直接代入求和即可. 【详解】由数列是公比为的正项等比数列，故， 因为，故， 即有， 由，则当时， 有， 设， ， ，， 故． 故选：. 19．(23-24高二下·辽宁实验中学·期中)（1）已知数列，其中，且数列为等比数列，求常数p； （2）设，是公比不相等的两个等比数列，，证明：数列不是等比数列． 【答案】（1）或；（2）证明见解析 【来源】辽宁省实验中学2023-2024学年高二下学期期中阶段测试数学试卷 【分析】（1）利用等比数列的定义及等比中项的性质待定系数计算即可； （2）利用等比数列的定义，证前三项不符合等比数列定义即可. 【详解】（1）∵是等比数列， ∴， 将代入上式，得 ， 即， 整理得：． 解得：或； （2）设，的公比分别为p，q，，， 为证不是等比数列，只需证：． 事实上，， ． 由于，， 又，不为零，则， 因此，，故不是等比数列． 数列的概念与递推关系题型03 20．(23-24高二下·辽宁本溪县级重点高中协作体·期中)已知数列满足，则（    ） A．2 B． C．5 D． 【答案】D 【来源】辽宁省本溪市县级重点高中协作体2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】求出，可得是以2为周期的周期数列，求得. 【详解】由，可得， 所以数列是以2为周期的周期数列，故. 故选：D 21．(23-24高二下·辽宁实验中学北校区·期中)在首项为1的数列中，则 【答案】 【来源】辽宁省实验中学北校区2023-2024学年高二下学期期中测试数学试题 【分析】先用累加法求出，再用错位相减法求和结合即可解出. 【详解】因为， 所以， ， ， ， 以上各式相加得：， 令，① ，② 错位相减：有，， 即， 所以， 又因为，所以有，所以, 检验时，符合上式，所以. 故答案为： 22．(23-24高二下·辽宁大连第八中学·期中)已知数列满足，则 ． 【答案】 【来源】辽宁省大连市第八中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】根据递推关系可得，即可根据等差数列求解. 【详解】由于， ，即， 又， 数列是首项为1，公差为2的等差数列； ， ， 故答案为： 23．(23-24高二下·辽宁部分高中·期中)数列的通项公式为是其前项和，则 . 【答案】 【来源】辽宁省部分高中2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】根据通项公式进行合并项，求解. 【详解】由则. 故答案为： 24．(23-24高二下·辽宁部分高中·期中)已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】辽宁省部分高中2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】由数列递推式考虑赋值作差，即可求出，需要检测首项是否符合. 【详解】由 ① 知， 当时，； 当时， ②， 由① ② ：，即得， 当时，符合题意，故. 故选：A. 25．(23-24高二下·辽宁部分高中·期中)已知数列的通项公式为，当它为递增数列时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】辽宁省部分高中2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】由是单调递增数列，得，代入解析式得，根据恒成立条件即得. 【详解】因为是单调递增数列，所以对于任意的，都有， 即，化简得， 所以对于任意的都成立，因为，所以. 故选：A 26．(23-24高二下·辽宁大连第二十四中学·期中)已知数列的首项为2，前项和为，．若数列的前项和为，则满足成立的的最小值为 . 【答案】7 【来源】辽宁省大连市第二十四中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】利用数列和与项的关系、裂项法求数列通项公式、累加法求数列前项和的知识解答即可. 【详解】当时， 故即， 又当时，，则， 故数列为首项为,公比为的等比数列，故的通项公式为 故， 则， 故当时，即，即又可得的最小值为. 故答案为： 27．(23-24高二下·辽宁大连第二十四中学·期中)数列中前项和满足，若是递增数列，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】辽宁省大连市第二十四中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】由已知求得，再根据当时，，，可求得范围. 【详解】因为， 则， 两式相减得， 因为数列是递增数列， 所以当时，，解得. 当时，， 所以，解得. 综上. 故选：B. 28．