专题02 导数（6考点20题）（湖南专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期中真题分类汇编

专题02 导数（6考点20题） 题型概览 题型01单调性、极值与最值 题型02构造函数 题型03切线问题 题型04恒成立问题 题型05零点与方程的根 题型06新定义问题 单调性、极值与最值题型01 1．(23-24高二下·湖南张家界慈利县第一中学·期中)函数的极小值点为 . 2．(23-24高二下·湖南雅礼教育集团·期中)若函数在区间上单调递增，则的取值范围是 ． 3．(23-24高二下·湖南长沙第一中学、长沙一中城南中学等多校·期中)做一个容积为的圆柱形封闭容器，要求所用材料最省，则该容器的底面半径为 ，表面积为 . 4．(23-24高二下·湖南益阳·期中)已知（a为常数）在上有最大值3，则此函数在上的最小值是（ ） A． B． C． D． 5．(23-24高二下·湖南邵阳邵阳县第二高级中学·期中)（多选）已知函数，则（    ） A． B．有两个极值点 C．点是曲线的对称中心 D．有两个零点 6．(23-24高二下·湖南常德沅澧共同体·期中)对于函数，下列说法正确的是（    ） A．只有一个零点 B．在处取得极大值为 C． D．若在区间上恒成立，则 7．(23-24高二下·湖南雅礼教育集团·期中)关于函数，下列说法正确的是（    ） ①有两个极值点        ②的图象关于原点对称 ③有三个零点        ④在上单调递减 A．①④ B．②④ C．①③④ D．①②③ 8．(23-24高二下·湖南师范大学附属中学·期中)已知函数为奇函数． (1)求的值； (2)当时，求的单调区间和极值． 0 ＋ 单调递减 极小值 单调递增 构造函数题型02 9．已知，则的大小关系是（ ） A． B． C． D． 10．(23-24高二下·湖南师范大学附属中学·期中)设，，，则（    ） A． B． C． D． 切线问题题型03 11．(23-24高二下·湖南常德沅澧共同体·期中)若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为 . 12．(23-24高二下·湖南湖湘教育三新探索协作体·期中)已知，过点可作曲线的两条切线，切点为，．求的取值范围（    ） A． B． C． D． 13．已知函数.若过点可以作曲线三条切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 恒成立问题题型04 14．已知，函数恒成立，则的最大值为 . 15．(23-24高二下·湖南长沙第一中学、长沙一中城南中学等多校·期中)已知函数（，），且曲线在点处的切线经过点. (1)求； (2)求的单调区间； (3)若，，证明：. 16．(23-24高二下·湖南名校联考联合体·期中)已知函数. (1)若（e为自然对数的底数），求函数的极值； (2)若，函数有两个零点，且不等式恒成立，求实数的取值范围. 零点与方程的根题型05 17．(23-24高二下·湖南名校联考联合体·期中)已知函数，函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 18．(23-24高二下·湖南益阳·期中)已知函数，，若存在3个零点，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 19．(23-24高二下·湖南邵阳邵阳县第二高级中学·期中)给定函数． (1)判定函数的单调性，并求出的极值； (2)画出的大致图像； (3)求出方程的解的个数． 新定义问题题型06 20．(23-24高二下·湖南湖湘教育三新探索协作体·期中)英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，．注：阶导数指对一个函数进行次求导，表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，为自然对数的底数，，该公式也称麦克劳林公式．设，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题： (1)利用泰勒公式求的近似值；（精确到小数点后两位） (2)设，证明：； (3)证明：（为奇数）． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 导数（6考点20题） 题型概览 题型01单调性、极值与最值 题型02构造函数 题型03切线问题 题型04恒成立问题 题型05零点与方程的根 题型06新定义问题 单调性、极值与最值题型01 1．(23-24高二下·湖南张家界慈利县第一中学·期中)函数的极小值点为 . 【答案】 【来源】湖南省张家界市慈利县第一中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】对原函数求导，求出其单调区间，从而得到极小值点. 【详解】由题意得， 令，可得， 所以在上，单调递减， 在上，单调递增， 在上，单调递减， 所以处，取得极小值， 所以极小值点为. 故答案为：. 2．(23-24高二下·湖南雅礼教育集团·期中)若函数在区间上单调递增，则的取值范围是 ． 【答案】（ 【来源】湖南省雅礼教育集团2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】求出转化为在区间上恒成立，再构造函数，结合导数，求在区间上的最小值可得答案. 【详解】因为函数在区间上单调递增， 所以在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 令，则， 所以在上递增，又，所以．所以的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】思路点睛：求出分离常数，利用构造函数法，结合导数，求得参数的取值范围. 3．