专题01 导数基础篇（8考点60题）（苏教版2019，江苏专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期中真题分类汇编

专题01 导数基础篇（8考点60题） 题型概览 题型01导数的概念与运算 题型02切线问题 题型03单调性 题型04极值与最值问题 题型05恒成立与有解问题 题型06零点问题 题型07导数与不等式 题型08新定义问题 优选提升题 导数的概念与运算题型01 1．(23-24高二下·江苏常州联盟校·期中)若某质点的运动方程是，(位移单位：m，时间单位：s)，则该质点在时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】江苏省常州联盟校2023-2024学年高二下学期4月期中调研数学试题 【分析】利用导数可求质点的瞬时速度. 【详解】， 故质点在时的瞬时速度为， 故选：D. 2．(23-24高二下·江苏溧阳·期中)已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】江苏省溧阳市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】先对函数求导，并令求出的值，再利用导数的定义化简即可求解. 【详解】因为，则，所以，则， 故选：A 3．(23-24高二下·江苏扬州邗江区邗江一中，瓜州中学，公道中学等五校联考·期中)下列导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】江苏省扬州市邗江区邗江一中，瓜州中学，公道中学等五校联考2023-2024学年高二下学期期中数学试题 【分析】根据基本函数导数公式及运算法则判断即可. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误. 故选：B. 4．(23-24高二下·江苏溧阳·期中)下列导数运算中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】江苏省溧阳市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】根据题意，由导数的计算公式依次分析选项，综合可得答案. 【详解】根据题意，依次分析选项, 对于A， ，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确； 故选：C 5．(23-24高二下·江苏常州高级中学·期中)已知，则（    ） A． B．1 C．2 D．5 【答案】A 【来源】江苏省常州高级中学2023-2024学年高二下学期期中质量检查数学试题 【分析】原函数求导，再令可得结果. 【详解】因为，所以. 令得：. 故选：A 6．(23-24高二下·江苏南菁高级中学实验班·期中)若函数的图象在点处的切线方程是，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【来源】江苏省南菁高级中学实验班2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】根据导数的几何意义可解. 【详解】根据题意，函数的图象在点处的切线方程是， 即，且， 所以. 故选：C 切线问题题型02 7．(23-24高二下·江苏沭阳如东中学·期中)曲线在点处的切线的斜率为 . 【答案】2 【来源】江苏省沭阳如东中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】根据导数的几何意义，结合求导运算，可得答案. 【详解】由，则，即. 故答案为：2. 8．(23-24高二下·江苏邗江中学·期中)已知函数，则在处的切线方程为 . 【答案】 【来源】江苏省邗江中学2023-2024学年学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】先求函数定义域，再用导数几何意义求出切线斜率，之后求出点坐标，点斜式解出切线方程并化为直线的一般式即可. 【详解】由题意知：，， ，则切线斜率， 又，所以， 所以在点处的切线方程为：， 即. 故答案为：. 9．(23-24高二下·江苏溧阳·期中)若函数的图象在点处的切线平行于轴，则 . 【答案】 【来源】江苏省溧阳市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】求出原函数的导函数，利用处的导数值为0列式求解的值. 【详解】由，可得， 由题意得：，解得：， 故答案为： 10．(23-24高二下·江苏江阴长泾中学·期中)设函数的导函数为，且，则曲线在点处的切线的斜率为 . 【答案】 【来源】江苏省江阴长泾中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题 【分析】结合求导公式先求，确定导函数解析式，再求，根据导数的几何意义求切线斜率. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以， 故， 所以， 由导数的几何意义可得曲线在点处的切线的斜率为. 故答案为： 11．(23-24高二下·江苏常州武进区·期中)曲线与曲线在处的切线平行，则的减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】江苏省常州市武进区2023-2024学年高二下学期期中质量调研数学试题 【分析】根据题意，求导，因为两曲线的切线平行，列出方程，求出值．令即可求出减区间． 【详解】求导，， 因为曲线与曲线在处的切线平行， 则，即，解得． 此时， 令，解得，则的减区间为． 故选：B. 12．(23-24高二下·江苏常州联盟校·期中)存在过点的直线与曲线相切，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【来源】江苏省常州联盟校2023-2024学年高二下学期4月期中调研数学试题 【分析】首先根据导数的几何意义求切线方程，再根据切线过点，转化为，再构造函数，，利用导数求函数的值域. 【详解】设直线与曲线相切于点，， 所以在点处的切线方程为， 若切线过点，则， 则， 设，， ，，得， 当，，单调递增， 当，，单调递减， 所以当时，取得最大值， 所以的值域是，则的取值范围是. 故答案为： 13．(23-24高二下·江苏无锡江阴四校·期中)已知在点处的切线与只有一个公共点，则的值 . 【答案】4或0 【来源】江苏省无锡市江阴市四校2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题 【分析】求出的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再由于切线与曲线只有一个公共点，进而可联立切线与曲线方程消元得到一元二次方程，由可得到a的值． 【详解】的导数为， 曲线在点处的切线斜率为， 则曲线在点处的切线方程为，即， 由于切线与曲线只有一个公共点， 联立与， 得有且只有一解， 则，即， 解得或. 故答案为：或. 14．(23-24高二下·江苏海门中学·期中)已知，若直线与曲线相切，则的最小值为（    ） A．9 B．12 C．14 D．