专题05 空间向量与立体几何期中难题特训（25题）（苏教版2019，江苏专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期中真题分类汇编

专题05 空间向量与立体几何期中难题特训（25题） 一、单选题 1．(23-24高二下·江苏常州武进区·期中)已知棱长为2的正方体内有一内切球，点在球的表面上运动，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】江苏省常州市武进区2023-2024学年高二下学期期中质量调研数学试题 【分析】建立空间直角坐标系，设出点，可知，所以表示点与点之间距离的平方，分析求解即可. 【详解】以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，设点， 所以，， 所以， 因为表示点与点之间距离的平方， 所以当点的坐标为时，取得最大值为， 当与点重合时，取得最小值， 所以的取值范围为：. 故选：A. 2．(23-24高二下·江苏宿迁·期中)阅读下面材料：在空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，过点且方向向量为的直线的方程为．根据上述材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两个平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】江苏省宿迁地区2023-2024学年高二下学期期中调研测试数学试题 【分析】由题意分别求出平面，平面与的法向量，再结合向量知识得到直线的方向向量，最后由线面角的公式求出结果即可. 【详解】因为平面的方程为， 所以平面的一个法向量为， 同理可得平面与的一个法向量为和， 设直线的一个方向向量为， 则， 不妨取，则， 直线与平面所成的角为， 则， 故选：D. 3．(23-24高二·江苏南京秦淮区·)已知EF是棱长为8的正方体的一条体对角线，空间一点M满足，AB是正方体的一条棱，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】江苏省南京市秦淮区2023-2024学年高二下学情第一阶段学业质量监测数学试卷 【分析】由空间向量的数量积运算计算可得，即可得的轨迹，即可根据数量积的几何意义求解即可． 【详解】取的中点,, 则， 所以． 所以在以为球心，为半径的球面上，如图 可知在上的投影数量最小值为， 所以的最小值为， 所以的最小值为． 故选：B． 4．(23-24高二下·江苏邳州文华高级中学·期中)如图，四边形，现将沿折起，当二面角的大小在时，直线和所成角为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】 江苏省邳州市文华高级中学2023--2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】取BD中点O，连结AO，CO，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，过点O作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与CD所成角的余弦值的最大值． 【详解】取BD中点O，连接AO，CO，， 则，且，于是是二面角的平面角， 显然平面，在平面内过点作，则， 直线两两垂直，以O为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， ，设二面角的大小为，， 因此，，， 于是， 显然，则当时，， 所以的最大值为. 故选：B 【点睛】关键点点睛：建立空间直角坐标系，求出动点的坐标，利用向量建立函数关系是解题的关键. 二、多选题 5．(23-24高二下·江苏响水中学·期中)如图，矩形所在平面与正方形所在平面互相垂直，，G为线段AE上的动点，则（    ）    A．若G为线段AE的中点，则平面 B．多面体的体积为 C． D．的最小值为44 【答案】ACD 【来源】江苏省响水中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】利用空间向量可判断A,C,D，把多面体分割成两个四棱锥，求出体积可判定B. 【详解】因为矩形所在平面与正方形所在平面互相垂直，且两个平面的交线为，， 所以平面；以为原点，分别为轴的正方向，建系如图，    . 对于A，G为线段AE的中点，，; ，设是平面的一个法向量， 则，，令，则，即. 因为，所以，又平面，所以平面，A正确. 对于C，，因为，所以，C正确. 