(23-24高二下·湖南长沙第一中学、长沙一中城南中学等多校·期中)做一个容积为的圆柱形封闭容器，要求所用材料最省，则该容器的底面半径为 ，表面积为 . 【答案】 5 【来源】湖南省长沙市第一中学、长沙市一中城南中学等多校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】根据已知得到条件等式，然后将圆柱的表面积表示为的函数，利用导数即可求解. 【详解】设该容器的底面半径为，高为，表面积为．由，得． 所用材料最省即该容器的表面积最小，则． 令函数，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 要使所用材料最省，则该容器的底面半径为，表面积为． 故答案为：5；. 4．(23-24高二下·湖南益阳·期中)已知（a为常数）在上有最大值3，则此函数在上的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】湖南省益阳市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】求函数的导数，利用导数结合函数的最大值求出a，即可求出函数的最小值． 【详解】由题意可知：， 令，解得；令，解得； 可知在上单调递增，则上单调递减， 则函数的最大值为， 此时，且，， 可知当时，函数取得最小值为. 故选：A. 5．(23-24高二下·湖南邵阳邵阳县第二高级中学·期中)（多选）已知函数，则（    ） A． B．有两个极值点 C．点是曲线的对称中心 D．有两个零点 【答案】ABC 【来源】湖南省邵阳市邵阳县第二高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】求导后令，分析单调性并求出极值，即可判断ABD，利用函数对称性的定义可判断C。 【详解】，故A正确； 令，解得，当或时，，当时，， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 故函数在处取得极小值，在取得极大值， 即，， 只有一个零点，故B正确D错误； ，所以关于对称，故C正确。 故选：ABC 6．(23-24高二下·湖南常德沅澧共同体·期中)对于函数，下列说法正确的是（    ） A．只有一个零点 B．在处取得极大值为 C． D．若在区间上恒成立，则 【答案】ABD 【来源】湖南省常德市沅澧共同体2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】对于A：令分析求解即可判断；对于B：求导，利用导数判断的单调性和极值；对于C：根据的单调性结合分析判断；对于D：分析可知原题意等价于在内恒成立，设，利用导数判断的单调性和最值，结合恒成立问题分析求解. 【详解】对于选项A：令，解得， 可知只有一个零点，故A正确； 对于选项B：由题意可知：的定义域为，， 当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减；    可知函数在处取得极大值也是最大值，故B正确； 对于选项C：因为函数在上单调递减，且， 由，可得，故C错误； 对于选项D：若，则， 原题意等价于在内恒成立，则， 设，定义域为，则， 当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减； 可知的最大值为，所以，故D正确； 故选：ABD. 7．(23-24高二下·湖南雅礼教育集团·期中)关于函数，下列说法正确的是（    ） ①有两个极值点        ②的图象关于原点对称 ③有三个零点        ④在上单调递减 A．①④ B．②④ C．①③④ D．①②③ 【答案】C 【来源】湖南省雅礼教育集团2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】求得，利用导数可知的单调性和极值，即可判断①④，根据极值的符号性判断零点的个数，即可判断③；取特指判断奇偶性，即可判断②. 【详解】函数的定义域为，求导得， 当或时，，当时，， 可知函数在上单调递增，在上单调递减，故④正确； 因此的极大值为，极小值为，故①正确； 而， 且当趋近于时，趋近于，当趋近于，趋近于， 因此函数有三个零点，③正确； 又因为，则函数不是奇函数，其图象关于原点不对称，②错误. 故选：C 8．(23-24高二下·湖南师范大学附属中学·期中)已知函数为奇函数． (1)求的值； (2)当时，求的单调区间和极值． 【答案】(1) (2)答案见解析 【来源】湖南师范大学附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】（1）由已知结合奇函数的定义即可求解； （2）先化简的解析式，对其求导，结合导函数与单调性及极值的关系即可求解. 【详解】（1）定义域：． 由已知：函数为奇函数，所以， 即，解得． （2）由（1）得：， 当时，因为，所以． 令，解得． 变化情况如下表： 0 ＋ 单调递减 极小值 单调递增 所以在上单调递减，在上单调递增． 因此的单调递增区间为，单调递减区间为， 当时，有极小值，并且极小值为，无极大值. 构造函数题型02 9．已知，则的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】湖南省衡阳市第一中学2024年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】观察的式子结构，构造函数，利用导数判断的单调性，从而得到，再利用对数函数的单调性判断出，从而得解. 【详解】因为， ，构造函数，则， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 因为，所以，即，即，所以； 又，所以，即. 综上，. 故选：. 10．