16 【答案】D 【来源】江苏省海门中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】根据题意结合导数的几何意义分析可得，再结合基本不等式运算求解. 【详解】由题意可得：的导数为， 设切点为，切线斜率， 则在该点的切线方程为， 即， 由题意可得，整理得， 则， 当且仅当时取等号， 故的最小值为16. 故选：D. 15．(23-24高二下·江苏溧阳·期中)已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．过点可作曲线的一条切线 【答案】ACD 【来源】江苏省溧阳市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】利用导数分析函数的单调性和极值，结合零点存在定理可判断A，B选项，利用函数对称性的定义可判断C选项，利用导函数的几何意义可判断D选项. 【详解】因为函数，所以， 令，解得：， 当或时，，则的单调增区间为，， 当时，，则的单调减区间为， 故当为函数的极大值点，极大值为，当为函数的极小值点，极小值为，故A正确； 当时，，当时，，则的图象如下：    所以有2个零点，故B错误； 对任意，，所以点是曲线的对称中心，故C正确； 因为，，则，所以切线方程为：，即，所以过点可作曲线的一条切线； 故选：ACD 单调性题型03 16．(23-24高二下·江苏沭阳如东中学·期中)函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】江苏省沭阳如东中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】先求定义域，然后求导，解不等式即可. 【详解】由得的定义域为， 令，解得且， 所以函数的单调递减区间为. 故选：D 17．(23-24高二下·江苏无锡江阴四校·期中)已知在上单调递增，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】江苏省无锡市江阴市四校2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题 【分析】由题意可得在上恒成立，分离参数，结合函数的单调性，即可求得答案. 【详解】由在上单调递增， 得在上恒成立， 即，恒成立，而在上单调递增，即， 故， 故选：A 18．(23-24高二下·江苏新海高级中学·期中)若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】江苏省新海高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】根据导数和单调性的关系，得到在区间上恒成立，再利用参变分离，转化为最值问题，即可求解. 【详解】由已知，在区间上恒成立， 即在区间上恒成立，即，， 所以 故选：D 19．(23-24高二下·江苏盐城中学、南京二十九中联考·期中)已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】江苏省盐城中学、南京二十九中联考2023-2024学年高二下学期4月期中数学试题 【分析】命题等价于在上单调递增，然后使用导数工具分类讨论的单调性即可. 【详解】原条件即为对恒成立，从而条件等价于在上单调递增. 设，则. 一方面，若在上单调递增，则对恒成立. 所以，即，得； 另一方面，若，设，则. 从而当时，当时. 故在上递减，在上递增. 所以当或时，有，即，进一步可得 . 这表明在和上递增，故在上递增. 综上，的取值范围是. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于使用导数分类讨论函数的单调性，属于较为常规的题目. 20．(23-24高二下·江苏常州高级中学·期中)已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】江苏省常州高级中学2023-2024学年高二下学期期中质量检查数学试题 【分析】求出函数的导函数，依题意可得在上恒成立，参变分离可得在上恒成立，令，，利用导数求出，即可求出参数的取值范围. 【详解】由，则， 依题意在上恒成立， 即在上恒成立， 令，，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 则的最小值为. 故选：C 21．(23-24高二下·江苏海门中学·期中)已知函数，当时，，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【来源】江苏省海门中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】根据函数的奇偶性，构造函数，得到单调性，从而得到的取值范围. 【详解】因为，所以， 所以为奇函数. 任取，所以， 所以，等价于， 即， 令函数，所以任意，， 所以在上不存在单调减区间. 又因为，， 所以对恒成立， 所以对恒成立， 因为的最小值为， 所以. 故答案为：. 22．(23-24高二下·江苏盐城三校·期中)已知函数在处取得极大值，且极大值为3. (1)求的值： (2)求在区间上不单调，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【来源】江苏省盐城市三校2023-2024学年高二下学期4月期中联考数学试题 【分析】（1）求得，根据题意，得出不等式组，即可求解； （2）由，求得函数的单调区间，结合在区间上不单调，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：因为，可得， 因为函数在处取得极大值，且极大值为， 所以，解得. （2）解：由题意，函数在区间上不单调，可得，解得， 又由， 当时，；当时，；时，， 所以函数在单调递增，在上单调递减， 因为在区间上不单调，则满足，解得， 即实数的取值范围为. 23．(23-24高二下·江苏如皋中学·调研)已知函数. (1)若函数在定义域上单调递增，求实数的取值范围; (2)讨论函数的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【来源】江苏省如皋中学2023-2024学年高二下学期教学质量调研（二）数学试题 【分析】（1）由题意在恒成立，分离参数即可求解； （2）求导得，令，解得，，对分类讨论即可得解. 【详解】（1）在恒成立，即； 设，则 所以. （2）且定义域为， ， 令，解得，， 若， 当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增. 若， 当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增，   若，在定义域内恒成立，函数在单调递增，   若， 当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增. 综上所述： 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 当时，函数在上单调递增,在上单调递减，在上单调递增. 当时，函数在单调递增. 