对于D，设，， ， ， 所以当时，取到最小值44，D正确. 对于B，由正方形的性质可得，由题设条件可知平面， 由可得， 所以四棱锥和四棱锥的高均为. 其体积， 所以多面体的体积为，B不正确. 故选：ACD 6．(23-24高二下·江苏连云港赣榆区·期中)已知正方体的棱长为1，动点M，N在对角线AC，上移动，且，，，则下列结论中正确的是（    ） A．异面直线AC与所成的角为60° B．线段MN的最小值为 C．MN与平面不平行 D．存在，使得 【答案】AB 【来源】江苏省连云港市赣榆区2023-2024学年高二下学期期中学业水平质量监测数学试题 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量方法依次运算求解再判断即可. 【详解】以为坐标原点，以所在直线为轴，建立如图所示的直角坐标系， ，则， A项，， 又因为异面直线所成角的范围是，所以异面直线AC与所成的角为，故A正确； B项，，，即 ，，， 故，， 则，， 当时，取最小值，故B正确； C项，由， 则， 由空间向量共面定理知，共面， 又平面， 所以平面，故C错误； D项，若，则， 解得，故不存在，使得.故D错误. 故选：AB.    7．(23-24高二下·江苏溧阳·期中)已知正方体的棱长为分别为线段中点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则的最大值为 B．若，则三棱锥的体积为1 C．若，则与平面所成角的最大值为 D．若，当最小时，则 【答案】BD 【来源】江苏省溧阳市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，当时，利用向量的模的公式算出，结合二次函数的性质求出的最大值，从而判断A； 当时，点在正方形内部运动(含边界)，可知点到平面的距离，然后利用三角形面积公式与锥体的体积公式求出三棱锥的体积，从而判断B； 当时，取且，算出此时直线与平面所成角大于，从而判断C； 当时，用，表示出、的坐标，根据、、三点共线时达到最小值，求出点的坐标，再由的坐标计算出的值，即可判断D. 【详解】以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系： 则，，，，，， 对于A，当时，，可得， 所以，可知当时，的最大值为3，故A错误； 对于B，当时，点的坐标为，可知点在正方形内部运动(含边界)， 则点到平面的距离等于正方体的棱长，即， 结合 可得三棱锥的体积，故B正确； 对于C，，平面的一个法向量为， 设与平面所成夹角为，则 若，取，，此时， 结合正弦函数在锐角范围内是增函数，可得直线与平面所成角大于，故C错误； 对于，当，则，结合，可得， 因为，所以当点在线段上时，即，共线反向时，达到最小值，由，得，，，解得：，，， 即达到最小值时，的坐标为，此时，可得，故D正确； 故选：BD 8．(23-24高二下·江苏常州第一中学·期中)设空间两个单位向量与向量的夹角都等于，则（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【来源】江苏省常州市第一中学2023-2024学年高二下学期4月期中数学试题 【分析】首先根据为单位向量得到，再利用与的夹角等于，得.联立方程求解出与的值，最后再利用向量的夹角公式进行求解即可. 【详解】空间两个单位向量，与向量的夹角都等于， ，， ， 又，， 又为单位向量，， 联立，得或， ，， . 故选：AC. 9．(23-24高二下·江苏南京南京师范大学附属中学·期中)如图，在矩形ABCD中，，，M是AD的中点，将沿着直线BM翻折得到．记二面角的平面角为，当的值在区间范围内变化时，下列说法正确的有（    ） A．存在，使得 B．存在，使得 C．若四棱锥的体积最大时，点B到平面的距离为 D．若直线与BC所成的角为，则 【答案】ACD 【来源】江苏省南京市南京师范大学附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】A选项，作出辅助线，得到即为二面角的平面角，，当时，平面，证明出线线垂直，进而得到线面垂直，得到；BCD选项，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用线线角的夹角公式得到，B错误；C选项，确定当时，体积最大，利用点到平面向量距离公式进行计算；D选项，计算出. 