(23-24高二下·辽宁本溪县级重点高中协作体·期中)已知数列的前项和为，且，数列满足，记，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．恒成立 D．若，关于的不等式恰有两个解，则的取值范围为 【答案】ACD 【来源】辽宁省本溪市县级重点高中协作体2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】知数列与的关系式，即可判断A，构造数列的地推关系，即可判断B；首先求解数列的通项公式，再判断单调性，即可判断C；并求解数列的最值，并根据恰有两个解，判断D. 【详解】当时，，即，所以. 当时，，所以， 即. 因为，所以，所以是首项为1，公比为2的等比数列， 所以，故A正确； 由，得，则， 所以数列为常数列，所以，即，故B错误； 故. 当时，，令，可得， 令，可得，所以， 则当或时，取得最大值，故C正确； ，因为关于的不等式恰有两个解， 所以的取值范围为，故D正确； 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题第D选项的判断的关键是首先判断函数的单调性和最值，并结合临界值比较大小，即可确定的取值范围. 29．(23-24高二下·辽宁沈阳联合体·期中)某牧场今年年初牛的存栏数为1200头，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出100头牛.若该牧场从今年起每年年初的计划存栏数构成数列，，则大约为（参考数据：（   ） A．1420 B．1480 C．1520 D．1580 【答案】B 【来源】辽宁省沈阳市联合体2023-2024学年高二下学期期中检测数学试题 【分析】由题意得数列递推公式，再用构造法求出通项，代入计算即可. 【详解】依题意，当时，，则， 于是数列是首项为，公比为1.1的等比数列， 则，即， 所以. 故选：B 30．(23-24高二下·辽宁大连育明高级中学·期中)（多选）已知等比数列的前n项和为满足，数列满足，则下列说法正确的是（    ） A． B．设，，则的最小值为12.5 C．若对任意的恒成立，则 D．设，若数列的前n项和为，则 【答案】BCD 【来源】辽宁省大连育明高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】对于A：先求，结合等比数列性质分析求解；对于B：由，利用对勾函数的性质求解判断；对于C：由对恒成立求解判断；对于D：由，利用裂项相消法求解判断. 【详解】对于选项A：因为， 若，则； 若，则； 若为等比数列，则，即，解得， 此时符合，则， 且，即为等比数列，综上所述：，故A不正确； 对于选项B：因为，， 令，则， 因为对勾函数在内单调递增，在内单调递减， 当，时，；当，时，； 所以，故B正确； 对于选项C：由， 若，则； 若，则，则； 且符合上式，所以， 若对恒成立，即对恒成立， 令，则， 当时，；当时，，当时，， 则，则，故C正确； 对于选项D：， 则，故D正确. 故选：BCD 31．(23-24高二下·辽宁大连第二十四中学·期中)已知数列中，，设为前项和，，已知数列，设的前项和． (1)求； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1); (2). 【来源】辽宁省大连市第二十四中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】（1）利用和与通项的关系可转化为通项的递推关系，从而来求出通项公式，再利用错位相减法求和即可； （2）对于该不等式恒成立，需要对分奇偶讨论，然后利用分离参变量思想求数列的最值，即可得到答案. 【详解】（1）由可得：，， 上面两式相减得：，整理得：，， 所以数列是常数列，即，所以，则， 所以 两边同乘以2得： 两式相减得：， 即. （2）由可得：，整理得：， 当为偶数时，上面不等式可化简为：， 利用该数列单调递增性可知：，所以， 当为奇数时，上面不等式可化简为：， 再利用该数列单调递减性可知：，所以， 综上可得：. 32．(23-24高二下·辽宁部分高中·期中)已知数列的前项和为. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【来源】辽宁省部分高中2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】（1）利用与之间的关系即可求解； （2）由（1）得，进而利用裂项相消法即可求解. 【详解】（1），有， 当时，有， 两式相减得， 当时，由，得， 检验：当时也满足， 所以 （2）由（1）知，， 所以 ， 所以. 33．(23-24高二下·辽宁沈阳联合体·期中)已知数列满足，，. (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【来源】辽宁省沈阳市联合体2023-2024学年高二下学期期中检测数学试题 【分析】（1）应用等差数列的定义证明即可； （2）运用累加法求出数列的通项公式. 