专题04 排列组合与二项式定理（7考点42题）（人教A版2019，湖北专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期中真题分类汇编

专题04 排列组合与二项式定理（7考点42题） 题型概览 题型01排列数、组合数的计算 题型02计数原理及简单应用 题型03相邻与不相邻问题 题型04元素特殊位置 题型05分组分配问题 题型06整除和余数问题 题型07二项式定理 优选提升题 排列数、组合数的计算题型01 1．(23-24高二下·湖北孝感重点高中教科研协作体·期中)已知正整数满足，则（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 2．(23-24高二下·湖北部分高中联考协作体·期中)已知，则（   ） A．3或9 B．9 C．3 D．6 3．(23-24高二下·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)式子的值为（    ） A．27 B．127 C．5160 D．与的取值有关 4．(23-24高二下·湖北“荆、荆、襄、宜四地七校”考试联盟·期中)若，则正整数的值为 . 5．(23-24高二下·湖北部分级示范高中·期中)关于的方程的解是 ． 6．(23-24高二下·湖北部分高中联考协作体·期中)（多选）已知，则（   ） A． B． C． D． 计数原理及简单应用题型02 7．(23-24高二下·湖北宜昌部分级示范高中·期中)某人有3个电子邮箱，他要发5封不同的电子邮件，则不同的发送方法有 种. 8．(23-24高二下·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期中)6个班分别从7个风景点中选择一处游览，不同的安排方法有（    ） A． B． C． D． 9．(23-24高二下·湖北部分学校·期中)书架上放有2本不同的科学类图书，3本不同的文学类图书和5本不同的历史类图书，小李从中任选1本阅读，不同的选法共有（    ） A．9种 B．10种 C．30种 D．45 种 10．(23-24高二下·湖北孝感重点高中教科研协作体·期中)将16个扶困助学的名额分配给3个学校，要求每校至少有一个名额且各校分配的名额数互不相等，则不同的分配方法种数为（    ） A．42 B．78 C．90 D．84 11．(23-24高二下·湖北“荆、荆、襄、宜四地七校”考试联盟·期中)现有来自荆州、荆门、襄阳、宜昌四市的4名学生，从四市的七所重点中学中，各自选择一所学校参观学习，则不同的安排参观学习方式共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 12．(23-24高二下·湖北部分高中联考协作体·期中)有3个旅游爱好者分别从4个不同的景点中选择一处游览，则不同的选择方法数为（   ） A．81 B．64 C．24 D．12 相邻与不相邻问题题型03 13．(23-24高二下·湖北部分级示范高中·期中)甲、乙两人要在一排6个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则不同的坐法有（   ） A．6种 B．3种 C．20种 D．12种 14．(23-24高二下·湖北鄂北六校·期中)暑假期间，有4名教师对5名学生进行家访活动，若这4名教师每位至少到一名学生家中，又这5名学生都能且只能得到一名教师的家访，则不同的家访方案种数是 . 元素特殊位置题型04 15．(23-24高二下·湖北宜昌部分级示范高中·期中)有A、B、C、D、E五位学生参加数学建模比赛，决出了第一到第五的名次，A、B两位学生去问成绩，老师对A说：你的名次不知道，但肯定没得第一名；又对B说：你是第三名.请你分析一下，这五位学生的名次排列的种数为（    ） A．6 B．18 C．20 D．24 16．(23-24高二下·湖北云学名校联盟·期中)甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行恩施高中2022级数学竞赛决赛，决出第1名到第5名的名次，甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗域，你没有获得冠军．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从这两个回答分析，5人的名次排列可能有（   ）种不同的情况． A．54 B．72 C．78 D．84 17．(23-24高二下·湖北鄂北六校·期中)14名同学合影，站成前排5人后排9人，现摄影师要从后排9人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是（    ） A． B． C． D． 18．(23-24高二下·湖北武汉部分重点中学5G联盟·期中)三根绳子上共挂有8只气球，绳子上的球数依次为2，3，3，每枪只能打破一只球，而且规定只有打破下面的球才能打上面的球，则将这些气球都打破的不同打法数是（    ） A．350 B．140 C．560 D．280 19．(23-24高二下·湖北部分级示范高中·期中)学校将从4男4名女中选出4人分别担任辩论赛中的一、二、三、四辩手，其中男生甲不适合担任一辩手，女生乙不适合担任四辩手．要求甲乙同时入选或同时不入选．不同组队形式有（   ）种． A．480 B．360 C．570 D．540 分组分配问题题型05 20．(23-24高二下·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期中)学校决定于3月14日~3月21日举行为期8天的“数学节”活动，现安排A，B，C，D，E五位同学担任本次活动的志愿者.