专题01 解析几何（直线与圆、椭圆、双曲线、抛物线）（4考点24题）（湖南专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期中真题分类汇编

专题01 解析几何（4考点24题） （直线与圆、椭圆、双曲线、抛物线） 题型概览 题型01直线与圆 题型02椭圆 题型03双曲线 题型04抛物线 优选提升题 直线与圆题型01 1．(23-24高二下·湖南邵阳邵阳县第二高级中学·期中)直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．(23-24高二下·湖南邵阳邵阳县第二高级中学·期中)过三点的圆的方程为 ． 3．(23-24高二下·湖南湖湘教育三新探索协作体·期中)是圆上的动点，则点到直线的距离最大值为（    ） A．2 B． C． D． 4．(23-24高二下·湖南师范大学附属中学·期中)设A为直线上一点，P，Q分别在圆与圆上运动，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．(23-24高二下·湖南常德沅澧共同体·期中)（多选）已知直线，圆的方程为，下列表述正确的是（    ） A．当实数变化时，直线恒过定点 B．当直线与直线平行时，则两条直线的距离为 C．当时，圆关于直线对称 D．当时，直线与圆没有公共点 6．(23-24高二下·湖南祁东县第一中学·期中)已知直线，圆为圆上任意一点，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为5 B．的最小值为 C．直线与圆相切时， D．圆心到直线的距离最大为4 椭圆题型02 7．(23-24高二下·湖南长沙第一中学、长沙一中城南中学等多校·期中)已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知椭圆的左右焦点分别为，其中，过的直线与椭圆交于两点，若，则该椭圆离心率的取值范围是 ． 9．(23-24高二下·湖南师范大学附属中学·期中)（多选）已知，分别是椭圆的左、右焦点，A为椭圆上一动点，B为椭圆的上顶点，是边长为2的正三角形．下列说法正确的是（    ） A．离心率 B．使得为等腰三角形的点A有4个 C．当直线倾斜角为时，周长为6 D．将椭圆C进行旋转得到椭圆，使得以和B为焦点，则C和有且仅有2个交点 10．(23-24高二下·湖南三湘名校教育联盟·期中)在平面直角坐标系中，直线交椭圆于两点，点关于轴的对称点为. (1)用含的式子表示的中点坐标； (2)证明：直线过定点. 11．如图，已知椭圆（）的左，右顶点分别为，，椭圆的长轴长为4，椭圆上的点到焦点的最大距离为，为坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)设过点的直线，与椭圆分别交于点，，其中，证明：直线过定点，并求出定点坐标； 12．(23-24高二下·湖南湖湘教育三新探索协作体·期中)如图，点在圆上运动且满足轴，垂足为点，点在线段上，且，动点的轨迹为． (1)求曲线的方程； (2)已知，过的动直线交曲线于两点（点在轴上方）分别为直线与轴的交点，是否存在实数使得？说明理由． 双曲线题型03 13．(23-24高二下·湖南三湘名校教育联盟·期中)已知双曲线的实轴长为6，焦点为，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 14．(23-24高二下·湖南邵阳邵阳县第二高级中学·期中)（多选）对于曲线，下面说法正确的是（    ） A．若，曲线的长轴长为2 B．若曲线是椭圆，则的取值范围是 C．若曲线是焦点在轴上的双曲线，则的取值范围是 D．若曲线是焦点在轴上的椭圆，离心率为，则值为3 15．(23-24高二下·湖南湖湘教育三新探索协作体·期中)双曲线的左、右焦点分别为为坐标原点，为双曲线右支上的一点，连接交左支于点．若，且，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C．3 D． 16．(23-24高二下·湖南邵阳邵阳县第二高级中学·期中)已知双曲线的离心率为2，右顶点为，过左焦点的直线交于，两点． (1)求双曲线的方程； (2)证明：以为直径的圆过定点． 17．(23-24高二下·湖南常德沅澧共同体·期中)已知双曲线过点，且离心率为. (1)求双曲线的标准方程； (2)设过点且斜率不为0的直线与双曲线的左右两支交于，两点.问：在轴上是否存在定点，使直线的斜率与的斜率的积为定值？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由. 抛物线题型04 18．(23-24高二下·湖南邵阳邵阳县第二高级中学·期中)设抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与交于M，N两点，则（    ） A． B． C． D． 19．