专题02 导数中难题重点篇（6考点23题）（人教A版2019，湖北专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期中真题分类汇编

专题02 导数中难题重点篇（6考点23题） 题型概览 题型01恒成立问题 题型02零点与方程的根 题型03极值点偏移 题型04其他类综合问题 题型05多选题（多考点）综合 题型06新定义问题 恒成立问题题型01 1．(23-24高二下·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)对任意的，不等式恒成立，则正实数的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 2．(23-24高二下·湖北“荆、荆、襄、宜四地七校”考试联盟·期中)已知对存在的，不等式恒成立，则（    ） A． B． C． D． 3．(23-24高二下·湖北鄂北六校·期中)已知当，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 . 4．(23-24高二下·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期中)已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围为 . 5．(23-24高二下·湖北云学名校联盟·期中)曲线在点处的切线方程为 ；若当时，恒成立，则的取值范围为 ． 6．(23-24高二下·湖北鄂北六校·期中)已知函数，. (1)记，讨论的单调性； (2)当时，恒成立，求a的取值范围. 7．(23-24高二下·湖北部分级示范高中·期中)已知函数． (1)求函数的最小值； (2)求函数在上的最小值； (3)若不等式恒成立，求实数的取值范围． 零点与方程的根题型02 8．(23-24高二下·湖北部分高中联考协作体·期中)已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若函数在处有极值为时： ①求的值； ②若的导函数为，讨论方程的零点的个数． 9．(23-24高二下·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期中)已知且，函数. (1)记为数列的前项和.当时，试比较与2024的大小，并说明理由； (2)当时，证明：； (3)当且时，试讨论的零点个数. 极值点偏移题型03 10．(23-24高二下·湖北武汉部分重点中学5G联盟·期中)设函数． (1)求函数的单调区间； (2)若有两个零点，， ①求a的取值范围； ②证明：． 11．(23-24高二下·湖北武汉常青联合体·期中)已知函数 (1)讨论的单调性； (2)若时，的图象恒在轴上方，求的范围； (3)若存在不相等的实数，使得，证明：. 其他类综合问题题型04 12．(23-24高二下·湖北恩施州高中教育联盟·期中)已知定义域为的函数，其导函数为，且满足，则（    ） A． B． C． D． 13．(23-24高二下·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期中)已知函数及其导函数定义域均为，满足，且为奇函数，记，其导函数为，则（    ） A． B．2 C．1 D．0 14．(23-24高二下·湖北部分学校·期中)已知函数对定义域内任意，都有 ，则正实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 15．(23-24高二下·湖北宜昌部分级示范高中·期中)已知e是自然对数的底数，则的最小值为 . 16．(23-24高二下·湖北云学名校联盟·期中)已知函数 (1)讨论函数的单调性； (2)若过原点可以作两条直线与函数的图象相切，求的取值范围． 多选题（多考点）综合题型05 17．(23-24高二下·湖北鄂北六校·期中)已知函数（a为常数），则下列结论正确的有（    ） A．当时，恒成立 B．若有3个零点，则a的取值范围为 C．当时.有唯一零点且 D．当时，是的极值点 18．(23-24高二下·湖北“荆、荆、襄、宜四地七校”考试联盟·期中)已知函数，则下列结论正确的有（    ） A．函数在原点处的切线方程是 B．是函数的极大值点 C．函数在上有3个极值点 D．函数在上有3个零点 19．(23-24高二下·湖北部分级示范高中·期中)已知函数存在两个极值点，且，．设的零点个数为，方程的实根个数为，则（   ） A．当时， B．当时， C． D． 20．(23-24高二下·湖北恩施州高中教育联盟·期中)已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．当时，在定义域上恒成立 B．若经过原点的直线与的图象相切于点，则 C．若在区间上单调递减，则的取值范围为 D．若有两个极值点，则的取值范围为 21．(23-24高二下·湖北部分高中联考协作体·期中)已知，，则下列结论正确的是（   ） A．函数在上存在极大值 B．函数没有最值 C．若对任意，不等式恒成立，则实数的最大值为 D．若，则的最大值为 新定义问题题型06 22．(23-24高二下·湖北“荆、荆、襄、宜四地七校”考试联盟·期中)帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数，，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：.