已知五位志愿者要全部安排且每天只安排1位志愿者，要求3月14日､3月15日做志愿者的同学每人安排一天，3月16日到3月21日做志愿者的同学每人安排两天，则不同的安排方法一共有（    ） A．792种 B．1440种 C．1800种 D．10800种 21．(23-24高二下·湖北部分高中联考协作体·期中)某班有6名同学报名参加校运会的四个比赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法．（用数字回答） (1)每项限报一人，且每人至多参加一项，每个项目均有人参加； (2)每人限报一项，人人参加，且每个项目均有人参加． 22．(23-24高二下·湖北鄂州部分高中教科研协作体·期中)五名学生要从JAVA、PYTHON、C语言这3种编程语言中选择1种进行学习，每种编程语言至少有1人且至多有2人选择，则不同的选法总数是 ． 23．(23-24高二下·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)2024年元旦期间，哈尔滨这座冰城火爆出圈，成为旅游城市中的顶流．某班级6位同学也准备趁着春节假期共赴一场冰雪之约，这6位同学准备在行程第一天去冰雪大世界、中央大街、防洪纪念塔三个景点中游玩，已知6位同学都会进行选择且只能选择其中一个景点，并且每个景点至少一位同学会选，则不同的选法总数为（    ） A．240 B．360 C．420 D．540 24．(23-24高二下·湖北部分级示范高中·期中)（多选）某中学五名高一学生选择甲、乙、丙、丁四个社团进行实践活动，每名学生只能选一个社团，则下列结论中正确的是（   ） A．所有不同的分派方案共种 B．若甲社团没人选，乙、丙、丁每个社团至少有一个学生选，则所有不同的分派方案共300种 C．若每个社团至少派1名志愿者，且志愿者必须到甲社团，则所有不同分派方穼共60种 D．若每个社团至少有1个学生选，且学生A，B不安排到同一社团，则所有不同分派方案共216种 整除和余数问题题型06 25．(23-24高二下·湖北孝感重点高中教科研协作体·期中)除以9的余数为 . 26．(23-24高二下·湖北云学名校联盟·期中)今天是星期四，那么天后是星期 ． 二项式定理题型07 27．(23-24高二下·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期中)在的展开式中，含的项的系数是 . 28．(23-24高二下·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期中)在的展开式中，所有的二项式系数之和为32，则所有项的系数和为（    ） A．32 B． C．0 D．1 29．(23-24高二下·湖北武汉部分重点中学5G联盟·期中)（多选）的展开式中，下列结论正确的是（    ） A．展开式共7项 B．x项系数为－280 C．所有项的系数之和为1 D．所有项的二项式系数之和为128 30．(23-24高二下·湖北鄂北六校·期中)的展开式中奇数项的二项式系数之和为32，则展开式的一次项为（    ） A． B． C． D． 31．(23-24高二下·湖北武汉新洲区·期中)（多选）已知的展开式共有13项，则下列说法中正确的有（    ） A．所有奇数项的二项式系数和为 B．二项式系数最大的项为第7项 C．所有项的系数和为 D．有理项共5项 32．(23-24高二下·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期中)的展开式中，第（    ）项的二项式系数与第8项的二项式系数相等. A．第项 B．第项 C．第项 D．第项 33．(23-24高二下·湖北云学名校联盟·期中)（多选）关于多项式的展开式，下列结论正确的是（   ） A．各项系数之和为1 B．存在无理项 C．常数项为400 D．的系数为－80 34．(23-24高二下·湖北武汉部分重点中学5G联盟·期中)若，则的值为（    ） A． B． C． D． 35．(23-24高二下·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)已知的展开式中所有项的二项式系数之和为128，各项系数之和为． (1)求正整数和实数的值； (2)求的展开式中项的系数． 36．(23-24高二下·湖北孝感重点高中教科研协作体·期中)已知的二项展开式只有第7项的二项式系数最大，请完成以下问题： (1)求展开式中二项式系数之和； (2)展开式中是否存在常数项，若有，请求出常数项；若没有，请说明理由； (3)求展开式中非常数项的系数之和. 37．(23-24高二下·湖北武汉新洲区·期中)已知，其展开式的二项式系数的最大值为231m． (1)求实数m的值； (2)求下列式子的值（结果可以保留指数形式） ①； ②． 38．(23-24高二下·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)（多选）现有3个编号为1，2，3的盒子和3个编号为1，2，3的小球，要求把3个小球全部放进盒子中，则下列结论正确的有（    ） A．没有空盒子的方法共有6种 B．所有的放法共有21种 C．恰有1个盒子不放球的方法共有9种 D．没有空盒子且小球均不放入自己编号的盒子的方法有2种 39．(23-24高二下·湖北武汉常青联合体·期中)（多选）下列说法中正确的是（    ） A．将4个相同的小球放入3个不同的盒子中，要求不出现空盒，共有3种放法 B．被7除后的余数为2 C．若，则 D．