【详解】A选项，连接，取的中点，的中点， 连接，则， 故即为二面角的平面角，即， 当时，平面， 因为平面，所以， 因为矩形ABCD中，，，M是AD的中点， 所以，故为等腰直角三角形， 故，⊥， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 存在，使得，A正确； B选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，垂直于此平面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， 当时，， 此时，， 故， 故不存在，使得，B错误； C选项，当时，平面，此时四棱锥的体积最大， 此时， 设平面的法向量为， 则， 解得，令，则，故， 故点到平面的距离，C正确； D选项，，， 故 ，D正确. 故选：ACD 【点睛】结论点睛：若直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则 ①两异面直线所成的角为，； ②直线与平面所成的角为，； ③二面角的大小为，. 10．(23-24高二下·江苏邗江中学·期中)在正方体中，动点满足，其中，，且，则（    ） A．对于任意的，且，都有平面平面 B．当时，三棱锥的体积为定值 C．当时，存在点，使得 D．当时，存在点，使得平面 【答案】AB 【来源】江苏省邗江中学2023-2024学年学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】设正方体的棱长为，以点A为坐标原点，AB、AD、所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断各选项的正误． 【详解】对于A选项，设正方体的棱长为， 以点A为坐标原点，AB、AD、所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， ，取，可得， ， 因为， 设平面ACP的法向量为, 则，取，可得， 因为，所以， 所以，对于任意的且，都有平面平面，故A对； 对于B选项，当时，点， 设平面的法向量为， ，， 则，取，可得，且， 所以，点P到平面的距离为， 又因为的面积为定值，故三棱的体积为定值，故B对； 对于C选项，当时，， 则， ， 所以，当时，不存在点，使得，故C错； 对于D选项，当时，， 假设存在点P，使得平面PCD，因为平面PCD，则， ，则，可得，与题设条件不符， 假设不成立，故当时，不存在点P，使得平面PCD，故D错误. 故选：AB． 【点睛】方法点睛： （1）证明面面垂直时，可用空间向量法证明两个面的法向量相互垂直； （2）点P到平面的距离为，其中为点到平面的斜向量，为平面的法向量. 11．(23-24高二下·江苏盐城五校联盟·期中)在三棱锥中，已知，，点，分别是，的中点，则（    ） A． B．三棱锥的外接球的表面积为 C．异面直线，所成的角的余弦值是 D．三棱锥的体积为 【答案】ABC 【来源】江苏省盐城市五校联盟2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题 【分析】将三棱锥补形为长方体，向量法求直线的夹角判断A，C；确定三棱锥外接球的半径，求表面积判断B；利用体积公式求三棱锥的体积判断D. 【详解】三棱锥中，已知，， 三棱锥补形为长方体，如图所示， 则有，解得，， 以为原点，的方向为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，    点分别是的中点， 则有，，， ，，，所以，A选项正确； 长方体的外接球的半径为，这个外接球也是三棱锥的外接球， 其表面积为，B选项正确； ，， ， 所以异面直线AN，CM所成的角的余弦值是，C选项正确； 三棱锥，三棱锥，三棱锥，三棱锥，体积都为， 三棱锥的体积等于长方体体积减去这四个三棱锥体积， 为，D选项错误. 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛： 三组对棱分别相等的四面体(三棱锥)——补形为长方体(四面体的棱分别是长方体各面的对角线)，利用长方体的结构特征，处理体积和外接球问题，建立空间直角坐标系，向量法解决夹角问题. 12．(23-24高二下·江苏靖江高级中学·期中)在棱长均为1的三棱柱中，，点满足，其中，则下列说法一定正确的有（    ） A．当点为三角形的重心时， B．当时，的最小值为 C．当点在平面内时，的最大值为2 D．当时，点到的距离的最小值为 【答案】BCD 【来源】江苏省靖江高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】将用表示，再结合求出，即可判断A；将平方，将代入，再结合基本不等式即可判断B；当点在平面内时，则存在唯一实数对使得，再根据，求出，再根据即可判断C；求出在方向上的投影，再利用勾股定理结合基本不等式即可判断D. 