【详解】（1）因为， 所以， 又由，可得， 所以数列是公差为2的等差数列. （2）由（1）知，数列是首项为2，公差为2的等差数列，即， 所以， 所以当时， . 又满足上式，所以， 即数列的通项公式为. 34．(23-24高二下·辽宁实验中学北校区·期中)已知数列的前n项和为，满足，且为，的等比中项． (1)求数列的通项公式； (2)设为数列的前n项和，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【来源】辽宁省实验中学北校区2023-2024学年高二下学期期中测试数学试题 【分析】（1）利用求出即可； （2）令，利用裂项相消法即可求出数列的前前n项和，即，再结合函数的单调性求出的范围即可. 【详解】（1）因为，所以，① 当时，，② ①②得，化简可得，， 且当时，满足上式， 所以数列是公差为2的等差数列， 由题可得，故，解得， 所以，； （2）令， 所以 ， 由，，所以，所以， 又函数在上单调递增，所以， 综上. 数列中的奇偶项问题题型04 35．(23-24高二下·辽宁大连滨城高中联盟·期中)数列，为其前项和，则 . 【答案】 【来源】辽宁省大连市滨城高中联盟2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】由已知利用分组法求和即可. 【详解】 . 故答案为：. 36．(23-24高二下·辽宁部分高中·期中)（多选）已知数列满足为数列的前项和，则（    ） A． B．数列是等比数列 C． D． 【答案】ACD 【来源】辽宁省部分高中2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】代入递推式求解判断A，通过递推式找到奇数项之间的关系结合等比数列定义判断B，通过递推式找到偶数项之间的关系，利用构造法结合等比数列求解判断C，利用分组求和结合等比数列求和公式求解即可判断D. 【详解】由题意，，，则，，故A正确； 由题意，所以， 不是常数，故数列不是等比数列，故选项B错误； 因为，即， 首项，故是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以，故C正确； 因为， 即，首项， 故是以为首项，为公比的等比数列，所以， 所以， 所以 ，故D正确. 故选：ACD 【点睛】难点点睛：解答本题的难点是弄清奇数项和偶数项的数列规律，对于已知递推数列是奇偶性要求的数列，一般按照奇偶性进行分组讨论. 37．(23-24高二下·辽宁本溪县级重点高中协作体·期中)已知数列满足. (1)记，证明数列是等比数列，并求的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【来源】辽宁省本溪市县级重点高中协作体2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】（1）根据所给条件推导出，即可求出的通项公式，再分奇、偶讨论，求出的通项公式； （2）由（1）可得，再利用分组求和与错位相减法求出，最后再分奇、偶讨论，求出. 【详解】（1）由题可知， 当时，，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 当为偶数时，， 当为奇数时，， 故. （2）由（1）可得， 所以 ， 记，① 则，② ①②得 ， 所以， 则， 所以当为偶数时，， 当为奇数时， . 故. 38．(23-24高二下·辽宁重点高中沈阳郊联体·期中)已知数列满足，且. (1)证明：是等比数列，并求的通项公式； (2)在数列中，，，求的通项公式； (3)记数列满足，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) (3) 【来源】辽宁省重点高中沈阳市郊联体2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】（1）根据递推公式结合等比数列定义证明，再应用通项公式求解； （2）累加法求数列通项公式； （3）先分奇偶项求和再应用错位相减法计算. 【详解】（1）， 变形得：， 又，故，所以是首项为3，公比为3的等比数列. 从而，即. （2）由题意可得， 所以当时，，，，， 上式累加可得， ， 又，所以， 当时，满足上式， 所以 （3）由（1）、（2）知， 则在前项中， , , 作差得 . . 从而. 数列新定义题型05 39．(23-24高二下·辽宁大连育明高级中学·期中)高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，已知数列满足，，，若，为数列的前n项和，则（    ） A．2025 B．