10个朋友聚会，见面后每两个人握手一次，一共握手45次 40．(23-24高二下·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)计算机是20世纪最伟大的发明之一，计算机在进行计算和信息处理时，使用的是二进制．若将一个十进制数表示为，其中，则其二进制为，例如：自然数1在二进制中就表示为，2表示为，3表示为，4表示为，7表示为．记为中0的个数，如，则 ；从1到127这些自然数的二进制表示中的自然数有 个． 41．(23-24高二下·湖北部分普通高中联盟·期中)某市教育局决定派出8名心理咨询专家（5男3女）到甲、乙学校进行心理问题调研． (1)每所学校均有4名专家参加调研，有多少种的安排方法？ (2)每所学校至少有3人且必须有女专家参加调研，有多少种的安排方法？ 42．(23-24高二下·湖北部分级示范高中·期中)混放在一起的6件不同的产品中，有2件次品，4件正品．现需通过检测将其区分，每次随机抽取一件进行检测，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出4件正品时检测结束． (1)一共抽取了4次检测结束，有多少种不同的抽法? (2)若第一次抽到的是次品且第三次抽到的是正品，检测结束时有多少种不同的抽法?（要求：解答过程要有必要的说明和步骤） 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 排列组合与二项式定理（7考点42题） 题型概览 题型01排列数、组合数的计算 题型02计数原理及简单应用 题型03相邻与不相邻问题 题型04元素特殊位置 题型05分组分配问题 题型06整除和余数问题 题型07二项式定理 优选提升题 排列数、组合数的计算题型01 1．(23-24高二下·湖北孝感重点高中教科研协作体·期中)已知正整数满足，则（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】C 【来源】湖北省孝感市重点高中教科研协作体2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题 【分析】根据组合数和排列的定义化简后解方程． 【详解】即为，所以， 是正整数且，因此解得， 故选：C． 2．(23-24高二下·湖北部分高中联考协作体·期中)已知，则（   ） A．3或9 B．9 C．3 D．6 【答案】C 【来源】湖北省部分高中联考协作体2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】根据组合数的性质列式计算. 【详解】因为， 所以或， 得. 故选：C. 3．(23-24高二下·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)式子的值为（    ） A．27 B．127 C．5160 D．与的取值有关 【答案】A 【来源】湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2023-2024学年高二下学期期中联考数学试卷 【分析】根据组合数的性质和运算公式进行求解即可. 【详解】由题中组合数的形式可知：， 所以. 故选：A 4．(23-24高二下·湖北“荆、荆、襄、宜四地七校”考试联盟·期中)若，则正整数的值为 . 【答案】5 【来源】湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校”考试联盟2023-2024学年高二下学期期中联考数学试卷 【分析】利用组合数性质化简方程，根据组合数性质解方程即可. 【详解】由组合数性质：，可得，则， 所以或，解得或（舍）. 故答案为：5 5．(23-24高二下·湖北部分级示范高中·期中)关于的方程的解是 ． 【答案】7 【来源】湖北省部分省级示范高中2023-2024学年高二下学期4月期中测试数学试题 【分析】利用组合数和排列数公式求解. 【详解】解：因为，，且， 所以，注意到，解得， 故答案为：7 6．(23-24高二下·湖北部分高中联考协作体·期中)（多选）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【来源】湖北省部分高中联考协作体2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】用排列数公式和组合数公式，以及组合数恒等式，就能对选项进行化简证明. 【详解】由，选项A是正确的； 由，选项B是错误的； 由， 而， 显然，所以选项C是错误的； 由 而，所以成立，即选项D是正确的； 故选：AD. 计数原理及简单应用题型02 7．(23-24高二下·湖北宜昌部分级示范高中·期中)某人有3个电子邮箱，他要发5封不同的电子邮件，则不同的发送方法有 种. 【答案】243/ 【来源】湖北省宜昌市部分省级示范高中2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理计算得解. 【详解】每封电子邮件可以选择3个电子邮箱中的任意一个发送，有3种方法， 所以发5封不同的电子邮件的不同发送方法有（种）. 故答案为：243 8．(23-24高二下·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期中)6个班分别从7个风景点中选择一处游览，不同的安排方法有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2023-2024学年高二下学期4月期中检测数学试题 【分析】根据分步乘法即可. 