（注：，为的导数）已知在处的阶帕德近似为. (1)求实数的值； (2)证明：当时，； (3)设为实数，讨论方程的解的个数. 23．(23-24高二下·湖北云学名校联盟·期中)18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的数学家泰勒（Brook Taylor）发现的泰勒公式（又称麦克劳林公式）有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，．其中，表示的二阶导数，即为的导数，表示的阶导数． (1)根据公式估计的值；（结果保留两位有效数字） (2)由公式可得：，当时，请比较与的大小，并给出证明； (3)已知，证明：． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 导数中难题重点篇（6考点23题） 题型概览 题型01恒成立问题 题型02零点与方程的根 题型03极值点偏移 题型04其他类综合问题 题型05多选题（多考点）综合 题型06新定义问题 恒成立问题题型01 1．(23-24高二下·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)对任意的，不等式恒成立，则正实数的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【来源】湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2023-2024学年高二下学期期中联考数学试卷 【分析】由题意得，令，研究其单调性，进而问题转化为恒成立问题，构造函数，通过求导求解函数最值求解． 【详解】恒成立，恒成立， 恒成立， 令，，当时，，单调递增． 由，即， 在为增函数，且， 恒成立， 恒成立，令， 则， 当时时，， 在单调递增，单调递减， ，， 即正实数的最小值为． 故选：D． 【点睛】方法点睛：利用导数求解不等式恒成立问题的常用步骤： (1)作差或变形； (2)构造新的函数； (3)利用导数研究的单调性或最值； (4)根据单调性及最值，得到所证不等式． 2．(23-24高二下·湖北“荆、荆、襄、宜四地七校”考试联盟·期中)已知对存在的，不等式恒成立，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校”考试联盟2023-2024学年高二下学期期中联考数学试卷 【分析】把不等式变形为，构造函数证明不等式，根据保值性即可列式求解，逐项判断即可. 【详解】（1） 由，则， 所以当时，单调递增，当时，单调递减， 所以，即. 由，则， 所以当时，单调递增，当时，单调递减， 所以，即. 故，所以. 由（1）式得，当且仅当，即. 所以，，，. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于，对不等式同构变形，然后利用切线不等式结合加法法则，根据保值性得到，然后逐项求解，即可判断. 3．(23-24高二下·湖北鄂北六校·期中)已知当，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【来源】湖北省鄂北六校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】原不等式可转化为，设，则，结合函数的单调性，进一步可得，令，求出函数在上的最大值即可得解． 【详解】由，得， 即， 设，则， 因为函数在上都单调递增， 所以函数在上单调递增，则， 所以， 设，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 所以，则， 所以实数的取值范围为． 故答案为：. 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： （1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． （3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 4．(23-24高二下·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期中)已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【来源】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2023-2024学年高二下学期4月期中检测数学试题 【分析】首先等价转化为，再设，利用导数和隐零点法得到，最后得到不等式，解出即可. 【详解】不等式对恒成立， 等价于，所以， 设，其中，则，令得， 所以当时，单调递减，当时，单调递增， 所以，又， 所以存在使得， 所以若，则或，即或， ， 所以在上，单调递增， 在上，单调递减， 所以，所以只有才能满足要求， 即，又，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：等价转化为，再设，利用导数和隐零点法得到，从而有，解出即可. 5．(23-24高二下·湖北云学名校联盟·期中)曲线在点处的切线方程为 ；若当时，恒成立，则的取值范围为 ． 