【详解】对于A，当点为三角形的重心时，， 所以，又因为， 所以，所以，故A错误； 对于B， ， 因为，所以， 则 ， 当且仅当时取等号， 所以， 所以，所以的最小值为，故B正确； 对于C，当点在平面内时， 则存在唯一实数对使得， 则，又因为， 所以，所以， 因为，所以，所以的最大值为2，故C正确； 对于D，当时，由A选项知， ， 在方向上的投影为， 所以点到的距离， 因为，所以，当且仅当时，取等号， 所以点到的距离的最小值为，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：当点在平面内时，则存在唯一实数对使得，再根据，求出，是解决C选项的关键. 13．(23-24高二下·江苏灌云高级中学·期中)在棱长为2的正方体中，点满足，则（    ） A．当时，平面平面． B．任意，三棱锥的体积是定值． C．存在，使得与平面所成的角为． D．当时，平面截该正方体的外接球所得截面的面积为． 【答案】BC 【来源】江苏省灌云高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】确定为二面角的平面角，结合勾股定理可得即可判断A；根据到平面的距离为定值且的面积也为定值，即可判断B；根据线面垂直的判定定理可得当时与平面所成的角为，当时，即可判断C；利用空间向量法求出球心到平面的距离，进而求出截面圆的半径，即可判断D. 【详解】A：当时，与重合，又均是等边三角形， 设，则为的中点，所以， 所以为二面角的平面角， 在中，由正方体的棱长为2，得， 所以，则，所以平面与平面不垂直，故A错误； B：因为平面，， 所以对于，到平面的距离为定值，又的面积也为定值， 所以三棱锥的体积为定值，故B正确； C：当时，与重合，由三垂线定理得， 又平面，所以平面（即平面）， 此时与平面所成的角为； 当时，与重合，此时易知平面， 设，，则为的中点， 所以在平面（即平面）内的射影为， 故即为与平面所成的角， 又，所以. 综上，存在，使得与平面所成的角为，故C正确； D：因为正方体的外接球的球心为正方体的体心，且外接球的直径为正方体的体对角线， 所以，解得， 当时，为靠近的三等分点，建立如图空间直角坐标系， 则，所以， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，所以，故球心到平面的距离为， 所以平面截正方体的外接球所得截面小圆半径为， 得该小圆面积为，故D错误. 故选：BC 【点睛】关键点点睛：本题考查面面垂直、棱锥的定值问题、求线面角问题和几何体与球的问题，平面截正方体问题，关键是：⑴利用空间向量法求出店面距；⑵确定平面截正方体所得截面的形状. 三、填空题 14．(23-24高二下·江苏南京五所高中学校合作联盟·期中)长方体中，，点是线段上异于的动点，记．当为钝角时，实数的取值范围是 ；当点到直线的距离为时，的值为 ． 【答案】 /0.25 【来源】江苏省南京市五所高中学校合作联盟2023-2024学年高二下学期期中学情调研数学试卷 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量共线表示出点的坐标，由为钝角建立不等式求解的范围；由空间点到直线距离公式计算的值. 【详解】在长方体中，建立如图所示的空间直线坐标系， 则，令， 则有，，， 由为钝角，得，解得， ，因此； 显然，点到直线的距离 ，整理得， 解得，所以. 故答案为：； 【点睛】思路点睛：求空间点的坐标，可以借助向量共线，结合向量的坐标运算求解. 15．(23-24高二下·江苏扬州中学·期中)在正三棱锥中，，且该三棱锥的各个顶点均在以为球心的球面上，设点到平面的距离为，到平面的距离为，则 ． 【答案】 【来源】江苏省扬州中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题 【分析】根据，得到两两垂直，从而把该三棱锥补成一个正方体，再建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】在正三棱锥中，，又，， 所以，所以， 同理可得，，即两两垂直， 把该三棱锥补成一个正方体，则三棱锥的外接球就是正方体的外接球，如图所示， 正方体的体对角线就是外接球的直径，则， 如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，所以， 则点到平面的距离， 所以． 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求点到平面的距离，方法如下： （1）等体积法：先计算出四面体的体积，然后计算出的面积，利用锥体的体积公式可计算出点到平面的距离； （2）空间向量法：先计算出平面的一个法向量的坐标，进而可得出点到平面的距离为. 