【详解】对于每个班来说有7种选择，则根据分步乘法有种安排方法， 故选：D. 9．(23-24高二下·湖北部分学校·期中)书架上放有2本不同的科学类图书，3本不同的文学类图书和5本不同的历史类图书，小李从中任选1本阅读，不同的选法共有（    ） A．9种 B．10种 C．30种 D．45 种 【答案】B 【来源】湖北省部分学校2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题 【分析】直接根据分类加法计数原理即可求解. 【详解】根据分类加法计数原理知，小李不同的选法共有种. 故选：B. 10．(23-24高二下·湖北孝感重点高中教科研协作体·期中)将16个扶困助学的名额分配给3个学校，要求每校至少有一个名额且各校分配的名额数互不相等，则不同的分配方法种数为（    ） A．42 B．78 C．90 D．84 【答案】D 【来源】湖北省孝感市重点高中教科研协作体2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题 【分析】先把名额分成三组，然后再排列得各个学校的名额数． 【详解】16分成三个不等的正整数的和有： ， 共14种， 因此不同的分配种数为， 故选：D． 11．(23-24高二下·湖北“荆、荆、襄、宜四地七校”考试联盟·期中)现有来自荆州、荆门、襄阳、宜昌四市的4名学生，从四市的七所重点中学中，各自选择一所学校参观学习，则不同的安排参观学习方式共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】A 【来源】湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校”考试联盟2023-2024学年高二下学期期中联考数学试卷 【分析】根据分步乘法原理求解即可. 【详解】由题可知，每名同学都有7种选法，故不同的选择方式有种，经检验只有A选项符合. 故选：A. 12．(23-24高二下·湖北部分高中联考协作体·期中)有3个旅游爱好者分别从4个不同的景点中选择一处游览，则不同的选择方法数为（   ） A．81 B．64 C．24 D．12 【答案】B 【来源】湖北省部分高中联考协作体2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】由分步计数原理求解即可. 【详解】3个旅游爱好者分步去选择景点游览得种不同的选择方法数. 故选：B. 相邻与不相邻问题题型03 13．(23-24高二下·湖北部分级示范高中·期中)甲、乙两人要在一排6个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则不同的坐法有（   ） A．6种 B．3种 C．20种 D．12种 【答案】A 【来源】湖北省部分省级示范高中2023-2024学年高二下学期4月期中测试数学试题 【分析】采用插空法，在4个空座中间的3个空中插入甲、乙两人的座位即可得答案. 【详解】一排共有6个座位，现有两人就坐，故有4个空座. 要求每人左右均有空座，即在4个空座的中间3个空中插入2个座位让两人就坐， 即有种坐法. 故选：A. 14．(23-24高二下·湖北鄂北六校·期中)暑假期间，有4名教师对5名学生进行家访活动，若这4名教师每位至少到一名学生家中，又这5名学生都能且只能得到一名教师的家访，则不同的家访方案种数是 . 【答案】240 【来源】湖北省鄂北六校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】先从5名学生中选择2名作为一个整体，再与剩余的3名学生一起全排列即可，结合排列数、组合数运算求解. 【详解】由题意可知：有2名学生得到同一名教师的家访， 先从5名学生中选择2名作为一个整体，再与剩余的3名学生一起全排列即可， 所以不同的家访方案种数是. 故答案为：240. 元素特殊位置题型04 15．(23-24高二下·湖北宜昌部分级示范高中·期中)有A、B、C、D、E五位学生参加数学建模比赛，决出了第一到第五的名次，A、B两位学生去问成绩，老师对A说：你的名次不知道，但肯定没得第一名；又对B说：你是第三名.请你分析一下，这五位学生的名次排列的种数为（    ） A．6 B．18 C．20 D．24 【答案】B 【来源】湖北省宜昌市部分省级示范高中2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】利用特殊元素优先安排原则可求五位学生的名次的排法种数. 【详解】只能排第3名有种排法，可在2，4，5三个名次有种排法， 再排有种排法， 故五位学生的名次的排法种数有种. 故选：B. 16．(23-24高二下·湖北云学名校联盟·期中)甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行恩施高中2022级数学竞赛决赛，决出第1名到第5名的名次，甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗域，你没有获得冠军．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从这两个回答分析，5人的名次排列可能有（   ）种不同的情况． A．54 B．72 C．78 D．84 【答案】C 【来源】湖北省云学名校联盟2023-2024学年高二下学期期中联考数学试卷 【分析】利用间接法计算可得答案. 【详解】甲、乙、丙、丁、戊5名同学排名次有种情况， 甲是第一名有种情况，乙是最后一名有种情况， 总共的情况有. 故选：C． 17．