(23-24高二下·湖南师范大学附属中学·期中)设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】湖南师范大学附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】令，求导可得，令，可得，令，可得在上单调递增，令，可得，可得结论. 【详解】令，可得， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以，即，当且仅当时等号成立， 从而当时，，则，故，； 设函数，则， 当时，，故在上单调递增， 则，则，综上所述有． 故选：C． 【点睛】关键点点睛：本题求解的关键是构造函数，根据数式特点构造合适的函数，利用导数研究单调性，结合单调性比较大小. 切线问题题型03 11．(23-24高二下·湖南常德沅澧共同体·期中)若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为 . 【答案】 【来源】湖南省常德市沅澧共同体2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】根据导数的几何意义求出曲线在点处的切线斜率，根据直线垂直的性质，即可得出答案. 【详解】因为，所以， ，， 曲线在点处的切线斜率为， 又因为曲线在点处的切线与直线垂直， 所以. 故答案为：. 12．(23-24高二下·湖南湖湘教育三新探索协作体·期中)已知，过点可作曲线的两条切线，切点为，．求的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】湖南省湖湘教育三新探索协作体2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题 【分析】先设切点坐标，利用导数的几何意义确定切线方程，参变分离得方程有两不同解，构造函数，判定其单调性求其最小值，化为解，构造函数，判定其单调性从而解得化简待求式得，即可得结果. 【详解】因为，设切点坐标为， 则曲线在该点处的切线方程为：， 又在切线上，即， 则方程有两不同解， 令， 易知时，单调递增不合理，故． 当时，，当时，单调递减，时，单调递增，故为极小值； 要使有两解，则，即， 令在上单调递增， 又因为，所以 易知， 又因为为方程的解，故有， 代入可得，故所求取值范围为． 故选：A 【点睛】思路点睛：由导数的几何意义转化为方程有两解，分别构造函数，利用导数研究单调性及极最值得的取值范围，再化简待求式得即可. 13．已知函数.若过点可以作曲线三条切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】湖南省衡阳市第一中学2024年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】切点为，利用导数的几何意义求切线的斜率，设切线为：，可得，设，求，利用导数求的单调性和极值，切线的条数即为直线与图象交点的个数，结合图象即可得出答案. 【详解】设切点为，由可得， 所以在点处的切线的斜率为， 所以在点处的切线为：， 因为切线过点，所以， 即，即这个方程有三个不等根即可， 切线的条数即为直线与图象交点的个数， 设， 则 由可得，由可得：或， 所以在和上单调递减，在上单调递增， 当趋近于正无穷，趋近于0，当趋近于负无穷，趋近于正无穷， 的图象如下图，且， 要使与的图象有三个交点，则. 则的取值范围是:. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：关键是通过分离参数得出关于的方程有三个不同的实数根，通过数形结合即可顺利得解. 恒成立问题题型04 14．已知，函数恒成立，则的最大值为 . 【答案】1 【来源】湖南省衡阳市第一中学2024年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】当a为正偶数时，不符合题意，当a为正奇数时，只需研究时，分离参数得恒成立，设，利用导数求的最小值即可求解. 【详解】当a为正偶数时， 当时，，显然不符合题意； 当a为正奇数时，则当时，恒成立， 因此只需研究时，恒成立即可， 当时，成立， 则当时，，因为此时小于0，所以恒成立， 当时，恒成立， 令，，则， 令，得，即， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 所以函数在上取得最小值， 要使时，恒成立，则， 又因为a为正奇数，所以a的最大值为1， 综上所述，a的最大值为1. 故答案为：1. 【点睛】关键点点睛：本题求解参数的关键：一是对参数a分为正偶数和正奇数两部分讨论；二是当a是正奇数时，需要分离参数构造新函数，把恒成立问题转化为求函数的最值问题，再利用导数求解最值即可. 15．(23-24高二下·湖南长沙第一中学、长沙一中城南中学等多校·期中)已知函数（，），且曲线在点处的切线经过点. (1)求； (2)求的单调区间； (3)若，，证明：. 【答案】(1) (2)的单调递减区间为，单调递增区间为 (3)证明见解析 【来源】湖南省长沙市第一中学、长沙市一中城南中学等多校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】（1）对求导，由题意可得，解方程即可得出答案； （2）对求导，判断与0的大小即可求出的单调区间； （3）令，对求导，可证得，设函数，由此对放缩可证得，再由可得，同理证得，即可证明. 【详解】（1）解：， 由题意得， 则， 得，又，所以． （2）解：由（1）可知． 因为函数均为增函数，所以为增函数． 易得，则当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为． （3）证明：由题意得，设函数，则， 当时，单调递减，当时，单调递增， 则，即（当时，等号成立）． 设函数， 则，因为，所以 由，得 同理，，得． 由，得，所以． 【点睛】关键点睛：本题的关键点在于令，对求导，可证得，设函数，由此对放缩可证得，再由可得，同理证得，即可证明. 16．