【答案】 【来源】湖北省云学名校联盟2023-2024学年高二下学期期中联考数学试卷 【分析】利用导数的几何意义求出切线方程，利用导数证明恒成立，将不等式同构为，令，依题意只需在上单调递增，则在上恒成立，参变分离，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为，所以，则，即切线的斜率为， 所以切线方程为：． 令，则，所以当时，则在上单调递增， 当时，则在上单调递减， 所以，即恒成立，当且仅当时取等号， 所以恒成立， 原不等式可化简为，即， 令，，又恒成立，所以在上单调递增． 在上恒成立，即在上恒成立， 所以． 故答案为：；． 6．(23-24高二下·湖北鄂北六校·期中)已知函数，. (1)记，讨论的单调性； (2)当时，恒成立，求a的取值范围. 【答案】(1)答案见解析； (2). 【来源】湖北省鄂北六校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】（1）求出的解析式，对求导，根据的不同取值分类讨论的单调性即可. （2）根据，构造函数，将问题转化为恒成立，利用导数结合分类讨论即可求解. 【详解】（1）根据已知条件，有其定义域为， ， 当即时，若，则；若，则， 所以的增区间为，减区间为. 当即时在为增函数 当即时在为增函数 综上，时，的增区间，减区间； 时，的增区间. （2）因为恒成立，， 令，则， 所以当时，等价于恒成立. 由于，， （ⅰ）当时，，函数在上单调递增， 所以，在区间上恒成立，符合题意； （ⅱ）当时，在上单调递增，. ①当，即时，， 函数在上单调递增， 所以在上恒成立，符合题意； ②当，即时，，， 若，即时，在上恒小于0， 则在上单调递减，，不符合题意； 若，即时，存在，使得， 所以当时，，则在上单调递减，则，不符合题意. 综上所述，a的取值范围是. 【点睛】方法点睛：利用导数证明和判断不等式问题， （1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数求最值问题，从而判定不等关系； （3）适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩，或利用常见放缩结论，从而判定不等关系； （4）构造“形似”函数，变形在构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 7．(23-24高二下·湖北部分级示范高中·期中)已知函数． (1)求函数的最小值； (2)求函数在上的最小值； (3)若不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【来源】湖北省部分省级示范高中2023-2024学年高二下学期4月期中测试数学试题 【分析】（1）求导，得到函数单调性，得到极值和最值情况； （2）由（1）求出的函数单调性，分，和三种情况，结合函数单调性，得到最小值； （3）参变分离，，构造，求导得到函数单调性，结合隐零点，得到，并且，由同构和函数单调性得到，从而得到，得到答案. 【详解】（1）因为，所以， 由，得，所以；由，得，所以， 所以函数在上单调递减，在单调递增， 故在处取得极小值，也是最小值， 所以的最小值为，无最大值． （2）由（1）知，函数在上单调递减，在单调递增， 当，即时，在单调递减， ； 当时，即在单调递减，单调递增， ． 当时，在单调递增， ； 综上所述； （3）恒成立，即恒成立， 令，则， 令，则， 所以在上单调递减， 又，所以在上存在唯一的使， 当时单调递增，当时单调递减． 故的最大值为， 又，故， 两边取对数得， 又在定义域内单调递增，所以，故， 所以， 所以． 【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图象确定条件. 零点与方程的根题型02 8．(23-24高二下·湖北部分高中联考协作体·期中)已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若函数在处有极值为时： ①求的值； ②若的导函数为，讨论方程的零点的个数． 【答案】(1) (2)①；②答案见解析 【来源】湖北省部分高中联考协作体2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】（1）将函数求导，求出函数在处的切线斜率，即得切线方程； （2）①根据函数的极值点和极值定义列出方程组，求出参数值，利用导函数进行验证即得； ②利用（2）的结论，求得，推出，利用求导，判断函数的单调性，求得极值点和极值，判断函数在R上的变化趋势，结合其图象判断与其的交点情况即得. 【详解】（1）由题知定义域为，， 当时，， ，      切线方程为即； （2）①由题意得，解得或， 令， 当时，，符合题意； 当时，，此时恒成立，不符合题意， 故． ②由①得     设 则 令，得或 当和时，，单调递增； 在时，，单调递减. ，, 又时，；时，，如图所示. 所以，当时，方程没有零点； 当或时，方程有一个零点； 当或时，方程有两个零点； 当时，方程有三个零点． 9．(23-24高二下·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期中)已知且，函数. (1)记为数列的前项和.当时，试比较与2024的大小，并说明理由； (2)当时，证明：； (3)当且时，试讨论的零点个数. 