当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 极值与最值问题题型04 24．(23-24高二下·江苏沭阳如东中学·期中)已知函数，则函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】江苏省沭阳如东中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】求导，判断函数的单调性，进而可得最值. 【详解】由， 得， 设，恒成立， 所以在上单调递增， 且，， 所以，使，即， 则当时，，即，在上单调递减； 当时，，即，在上单调递增， 所以在处取得最小值为， 故选：A. 25．(23-24高二下·江苏苏州·期中)已知是函数的极值点，则实数的值为（    ） A． B．0 C．1 D．无数多个 【答案】B 【来源】江苏省苏州市2023-2024学年高二下学期4月期中调研数学试题 【分析】求出函数的导数，计算，求出的值即可. 【详解】， 由是函数的极值点， 则，即，解得. 经检验，符合题意. 故选：B. 26．(23-24高二下·江苏南京浦口区汉开书院·期中)（多选）下列函数中，存在极值点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【来源】江苏省南京市浦口区汉开书院2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】对于AB：根据偶函数的对称性分析判断；对于C：利用导数判断原函数单调性和极值；对于D：根据对勾函数单调性分析判断. 【详解】对于选项A：因为的定义域为，且， 可知定义在上的偶函数，结合对称性可知为极值点，故A正确； 对于选项B：因为的定义域为，且， 可知定义在上的偶函数，结合对称性可知为极值点，故B正确； 对于选项C：函数的定义域为，且， 所以函数在上单调递减，没有极值点，故C错误； 对于选项D：因为的定义域为， 由对勾函数性质可知在内单调递增，在内单调递减， 所以的极值点为，故D正确； 故选：ABD. 27．(23-24高二下·江苏苏州·期中)已知函数的导函数为，点为函数上任意一点，则在点处函数的切线的一般式方程为 ，该切线在轴上截距之和的极大值为 ． 【答案】 【来源】江苏省苏州市2023-2024学年高二下学期4月期中调研数学试题 【分析】根据题意，求得，利用导数的几何意义，求得切线方程，再求得坐标轴上的截距，得到，求得，得到函数的单调区间，进而求得极大值. 【详解】由函数，可得， 所以，解得，所以，则， 所以在点处的切线方程为，即， 令，可得；令，可得， 设，可得， 令，即，解得， 当或时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，当时，函数取得极大值，极大值为. 故答案为：；. 28．(23-24高二下·江苏连云港东海县·期中)若函数有大于零的极值点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】江苏省连云港市东海县2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】求导和讨论，当时求出极值点，根据极值点大于零求解可得. 【详解】 （1）时，，在定义域上单调递增，不满足题意； （2）时，令得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 所以，当时，取得极小值， 由题知，解得. 综上，实数的取值范围为. 故选：C 29．(23-24高二下·江苏南菁高级中学实验班·期中)已知函数是定义域为的偶函数，且当时，．若函数在上的最小值为4，则实数a的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【来源】江苏省南菁高级中学实验班2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】由已知结合偶函数性质函数在上的最小值为4，然后利用导数对进行分类讨论，确定函数单调性，进而可求． 【详解】因为是定义域为的偶函数， 且函数在上的最小值为4， 所以函数在上的最小值为4， 当时，，此时， 当时，在上恒成立，函数在上单调递增， 当时，函数取得最小值，解得，符合题意， 当时，，，函数单调递减； ，，函数单调递增， 时，函数取得最小值，解得，不符合题意， 综上，． 故选：B． 30．(23-24高二下·江苏常州武进区·期中)已知函数的导函数为，定义域为，且函数的图象如图所示，则下列说法中正确的是（    ）    A．有极小值，极大值 B．仅有极小值，极大值 C．有极小值和，极大值和 D．仅有极小值，极大值 【答案】C 【来源】江苏省常州市武进区2023-2024学年高二下学期期中质量调研数学试题 【分析】根据函数的图象，得出导函数符号的分布情况，再根据极值的定义即可得解. 【详解】由函数的图象， 得当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以函数有极小值，极大值和. 故选：C. 31．(23-24高二下·江苏沭阳如东中学·期中)（多选）已知定义在上的函数的导函数的图象如图所示，下列说法正确的是（    ）    A． B．函数在上单调递减 C．函数在处取得极大值 D．函数有最大值 【答案】AC 【来源】江苏省沭阳如东中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】根据导数的定义、几何意义以及函数极值、最值概念判断即可. 【详解】A选项：根据图象可知，A选项正确； B、C选项：由图象可知当时，，函数在单调递增， 当时，，函数在单调递减， 函数在处取得极大值，B选项错误；C选项正确； D选项：由图象可知在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，无最大值，D选项错误； 故选：AC. 32．(23-24高二下·江苏常州联盟校·期中)（多选）已知函数，下列说法中正确的有（    ） A．函数的单调递减区间为 B．曲线在处的切线方程为 C．函数既有极大值又有极小值，且极大值小于极小值 D．方程有两个不等实根，则实数的取值范围为 【答案】BC 【来源】江苏省常州联盟校2023-2024学年高二下学期4月期中调研数学试题 【分析】首先求函数的导数，再判断函数的单调性，以及切线方程，根据函数的单调区间判断函数的极值，根据函数的性质画出函数的图象，转化为两个函数图象的交点问题，即可判断D. 【详解】函数的定义域为， ，， ，解得：或， 所以函数的单调递减区间是和，故A错误； B.由A选项的证明可知，，，所以曲线在处的切线方程为，故B正确； CD.由A选项的证明可知，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以是极大值点， 函数在区间单调递减，在区间单调递增，所以是极小值点， 函数，得，当时，，，，故C正确； 再结合函数的单调性，画出函数的图象， 若与有2个交点，则或，故D错误. 故选：BC 【点睛】关键点点睛：本题的关键是注意函数的定义域，从而正确求出函数的单调区间，极值，以及函数的图象. 33．