16．(23-24高二下·江苏响水中学·期中)在空间四边形中，，，记二面角的大小为，当时，直线AB与CD所成角的余弦值的取值范围是 ． 【答案】 【来源】江苏省响水中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】取中点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法可求异面直线与所成角余弦的取值范围. 【详解】易知是边长为的等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形， 取中点，连接，则，，所以即为二面角的平面角. 如图： 以为原点，建立空间直角坐标系. 则，，， 则，. 设直线与所成角为， 则. 又，所以，. 所以 故答案为： 17．(23-24高二下·江苏海安高级中学·期中)已知正方体的棱长为1，是异面直线AC与的公垂线段，点在AC上且点在上，则 . 【答案】 【来源】江苏省海安高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，利用，可求出两点的坐标，从而可求出答案. 【详解】以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 因为点M在上，点N在上，所以设，， 所以,， 因为MN是异面直线AC与的公垂线段， 所以，即，解得， 所以，， 所以点M是线段上靠近点的一个三等分点， 点N是线段上靠近点的一个三等分点， 且异面直线与间的距离为.    故答案为：. 18．(23-24高二下·江苏宿迁·期中)直四棱柱的所有棱长都为，，点在四边形及其内部运动，且满足，则点到平面的距离的最小值为 ．    【答案】/ 【来源】江苏省宿迁地区2023-2024学年高二下学期期中调研测试数学试题 【分析】取交点于点，以所在直线为轴，过点竖直向上所直线为轴，建立空间直角坐标系，设，，，可得，则，由求出平面的一个法向量，由点到平面的距离公式可得，再由，可得点到平面的距离的最小值. 【详解】   取交点于点， 因为直四棱柱的所有棱长都为， 所以， 以所在直线为轴，过点竖直向上所直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 所以，，，， ，， 设平面的法向量为， 则有，令，则，，所以， 因为点在四边形及其内部运动，所以设，， 又因为，所以， 即，则， 设点到平面的距离为，则有， 又因为，所以时，， 即点到平面的距离的最小值为 . 故答案为：. 19．(23-24高二下·江苏邳州文华高级中学·期中)如图，在三棱柱中中，两两互相垂直，是线段上的点，平面与平面所成锐二面角为，当最小时， .    【答案】 【来源】 江苏省邳州市文华高级中学2023--2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】建立空间直角坐标系，设出的长，求出平面与平面的法向量，借助面面角的向量求法求出关系，再判断当取最小时的长，进而求得的大小. 【详解】在三棱柱中，两两垂直，建立空间直角坐标系，如图：    依题意，设，则， 则，， 设平面的法向量为，则，令，得， 平面的法向量， 由平面与平面所成（锐）二面角为，得， 化简得，当取得最大值时，最小，此时，， 且，所以. 故答案为: 【点睛】易错点睛：空间向量求二面角时，一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算． 20．(23-24高二下·江苏连云港东海县·期中)在棱长为的正四面体中，点为平面内的动点，且满足，则直线与直线的所成角的余弦值的取值范围为 . 【答案】 【来源】江苏省连云港市东海县2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】根据已知条件先确定出在平面内的轨迹，然后通过建立空间直角坐标系，根据两直线方向向量夹角的余弦值结合三角函数值的范围，计算出两直线所成角的余弦值的取值范围. 【详解】记在底面内的投影为，则底面， 又、平面，故、， 则，， 又，则， 所以的轨迹是以为圆心半径为的圆， 建立如下图所示的空间直角坐标系： 设，，， 所以， 所以， 设直线与直线的所成角为， 所以. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法： （1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角； （2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为. 21．