2026 C．2023 D．2024 【答案】C 【来源】辽宁省大连育明高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】首先根据累加法得到的通项公式，并对进行放缩得到，进而采用裂项相消法解得结果即可. 【详解】由得， 因此数列为首项为，公比为的等比数列，故， 进而根据累加法得： ， 所以， 由， 因为， 又， 所以，令， 所以， 所以， 所以， 代入得，所以. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查数列中新概念问题，重点是对的放缩. 40．(23-24高二下·辽宁实验中学北校区·期中)（多选）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，其中从第三项起，每个数都等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记为数列的前项和，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【来源】辽宁省实验中学北校区2023-2024学年高二下学期期中测试数学试题 【分析】列出数列前几项，可计算AB；由可计算CD. 【详解】对于A，由题意，数列的前7项为：1，1，2，3，5，8，13，故，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，由题意，， 所以， ，，，，， 所以，故C正确； 对于D，由C可知， ，故D正确. 故选：ACD 41．(23-24高二下·辽宁朝阳建平县实验中学·期中)定义：对于数列，若从第2项起，每一项与它的前一项之差都大于或等于同一个常数，且小于或等于另一个常数，则叫作类等差数列（若，则是等差数列）． (1)若类等差数列满足，，，均为已知数，请类比等差数列的通项公式，求出数列的通项不等式（即第项与首项及的不等式关系，要求写出推导过程）； (2)若数列中，，．判断数列是否为类等差数列，若是，请证明；若不是，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是，证明见解析 【来源】辽宁省朝阳市建平县实验中学2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题 【分析】（1）利用累加法求得数列的通项不等式； （2）根据“类等差数列”的定义，计算，然后通过单调性求得，从而证得结论成立. 【详解】（1）依题意有：，，，， 将这个不等式相加，得， 经检验成立，从而，； （2）数列是类等差数列，理由如下： 法一：因为， 所以， 即， 因为，所以，则是递减数列，最大项为， 所以， ， 所以， 所以， 所以是递减数列，故其最大项为，且， 所以， 所以数列是类等差数列． 法二：， 又，所以，则是递减数列，最大项为， 由于数列为递减数列，则为递增数列，且， 所以是递减数列，故其最大顶为，所以， 又由法一知，所以，所以， 所以数列是类等差数列． 【点睛】关键点点睛：理解“类等差数列”的定义，是解决本题的关键. 42．(23-24高二下·辽宁大连第二十四中学·期中)设数列满足：①；②所有项； ③．．设集合，将集合中的元素的最小值记为．换句话说，是数列中满足不等式的所有项的项数的最小值．我们称数列为数列的伴随数列．例如，数列1，3，5的伴随数列为1，2，2，3，3． (1)请写出数列1，5，7的伴随数列； (2)设，求数列的伴随数列的前30项之和； (3)若数列的前项和（其中常数），求数列的伴随数列的前项和． 【答案】(1)1，2，2，2，2，3，3. (2)110 (3) 【来源】辽宁省大连市第二十四中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】（1）由伴随数列的定义求解； （2）由伴随数列的定义结合对数的运算求出数列中项，可求前30项之和； （3）由和的关系式求出，代入得，并求出伴随数列的各项，再对分类讨论，分别求出伴随数列的前项和． 【详解】（1）由伴随数列的定义可知，数列1，5，7的伴随数列为1，2，2，2，2，3，3. （2）由，得 ∴ 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，， ∴. （3），得， 当时，，也符合，所以， 由，得， 使得成立的的最小值为，则，，，， ， 当时，， 当时，， 当时，， 所以 43．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层10个球，第五层有15个球..依照这个规律，设各层球数构成一个数列. (1)写出与的递推关系，并求数列的通项公式； (2)设的前项和为； ①求； ②对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)①；②. 