(23-24高二下·湖南名校联考联合体·期中)已知函数. (1)若（e为自然对数的底数），求函数的极值； (2)若，函数有两个零点，且不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)极小值为，无极大值； (2) 【来源】湖南名校联考联合体2023-2024学年高二下学期第二次（期中）联考试卷 【分析】（1）直接求导得，再对分子求导即可得到的单调性和极值； （2）求导得，题意等价转化为有两个正根，再利用同构思想进行整体换元得有两个正根，最后再利用比值换元法即可. 【详解】（1），定义域为， ， 令，则在上单调递增， 由时，单调递减； 时，单调递增； ，无极大值. （2）， 令，可得， 原题意等价于有两个正根， 令，则，等价于有两个正根， 当时，恒成立，故在上单调递增， 对于，由，可得， 可得，可得， 令，由，可得， 由整理可得， ， 原题意等价于当时，恒成立， 等价于当时，恒成立， 令，则， ，则，解得， 当时，令，则当时，恒成立， 故在上单调递增，则， 即当时，恒成立，故在上单调递增， 则，.可知符合题意， 综上所述:实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是通过等价转化得有两个正根，然后再设，即利用比值换元法求出答案. 零点与方程的根题型05 17．(23-24高二下·湖南名校联考联合体·期中)已知函数，函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】湖南名校联考联合体2023-2024学年高二下学期第二次（期中）联考试卷 【分析】变形为有两个实根，变形得到，设，求导得到单调性，进而求出，只需使有两个根，设，求导,即可求解最值得出的取值范围． 【详解】要使函数有两个零点，即有两个实根， 即有两个实根， 即，整理为， 设函数，则上式为， 因为恒成立，所以单调递增，所以， 所以只需使有两个根，设， ， 易知，函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 故函数在处取得极大值，也是最大值，则， 当时，；当时，， 要想有两个根，只需，解得， 即的取值范围是． 故选：C． 【点睛】关键点点睛：由指对数运算等价变换为，即可由的单调性得. 18．(23-24高二下·湖南益阳·期中)已知函数，，若存在3个零点，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】湖南省益阳市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】根据题意，将函数零点问题转化为函数图像交点问题，然后结合函数图像，代入计算，即可求解. 【详解】 令，即， 则函数的零点个数即为函数与函数交点的个数， 做出函数与函数的图像，如图所示， 当直线与曲线相切时， 又当时，，则，则，则，即且点为，此时， 因为存在3个零点，即函数与函数的图像有3个交点， 所以，解得， 所以a的取值范围是. 故选：D 19．(23-24高二下·湖南邵阳邵阳县第二高级中学·期中)给定函数． (1)判定函数的单调性，并求出的极值； (2)画出的大致图像； (3)求出方程的解的个数． 【答案】(1)递减区间为，递增区间为；极小值为，无极大值； (2)作图见解析； (3)答案见解析. 【来源】湖南省邵阳市邵阳县第二高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数探讨函数的单调性，求出函数的极值. （2）结合（1）分析函数的特性，作出函数图象. （3）结合（2）中的图象，数形结合求出方程解的个数. 【详解】（1）函数的定义域为R，求导得， 由，得，当时，，当时，， 因此函数在上单调递减，在上单调递增，在处取得极小值，无极大值， 所以函数的递减区间为，递增区间为；极小值为，无极大值. （2）由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增，， 由，得，又，因此函数的图象过点，，， 当时，恒成立，当时，，而函数在的取值集合为， 于是函数在的值域为， 在坐标平面内作出函数的图象，如图：    （3）方程的解，即为直线与函数图象交点的横坐标， 由（2）知，当时，直线与函数图象没有交点； 当时，直线与函数图象有2个交点； 当或时，直线与函数图象有1个交点， 所以当时，没有解；当时有两个解； 当或时，有一个解. 新定义问题题型06 20．(23-24高二下·湖南湖湘教育三新探索协作体·期中)英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，．注：阶导数指对一个函数进行次求导，表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，为自然对数的底数，，该公式也称麦克劳林公式．设，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题： (1)利用泰勒公式求的近似值；（精确到小数点后两位） (2)设，证明：； (3)证明：（为奇数）． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【来源】湖南省湖湘教育三新探索协作体2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题 【分析】（1）利用泰勒公式对进行展开，代入公式计算； （2）利用泰勒公式对进行展开，得到，计算得到，可得结论； （3）利用阶导数和（2）的结论进行放缩，利用裂项相消进行求和，证得不等式。 【详解】（1）由泰勒公式知，① 于是有； （2）由上得，② 由①②得， ， 所以， 即； （3）当为偶数时，为奇数时，． 故原式可化为，③ 由上题可知， 故有，③式． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$