(23-24高二下·江苏盐城中学、南京二十九中联考·期中)已知三棱锥的体积为，是空间中一点，，则三棱锥的体积是 . 【答案】4 【来源】江苏省盐城中学、南京二十九中联考2023-2024学年高二下学期4月期中数学试题 【分析】利用向量运算，确定的位置，结合棱锥的体积与棱锥的体积关系，即可求得结果. 【详解】，故，， 不妨令，则，又，故点共面， 故. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：处理本题的关键是能够根据，转化为，再根据四点共面的向量表示，从而确定的位置，进而求得体积. 22．(23-24高二下·江苏启东·期中)如图，在正方体中，，点分别为的中点，则平面截正方体所得截面面积为 ，动点满足，且，则当取得最小值时二面角的余弦值为 .    【答案】 / 【来源】江苏省启东市2023-2024学年高二下学期期中质量监测数学试卷 【分析】建立适当的空间直角坐标系，第一空：只需证明即可得到平面截正方体所得截面为梯形，进一步结合已知条件求解即可；第二空：结合已知将取得最小值转换为，其中，进一步求出两平面的法向量即可求解. 【详解】由题意以点为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，    第一空：因为分别为的中点，所以， 因为， 所以，所以四边形是平行四边形， 所以， 因为，所以，即四点共面， 所以平面截正方体所得截面为梯形，由对称性可知该梯形是等腰梯形， 因为正方体棱长为4， 所以梯形的上底，下底，梯形的腰长为， 所以梯形的高为， 故所求截面面积为； 第二空：由题意，且， 所以， 在中，当时，， 所以表示经过点且法向量为的平面， 即点在平面上， 由以上分析可知，， 若要取得最小值，只需最小，此时，当然也有， 由题意设，而， 设平面的法向量为， 所以，令，解得， 所以可取， 显然平面的一个法向量可以是， 二面角的余弦值为. 故答案为：18，. 【点睛】关键点点睛：第二空的关键在于将取得最小值转换为，其中，由此即可顺利得证. 四、解答题 23．(23-24高二下·江苏溧阳·期中)图①展现的是一种被称为“正四角反棱柱”的多面体，其上下底面平行且均为正方形，它的俯视图是一个正八边形（图②）.已知此多面体上下底面的边长为2，高为. (1)判断直线与直线是否垂直，并说明理由； (2)求二面角的大小； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1)不垂直，理由见解析 (2) (3) 【来源】江苏省溧阳市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】连接，交于点，连接，交于点，以为坐标原点，以为正交基底，建立空间直角坐标系；(1)利用向量数量积判断直线与直线是否垂直； (2)求出平面的一个法向量及平面的一个法向量，再由两平面法向量所成角的余弦值可得二面角的大小； (3)求出的坐标，再由点到平面的距离公式求解. 【详解】（1）连接，交于点，由为正方形知， 连接，交于点，由“俯视图为正八边形”知平面， 以为坐标原点，以为正交基底，建立空间直角坐标系. 则. ， . 所以不垂直于，所以直线与直线不垂直. （2）， 设平面的一个法向量为， 则， 取，得. 平面的一个法向量为. 设二面角平面角为， 则. 由图知，所以二面角的大小为. （3），由（2）平面的一个法向量为， 所以，点到平面的距离. 24．(23-24高二下·江苏南京五所高中学校合作联盟·期中)如图，四面体中，．    (1)求证：平面平面； (2)若， ①若直线与平面所成角为30°，求的值； ②若平面为垂足，直线与平面的交点为．当三棱锥体积最大时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【来源】江苏省南京市五所高中学校合作联盟2023-2024学年高二下学期期中学情调研数学试卷 【分析】（1）由线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理证明即可； （2）①因为两两相互垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设，求出直线的方向向量和平面的法向量，由线面角公式求解即可得出答案；②由题意可知，在上，由此可得所以，表示出三棱锥体积，由二次函数的性质求出三棱锥体积的最大值，即可知分别为，的中点，再由空间共面定理可得出的值. 