(23-24高二下·湖北鄂北六校·期中)14名同学合影，站成前排5人后排9人，现摄影师要从后排9人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】湖北省鄂北六校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】先从后排9人中抽2人，再把两个人在七个位置中选两个位置进行排列，即可求解. 【详解】由题意，从后排9人中抽2人调整到前排，有中不同的取法， 将前排5人和后来两人看成七个位置， 把两个人在七个位置中选两个位置进行排列，完成调整，有中不同的排法， 所以不同调整方法的总数是种. 故选：D. 18．(23-24高二下·湖北武汉部分重点中学5G联盟·期中)三根绳子上共挂有8只气球，绳子上的球数依次为2，3，3，每枪只能打破一只球，而且规定只有打破下面的球才能打上面的球，则将这些气球都打破的不同打法数是（    ） A．350 B．140 C．560 D．280 【答案】C 【来源】湖北省武汉部分重点中学5G联盟2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】由排列数的计算，结合定序问题倍缩法，代入计算，即可求解. 【详解】 将8只气球编号，依次从下往上，从右往左编号为， 问题等价于8只气球排列， 其中号，号，号必须是从下到上的顺序打破气球， 则有种. 故选：C 19．(23-24高二下·湖北部分级示范高中·期中)学校将从4男4名女中选出4人分别担任辩论赛中的一、二、三、四辩手，其中男生甲不适合担任一辩手，女生乙不适合担任四辩手．要求甲乙同时入选或同时不入选．不同组队形式有（   ）种． A．480 B．360 C．570 D．540 【答案】C 【来源】湖北省部分省级示范高中2023-2024学年高二下学期4月期中测试数学试题 【分析】甲乙同时入选时，按甲担任四辩手或担任二、三辩手分类求解，甲乙同时不入选时，直接从6人中选4人排列即可得，结合分类加法原理计算． 【详解】甲乙同时入选时，按甲担任四辩手或担任二、三辩手分类求解，甲乙同时不入选时，直接从6人中选4人排列即可得． 因此所求方法数为， 故选：C． 分组分配问题题型05 20．(23-24高二下·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期中)学校决定于3月14日~3月21日举行为期8天的“数学节”活动，现安排A，B，C，D，E五位同学担任本次活动的志愿者.已知五位志愿者要全部安排且每天只安排1位志愿者，要求3月14日､3月15日做志愿者的同学每人安排一天，3月16日到3月21日做志愿者的同学每人安排两天，则不同的安排方法一共有（    ） A．792种 B．1440种 C．1800种 D．10800种 【答案】C 【来源】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2023-2024学年高二下学期4月期中检测数学试题 【分析】首先挑选2人全排列，再进行平均分组分配即可. 【详解】第一步从5个人中挑选2人排列在3月14日､3月15日做志愿者，共有种， 第二步将剩余6天平均分为3组并分配给其他3人，则有种， 根据分步乘法原理得共有种， 故选：C. 21．(23-24高二下·湖北部分高中联考协作体·期中)某班有6名同学报名参加校运会的四个比赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法．（用数字回答） (1)每项限报一人，且每人至多参加一项，每个项目均有人参加； (2)每人限报一项，人人参加，且每个项目均有人参加． 【答案】(1)种 (2)种 【来源】湖北省部分高中联考协作体2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】（1）在6人中任选4人，安排其参加四个比赛项目即可； （2）先将6人分成4组，再将分好的四组安排参加4项比赛，根据分步乘法及分类加法计数原理计算即可． 【详解】（1）在6人中任选4人，安排其参加四个比赛项目，有种报名方法． （2）根据题意，分2步进行分析： ①将6人分成4组，若分为3、1、1、1的四组，有种分组方法， 若分为2、2、1、1的四组，有种分组方法，则一共有种分组方法； ②将分好的四组安排参加4项比赛，有种情况， 所以共有种报名方法． 22．(23-24高二下·湖北鄂州部分高中教科研协作体·期中)五名学生要从JAVA、PYTHON、C语言这3种编程语言中选择1种进行学习，每种编程语言至少有1人且至多有2人选择，则不同的选法总数是 ． 【答案】90 【来源】湖北省鄂州市部分高中教科研协作体2023-2024学年高二下学期期中联考数学试卷 【分析】将五名学生分为1人、2人、2人三组， 再将三组人分配到三种语言可得答案. 【详解】由题意知，将五名学生分为1人、2人、2人三组， 所以共有种方法， 再将三组人分配到三种语言，有种方法， 所以不同的选法有种. 故答案为：90. 23．(23-24高二下·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)2024年元旦期间，哈尔滨这座冰城火爆出圈，成为旅游城市中的顶流．某班级6位同学也准备趁着春节假期共赴一场冰雪之约，这6位同学准备在行程第一天去冰雪大世界、中央大街、防洪纪念塔三个景点中游玩，已知6位同学都会进行选择且只能选择其中一个景点，并且每个景点至少一位同学会选，则不同的选法总数为（    ） A．240 B．360 C．420 D．540 【答案】D 【来源】湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2023-2024学年高二下学期期中联考数学试卷 【分析】利用组合数的性质结合分类加法计数原理求解即可. 