(23-24高二下·江苏南通·期中)已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)求在上的最值. 【答案】(1)； (2)，. 【来源】江苏省南通市2023-2024学年高二下学期5月期中质量监测数学试题 【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）求出函数在上的单调区间，再求出最值. 【详解】（1）函数，求导得，则，而， 所以曲线在处的切线方程为，即. （2）由（1）知，当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，而， 所以当时，函数取得最大值， 当时，函数取得最小值， 34．(23-24高二下·江苏新海高级中学·期中)已知函数． (1)求在处的切线方程； (2)求在区间上的最小值． 【答案】(1) (2) 【来源】江苏省新海高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】（1）根据导数的几何意义，即可求解切线方程； （2）利用导数判断函数的单调性，即可求解函数的最小值. 【详解】（1），，， 所以在处的切线方程为，即； （2），令，得， 1 3 0 单调递减 单调递增 所以在区间上的最小值为. 35．(23-24高二下·江苏海州高级中学·期中)已知函数 (1)求函数的极大值; (2)当时，求的值域. 【答案】(1)极大值 (2) 【来源】江苏省海州高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】（1）求导后，分析单调性可得极值； （2）利用（1）的单调性求出即可； 【详解】（1）由题意的， 令，解得或；令，解得； 则在上单调递减；在和上单调递增， 如下表： 1 正 0 负 0 正 增 极大值 减 极小值 增 所以极大值为. （2）由（1）可知，在上单调递减，在上单调递增， 所以最小值， 又，， 所以当时，的值域为. 36．(23-24高二下·江苏连云港高级中学·期中)已知函数，且． (1)求的值及曲线在点处的切线方程； (2)求函数在区间上的最值． 【答案】(1)； (2)最小值为，最大值为8 【来源】江苏省连云港高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】（1）根据题意，求出函数的导数，又由，解可得的值，进而可得的值，由直线的点斜式方程分析可得答案； （2）根据题意，求出函数的导数，可得函数在区间上的单调性，据此求出函数的最值即可得答案． 【详解】（1）根据题意，，则， 因为，所以． 当时，，， 所以曲线在点处的切线方程为， 化简得； （2）由（1）可知，，． 故函数在区间上单调递增， 则函数最小值为最大值为. 37．(23-24高二下·江苏常州武进区·期中)已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)若，且为函数的极小值点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【来源】江苏省常州市武进区2023-2024学年高二下学期期中质量调研数学试题 【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解； （2）求出导函数的零点，再分，和三种情况讨论，即可得解. 【详解】（1）， 则， 所以曲线在处的切线方程为； （2）， 令，则， 当时，， 则在上单调递增，没有极小值点，与题意矛盾； 当，即时， 当或时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以为函数的极小值点，符合题意； 当，即时， 当或时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以为函数的极大值点，不符合题意. 综上所述，实数的取值范围为． 38．(23-24高二下·江苏沭阳如东中学·期中)已知函数 (1)若，在点处的切线方程为，求的值； (2)若的极值点为和，且极大值为，求的极小值. 【答案】(1) (2) 【来源】江苏省沭阳如东中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】（1）利用切线方程确定切点处的导数和切点纵坐标，以此列方程组即可求解； （2）求导，利用韦达定理求，再根据极大值求c，然后可解. 【详解】（1） 因为在点处的切线方程为， 所以，即， 解得. （2）， 因为的极值点为， 所以和是的两根， 由韦达定理得，解得， 所以，， -1 1 - 0 + 0 - 递减 极小值 递增 极大值 递减 因为极大值为， 所以，得， 所以的极小值为. 39．(23-24高二下·江苏常州第一中学·期中)已知函数，在时取得极小值10. (1)求函数的解析式; (2)求函数在区间上的最值. 【答案】(1) (2)； 【来源】江苏省常州市第一中学2023-2024学年高二下学期4月期中数学试题 【分析】（1）根据函数在处有极小值10，列出方程组求解即可，注意需要验证； （2）利用导数求出函数的单调区间，然后求出极值和端点的函数值比较即可求出函数的最大值与最小值. 【详解】（1）由，得， 因为函数 在 时取得极小值10， 所以，解得或， 当时，，不符合题意； 当时，， 当或时，，当时，， 所以为函数的极小值点，所以符合题意， 所以； （2）由（1）可得当或时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又因为，，， 所以，. 40．(23-24高二下·江苏无锡运河实验学校·期中)已知在处取得极小值． (1)求的解析式； (2)求在处的切线方程； (3)求的极值. 【答案】(1) (2) (3)极大值为，极小值为 【来源】江苏省无锡市运河实验学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】（1）借助极值点与极值的定义可得，计算即可得； （2）借助导数的几何意义分别计算出切点与斜率即可得； （3）借助导数得到函数的单调性即可得函数的极值. 【详解】（1）由题意知， 因为在处取得极小值， 则，解得， 当时， ， 当时，，当时，， 故在、上单调递增，在上单调递减， 故是函数的极小值点， 满足题意，所以， 所以； （2）由题意知，， 所以，，所以切点坐标为，斜率， 所以切线方程为：，即； （3）， 当时，，当时，， 故在、上单调递增，在上单调递减， 故有极大值， 有极小值. 41．(23-24高二下·江苏无锡江阴四校·期中)函数. (1)求的单调区间； (2)求在上最小值. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【来源】江苏省无锡市江阴市四校2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题 【分析】（1）求导，分和两种情况，结合导函数的符号求的单调区间； （2）分、和三种情况结合（1）中的单调区间求函数最小值. 