【答案】(1)，理由见解析； (2)证明见解析； (3)答案见解析. 【来源】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2023-2024学年高二下学期4月期中检测数学试题 【分析】（1）求出，利用分组求和法及等差等比数列前和公式计算即可得解. （2）把代入，利用导数探讨单调性，结合函数的零点推理即得. （3）按分类，利用导数结合（2）的结论及零点存在性定理求解即得. 【详解】（1）当时，， 则， 所以当时，， （2）当时，，求导得， 令，求导得，当时，，当时，， 即函数在上单调递减，在上单调递增， 于是，即，函数在上单调递增， 又，因此时，，当时，， 所以. （3）①若，函数在上为单调递增函数，且， 因此函数有且仅有一个零点； ②若，当时，，当时，， 由（2）知：当时，， 当时，，且，则函数只有一个零点； ③由（2）知，，在上单调递增且，因此函数有且仅有一个零点； ④若， 令，求导得， 显然当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 注意到， 所以使得， 即在和上单调递增，在上单调递减， 又时，， 所以在区间各存在一个零点，及也是一个零点，故此时有三个零点； 综上当时，有且仅有一个零点；当时，有三个零点. 【点睛】思路点睛：涉及含参的函数零点问题，利用导数分类讨论，研究函数的单调性、最值等，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题. 极值点偏移题型03 10．(23-24高二下·湖北武汉部分重点中学5G联盟·期中)设函数． (1)求函数的单调区间； (2)若有两个零点，， ①求a的取值范围； ②证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2)①；②证明见解析 【来源】湖北省武汉部分重点中学5G联盟2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】（1）（1）对求导数，分和两类情况讨论，得到函数的单调区间； （2）由（1）得a的取值范围，构造，证明不等式， 通过证明，证明. 【详解】（1）由，，可得， 当时，，所以在上单调递增； 当时，令，得，令，得， 所以在单调递减，在单调递增； （2）①因为函数有两个零点，由（1）得， 此时的递增区间为，递减区间为，有极小值 当，，当，在上有一个零点， 当，，当，在上有一个零点， 所以由可得 ②证明：由（1）可得的极小值点为，则不妨设． 设，， 可得，， 所以在上单调递增，所以， 即，则，， 所以当时，，且． 因为当时，单调递增，所以，即 设，，则，则，即． 所以，． 设，则，所以在上单调递减， 所以，所以，即． 综上， 【点睛】方法点睛：构造，应用单调性证明不等式，再通过证明，证明即可. 11．(23-24高二下·湖北武汉常青联合体·期中)已知函数 (1)讨论的单调性； (2)若时，的图象恒在轴上方，求的范围； (3)若存在不相等的实数，使得，证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【来源】湖北省武汉市常青联合体2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】（1）分类讨论解不等式，求解函数的单调性； （2）化简不等式，构造新函数，利用导数求最值，由此求参数范围即可； （3）化简设新的参数解决双元问题，应用新函数求导函数结合单调性证明不等式. 【详解】（1）函数的定义域为， 当时，，所以在上单调递增； 当时，由得，所以在上单调递增； 由得，所以在上单调递减； 故时，所以在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； （2）由的图象恒在轴上方，可得 因为且，不等式两边同时除以，可得 设可得 令，解得 令，解得 所以在上单调递增，在上单调递减 所以当时取得最大值， 所以即所以的范围是 （3）， 由（1）可知，当时，在上是增函数， 故不存在不相等的实数，使得，所以. 由得，即， 不妨设，则，则， 要证，只需证， 即证，只需证， 令，则只需证，即证， 令，则， 所以在上是增函数，所以， 从而，故 【点睛】方法点睛：化简设新的参数解决双元问题，应用新函数求导函数结合单调性证明不等式. 其他类综合问题题型04 12．(23-24高二下·湖北恩施州高中教育联盟·期中)已知定义域为的函数，其导函数为，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】湖北省恩施州高中教育联盟2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题 【分析】由题设不等式和选项的结构，考虑构造函数，求导得其单调性，利用其单调性对自变量进行赋值，即可一一判断选项正误. 【详解】设，则， 因，故得，即在上为减函数. 对于A项，因，则，即，即，故A错误； 对于B项，因，则，即，即得，故B错误； 对于C项，因，则，即，即得，故C错误； 对于D项，因，则，即，即得，故D正确. 故选：D. 【点睛】思路点睛：本题解题思路就是要针对题设中不等式的结构特征（一般同时包含），结合选项特点探求构造的函数式，利用其单调性即可一一判断选项正误. 13．