【详解】（1）取的中点，连接， 因为，则， 所以，所以，所以， 又因为所以， 则，又因为， 所以，又因为， 平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面； （2）①因为两两相互垂直，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以， 设，因为， 所以由可得：， 所以， ， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 因为直线与平面所成角为30°， 所以 则，化简可得：， 解得：或（舍去）. ②由（1）知，平面，又平面 所以，在上， 因为，所以， ，所以， 即，所以， 所以， 三棱锥体积为： ， 因为，当时，三棱锥体积最大为， 此时分别为，的中点，所以， 设，设， 因为， 所以，所以， 因为在平面上，所以设， 所以， 所以，解得：， 所以，所以. 【点睛】关键点睛：本题第二问②的关键点在于且在上，由此可得所以，表示出三棱锥体积，由二次函数的性质求出三棱锥体积的最大值，即可知分别为，的中点，再由空间共面定理可得出的值. 25．(23-24高二下·江苏邗江中学·期中)如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，M，N分别是，的中点，点在直线上，且. (1)证明：无论取何值，总有； (2)当取何值时，直线与平面所成角最大?并求该角取最大值时的正切值； (3)是否存在点，使得平面与平面所成的二面角的正弦值为，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)； (3)存在；点的位置在 【来源】江苏省邗江中学2023-2024学年学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】（1）以，，别为轴，建立空间直角坐标系，求出各点的坐标及对应向量的坐标，易判断，即； （2）设出平面的一个法向量，表达出，利用正弦函数的单调性及正切函数的单调性的关系，求出满足条件的值，进而求出此时的正切值； （3）假设存在，利用平面与平面所成的二面角的余弦值为，则平面与平面法向量的夹角的余弦值为，代入向量夹角公式，可以构造一个关于的方程，解方程即可得到结论． 【详解】（1）证明：如图，以为原点建立空间直角坐标系， 则，，，， ，，即， ， ∵，∴， 所以无论取何值，. （2）∵是平面ABC的一个法向量. ∴ ∴当时，取得最大值，此时，，. （3）假设存在，则，因为， 设是平面的一个法向量. 则，解得，令，得，， ∴， ∴， 化简得，解得， ∴存在点使得平面与平面所成的二面角正弦值为，此时点的位置在. 【点睛】方法点睛：在求二面角时可用分别求出两个面的法向量，在代入二面角的余弦公式求出余弦值，进而求出角度. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 空间向量与立体几何期中难题特训（25题） 一、单选题 1．(23-24高二下·江苏常州武进区·期中)已知棱长为2的正方体内有一内切球，点在球的表面上运动，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．(23-24高二下·江苏宿迁·期中)阅读下面材料：在空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，过点且方向向量为的直线的方程为．根据上述材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两个平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 3．(23-24高二·江苏南京秦淮区·)已知EF是棱长为8的正方体的一条体对角线，空间一点M满足，AB是正方体的一条棱，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．(23-24高二下·江苏邳州文华高级中学·期中)如图，四边形，现将沿折起，当二面角的大小在时，直线和所成角为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．(23-24高二下·江苏响水中学·期中)如图，矩形所在平面与正方形所在平面互相垂直，，G为线段AE上的动点，则（    ）    A．若G为线段AE的中点，则平面 B．多面体的体积为 C． D．的最小值为44 6．(23-24高二下·江苏连云港赣榆区·期中)已知正方体的棱长为1，动点M，N在对角线AC，上移动，且，，，则下列结论中正确的是（    ） A．