【详解】（1）由题意可知：的定义域，其导函数， 当，则在内恒成立， 可知的单调递增区间为，无单调递减区间； 当，令，解得；令，解得； 则的单调递增区间为，单调递减区间为； 综上所述：当，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当，的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）因为，由（1）可知： 当，在上单调递增，则在上最小值为； 当，在上单调递减，在上单调递增， 所以在上最小值为； 当时，在上单调递减， 所以在上最小值为. 恒成立与有解问题题型05 42．(23-24高二下·江苏南京南京师范大学附属中学·期中)已知存在实数x，使得不等式成立，则实数t的取值范围是 ． 【答案】 【来源】江苏省南京市南京师范大学附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】将原式变形为，构造函数，根据函数单调性，进一步将不等式转化有解，继而转化为最值求解即可. 【详解】由已知，对于两边同时除以得 ， 变形得， 设，明显其在上单调递增， 所以由得， 即， 所以原问题转化为存在实数x，使得不等式成立， 又， 所以，解得， 故答案为： 43．(23-24高二下·江苏无锡锡东高级中学·期中)，，当时，都有，则实数的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【来源】江苏省无锡市锡东高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】由题意分析可知：在上单调递减，求导，可得在上恒成立，结合恒成立问题分析求解. 【详解】因为，，当时，都有， 即，可得， 令，，则恒成立， 即在上单调递减，且， 可知在上恒成立，即在上恒成立， 又因为在上单调递减， 所以最大值1，即实数的最小值为1. 故选：D 44．(23-24高二下·江苏海门中学·期中)已知函数在处取得极大值． (1)求a的取值集合； (2)当时，求证： 【答案】(1) (2)证明见解析 【来源】江苏省海门中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】（1）求导，然后通过确定导函数的两个零点的大小来列不等式求解； （2）先由（1）得到函数的最小值，然后将不等式问题转化为函数的最值问题来求解即可. 【详解】（1），定义域， 由得，，因为当时，取极大值， 所以，即； （2）由（1）得，在上单调递减，在上单调递增， 所以， 则， 令， 则， 因为，所以恒成立，即在是递增， 所以， 所以， 即时在上恒成立. 45．(23-24高二下·江苏江阴长泾中学·期中)已知函数，当时，取得极值． (1)求的解析式； (2)若在区间上有解，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【来源】江苏省江阴长泾中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题 【分析】（1）求出函数的导数，根据极值点和函数极值，列出方程组，即可求得答案； （2）由题意求出函数在区间上的值域，即得答案. 【详解】（1）依题意可得， 又当时，取得极值，所以，即； 解得，则， 当或时，；当时，； 即在上均单调递增，在上单调递减， 故为的极小值点，极小值为，符合题意， 所以； （2）由（1）可知， 令，可得或， 当变化时，的变化情况如下表所示： 单调递增 单调递减 单调递增 因此，在区间上，的最小值为，最大值为， 若在区间上有解，则的范围即为的值域， 所以. 零点问题题型06 46．(23-24高二下·江苏南京浦口区汉开书院·期中)已知函数．当时，则曲线在点处的切线方程是 ；若有两个零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【来源】江苏省南京市浦口区汉开书院2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】①求出，由可求出切线的斜率，根据点斜式即可求得切线方程；②分离变量可得，令，求导可得的单调性，进而数形结合可求的取值范围. 【详解】①当时，，， 所以，曲线在点处的切线斜率， 所以切线方程为，化简得. ②函数有两个零点，等价于方程有两解， 即与有两个交点， 令，则， 令，得，解得， 因为为减函数，故有唯一解， 所以当时，，当，， 所以在单调递增，在单调递减， 又，当时，，当时，， 作出函数如图所示：    所以当时，有两个零点. 故答案为：① ；②. 47．(23-24高二下·江苏无锡江阴四校·期中)若函数有两个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】江苏省无锡市江阴市四校2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题 【分析】利用函数零点的意义，分离参数，构造函数，转化为直线与函数的图象有两个公共点问题求解. 【详解】函数的定义域为R，由，得， 令函数，依题意，直线与函数的图象有两个公共点， 而， 显然函数在R上单调递减，当时，， 则当时，，当时，，即函数在上递增，在上递减， 当时，，，而当时，恒成立， 于是当且仅当时，直线与函数的图象有两个公共点， 所以函数有两个零点，的取值范围为. 故选：A 【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤： ①转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题； ②列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式； ③得解，即由列出的式子求出参数的取值范围． 48．(23-24高二下·江苏南通·期中)若函数有绝对值不大于1的零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【来源】江苏省南通市2023-2024学年高二下学期5月期中质量监测数学试题 【分析】令，得，由题意可得方程有绝对值不大于1的解，构造函数，利用导数求出函数的值域即可得解. 【详解】令，得， 因为函数有绝对值不大于1的零点， 所以方程有绝对值不大于1的解， 令，则， 令，得，令，得或， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又， 所以， 所以. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 49．(23-24高二下·江苏苏州·期中)（多选）函数定义域为，下列命题正确的是（    ） A．对于任意正实数，函数在上是单调递减函数 B．对于任意负实数，函数存在最小值 C．存在正实数，使得对于任意的，都有恒成立 D．存在负实数，使得函数在上有两个零点 【答案】BD 【来源】江苏省苏州市2023-2024学年高二下学期4月期中调研数学试题 【分析】求函数的导函数，判断导函数在时的正负，确定函数的单调性，判断A；在时，确定方程的解，并判断函数零点两侧的单调性，由此确定函数的最值，判断B；结合函数的单调性及零点存在性定理判断D；在时，结合图象确定的零点，由此判断C. 