(23-24高二下·湖南名校联考联合体·期中)如图，为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为（   ） A． B． C．8 D．12 20．(23-24高二下·湖南师范大学附属中学·期中)过抛物线的焦点作直线交抛物线于P，Q两点，若线段PQ中点的横坐标为2，，则抛物线方程是（    ） A． B． C． D． 21．(23-24高二下·湖南常德沅澧共同体·期中)设抛物线C：的焦点为F，准线为，斜率为的直线经过焦点F，交抛物线C于点A、B两点，若，则抛物线C的方程为 ． 22．(23-24高二下·湖南长沙第一中学、长沙一中城南中学等多校·期中)已知为抛物线：的焦点，第一象限内的点在上，点的纵坐标等于横坐标的4倍，且. (1)求的方程； (2)若斜率存在的直线与交于异于的，两点，且直线的斜率与直线的斜率之积为16，证明：过定点. 23．(23-24高二下·湖南名校联考联合体·期中)已知椭圆，左､右焦点分别为，短轴的其中一个端点为，长轴端点为，且是面积为的等边三角形.    (1)求椭圆的方程及离心率； (2)若双曲线以为焦点，以为顶点，点为椭圆与双曲线的一个交点，求的面积； (3)如图，直线与椭圆有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴，轴于两点.当点运动时，求点的轨迹方程. 24．(23-24高二下·湖南师范大学附属中学·期中)对于椭圆，令，，那么在坐标系中，椭圆经伸缩变换得到了单位圆，在这样的伸缩变换中，有些几何关系保持不变，例如点、直线、曲线的位置关系以及点分线段的比等等；而有些几何量则等比例变化，例如任何封闭图形在变换后的面积变为原先的，由此我们可以借助圆的几何性质处理一些椭圆的问题． (1)在原坐标系中斜率为k的直线l，经过，的伸缩变换后斜率变为，求k与满足的关系； (2)设动点P在椭圆上，过点P作椭圆的切线，与椭圆交于点Q，R，再过点Q，R分别作椭圆的切线交于点S，求点S的轨迹方程； (3)点）在椭圆上，求椭圆上点B，C的坐标，使得△ABC的面积取最大值，并求出该最大值． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 解析几何（4考点24题） （直线与圆、椭圆、双曲线、抛物线） 题型概览 题型01直线与圆 题型02椭圆 题型03双曲线 题型04抛物线 优选提升题 直线与圆题型01 1．(23-24高二下·湖南邵阳邵阳县第二高级中学·期中)直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】湖南省邵阳市邵阳县第二高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】根据直线方程得出斜率，再利用斜率公式计算得到倾斜角； 【详解】直线的斜率为， 因为，所以. 故选：B. 2．(23-24高二下·湖南邵阳邵阳县第二高级中学·期中)过三点的圆的方程为 ． 【答案】(或者写成) 【来源】湖南省邵阳市邵阳县第二高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】待定系数法求出圆的方程. 【详解】设圆的方程为， 将代入得， ，解得， 故圆的方程为. 故答案为： 3．(23-24高二下·湖南湖湘教育三新探索协作体·期中)是圆上的动点，则点到直线的距离最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【来源】湖南省湖湘教育三新探索协作体2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题 【分析】求得圆心与半径，求得直线恒过定点，圆心到直线的最大距离为，进而可求动点到直线的最大距离. 【详解】由圆，可知圆心的坐标为，半径为， 由，可得，所以直线恒过定点． 故圆心到直线的最大距离为，圆上的动点到直线的最大距离为． 故选：D. 4．(23-24高二下·湖南师范大学附属中学·期中)设A为直线上一点，P，Q分别在圆与圆上运动，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】湖南师范大学附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】求出关于直线对称的点的坐标，转化即可求解. 【详解】设关于直线对称的点的坐标为， 则，解得，， 即，由对称性可知， 对于圆，圆心，半径，， 当且仅当A，C，三点共线时等号成立， 由于，， 则. 故选A． 5．(23-24高二下·湖南常德沅澧共同体·期中)（多选）已知直线，圆的方程为，下列表述正确的是（    ） A．当实数变化时，直线恒过定点 B．当直线与直线平行时，则两条直线的距离为 C．当时，圆关于直线对称 D．