【来源】辽宁省部分高中2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】（1）依照规律写出与的递推关系，累加法求数列的通项公式； （2）错位相减法求，不等式恒成立，即对任意的恒成立，通过构造数列判断单调性得最大项即可. 【详解】（1）从图中可以发现每一层球的数量比上一层多的个数等于层数， 所以， 所以， 所以， 当时，也符合上式，故. （2）①因为，则， ， ， 两式相减得， ， 所以， ； ②对任意的恒成立，， 则对任意的恒成立， 令，， 为递减数列， 则当时，，. 所以实数的取值范围为. 44．设为数列的前项和，若，且存在，，则的取值集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】辽宁省实验中学2023-2024学年高二下学期期中阶段测试数学试卷 【分析】利用可得,继而可得数列的奇数项和偶数项都是公差为2的等差数列，根据可得或，对的取值讨论即可求解． 【详解】由可得存在，使得，且 因为， 所以， 假设，解得或（舍去）， 此时， 由存在，，所以有或， 由可得，，两式相减得：， 当时，有，即， 根据可知：数列的奇数项和偶数项分别是等差数列，且公差均为2， 所以，解得， 当时，有，即，，解得， 由已知得，所以． 故选：A． 【点睛】关键点点睛：利用可得,得数列的奇数项和偶数项都是公差为2的等差数列. 45．（多选）已知集合，，，集合，将集合D中所有元素从小到大依次排列为数列，为数列的前n项和．集合，将集合E的所有元素从小到大依次排列为数列．则（    ） A． B．或2 C． D．若存在，使，则n的最小值为26 【答案】ABC 【来源】辽宁省实验中学2023-2024学年高二下学期期中阶段测试数学试卷 【分析】利用二项式定理结合交集的概念可判定A，根据数的特征及并集的概念可判定B，利用等差数列的通项及等比数列求和公式、分组求和法计算可判定C，根据中项的特征结合C的结论可判定D. 【详解】对于A项，易知， 显然当且仅当取奇数时，可整除3，即此时，故A正确； 对于B项，显然A为所有正奇数组成的集合，B中元素必为偶数， 所以中相邻项为相邻的奇偶数或者相邻的奇数，即或2，故B正确； 对于C项，易知中有个奇数，的首项， 若的尾项为，则此时中共有项， 所以前项中含有个连续正奇数，个连续以为底的正整数指数幂， 所以， 故C正确； 对于D项，结合C项推理易知 ， ， ， 显然，故D错误. 故选：ABC 【点睛】思路点睛：对于连续奇数与以为底的指数幂组合数列问题，从相邻两个指数幂之间有多少个奇数考虑，从而确定数列各项的规律，再根据等差、等比数列的性质及求和公式计算即可判定C、D. 46．（多选）已知是正项数列的前项积，且，将数列的第1项，第3项，第7项，…，第项抽出来，按原顺序组成一个新数列，令，数列的前项和为，且不等式对恒成立，则（    ） A．数列是等比数列 B． C． D．实数的取值范围是 【答案】BCD 【来源】辽宁省朝阳市建平县高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】利用数列前项积和通项公式的关系判断A，B，利用错位相减法判断C，分类讨论结合数列的性质判断D即可. 【详解】因为，所以，当时，由是正项数列的前项积， 得，即，所以，所以， 所以数列是公差为1的等差数列，不是等比数列，故A错误; 当时，，即，又，解得(其它根舍去)， 所以，当时，， 又，满足上式，所以，故B正确， 由题意知，所以， 则，， 两式相减得， ，所以，故C正确; 由，易知单调递增，故，当为奇数时，由， 对恒成立，得恒成立，即，而，故， 当为偶数时，由恒成立，得，此时， 故，所以实数的取值范围是，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题考查数列，解题关键是合理分类讨论，然后进行分离参数，得到所要求的取值范围即可． 47．已知数列满足且． (1)用数学归纳法证明：； (2)已知不等式对成立，求证：． (3)已知不等式对成立，证明：，其中无理数． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【来源】辽宁省实验中学2023-2024学年高二下学期期中阶段测试数学试卷 【分析】（1）利用数学归纳法证明即可； （2）根据对成立，令得：， 通过证明证明不等式； （3）利用已知条件以及（2）的结论，结合放缩证明不等式，方法一：对，两边取对数得证明不等式；方法二：利用对成立，得，，构造数列，有，两边取对数证明不等式. 【详解】（1）因为，， 所以， （ⅰ）当时，，不等式成立． （ⅱ）假设当时，不等式成立，即， ， 因为，，所以 这就是说，当时，不等式成立， 根据（ⅰ）（ⅱ）可知对所有成立． （2）， 由已知不等式对成立． 