【详解】对于A，函数的定义域是，且， 当时，在内恒成立， 所以函数在上单调递增，故A错误； 对于B，对于，设，， 则，所以在上单调递增， 所以在上单调递增， 当时，，， 所以存在，使， 所以当时，，在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以对于任意，函数存在最小值，故B正确； 对于D，因为当时，函数存在最小值，且， 所以， 当时，，此时， 所以存在，使， 当时，，当时，， 此时函数在上有两个零点，故D正确； 对于C，函数的图象在有公共点， 所以对于任意，有零点，故C错误； 故选：BD. 50．(23-24高二下·江苏常州第一中学·期中)（多选）已知，下列说法正确的是（ ） A．在处的切线方程为 B．单调递减区间为 C．的极小值为 D．方程2024有两个不同的解 【答案】ABD 【来源】江苏省常州市第一中学2023-2024学年高二下学期4月期中数学试题 【分析】对于A，利用导数的几何意义求解；对于B，求导后，由导数小于零求解；对于C，求导后求极值；对于D，函数与的交点个数判断. 【详解】对于A，由，得， 所以， ，所以在处的切线方程为，故A正确； 对于B，由，得，解得， 所以的单调递减区间为，故B正确； 对于C，由，得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得极大值，故C错误； 对于D，由C选项可知的最大值为， 当时，且， 所以函数与的图像的交点个数为2，即有2个解，故D正确. 故选：ABD. 导数与不等式题型07 51．(23-24高二下·江苏南京南京师范大学附属中学·期中)下列不等式中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】江苏省南京市南京师范大学附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】AB选项，分别构造函数和，然后根据函数的单调性得到最值，即可判断不等式是否成立；C选项，计算，然后比较大小；D选项，根据基本不等式和对数运算得到，然后根据对数函数的单调性比较大小. 【详解】令，则， 令，解得，令，解得， 所以在上单调递增，上单调递减， 所以，一定成立，故A不合题意； 令，则， 令，解得，令，解得， 所以在上单调递增，上单调递减， 所以， 所以不一定成立，B满足题意； ，所以一定成立，故C不合题意； ，所以一定成立，故D不合题意. 故选：B. 52．(23-24高二下·江苏如皋中学·调研)已知定义在上的函数 满足 ，则不等式 的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】江苏省如皋中学2023-2024学年高二下学期教学质量调研（二）数学试题 【分析】构造函数，利用导数说明其单调递增，将原不等式等价转换为，由此即可得解. 【详解】令，则， 所以在上单调递增， 不等式等价于，解得， 所以不等式 的解集为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：关键是得到，且单调递增，由此即可顺利得解. 53．(23-24高二下·江苏盐城三校·期中)设函数，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】江苏省盐城市三校2023-2024学年高二下学期4月期中联考数学试题 【分析】分析函数的奇偶性和单调性，利用奇偶性和单调性解不等式即可. 【详解】由解析式可知，所以函数为奇函数. 恒成立，函数在定义域R上单调递增； 因为，可得， 函数单调递增，所以，即. 设，显然在定义域上单调递增，且， 所以解，得. 所以的取值范围是. 故选：A 新定义问题题型08 54．(23-24高二下·江苏扬州邗江区邗江一中，瓜州中学，公道中学等五校联考·期中)（多选）定义：设是的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．已知函数，则下列说法中正确的有（    ） A．的对称中心为 B．若关于x的方程有三解，则 C．若在上有极小值，则 D．若在上的最大值、最小值分别为，则 【答案】ABD 【来源】江苏省扬州市邗江区邗江一中，瓜州中学，公道中学等五校联考2023-2024学年高二下学期期中数学试题 【分析】利用“拐点”定义可判定A，利用导数研究的单调性、极值结合函数的图象、对称性一一判定B、C、D选项即可. 【详解】对于A，易知，，令，而， 由“拐点”定义可知的对称中心为，故A正确； 令，此时单调递减， 令或，此时单调递增， 则，即的极大值为3，极小值为， 所以关于x的方程有三解，即两函数有三个交点， 则，故B正确； 易知若在上有极小值，则，故C错误； 由上可知，若在上的最大值、最小值分别为， 则，最值在端点处取得，即， 根据函数的对称中心知，而， 所以关于对称中心对称，则，故D正确. 故选：ABD 55．(23-24高二下·江苏南京第一中学·期中)设函数在区间上可导，为函数的导函数.若是上的减函数，则称为上的“上凸函数”；反之，若为上的“上凸函数”，则是上的减函数. (1)判断函数在上是否为“上凸函数”，并说明理由； (2)若函数是其定义域上的“上凸函数”，求的取值范围； 【答案】(1)函数在上是“上凸函数”，理由见解析 (2) 【来源】江苏省南京市第一中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】（1）求导得，令，只需判断在上是否恒成立即可； （2）由题意设，则恒成立，即当时，恒成立，从而分类讨论即可求解； 【详解】（1）由题意，， 令，则， 当时，， 即此时，所以即单调递减， 从而由定义可知函数在上是“上凸函数”； （2）因为， 所以， 设，则， 由题意函数是其定义域上的“上凸函数”， 所以单调递减， 从而当时，恒成立，即当时，恒成立， 因为一元二次函数的对称轴为， 当，即时，恒成立，只需即可，解得，即； 当，即时，恒成立，只需，即，解得； 综上所述，的取值范围为. 56．(23-24高二下·江苏苏州·期中)记，，则（    ） A． B． C．0 D． 【答案】C 【来源】江苏省苏州市2023-2024学年高二下学期4月期中调研数学试题 【分析】根据初等函数导数公式及导数运算法则求，观察其规律，确定，由此可得结论. 【详解】因为， 所以， ， ， ， ， ， ， ，， 观察可得， 所以， 所以， 故选：C. 57．(23-24高二下·江苏溧阳·期中)设定义在上，若对任意实数，存在实数，使得成立，则称满足“性质”，下列函数满足“性质”的有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】江苏省溧阳市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】对题干条件变形，转化为在上不单调，即可满足“性质”，再分别对选项一一判断即可. 【详解】将变形为：， 令，则在上至少有2个不等实数使得， 所以在上不单调，即可满足“性质”； 对于A，，当时，在上单调递增，所以不满足“性质”； 对于B，，，所以时，，当时，，所以在上不单调，满足“性质”； 对于C，，当时，则，所以在上单调递减，则不满足“性质”； 对于D，，当时，，在上单调递减，则不满足“性质”； 故选：B 58．