【详解】若三个景点选择人数之比为，共有种选法， 若三个景点选择人数之比为，共有种选法， 若三个景点选择人数之比为，共有种选法， 由分类加法计数原理得共有种选法，故D正确. 故选：D 24．(23-24高二下·湖北部分级示范高中·期中)（多选）某中学五名高一学生选择甲、乙、丙、丁四个社团进行实践活动，每名学生只能选一个社团，则下列结论中正确的是（   ） A．所有不同的分派方案共种 B．若甲社团没人选，乙、丙、丁每个社团至少有一个学生选，则所有不同的分派方案共300种 C．若每个社团至少派1名志愿者，且志愿者必须到甲社团，则所有不同分派方穼共60种 D．若每个社团至少有1个学生选，且学生A，B不安排到同一社团，则所有不同分派方案共216种 【答案】ACD 【来源】湖北省部分省级示范高中2023-2024学年高二下学期4月期中测试数学试题 【分析】对于A，根据分步乘法计数原理计数可知A正确；对于B，C，按照先分组再分配的方法计数可知B不正确；C正确；对于D，由间接法求解可知D正确. 【详解】对于A，每名学生都有4种安排方案，故共有种不同的分派方案，故A正确； 对于B，先将5个人分成3组，分两类：第一类，一组3人，另2组各一人，有种； 第二类，一组2人，一组2人，一组1人，有种，故共有种分组方法， 再将分好的三组分配到三个社团，共有种分派方案，故B不正确； 对于C，分两类：第一类，甲社团分1人，只能是A，另外4人有种，第二类，甲社团分2人，共有种， 根据分类加法计数原理可得共有种不同的分派方案，故C正确； 对于D，若每个社团至少派1名学生，则有种，其中学生A，B安排到同一社团时，有种， 故若每个社团至少派1名学生，且学生A，B不安排到同一社团时， 共有种不同分派方案，故D正确. 故选：ACD. 整除和余数问题题型06 25．(23-24高二下·湖北孝感重点高中教科研协作体·期中)除以9的余数为 . 【答案】5 【来源】湖北省孝感市重点高中教科研协作体2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题 【分析】将化为，利用二项式的展开式，即可求得答案. 【详解】由题意得 ， 由于中每项均为9的倍数， 故除以9的余数即为77除以9的余数5， 故答案为：5 26．(23-24高二下·湖北云学名校联盟·期中)今天是星期四，那么天后是星期 ． 【答案】三 【来源】湖北省云学名校联盟2023-2024学年高二下学期期中联考数学试卷 【分析】将拆成，再结合二项展开式的通项公式即可求得答案. 【详解】，所以除以7余6， 故答案为：三． 二项式定理题型07 27．(23-24高二下·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期中)在的展开式中，含的项的系数是 . 【答案】 【来源】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2023-2024学年高二下学期4月期中检测数学试题 【分析】利用二项式定理直接列式计算得解. 【详解】在的展开式中，含的项为， 所以含的项的系数是. 故答案为： 28．(23-24高二下·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期中)在的展开式中，所有的二项式系数之和为32，则所有项的系数和为（    ） A．32 B． C．0 D．1 【答案】A 【来源】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2023-2024学年高二下学期4月期中检测数学试题 【分析】利用二项式系数和求出幂指数n，再利用赋值法求解即得. 【详解】依题意，，解得，当时，的展开式所有项的系数和为. 故选：A 29．(23-24高二下·湖北武汉部分重点中学5G联盟·期中)（多选）的展开式中，下列结论正确的是（    ） A．展开式共7项 B．x项系数为－280 C．所有项的系数之和为1 D．所有项的二项式系数之和为128 【答案】BD 【来源】湖北省武汉部分重点中学5G联盟2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】A选项，根据二项式展开式的特点判断；B选项，写出通项，然后利用通项求项系数；C选项，利用赋值法求所有项的系数和；D选项，根据所有项的二项式系数之和的公式计算. 【详解】由题意得展开式共8项，故A错； 通项为，令，解得， 所以项系数为，故B正确； 令中得， 所以所有项的系数之和为，故C错； 所有项的二项式系数和为，故D正确. 故选：BD. 30．(23-24高二下·湖北鄂北六校·期中)的展开式中奇数项的二项式系数之和为32，则展开式的一次项为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】湖北省鄂北六校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】利用二项展开式的通项求得展开式的一次项为，计算可得结果. 【详解】由展开式中奇数项的二项式系数之和为32可得，解得； 所以二项式的展开式的通项为， 令，可得； 所以展开式的一次项为. 故选：A 31．(23-24高二下·湖北武汉新洲区·期中)（多选）已知的展开式共有13项，则下列说法中正确的有（    ） A．所有奇数项的二项式系数和为 B．二项式系数最大的项为第7项 C．所有项的系数和为 D．