令得：； （ⅰ）当时，原式化为，显然成立； （ⅱ）当时，； 而 ， 所以有 又因为， 所以 ， 可得 综上： （3）证法一：由递推公式及（2）的结论有 ， 两边取对数并利用已知不等式得： 故． 上式从到求和可得： 又因为，所以， 即，故． 证法二：由数学归纳法易证对成立， 时，成立， 时，成立， 假设时，成立， 当时，由有， 又， 因为，所以，所以， 即， 所以时，， 所以对成立 所以，又， 故，． 令，则 取对数并利用已知不等式得：． 上式从2到n求和得： 因，故，． 故，，又显然，， 故对一切成立． 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用数学归纳法，以及适当放缩证明不等式. 48．平面上个圆最多把平面分成个区域，通过归纳推理猜测的表达式，再利用数学归纳法证明.用数学归纳法证明的过程中，当时，需证（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【来源】辽宁省沈阳市第二中学2023-2024学年下学期期中考试数学试卷 【分析】利用归纳法可得个圆最多把平面分成个区域，可得结论. 【详解】1个圆分把平面分成个区域，个圆把平面最多分成个区域，个圆把平面最多分成个区域， 依此类推，可得个圆最多把平面分成个区域， 归纳得， 假设当时，即， 则当时，. 故选：D. 49．已知等差数列的公差为，集合，若，则（    ） A．-1 B． C．0 D．1 【答案】B 【来源】辽宁省实验中学2023-2024学年高二下学期期中阶段测试数学试卷 【分析】先通过数列的通项公式求出，进而确定其周期，根据周期以及数列的公差可取满足题意的，进而可得答案. 【详解】由已知， 又函数的最小正周期为， 要使集合中有且仅有两个元素， 则数列中连续3项中有两项的正弦值相同，即这两项对应的角的终边关于轴对称，又他们之间相差， 不妨取，则， 此时， 所以， 则. 故选：B. 50．将正方形分割成个全等的小正方形（图1、图2分别给出了的情形），在每个正方形的顶点各放置一个数，使位于正方形的四边及平行于某边的任一直线上的数都分别依次成等差数列.若顶点处的四个数互不相同且和为1，记所有顶点上的数和为，则有， ，…， ． 【答案】 4 【来源】辽宁省实验中学2023-2024学年高二下学期期中阶段测试数学试卷 【分析】先根据题意可确定正方形各顶点对应数依次成等差数列，每一行对应数之和仍成等差数列，利用等差数列的性质及求和公式计算即可. 【详解】不妨设为第横行的数之和，为最多行数，点处的四个数分别为， 根据题意可知成等差数列， 则对于第一空：时，，， 所以； 对于第二空：，， 所以. 故答案为：4；. 【点睛】思路点睛：根据题意确定每一行数成等差数列，从而每一行数的和仍成等差数列，根据等差数列求和公式及其性质计算即可. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 数列（5考点50题） 题型概览 题型01等差数列 题型02等比数列 题型03数列的概念与递推关系 题型04数列中的奇偶项问题 题型05数列新定义 优选提升题 等差数列题型01 1．(23-24高二下·辽宁辽宁七校协作体·期中)等差数列的前n项和为，若，，则（    ） A．12 B．10 C．8 D．6 2．(23-24高二下·辽宁大连第二十四中学·期中)在等差数列中，，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．(23-24高二下·辽阳集美中学·期中)在公差不为零的等差数列中,是与的等比中项,则（    ） A． B． C．5 D．4 4．(23-24高二下·辽宁实验中学北校区·期中)设是等差数列的前n项和，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 5．(23-24高二下·辽宁部分高中·期中)已知数列，则由这两个数列公共项从小到大排列得到的数列为，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 6．(23-24高二下·辽宁实验中学·期中)记等差数列等比数列的前项和分别为、，若，，，则公比 ． 7．(23-24高二下·辽宁辽宁七校协作体·期中)（多选）已知数列的前n项和是，则下列说法正确的是（    ） A．若，则是等差数列 B．若，，则是等比数列 C．若是等差数列，则，，成等差数列 D．若是等比数列，则，，成等比数列， 8．(23-24高二下·辽宁本溪县级重点高中协作体·期中)已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且是和的等差中项，是和的等差中项. (1)证明：. (2)已知，记数列是将数列和中的项从小到大依次排列而成的新数列，求. 9．