(23-24高二下·江苏南菁高级中学实验班·期中)设函数，． (1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值：（其中为自然对数的底数）； (2)在（1）的条件下求的单调区间和极小值： (3)若在上存在增区间，求的取值范围． 【答案】(1) (2)单调减区间为，单调增区间为，极小值为2 (3) 【来源】江苏省南菁高级中学实验班2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求得的值； （2）利用导数与单调性以及极值的关系即可求解； （3）将在上存在增区间转化为有解，分离参数，即可求出的取值范围. 【详解】（1）由题可得， 因为曲线在点处的切线与直线垂直， 所以，解得； （2）由（1）知，令，解得 由，解得，由，解得， 所以的单调减区间为，单调增区间为，当时，取得极小值； （3）由在上存在增区间， 即在上有解， 即在上有解，所以， 令，易知在上单调递增，在上单调递减， 则， 所以 即的取值范围为. 59．(23-24高二下·江苏南京秦淮中学·)已知函数. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)若函数有三个不同的零点，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【来源】江苏省南京市秦淮中学2023-2024学年高二下学期2月期初数学试卷 【分析】（1）求出、，利用直线的点斜式方程可得答案； （2）转化为有三个不同的交点，令，利用导数求出的极值可得答案. 【详解】（1）当时，，， ，， 所以； （2）若函数有三个不同的零点， 即，有三个不同的交点， 令，， 由， 所以在和上单调递增，上单调递减， 极大值为，极小值为， 且当时，，当时，， 当时，， 根据函数图象可知，，. 60．(23-24高二下·江苏常州第一中学·期中)已知函数. (1)若为常数，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)判断与1.314的大小关系，并说明理由. 【答案】(1) (2)当时，在上为增函数；当时， ，函数单调递减；，函数单调递增； (3) 【来源】江苏省常州市第一中学2023-2024学年高二下学期4月期中数学试题 【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义求出切线斜率，进而求出切线方程； （2）求出定义域，求导后，分与两种情况进行讨论得到函数单调性情况； （3）构造函数，比较判断与1.314的大小关系； 【详解】（1），所以， ，所以切点为， 所以曲线在点处的切线方程为， 即为． （2）定义域为，， 当时，对恒成立， 在上为增函数； 当时，令，所以，， ，，函数单调递减， ，，函数单调递增， 综上所述： 当时， 在上为增函数； 当时， ，函数单调递减；，函数单调递增； （3）记，则， 当时，，故在上单调递增， ，即，则， 故有：. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 导数基础篇（8考点60题） 题型概览 题型01导数的概念与运算 题型02切线问题 题型03单调性 题型04极值与最值问题 题型05恒成立与有解问题 题型06零点问题 题型07导数与不等式 题型08新定义问题 优选提升题 导数的概念与运算题型01 1．(23-24高二下·江苏常州联盟校·期中)若某质点的运动方程是，(位移单位：m，时间单位：s)，则该质点在时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 2．(23-24高二下·江苏溧阳·期中)已知，则（    ） A． B． C． D． 3．(23-24高二下·江苏扬州邗江区邗江一中，瓜州中学，公道中学等五校联考·期中)下列导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．(23-24高二下·江苏溧阳·期中)下列导数运算中错误的是（    ） A． B． C． D． 5．(23-24高二下·江苏常州高级中学·期中)已知，则（    ） A． B．1 C．2 D．5 6．(23-24高二下·江苏南菁高级中学实验班·期中)若函数的图象在点处的切线方程是，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 切线问题题型02 7．(23-24高二下·江苏沭阳如东中学·期中)曲线在点处的切线的斜率为 . 8．(23-24高二下·江苏邗江中学·期中)已知函数，则在处的切线方程为 . 9．(23-24高二下·江苏溧阳·期中)若函数的图象在点处的切线平行于轴，则 . 10．(23-24高二下·江苏江阴长泾中学·期中)设函数的导函数为，且，则曲线在点处的切线的斜率为 . 11．(23-24高二下·江苏常州武进区·期中)曲线与曲线在处的切线平行，则的减区间为（    ） A． B． C． D． 12．(23-24高二下·江苏常州联盟校·期中)存在过点的直线与曲线相切，则实数的取值范围是 ． 13．(23-24高二下·江苏无锡江阴四校·期中)已知在点处的切线与只有一个公共点，则的值 . 14．(23-24高二下·江苏海门中学·期中)已知，若直线与曲线相切，则的最小值为（    ） A．9 B．12 C．14 D．16 15．(23-24高二下·江苏溧阳·期中)已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．过点可作曲线的一条切线 单调性题型03 16．(23-24高二下·江苏沭阳如东中学·期中)函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 17．(23-24高二下·江苏无锡江阴四校·期中)已知在上单调递增，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 18．(23-24高二下·江苏新海高级中学·期中)若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 19．(23-24高二下·江苏盐城中学、南京二十九中联考·期中)已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 20．(23-24高二下·江苏常州高级中学·期中)已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 21．(23-24高二下·江苏海门中学·期中)已知函数，当时，，则实数a的取值范围为 ． 22．(23-24高二下·江苏盐城三校·期中)已知函数在处取得极大值，且极大值为3. (1)求的值： (2)求在区间上不单调，求的取值范围. 23．(23-24高二下·江苏如皋中学·调研)已知函数. (1)若函数在定义域上单调递增，求实数的取值范围; (2)讨论函数的单调性. 极值与最值问题题型04 24．(23-24高二下·江苏沭阳如东中学·期中)已知函数，则函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 25．