有理项共5项 【答案】BD 【来源】湖北省武汉市新洲区2023-2024学年高二下学期4月期中质量检测数学试题 【分析】A选项，根据展开式共有13项，故，得到所有奇数项的二项式系数和为；B选项，利用二项式系数的单调性和对称性得到B正确；C选项，赋值得到所有项的系数和；D选项，求出展开式通项公式，从而得到有理项个数. 【详解】A选项，的展开式共有13项，故， 所有奇数项的二项式系数和为，A错误； B选项，二项式系数最大的项为中间项，即第7项，B正确； C选项，中，令得， 故所有项的系数和为，C错误； D选项，展开式通项公式为，，， 当时，为整数，故有理项共5项，D正确. 故选：BD 32．(23-24高二下·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期中)的展开式中，第（    ）项的二项式系数与第8项的二项式系数相等. A．第项 B．第项 C．第项 D．第项 【答案】B 【来源】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2023-2024学年高二下学期4月期中检测数学试题 【分析】根据条件，利用二项式系数的性质，即可求出结果. 【详解】因为第8项的二项式系数为，由组合数的对称性知， 所以第项的二项式系数与第8项的二项式系数相等， 故选：B. 33．(23-24高二下·湖北云学名校联盟·期中)（多选）关于多项式的展开式，下列结论正确的是（   ） A．各项系数之和为1 B．存在无理项 C．常数项为400 D．的系数为－80 【答案】AD 【来源】湖北省云学名校联盟2023-2024学年高二下学期期中联考数学试卷 【分析】由二项展开式的通项公式，令即可判断A；因为，故所有项中没有无理数，即可判断B；令或或，即可判断C；令或即可判断D． 【详解】由题意可知， 多项式展开式的通项为 ， 即， 对于A，令，则，即为各项系数之和，故A正确； 对于B，因为展开式的通项公式中，所以不存在无理项，故B错误； 对于C，常数项中的次数为0，则或或，则 ，故C错误； 对于D，的系数即的系数之和，表示为，故D正确. 故选：AD． 34．(23-24高二下·湖北武汉部分重点中学5G联盟·期中)若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】湖北省武汉部分重点中学5G联盟2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】直接利用二项式的展开式以及赋值法的应用求出结果． 【详解】根据二项式定理展开式， 故当时，， 即， 所以，整理得， 故，又， 所以. 故选：C． 35．(23-24高二下·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)已知的展开式中所有项的二项式系数之和为128，各项系数之和为． (1)求正整数和实数的值； (2)求的展开式中项的系数． 【答案】(1) (2)560 【来源】湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2023-2024学年高二下学期期中联考数学试卷 【分析】（1）根据所有项的二项式系数之和即可求得n；利用赋值法结合各项系数之和即可求出a的值； （2）利用二项式展开式的通项公式，即可求得答案. 【详解】（1）由题意可得； 各项系数之和为，即令， 则， 故； （2）由（1）可知即， 其通项公式为， 令， 故展开式中项的系数为. 36．(23-24高二下·湖北孝感重点高中教科研协作体·期中)已知的二项展开式只有第7项的二项式系数最大，请完成以下问题： (1)求展开式中二项式系数之和； (2)展开式中是否存在常数项，若有，请求出常数项；若没有，请说明理由； (3)求展开式中非常数项的系数之和. 【答案】(1)4096； (2)存在，7920； (3)-7919. 【来源】湖北省孝感市重点高中教科研协作体2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题 【分析】（1）根据二项式展开式二项式系数的性质，确定n的值，即可求得答案； （2）根据二项式展开式的通项，令x的指数等于0，求出参数k的值，即可求得答案； （3）利用赋值法，即可求得答案. 【详解】（1）由题意知的二项展开式只有第7项的二项式系数最大， 故的展开式一共有13项，得； 所以得展开式中二项式系数之和为； （2）由得展开式的通项为 ，（）， 令，得， 即展开式存在常数项，且常数项为. （3）令得展开式中所有项的系数之和等于1， 则由（2）知展开式中非常数项的系数之和为：. 37．(23-24高二下·湖北武汉新洲区·期中)已知，其展开式的二项式系数的最大值为231m． (1)求实数m的值； (2)求下列式子的值（结果可以保留指数形式） ①； ②． 【答案】(1)； (2)①；② 【来源】湖北省武汉市新洲区2023-2024学年高二下学期4月期中质量检测数学试题 【分析】（1）根据二项展开式的项数确定二项式系数的最大值，列出方程，计算即得； （2）①通过对分别赋值，进行等式间的运算即可求得所求式的值；②，结合所求式，需要对二项式左右分别求导再赋值即得. 【详解】（1）因展开式中共有12项，所以最中间两项的二项式系数最大，即和， 由解得； （2）①由（1）可得， 令得① 令得② ①+②得：， 即得，令得， 故； ②由， 两边求导得， 令可得，． 38．(23-24高二下·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)（多选）现有3个编号为1，2，3的盒子和3个编号为1，2，3的小球，要求把3个小球全部放进盒子中，则下列结论正确的有（    ） A．没有空盒子的方法共有6种 B．