(23-24高二下·辽宁重点高中沈阳郊联体·期中)已知正项等差数列，为数列的前项和，且满足，，设数列满足. (1)分别求数列和的通项公式； (2)将数列中与数列相同的项剔除后，按从小到大的顺序构成数列，记数列的前项和为，求. 等比数列题型02 10．(23-24高二下·辽宁大连第二十四中学·期中)设等比数列的前项和为，已知，，则（    ） A．9 B．12 C．27 D．48 11．(23-24高二下·辽宁辽宁七校协作体·期中)已知等比数列中，，，则 . 12．(23-24高二下·辽宁沈阳联合体·期中)在正项等比数列中，为其前项和，若，，则的值为（    ） A．30 B．35 C．40 D．75 13．(23-24高二下·辽宁部分高中·期中)（多选）已知等比数列的公比为，前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 14．(23-24高二下·辽阳集美中学·期中)在各项均为正数的等比数列中，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 15．(23-24高二下·辽宁本溪县级重点高中协作体·期中)已知等比数列的前项和为，若恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 16．(23-24高二下·辽宁本溪县级重点高中协作体·期中)已知正项等比数列的前项和为，若，则的最小值为 . 17．(23-24高二下·辽宁实验中学·期中)（多选）若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设是公比为q的无穷等比数列，下列关于的选项中，一定能成为该数列“基本量”的是（    ）（注：其中n为大于1的整数，为的前n项和．） A．与 B．与 C．与 D．q与 18．(23-24高二下·辽宁大连第二十四中学·期中)已知数列是公比为的正项等比数列，且，若，则（    ） A．4050 B．2025 C．4052 D．2026 19．(23-24高二下·辽宁实验中学·期中)（1）已知数列，其中，且数列为等比数列，求常数p； （2）设，是公比不相等的两个等比数列，，证明：数列不是等比数列． 数列的概念与递推关系题型03 20．(23-24高二下·辽宁本溪县级重点高中协作体·期中)已知数列满足，则（    ） A．2 B． C．5 D． 21．(23-24高二下·辽宁实验中学北校区·期中)在首项为1的数列中，则 22．(23-24高二下·辽宁大连第八中学·期中)已知数列满足，则 ． 23．(23-24高二下·辽宁部分高中·期中)数列的通项公式为是其前项和，则 . 24．(23-24高二下·辽宁部分高中·期中)已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 25．(23-24高二下·辽宁部分高中·期中)已知数列的通项公式为，当它为递增数列时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 26．(23-24高二下·辽宁大连第二十四中学·期中)已知数列的首项为2，前项和为，．若数列的前项和为，则满足成立的的最小值为 . 27．(23-24高二下·辽宁大连第二十四中学·期中)数列中前项和满足，若是递增数列，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 28．(23-24高二下·辽宁本溪县级重点高中协作体·期中)已知数列的前项和为，且，数列满足，记，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．恒成立 D．若，关于的不等式恰有两个解，则的取值范围为 29．(23-24高二下·辽宁沈阳联合体·期中)某牧场今年年初牛的存栏数为1200头，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出100头牛.若该牧场从今年起每年年初的计划存栏数构成数列，，则大约为（参考数据：（   ） A．1420 B．1480 C．1520 D．1580 30．(23-24高二下·辽宁大连育明高级中学·期中)（多选）已知等比数列的前n项和为满足，数列满足，则下列说法正确的是（    ） A． B．设，，则的最小值为12.5 C．若对任意的恒成立，则 D．设，若数列的前n项和为，则 31．(23-24高二下·辽宁大连第二十四中学·期中)已知数列中，，设为前项和，，已知数列，设的前项和． (1)求； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围． 32．(23-24高二下·辽宁部分高中·期中)已知数列的前项和为. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 33．