(23-24高二下·江苏苏州·期中)已知是函数的极值点，则实数的值为（    ） A． B．0 C．1 D．无数多个 26．(23-24高二下·江苏南京浦口区汉开书院·期中)（多选）下列函数中，存在极值点的是（    ） A． B． C． D． 27．(23-24高二下·江苏苏州·期中)已知函数的导函数为，点为函数上任意一点，则在点处函数的切线的一般式方程为 ，该切线在轴上截距之和的极大值为 ． 28．(23-24高二下·江苏连云港东海县·期中)若函数有大于零的极值点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 29．(23-24高二下·江苏南菁高级中学实验班·期中)已知函数是定义域为的偶函数，且当时，．若函数在上的最小值为4，则实数a的值为（    ） A． B．2 C． D． 30．(23-24高二下·江苏常州武进区·期中)已知函数的导函数为，定义域为，且函数的图象如图所示，则下列说法中正确的是（    ）    A．有极小值，极大值 B．仅有极小值，极大值 C．有极小值和，极大值和 D．仅有极小值，极大值 31．(23-24高二下·江苏沭阳如东中学·期中)（多选）已知定义在上的函数的导函数的图象如图所示，下列说法正确的是（    ）    A． B．函数在上单调递减 C．函数在处取得极大值 D．函数有最大值 32．(23-24高二下·江苏常州联盟校·期中)（多选）已知函数，下列说法中正确的有（    ） A．函数的单调递减区间为 B．曲线在处的切线方程为 C．函数既有极大值又有极小值，且极大值小于极小值 D．方程有两个不等实根，则实数的取值范围为 33．(23-24高二下·江苏南通·期中)已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)求在上的最值. 34．(23-24高二下·江苏新海高级中学·期中)已知函数． (1)求在处的切线方程； (2)求在区间上的最小值． 35．(23-24高二下·江苏海州高级中学·期中)已知函数 (1)求函数的极大值; (2)当时，求的值域. 36．(23-24高二下·江苏连云港高级中学·期中)已知函数，且． (1)求的值及曲线在点处的切线方程； (2)求函数在区间上的最值． 37．(23-24高二下·江苏常州武进区·期中)已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)若，且为函数的极小值点，求实数的取值范围． 38．(23-24高二下·江苏沭阳如东中学·期中)已知函数 (1)若，在点处的切线方程为，求的值； (2)若的极值点为和，且极大值为，求的极小值. 39．(23-24高二下·江苏常州第一中学·期中)已知函数，在时取得极小值10. (1)求函数的解析式; (2)求函数在区间上的最值. 40．(23-24高二下·江苏无锡运河实验学校·期中)已知在处取得极小值． (1)求的解析式； (2)求在处的切线方程； (3)求的极值. 41．(23-24高二下·江苏无锡江阴四校·期中)函数. (1)求的单调区间； (2)求在上最小值. 恒成立与有解问题题型05 42．(23-24高二下·江苏南京南京师范大学附属中学·期中)已知存在实数x，使得不等式成立，则实数t的取值范围是 ． 43．(23-24高二下·江苏无锡锡东高级中学·期中)，，当时，都有，则实数的最小值为（    ） A． B． C． D．1 44．(23-24高二下·江苏海门中学·期中)已知函数在处取得极大值． (1)求a的取值集合； (2)当时，求证： 45．(23-24高二下·江苏江阴长泾中学·期中)已知函数，当时，取得极值． (1)求的解析式； (2)若在区间上有解，求的取值范围. 零点问题题型06 46．(23-24高二下·江苏南京浦口区汉开书院·期中)已知函数．当时，则曲线在点处的切线方程是 ；若有两个零点，则的取值范围是 ． 47．(23-24高二下·江苏无锡江阴四校·期中)若函数有两个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 48．(23-24高二下·江苏南通·期中)若函数有绝对值不大于1的零点，则实数的取值范围是 . 49．(23-24高二下·江苏苏州·期中)（多选）函数定义域为，下列命题正确的是（    ） A．对于任意正实数，函数在上是单调递减函数 B．对于任意负实数，函数存在最小值 C．存在正实数，使得对于任意的，都有恒成立 D．存在负实数，使得函数在上有两个零点 50．(23-24高二下·江苏常州第一中学·期中)（多选）已知，下列说法正确的是（ ） A．在处的切线方程为 B．单调递减区间为 C．的极小值为 D．方程2024有两个不同的解 导数与不等式题型07 51．(23-24高二下·江苏南京南京师范大学附属中学·期中)下列不等式中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 52．(23-24高二下·江苏如皋中学·调研)已知定义在上的函数 满足 ，则不等式 的解集为（   ） A． B． C． D． 53．(23-24高二下·江苏盐城三校·期中)设函数，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 新定义问题题型08 54．(23-24高二下·江苏扬州邗江区邗江一中，瓜州中学，公道中学等五校联考·期中)（多选）定义：设是的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．已知函数，则下列说法中正确的有（    ） A．的对称中心为 B．若关于x的方程有三解，则 C．若在上有极小值，则 D．若在上的最大值、最小值分别为，则 55．(23-24高二下·江苏南京第一中学·期中)设函数在区间上可导，为函数的导函数.若是上的减函数，则称为上的“上凸函数”；反之，若为上的“上凸函数”，则是上的减函数. (1)判断函数在上是否为“上凸函数”，并说明理由； (2)若函数是其定义域上的“上凸函数”，求的取值范围； 56．(23-24高二下·江苏苏州·期中)记，，则（    ） A． B． C．0 D． 57．(23-24高二下·江苏溧阳·期中)设定义在上，若对任意实数，存在实数，使得成立，则称满足“性质”，下列函数满足“性质”的有（    ） A． B． C． D． 58．(23-24高二下·江苏南菁高级中学实验班·期中)设函数，． (1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值：（其中为自然对数的底数）； (2)在（1）的条件下求的单调区间和极小值： (3)若在上存在增区间，求的取值范围． 59．(23-24高二下·江苏南京秦淮中学·)已知函数. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)若函数有三个不同的零点，求实数m的取值范围. 60．(23-24高二下·江苏常州第一中学·期中)已知函数. (1)若为常数，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)判断与1.314的大小关系，并说明理由. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$