所有的放法共有21种 C．恰有1个盒子不放球的方法共有9种 D．没有空盒子且小球均不放入自己编号的盒子的方法有2种 【答案】AD 【来源】湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2023-2024学年高二下学期期中联考数学试卷 【分析】根据排列组合知识，结合每个选项的具体情况，即可求得答案. 【详解】对于A，没有空盒子即相当于3个编号为1，2，3的小球分别放入3个编号为1，2，3的盒子中的全排列， 故方法共有种，A正确； 对于B，所有的放法，即每个球都有3种放法，故共有（种）放法，B错误； 对于C，恰有1个盒子不放球，即有2个球放入一个盒子中，另一个球放入另一个盒子中， 那么先3个盒子选一个作为空盒，在把3个球选出2个绑在一起，在排列， 共有（种）放法，C错误； 对于D，没有空盒子且小球均不放入自己编号的盒子，则只有以下2种情况： 即1号球放入2号盒子，2号球放入3号盒子，3号球放入1号盒子； 1号球放入3号盒子，3号球放入2号盒子，2号球放入1号盒子，D正确， 故选：AD 39．(23-24高二下·湖北武汉常青联合体·期中)（多选）下列说法中正确的是（    ） A．将4个相同的小球放入3个不同的盒子中，要求不出现空盒，共有3种放法 B．被7除后的余数为2 C．若，则 D．10个朋友聚会，见面后每两个人握手一次，一共握手45次 【答案】ACD 【来源】湖北省武汉市常青联合体2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】根据组合数的计算即可判断A,根据二项式定理即可判断B，根据赋值法即可判断C，根据组合的定义及组合数运算即可判断D. 【详解】对于A：选一个盒子放两个球，另外两个盒子放一个球，共有种放法，故A正确； 对于B： ，展开式中只有最后一项不是7的倍数，所以被7除后的余数为5，故B错误； 对于C：在中， 令，得， 令，得， 两式相加除以2，得，故C正确； 对于D：10人两两握手，共次，故D正确. 故选：ACD 40．(23-24高二下·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)计算机是20世纪最伟大的发明之一，计算机在进行计算和信息处理时，使用的是二进制．若将一个十进制数表示为，其中，则其二进制为，例如：自然数1在二进制中就表示为，2表示为，3表示为，4表示为，7表示为．记为中0的个数，如，则 ；从1到127这些自然数的二进制表示中的自然数有 个． 【答案】 0 35 【来源】湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2023-2024学年高二下学期期中联考数学试卷 【分析】由二进制表示可求，由当时，有1个，当时，有个，当时，有个，当时，有个，当时，有个，可求得答案． 【详解】因为， 所以； 当时，有1个，当时，有个，当时，有个，当时，有个，当时，有个， 则一共个， 所以从1到127这些自然数的二进制表示中的自然数有35个． 故答案为：0；35． 41．(23-24高二下·湖北部分普通高中联盟·期中)某市教育局决定派出8名心理咨询专家（5男3女）到甲、乙学校进行心理问题调研． (1)每所学校均有4名专家参加调研，有多少种的安排方法？ (2)每所学校至少有3人且必须有女专家参加调研，有多少种的安排方法？ 【答案】(1)70种 (2)150种 【来源】湖北省部分普通高中联盟2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】（1）根据题意，结合组合数的计算即可求解； （2）根据分类加法和分布乘法计数原理结合组合数的计算即可求解． 【详解】（1）由题知，每所学校均有4名专家参加调研的安排方法有种． （2）分三类：第一类，甲校有3人有种；全是男专家有种；全是女专家有种， 则符合题意的有； 第二类，甲校4人有种，全是男专家有种；3女1男有种， 则符合题意的有； 第三类，甲校5人，有种；全是男专家有种；3女2男有种， 则符合题意的有． 故每所学校至少3人且必须有女专家共有150种． 42．(23-24高二下·湖北部分级示范高中·期中)混放在一起的6件不同的产品中，有2件次品，4件正品．现需通过检测将其区分，每次随机抽取一件进行检测，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出4件正品时检测结束． (1)一共抽取了4次检测结束，有多少种不同的抽法? (2)若第一次抽到的是次品且第三次抽到的是正品，检测结束时有多少种不同的抽法?（要求：解答过程要有必要的说明和步骤） 【答案】(1)96种 (2)120种 【来源】湖北省部分省级示范高中2023-2024学年高二下学期4月期中测试数学试题 【分析】（1）分两种情形：第一种是4次抽到的全是正品，第二种前3次抽到2件正品1件次品，且第4次抽到次品，由分类加法原理计算； （2）由题意知第二次抽到的必是正品，第4次抽取的是次品，检测结束，或第4次抽取到正品，第五次再抽取一件（不论正品还是次品）都可以结束，由此计算可得． 【详解】（1）有以下两种情况： 4次均为正品，共有种； 前3次抽到2件正品1件次品，且第4次抽到次品，共种； 则共有96种． （2）由题意知，第二次抽到的必是正品，共抽取4次或5次检测结束， 当抽取4次结束时，第4次抽到的必是次品，共有种抽法； 当抽取5次结束时，若第4次抽到正品且第5次抽到正品，则共有种抽法； 若第4次抽到的是正品且第5次抽到的是次品，则共有种抽法； 共120种抽法． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$