当时，直线与圆没有公共点 【答案】AD 【来源】湖南省常德市沅澧共同体2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】A选项，变形后得到直线恒过；B选项，先根据直线平行得到，进而利用两直线距离公式求出答案；C选项，求出圆心，代入检验得到圆心不在直线上，从而C错误；D选项，求出圆心到直线的距离，与圆的半径比较后得到D正确. 【详解】A选项，变形为， ，解得， 故当实数变化时，直线恒过定点，A正确； B选项，当直线与直线平行时，， 故直线， 故两条直线的距离为，B错误； C选项，当时，直线， ，故圆心为， 其中，故圆心不在上， 故圆不关于直线对称，C错误； D选项，当时，， 圆心到直线的距离， 的半径为， 由于，故直线与圆没有公共点，D正确. 故选：AD 6．(23-24高二下·湖南祁东县第一中学·期中)已知直线，圆为圆上任意一点，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为5 B．的最小值为 C．直线与圆相切时， D．圆心到直线的距离最大为4 【答案】C 【来源】湖南省祁东县第一中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】对A，转化为圆上的点到圆心的距离最值问题；对B，转化为斜率最值并求出相切时的斜率；对C，根据点到直线的距离得公式即可求出值；对D，根据点到直线的距离再对分类讨论即可. 【详解】对A，圆的方程可化为，所以圆的圆心为，半径. ，是圆上的点， 所以的最大值为，A选项错误. 对B，如图所示，当直线的斜率大于零且与圆相切时，最大， 此时，且， 根据对称性知的最小值为，B选项不正确； 对C，直线，即，过定点， 若直线与圆相切，则圆心到直线的距离为， 即，解得，所以C选项正确； 对D，圆心到直线的距离， 当时，， 当时，，所以D选项错误. 故选：C 椭圆题型02 7．(23-24高二下·湖南长沙第一中学、长沙一中城南中学等多校·期中)已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】湖南省长沙市第一中学、长沙市一中城南中学等多校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】将椭圆方程化成标准形式，根据焦点位置，列出不等式组，解之即得. 【详解】将椭圆方程变形为，因为焦点在轴上，所以，解得． 故选：B. 8．已知椭圆的左右焦点分别为，其中，过的直线与椭圆交于两点，若，则该椭圆离心率的取值范围是 ． 【答案】 【来源】湖南省岳阳市2024届高三下学期教学质量监测（二）数学试题 【分析】先设出点，借助向量数量积求得的轨迹，再利用椭圆的几何性质列出不等式求出即得. 【详解】设点，而，则， 由，得，即， 因此点在以为圆心，半径为的圆上，而点在椭圆上，则圆与椭圆有公共点， 由椭圆的几何性质知，即，亦即， 整理得，即，所以椭圆离心率， 故答案为： 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法： ①定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率； ②齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解； ③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率. 9．(23-24高二下·湖南师范大学附属中学·期中)（多选）已知，分别是椭圆的左、右焦点，A为椭圆上一动点，B为椭圆的上顶点，是边长为2的正三角形．下列说法正确的是（    ） A．离心率 B．使得为等腰三角形的点A有4个 C．当直线倾斜角为时，周长为6 D．将椭圆C进行旋转得到椭圆，使得以和B为焦点，则C和有且仅有2个交点 【答案】ACD 【来源】湖南师范大学附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】求出椭圆离心率判断A；分情况讨论确定等腰三角形个数判断B；求出周长判断C；由线段的中垂线与椭圆公共点个数，结合定义判断D. 【详解】对于A，依题意，，，离心率，A正确； 对于B，点为线段的中垂线与椭圆的交点时，为等腰三角形，有2个； 点为以B为圆心，为半径的圆与椭圆的交点时，为等腰三角形，有2个； 当点为下顶点时，为等腰三角形，因此满足要求的点A有5个，B错误； 对于C，当直线倾斜角为时，垂直平分．则， 周长，C正确； 对于D，作的垂直平分线l与椭圆交于M，N两点， 则，， 因此M，N是两椭圆的交点，椭圆C上位于直线l下方的任意一点，交于， 则，即点在椭圆外， 椭圆C上位于直线l上方的任意一点，交于， 则， 即在椭圆内，因此C和有且仅有2个交点，D正确． 故选：ACD    10．(23-24高二下·湖南三湘名校教育联盟·期中)在平面直角坐标系中，直线交椭圆于两点，点关于轴的对称点为. (1)用含的式子表示的中点坐标； (2)证明：直线过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【来源】湖南省三湘名校教育联盟2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题 【分析】（1）假设坐标，联立直线方程与曲线方程，根据韦达定理以及代入化简，即可求出的中点坐标； （2）由坐标可假设出坐标，求出直线方程，当时，代入计算化简得到，即可得到结果. 