异面直线AC与所成的角为60° B．线段MN的最小值为 C．MN与平面不平行 D．存在，使得 7．(23-24高二下·江苏溧阳·期中)已知正方体的棱长为分别为线段中点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则的最大值为 B．若，则三棱锥的体积为1 C．若，则与平面所成角的最大值为 D．若，当最小时，则 8．(23-24高二下·江苏常州第一中学·期中)设空间两个单位向量与向量的夹角都等于，则（ ） A． B． C． D． 9．(23-24高二下·江苏南京南京师范大学附属中学·期中)如图，在矩形ABCD中，，，M是AD的中点，将沿着直线BM翻折得到．记二面角的平面角为，当的值在区间范围内变化时，下列说法正确的有（    ） A．存在，使得 B．存在，使得 C．若四棱锥的体积最大时，点B到平面的距离为 D．若直线与BC所成的角为，则 10．(23-24高二下·江苏邗江中学·期中)在正方体中，动点满足，其中，，且，则（    ） A．对于任意的，且，都有平面平面 B．当时，三棱锥的体积为定值 C．当时，存在点，使得 D．当时，存在点，使得平面 11．(23-24高二下·江苏盐城五校联盟·期中)在三棱锥中，已知，，点，分别是，的中点，则（    ） A． B．三棱锥的外接球的表面积为 C．异面直线，所成的角的余弦值是 D．三棱锥的体积为 12．(23-24高二下·江苏靖江高级中学·期中)在棱长均为1的三棱柱中，，点满足，其中，则下列说法一定正确的有（    ） A．当点为三角形的重心时， B．当时，的最小值为 C．当点在平面内时，的最大值为2 D．当时，点到的距离的最小值为 13．(23-24高二下·江苏灌云高级中学·期中)在棱长为2的正方体中，点满足，则（    ） A．当时，平面平面． B．任意，三棱锥的体积是定值． C．存在，使得与平面所成的角为． D．当时，平面截该正方体的外接球所得截面的面积为． 三、填空题 14．(23-24高二下·江苏南京五所高中学校合作联盟·期中)长方体中，，点是线段上异于的动点，记．当为钝角时，实数的取值范围是 ；当点到直线的距离为时，的值为 ． 15．(23-24高二下·江苏扬州中学·期中)在正三棱锥中，，且该三棱锥的各个顶点均在以为球心的球面上，设点到平面的距离为，到平面的距离为，则 ． 16．(23-24高二下·江苏响水中学·期中)在空间四边形中，，，记二面角的大小为，当时，直线AB与CD所成角的余弦值的取值范围是 ． 17．(23-24高二下·江苏海安高级中学·期中)已知正方体的棱长为1，是异面直线AC与的公垂线段，点在AC上且点在上，则 . 18．(23-24高二下·江苏宿迁·期中)直四棱柱的所有棱长都为，，点在四边形及其内部运动，且满足，则点到平面的距离的最小值为 ．    19．(23-24高二下·江苏邳州文华高级中学·期中)如图，在三棱柱中中，两两互相垂直，是线段上的点，平面与平面所成锐二面角为，当最小时， .    20．(23-24高二下·江苏连云港东海县·期中)在棱长为的正四面体中，点为平面内的动点，且满足，则直线与直线的所成角的余弦值的取值范围为 . 21．(23-24高二下·江苏盐城中学、南京二十九中联考·期中)已知三棱锥的体积为，是空间中一点，，则三棱锥的体积是 . 22．(23-24高二下·江苏启东·期中)如图，在正方体中，，点分别为的中点，则平面截正方体所得截面面积为 ，动点满足，且，则当取得最小值时二面角的余弦值为 .    四、解答题 23．(23-24高二下·江苏溧阳·期中)图①展现的是一种被称为“正四角反棱柱”的多面体，其上下底面平行且均为正方形，它的俯视图是一个正八边形（图②）.已知此多面体上下底面的边长为2，高为. (1)判断直线与直线是否垂直，并说明理由； (2)求二面角的大小； (3)求点到平面的距离. 24．(23-24高二下·江苏南京五所高中学校合作联盟·期中)如图，四面体中，．    (1)求证：平面平面； (2)若， ①若直线与平面所成角为30°，求的值； ②若平面为垂足，直线与平面的交点为．当三棱锥体积最大时，求的值． 25．(23-24高二下·江苏邗江中学·期中)如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，M，N分别是，的中点，点在直线上，且. (1)证明：无论取何值，总有； (2)当取何值时，直线与平面所成角最大?并求该角取最大值时的正切值； (3)是否存在点，使得平面与平面所成的二面角的正弦值为，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$