(23-24高二下·辽宁沈阳联合体·期中)已知数列满足，，. (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式. 34．(23-24高二下·辽宁实验中学北校区·期中)已知数列的前n项和为，满足，且为，的等比中项． (1)求数列的通项公式； (2)设为数列的前n项和，证明：． 数列中的奇偶项问题题型04 35．(23-24高二下·辽宁大连滨城高中联盟·期中)数列，为其前项和，则 . 36．(23-24高二下·辽宁部分高中·期中)（多选）已知数列满足为数列的前项和，则（    ） A． B．数列是等比数列 C． D． 37．(23-24高二下·辽宁本溪县级重点高中协作体·期中)已知数列满足. (1)记，证明数列是等比数列，并求的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 38．(23-24高二下·辽宁重点高中沈阳郊联体·期中)已知数列满足，且. (1)证明：是等比数列，并求的通项公式； (2)在数列中，，，求的通项公式； (3)记数列满足，求数列的前项和. 数列新定义题型05 39．(23-24高二下·辽宁大连育明高级中学·期中)高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，已知数列满足，，，若，为数列的前n项和，则（    ） A．2025 B．2026 C．2023 D．2024 40．(23-24高二下·辽宁实验中学北校区·期中)（多选）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，其中从第三项起，每个数都等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记为数列的前项和，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 41．(23-24高二下·辽宁朝阳建平县实验中学·期中)定义：对于数列，若从第2项起，每一项与它的前一项之差都大于或等于同一个常数，且小于或等于另一个常数，则叫作类等差数列（若，则是等差数列）． (1)若类等差数列满足，，，均为已知数，请类比等差数列的通项公式，求出数列的通项不等式（即第项与首项及的不等式关系，要求写出推导过程）； (2)若数列中，，．判断数列是否为类等差数列，若是，请证明；若不是，请说明理由． 42．(23-24高二下·辽宁大连第二十四中学·期中)设数列满足：①；②所有项； ③．．设集合，将集合中的元素的最小值记为．换句话说，是数列中满足不等式的所有项的项数的最小值．我们称数列为数列的伴随数列．例如，数列1，3，5的伴随数列为1，2，2，3，3． (1)请写出数列1，5，7的伴随数列； (2)设，求数列的伴随数列的前30项之和； (3)若数列的前项和（其中常数），求数列的伴随数列的前项和． 43．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层10个球，第五层有15个球..依照这个规律，设各层球数构成一个数列. (1)写出与的递推关系，并求数列的通项公式； (2)设的前项和为； ①求； ②对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 44．设为数列的前项和，若，且存在，，则的取值集合为（   ） A． B． C． D． 45．（多选）已知集合，，，集合，将集合D中所有元素从小到大依次排列为数列，为数列的前n项和．集合，将集合E的所有元素从小到大依次排列为数列．则（    ） A． B．或2 C． D．若存在，使，则n的最小值为26 46．（多选）已知是正项数列的前项积，且，将数列的第1项，第3项，第7项，…，第项抽出来，按原顺序组成一个新数列，令，数列的前项和为，且不等式对恒成立，则（    ） A．数列是等比数列 B． C． D．实数的取值范围是 47．已知数列满足且． (1)用数学归纳法证明：； (2)已知不等式对成立，求证：． (3)已知不等式对成立，证明：，其中无理数． 48．平面上个圆最多把平面分成个区域，通过归纳推理猜测的表达式，再利用数学归纳法证明.用数学归纳法证明的过程中，当时，需证（    ）. A． B． C． D． 49．已知等差数列的公差为，集合，若，则（    ） A．-1 B． C．0 D．1 50．将正方形分割成个全等的小正方形（图1、图2分别给出了的情形），在每个正方形的顶点各放置一个数，使位于正方形的四边及平行于某边的任一直线上的数都分别依次成等差数列.若顶点处的四个数互不相同且和为1，记所有顶点上的数和为，则有， ，…， ． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$