【详解】（1）由题意可得，设，则， 联立，得， 则， ， 故中点坐标为. （2）直线， 当时，， 所以直线过定点. 11．如图，已知椭圆（）的左，右顶点分别为，，椭圆的长轴长为4，椭圆上的点到焦点的最大距离为，为坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)设过点的直线，与椭圆分别交于点，，其中，证明：直线过定点，并求出定点坐标； 【答案】(1) (2)证明见解析， 【来源】湖南省衡阳市第一中学2024年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】（1）由椭圆上的点到焦点的最大距离为计算即可得； （2）设出直线，的方程，分别联立曲线可得，两点坐标，结合两点坐标可得直线方程，即可得其所过定点. 【详解】（1）∵长轴长为4，∴，椭圆上的点到点的最大距离为， ∴，∴.∴，∴椭圆的方程为：； （2）由（1）得，， 直线，的方程分别为，， 由得， ∴，可得，∴， 由得， ∴，可得，∴， ∴， 直线的方程为：， 即， 可得直线过定点. 【点睛】关键点点睛：本题最后一问关键点在于设出两直线方程，从而联立曲线，表示出，两点坐标后可得直线方程，即可得其所过定点. 12．(23-24高二下·湖南湖湘教育三新探索协作体·期中)如图，点在圆上运动且满足轴，垂足为点，点在线段上，且，动点的轨迹为． (1)求曲线的方程； (2)已知，过的动直线交曲线于两点（点在轴上方）分别为直线与轴的交点，是否存在实数使得？说明理由． 【答案】(1) (2)存在实数，理由见解析 【来源】湖南省湖湘教育三新探索协作体2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题 【分析】（1）先利用得到点坐标关于点坐标的表示，再利用直接代入法即可求得点的轨迹方程； （2）设直线的方程为并与曲线的方程联立，化简写出根与系数关系，计算出，从而求得正确答案. 【详解】（1）设点的坐标为，点，由题意可知， 则由题可得，即， 点在圆上运动，， 即的轨迹方程为 （2）易知直线的斜率不为0，设方程为， 由，得， 设，则， 直线的方程，得， 直线的方程，得， 由此得，， 又因为，即， 所以， 所以存在实数，使得． 双曲线题型03 13．(23-24高二下·湖南三湘名校教育联盟·期中)已知双曲线的实轴长为6，焦点为，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】湖南省三湘名校教育联盟2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题 【分析】由椭圆的性质，结合双曲线渐近线方程的求法即可求解. 【详解】由题意可得的焦点为，且实半轴长为3， 则虚半轴长为，双曲线的方程为， 所以的渐近线方程为. 故选：A. 14．(23-24高二下·湖南邵阳邵阳县第二高级中学·期中)（多选）对于曲线，下面说法正确的是（    ） A．若，曲线的长轴长为2 B．若曲线是椭圆，则的取值范围是 C．若曲线是焦点在轴上的双曲线，则的取值范围是 D．若曲线是焦点在轴上的椭圆，离心率为，则值为3 【答案】CD 【来源】湖南省邵阳市邵阳县第二高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】A选项，得到，得到长轴长；B选项，根据曲线是椭圆，得到不等式，求出的取值范围；C选项，根据曲线是焦点在轴上的双曲线，得到不等式，求出答案；D选项，根据曲线是焦点在轴上的椭圆，得到不等式，结合离心率得到方程，求出的值. 【详解】A选项，为椭圆方程，故长轴长为，A错误； B选项，，解得或，B错误； C选项，若曲线是焦点在轴上的双曲线，故，解得，C正确； D选项，若曲线是焦点在轴上的椭圆，离心率为， 故，解得， 又，解得，D正确. 故选：CD 15．(23-24高二下·湖南湖湘教育三新探索协作体·期中)双曲线的左、右焦点分别为为坐标原点，为双曲线右支上的一点，连接交左支于点．若，且，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【来源】湖南省湖湘教育三新探索协作体2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题 【分析】根据双曲线的定义以及已知和三角形面积公式，可推，，，得为等边三角形，进而在中利用余弦定理可得到a,c之间的关系式，求得答案. 【详解】如图所示， 由双曲线的定义可知：， 所以，又有，因为， 即手， 所以则为等边三角形，， 由余弦定理可得： ，解得． 故选：B 16．