(23-24高二下·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期中)已知函数及其导函数定义域均为，满足，且为奇函数，记，其导函数为，则（    ） A． B．2 C．1 D．0 【答案】B 【来源】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2023-2024学年高二下学期4月期中检测数学试题 【分析】首先得到关于对称，再两边求导，再得到关于对称，再分析出他们的周期性，最后计算即可. 【详解】因为，两边同时求导可得:，又，即， 可得关于对称， 对两边同时求导可得， 则关于对称；又为奇函数， 则，求导可得，所以关于对称，同时求导得，则关于对称， 由关于以及关于对称得 ①，，则， 则，则，则作差得， 的周期为6； 同理的周期也为6， 因此， 又关于对称，； 由关于对称，可得； 所以. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是通过其对称性并结合导数得到其周期性，即和的周期为6，最后计算即可. 14．(23-24高二下·湖北部分学校·期中)已知函数对定义域内任意，都有 ，则正实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】湖北省部分学校2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题 【分析】通过分析得出在上恒成立，变形成同构不等式求参问题，构造函数，对进行分类讨论，得出只需讨论当时，即可，进一步构造函数求出它的最大值即可. 【详解】因为，所以. 令函数，则在上单调递减， 所以在上恒成立，所以， 即. 令函数，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 当时，，当时，，且由题干可知，即， 所以当时，恒成立，此时可以是任意实数， 当时，恒成立， 等价于，当时，， 所以当时，，即当时，. 令函数，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值，所以； 综上所述，正实数m的取值范围为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：关键是逐步分析得出只需当时，恒成立，即可构造函数顺利得解. 15．(23-24高二下·湖北宜昌部分级示范高中·期中)已知e是自然对数的底数，则的最小值为 . 【答案】 【来源】湖北省宜昌市部分省级示范高中2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】根据表达式特征，可将转化为曲线上的点于曲线上的点之间的距离加上抛物线上的点到定直线的距离，构造函数利用函数单调性可得当时，的最小值为. 【详解】易知表达式可以看成点和点之间的距离， 即表示曲线上的点和曲线上的点之间的距离， 而可以看成抛物线上的点到定直线的距离， 如下图所示： 易知抛物线的焦点为，准线方程为， 利用抛物线定义可得； 所以， 即求出的最小值即可， 由和可得， 令，则， 令，则恒成立， 因此为单调递增函数，即为单调递增函数，又， 所以时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增， 因此在处取得极小值，也是最小值，即； 即可得的最小值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据表达式特征，利用数形结合将表达式转化为曲线上两点距离之和再加上抛物线上的点到准线距离，构造函数并求单调性即可得出最小值. 16．(23-24高二下·湖北云学名校联盟·期中)已知函数 (1)讨论函数的单调性； (2)若过原点可以作两条直线与函数的图象相切，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2)或 【来源】湖北省云学名校联盟2023-2024学年高二下学期期中联考数学试卷 【分析】（1）求导，分类讨论可求函数的单调区间； （2）设切点为，求得切线方程，利用切线过原点，可得，进而可得有解，数形结合可求的取值范围． 【详解】（1） 当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增． 当时，或． 所以在和上单调递增，在上单调递减， 当时，恒成立，所以在上单调递增． 当时，或． 所以在和上单调递增，在上单调递减 综上所述： 当时，在上单调递减，在上单调递增 当时，在和上单调递增，在上单调递减 当时，在上单调递增． 当时，在和上单调递增，在上单调递减． （2）设切点为， 则切线方程为 代入原点可得， 整理可得， 由题意可知方程有两个根，并且不是方程的根， 当时，方程化简为：， 令， 或且． 所以在和上单调递增，在和上单调递减． 由图象可知或，解得：或． 多选题（多考点）综合题型05 17．(23-24高二下·湖北鄂北六校·期中)已知函数（a为常数），则下列结论正确的有（    ） A．当时，恒成立 B．若有3个零点，则a的取值范围为 C．当时.有唯一零点且 D．当时，是的极值点 【答案】BCD 【来源】湖北省鄂北六校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】根据，可判定A错误；根据题意，转化为与的图象有3个交点，利用导数求得函数的单调性与极值，可判定B正确；当时，得到 ，函数单调递增，结合，可判定C正确；当时，得到，的函数的单调性，结合极值点的定义，可判定D正确. 