(23-24高二下·湖南邵阳邵阳县第二高级中学·期中)已知双曲线的离心率为2，右顶点为，过左焦点的直线交于，两点． (1)求双曲线的方程； (2)证明：以为直径的圆过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【来源】湖南省邵阳市邵阳县第二高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】（1）根据所给条件求出、，即可求出，从而得解； （2）设，，，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，表示出以为直径的圆的方程，根据对称性，定点坐标在轴上，令求出，即可得解. 【详解】（1）由题意可得，解得，， 双曲线的方程为. （2）由（1）知， 设，，， 由，消去整理得， ， ，， ， ， 以为直径的圆方程：， ， 由对称性知以为直径的圆必过轴上的定点， 令， ， ， 对恒成立， ， ∴以为直径的圆过定点. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 17．(23-24高二下·湖南常德沅澧共同体·期中)已知双曲线过点，且离心率为. (1)求双曲线的标准方程； (2)设过点且斜率不为0的直线与双曲线的左右两支交于，两点.问：在轴上是否存在定点，使直线的斜率与的斜率的积为定值？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，该定点为. 【来源】湖南省常德市沅澧共同体2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】（1）根据题意，设，求得，得到双曲线的方程可化为，将点在双曲线上，求得，即可求解； （2）假设存在点，设直线的方程为，联立方程组，求得，化简得到，当，得到为定值，即可求解. 【详解】（1）由题意，双曲线的离心率为，可得， 设，则，所以， 所以双曲线的方程可化为， 因为点在双曲线上，所以，解得， 所以双曲线的标准方程为. （2）设，假设存在点， 易知直线的斜率存在，且不为0，设其方程为， 联立双曲线方程与直线方程，得，消去并整理， 得， 则， 且， 因为 ， ， 所以当，即时，或 ， 故存在定点，使直线与的斜率之积为定值． 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 抛物线题型04 18．(23-24高二下·湖南邵阳邵阳县第二高级中学·期中)设抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与交于M，N两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】湖南省邵阳市邵阳县第二高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】求出抛物线的焦点坐标，直线方程，联立方程，求出的坐标，然后求解. 【详解】抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线为：， 联立，消去可得：，解得, 不妨令,则, 故． 故选：C. 19．(23-24高二下·湖南名校联考联合体·期中)如图，为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为（   ） A． B． C．8 D．12 【答案】B 【来源】湖南名校联考联合体2023-2024学年高二下学期第二次（期中）联考试卷 【分析】根据抛物线定义求出，再代入回抛物线方程求出其纵坐标，最后计算面积即可. 【详解】由可得抛物线的焦点，准线方程为， 如图：过点作准线的垂线，垂足为， 根据抛物线的定义可知，设，则，解得， 将代入可得， 所以的面积为. 故选：B. 20．(23-24高二下·湖南师范大学附属中学·期中)过抛物线的焦点作直线交抛物线于P，Q两点，若线段PQ中点的横坐标为2，，则抛物线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】湖南师范大学附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】由抛物线定义结合抛物线过焦点的弦长公式即可求得p值，则抛物线方程可求. 【详解】设，，则，即． 又，即，抛物线方程为． 故选：. 21．(23-24高二下·湖南常德沅澧共同体·期中)设抛物线C：的焦点为F，准线为，斜率为的直线经过焦点F，交抛物线C于点A、B两点，若，则抛物线C的方程为 ． 【答案】 【来源】湖南省常德市沅澧共同体2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】设直线方程为，联立抛物线的方程可得，再由抛物线的定义表示出，解方程即可得出答案. 【详解】抛物线C：的焦点为， 则过焦点且斜率为的直线方程为：， 联立，消去可得：，, 设A、B两点的坐标分别为， 则， 由抛物线的性质可得：， 代入化简可得：，解得：. 则抛物线C的方程为:. 故答案为：. 22．(23-24高二下·湖南长沙第一中学、长沙一中城南中学等多校·期中)已知为抛物线：的焦点，第一象限内的点在上，点的纵坐标等于横坐标的4倍，且. (1)求的方程； (2)若斜率存在的直线与交于异于的，两点，且直线的斜率与直线的斜率之积为16，证明：过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析. 【来源】湖南省长沙市第一中学、长沙市一中城南中学等多校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】（1）根据题意设，列方程可求得，可得答案； （2）设出直线方程，联立抛物线方程，可得根与系数关系式，结合直线的斜率之积为16，进行化简可得的关系式，即可证明结论. 【详解】（1）由题意，可设， 由题意得，解得， 所以的方程为. （2）易知的斜率不为0， 设    由得， 则. 所以 ，得， 故，即， ，故直线过定点. 23．(23-24高二下·湖南名校联考联合体·期中)已知椭圆，左､右焦点分别为，短轴的其中一个端点为，长轴端点为，且是面积为的等边三角形.    (1)求椭圆的方程及离心率； (2)若双曲线以为焦点，以为顶点，点为椭圆与双曲线的一个交点，求的面积； (3)如图，直线与椭圆有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴，轴于两点.当点运动时，求点的轨迹方程. 【答案】(1)椭圆 的方程为 , 离心率 . (2) (3) 【来源】湖南名校联考联合体2023-2024学年高二下学期第二次（期中）联考试卷 【分析】（1）根据为等边三角形得到关系，求出其方程，再利用离心率公式即可； （2）写出双曲线方程，联立椭圆方程即可得到，再计算面积即可； （3）联立椭圆方程与直线方程，根据相切得到，再求出点坐标，最后消元即可. 【详解】（1）是面积为的等边三角形，， 椭圆的方程为，离心率. （2）由题意得双曲线中的，则， 所以双曲线方程为， 联立椭圆方程解得:，即， .    （3）由题易知，则联立， 得， ，即， 设为，则， 直线，令，解得，则， 令，则，则， . 则点的轨迹方程为. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是联立直线方程与椭圆方程，根据判别式为0得到，再根据直线垂直得到直线方程，从而得到坐标，即得到的坐标，最后消元即可得到轨迹方程. 24．(23-24高二下·湖南师范大学附属中学·期中)对于椭圆，令，，那么在坐标系中，椭圆经伸缩变换得到了单位圆，在这样的伸缩变换中，有些几何关系保持不变，例如点、直线、曲线的位置关系以及点分线段的比等等；而有些几何量则等比例变化，例如任何封闭图形在变换后的面积变为原先的，由此我们可以借助圆的几何性质处理一些椭圆的问题． (1)在原坐标系中斜率为k的直线l，经过，的伸缩变换后斜率变为，求k与满足的关系； (2)设动点P在椭圆上，过点P作椭圆的切线，与椭圆交于点Q，R，再过点Q，R分别作椭圆的切线交于点S，求点S的轨迹方程； (3)点）在椭圆上，求椭圆上点B，C的坐标，使得△ABC的面积取最大值，并求出该最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【来源】湖南师范大学附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】（1）设上两点的坐标为，，经伸缩变换后变为，，由题意可得，，可得； （2）作，的伸缩变换，椭圆变换得到了单位圆；椭圆变换得到了以原点为圆心的圆，P，Q，R，S变换得到，，，，可得轨迹方程为：，利用变换可得S的轨迹方程. （3）作，的伸缩变换，椭圆变换得到了单位圆，点A变换得到了，在单位圆内接三角形中，面积最大为内接正三角形，可求△ABC面积最大值为． 【详解】（1）设上两点的坐标为，； 经伸缩变换后变为，， 则；； ，；则． （2）作，的伸缩变换，椭圆变换得到了单位圆； 椭圆变换得到了以原点为圆心的圆； P，Q，R，S变换得到，，，． O，，均在中垂线上，则O，，共线． ，，则， 则，， 则轨迹方程为：， 代入，，则S轨迹方程为：． （3）作，的伸缩变换，椭圆变换得到了单位圆， 点A变换得到了， 即为，并设B，C变换得到了，． 熟知：在单位圆内接三角形中，面积最大为内接正三角形． 则，分别为绕O点逆时针和顺时针旋转120°得到． 则，坐标分别为，． 即为，， 即B、C坐标分别为，， 单位圆内接正三角形面积为，则△ABC面积为． 综上，所求B，C坐标分别为，或其交换，△ABC面积最大值为． 【点睛】方法点睛：本题考查伸缩变换，利用伸缩变换求轨迹方程，关键是了解变换前后的不变与变，利用变换后的几何关系求变换前的几何关系，考查化归与转化思想，运算求解的核心素养. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$