【详解】对于A中，当时，可得，则，所以A错误； 对于B中，若函数有3个零点，即有三个解， 其中时，显然不是方程的根， 当时，转化为与的图象有3个交点， 又由， 令，解得或；令，解得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减； 所以当时，函数取得极小值，极小值为， 又由时，，所以，即实数的取值范围为，所以B正确； 对于C中，当时，， 设，可得， 当时，，在单调递减；当时，，在单调递增， 所以当时，，所以， 所以，所以函数在上单调递增， 又因为，即， 所以有唯一零点且，所以C正确； 对于D中，当时，，可得， 当时，，在单调递减；当时，，在单调递增， 所以是的极小值点，所以D正确. 故选：BCD. 【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解； 2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 18．(23-24高二下·湖北“荆、荆、襄、宜四地七校”考试联盟·期中)已知函数，则下列结论正确的有（    ） A．函数在原点处的切线方程是 B．是函数的极大值点 C．函数在上有3个极值点 D．函数在上有3个零点 【答案】AD 【来源】湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校”考试联盟2023-2024学年高二下学期期中联考数学试卷 【分析】求出函数的导函数，利用导数的几何意义判断A，求出函数的单调区间，即可判断B，分析的单调性，结合函数图象判断D，设，利用导数说明函数的单调性，即可判断C. 【详解】因为，则， 所以，又，所以在原点处的切线方程是，故A正确； 因为， 所以当或时，当时， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 因此是极小值点，故B错误； 因为，且在上单调递增，在和上单调递减， 画出与的图象如下所示： 因此与的图象有个交点，即有个零点，故D正确； 设， 则， 令，则， 设，则恒成立，即是增函数， 而，所以当时，，当时，， 所以（即）在上单调递减，在上单调递增， 又，， 所以存在两个零点，由的单调性知这两个零点就是的两个极值点，故C错误. 故选：AD. 19．(23-24高二下·湖北部分级示范高中·期中)已知函数存在两个极值点，且，．设的零点个数为，方程的实根个数为，则（   ） A．当时， B．当时， C． D． 【答案】ABD 【来源】湖北省部分省级示范高中2023-2024学年高二下学期4月期中测试数学试题 【分析】求出导函数得或，然后根据和分类确定的单调性，再根据的正负或为0分类讨论方程根据的个数得值，从而判断各选项． 【详解】由题意得，由题意，为的两根， 由题意或， 选项A，若，则在和上都有，相应均递增， 在上，即递减，从而， 若，则，，因此，不合题意，所以，A正确； 选项B，时，同选项A讨论可得在和上均递减，在上递增， ，又，因此， 以下分类讨论中，可作出的示意图， 若，则，此时有一根，有两根，； 若，则，此时有两根，有两根，； 若，则，此时有三根，有两根，， 均满足，B正确； 选项C，由选项B的讨论知C错误，如时，； 选项D，在选项B的讨论中知， 下面讨论的情形，单调性由选项A的讨论知悉，， 以下讨论中，作出的示意图， 若，，此时有一根，有两根，； 若，则，此时有一根，有两根，； 若，则，此时有一根，有两根，， ， 综上的值为，D正确． 故选：ABD． 【点睛】方法点睛：本题考查函数的导数与极值的关系，单调性与极值的关系，方程的根转化为函数图象与直线的交点，因此分类讨论时，作出函数的图象可使得结论一目了然． 20．(23-24高二下·湖北恩施州高中教育联盟·期中)已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．当时，在定义域上恒成立 B．若经过原点的直线与的图象相切于点，则 C．若在区间上单调递减，则的取值范围为 D．若有两个极值点，则的取值范围为 【答案】ACD 【来源】湖北省恩施州高中教育联盟2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题 【分析】对于A，利用导数求得函数的最大值为0，可得结论正确；对于B，依题求出函数在点处的切线方程，代入原点即得；对于C，利用在上恒成立即可求得；对于D，利用在上恒有两不等实根即可求得. 【详解】对于A项，当时，， 当时，，递增，当时，，递减， 则时，取得极大值，即最大值0，故在定义域上恒成立，即A项正确； 对于B项，由可得，即在处的切线斜率为， 切线方程为：，代入原点坐标，得，解得，故B项错误； 对于C项，由求导得，， 因在区间上单调递减，则有在区间上恒成立. 设，则需使即 ，解得，故C项正确； 对于D项，因有两个极值点，则有两个正实根， 需使解得，此时，不妨设，则， 当或时，，递增，当时，，递减， 故在时取极大值，在时取极小值，符合题意，故D项正确. 故选：ACD. 【点睛】思路点睛：本题主要考查利用导数解决不等式恒成立和极值点问题，属于难题. 解决含参数的一元二次不等式恒成立问题，一般可考虑数形结合或者参变分离法求解；求解函数的极值点存在问题，一般将其转化为导函数方程的根的个数问题或者化归成两函数图象的交点个数问题解决. 21．(23-24高二下·湖北部分高中联考协作体·期中)已知，，则下列结论正确的是（   ） A．函数在上存在极大值 B．函数没有最值 C．若对任意，不等式恒成立，则实数的最大值为 D．若，则的最大值为 【答案】BCD 【来源】湖北省部分高中联考协作体2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】分别对函数和，利用求导，分析其单调性即得A项错误，B项正确；对于C项，需运用的单调性将不等式化成，再利用参变分离法即可求得参数范围；对于D项，由已知结合同构思想得，再利用导数求得的最小值即得. 【详解】对于A项，，设，则， 当时，，即函数在上单调递减； 当时，，即函数在上单调递增. 故，则在上单调递增，故函数无极大值，即A项错误； 对于B项，，令，则， 当时，，即函数在上单调递减； 当时，，即函数在上单调递增. 故，则函数在R上单调递增，故函数没有最值，即B项正确； 对于C项，由B项知，函数在R上单调递增， 于是对任意，不等式等价于， 则有，对任意，， 由A项可得，在上单调递增，故， 则，故实数的最大值为，即C项正确； 对于D项，若，则， 即，因，则， 由A项得，在上单调递增， 于是，，故， 令，则， 当时，，则函数在上递增； 当时，，则函数在上递减， 从而，故的最大值为，即D项正确. 故选：BCD. 【点睛】结论点睛：本题主要考查函数的极值和参数的最值问题，属于难题. 一般地，已知函数 （1）若，总有成立，则； （2）若，总有成立，则； （3）若，使得成立，则； （4）若，使得成立，则. 新定义问题题型06 22．(23-24高二下·湖北“荆、荆、襄、宜四地七校”考试联盟·期中)帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数，，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：.（注：，为的导数）已知在处的阶帕德近似为. (1)求实数的值； (2)证明：当时，； (3)设为实数，讨论方程的解的个数. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)答案见解析. 【来源】湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校”考试联盟2023-2024学年高二下学期期中联考数学试卷 【分析】（1）根据列方程组求解可得； （2）构造函数，利用导数求单调性，由即可得证； （3）构造函数，分，利用导数讨论单调性，利用单调性判断零点个数.当时，分单调区间讨论，结合零点存在性定理判断即可. 【详解】（1）由，有， 可知， 由题意，， 所以，解得. （2）由（1）知，， 令， 则， 所以在其定义域内为增函数， 又， 时，，得证. （3）的定义域是， . ①当时，，所以在上单调递增，且， 所以在上存在1个零点； ②当时，令， 由，得. 又因为，所以. + 0 - 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 当时，因为，所以在上存在1个零点， 且； 当时，因为， ，而在单调递增，且， 而，故，所以在上存在1个零点； 当时，因为， ，而在单调递增，且，而， 所以，所以在上存在1个零点. 从而在上存在3个零点. 综上所述，当时，方程有1个解； 当时，方程有3个解. 【点睛】思路点睛：关于零点个数问题，一般从以下方面入手： （1）转化为两个函数图象相交问题进行讨论； （2）利用导数求极值，根据极值符号，结合单调性以及变化趋势进行判断； （3）利用导数讨论单调性，结合零点存在性定理进行判断. 23．(23-24高二下·湖北云学名校联盟·期中)18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的数学家泰勒（Brook Taylor）发现的泰勒公式（又称麦克劳林公式）有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，．其中，表示的二阶导数，即为的导数，表示的阶导数． (1)根据公式估计的值；（结果保留两位有效数字） (2)由公式可得：，当时，请比较与的大小，并给出证明； (3)已知，证明：． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)证明见解析 【来源】湖北省云学名校联盟2023-2024学年高二下学期期中联考数学试卷 【分析】（1）根据泰勒公式求得，赋值即可求得近似值； （2）构造函数，利用导数判断其单调性和最值，即可证明； （3）根据（2）中所得结论，将目标式放缩为 ，再裂项求和即可证明. 【详解】（1）记，则， ， 所以， 因为， 所以且， ，． （2）令，则， 恒成立，在递增，在递增， 在递增，， 即. （3）由题，，则，则， 令， 易得在上递增，在上递减，从而， 即当且仅当时取等号）， ， 即， ， ，得证． 【点睛】本题第三问的处理关键是能够利用第二问结论，将原式放缩为，再利用裂项求和法证明，对学生已知条件的利用能力以及综合应用能力提出了较高的要求，属综合困难题. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$