专题01 数列（6考点33题）（人教A版2019，湖北专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期中真题分类汇编

专题01 数列（6考点33题） 题型概览 题型01等差数列 题型02等比数列 题型03数列与常用逻辑用语 题型04数列的概念与数列中的递推关系 题型05数列中的单调性问题 题型06数列中的新定义问题 优选提升题 等差数列题型01 1．(23-24高二下·湖北部分级示范高中·期中)已知为等差数列，，则等于（   ） A．21 B．17 C．23 D．20 2．(23-24高二下·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)在等差数列中，是数列的前项和，，则（    ） A．118 B．128 C．138 D．148 3．(23-24高二下·湖北部分级示范高中·期中)（多选）等差数列的前项和为，则（   ） A． B． C． D．当时，的最小值为16 4．(23-24高二下·湖北孝感重点高中教科研协作体·期中)（多选）已知公差为的等差数列是递减数列，其前项和为，且满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，则的最大值为7 D．取最大值时， 5．(23-24高二下·湖北云学名校联盟·期中)（多选）已知数列，其前项和记为，则下列说法不正确的是（   ） A．若是等差数列，且，则 B．若是等差数列，且，则 C．若是等比数列，且为常数，则 D．若是等比数列，则也是等比数列 6．(23-24高二下·湖北部分学校·期中)在公差不为0的等差数列中， ，是与的等比中项. (1)求的通项公式； (2)记的前n项和为，求的最大值. 7．(23-24高二下·湖北云学名校联盟·期中)已知等差数列的前项和为，且 (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和为． 8．(23-24高二下·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)已知数列是单调递增的等差数列，数列为等比数列，且是和的等差中项，是和的等比中项． (1)求数列的通项公式； (2)若为数列的前项和，求证：． 9．(23-24高二下·湖北武汉新洲区·期中)已知等差数列满足，，正项数列满足，，（其中e是自然对数的底数）． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前n项和． 10．(23-24高二下·湖北孝感重点高中教科研协作体·期中)若数列是等差数列，则称数列为调和数列.若实数、、依次成调和数列，则称是和的调和中项. (1)求和4的调和中项； (2)已知调和数列，，，求数列的前项和. 等比数列题型02 11．(23-24高二下·湖北部分级示范高中·期中)设等比数列的前项和为，若，则等于（   ） A． B． C．2 D．5 12．(23-24高二下·湖北云学名校联盟·期中)一个乒乓球从高的桌面上落下，每次反弹的高度都是原来高度的，则乒乓球至少在第 次着地时，它所经过的总路程会超过． 13．(23-24高二下·湖北孝感重点高中教科研协作体·期中)已知等比数列的前项和，则 . 14．(23-24高二下·湖北恩施州高中教育联盟·期中)设是等比数列的前项和，若，则（    ） A． B． C．5 D． 数列与常用逻辑用语题型03 15．(23-24高二下·湖北部分学校·期中)“数列{}是等比数列”是“数列是等比数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 16．(23-24高二下·湖北云学名校联盟·期中)已知函数，数列满足，则“为递增数列”是“”的（   ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分又不必要 17．(23-24高二下·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期中)已知等差数列，则“”是“”成立的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 18．(23-24高二下·湖北“荆、荆、襄、宜四地七校”考试联盟·期中)已知数列的前项和（为常数），则“为递增的等差数列”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 数列的概念与数列中的递推关系题型04 19．(23-24高二下·湖北云学名校联盟·期中)已知数列满足，则的值为（   ） A． B． C． D． 20．(23-24高二下·湖北孝感重点高中教科研协作体·期中)在数列中，，，则数列的前2024项的积为（    ） A． B． C． D． 21．(23-24高二下·湖北武汉新洲区·期中)（多选）已知数列的前n项和为，且满足：，则下列结论正确的是（    ） A．数列为等差数列 B． C．数列的前100项和为 D．数列的前10项和为 22．(23-24高二下·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)（多选）已知数列满足，则（    ） A． B．数列是等差数列 C．的前项和为 D．数列的最小项为4 23．(23-24高二下·湖北部分级示范高中·期中)在数列中，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 24．(23-24高二下·湖北鄂北六校·期中)已知数列满足，． (1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； (2)若记为满足不等式，的正整数k的个数，求数列的前n项和． 25．(23-24高二下·湖北“荆、荆、襄、宜四地七校”考试联盟·期中)已知数列中，，且. (1)求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)设为数列的前项和，求使成立的正整数的最大值. 26．(23-24高二下·湖北部分学校·期中)已知数列 满足 (1)求的通项公式； (2)设，数列 的前n项和为，求 .（其中表示不超过x的最大整数） 数列中的单调性问题题型05 27．(23-24高二下·湖北部分级示范高中·期中)已知数列中，，且对任意正整数都有．若数列满足：， (1)求数列和数列的通项公式； (2)设，若为递增数列，求实数的取值范围． 28．(23-24高二下·湖北宜昌部分级示范高中·期中)设是各项都为正的单调递增数列，已知，且满足关系式：，. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项积. 数列中的新定义问题题型06 29．(23-24高二下·湖北鄂北六校·期中)（多选）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法.商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，….设第n层有个球，从上往下n层球的总数为，则（    ） A． B． C． D． 30．(23-24高二下·湖北鄂北六校·期中)对于数列，把它连续两项与的差记为，得到一个新数列，称数列为原数列的一阶差数列．若，则数列是的二阶差数列，以此类推，可得数列的p阶差数列．如果某数列的p阶差数列是一个非零的常数列，则称此数列为p阶等差数列，如数列1，3，6，10，它的前后两项之差组成新数列2，3，4，新数列2，3，4的前后两项之差再组成新数列1，1，1，新数列1，1，1为非零常数列，则数列1，3，6，10称为二阶等差数列．已知数列满足，且，则下列结论中错误的有（    ） A．为二阶等差数列 B．为三阶等差数列 C． D． 31．(23-24高二下·湖北部分级示范高中·期中)数列，若存在常数，对任意的，恒有，则称数列为数列．记是数列的前项和，下列说法错误的是（   ） A．首项为1，公比为的等比数列是数列 B．存在等差数列和等比数列，使得数列是数列 C．若数列是数列，则数列是数列 D．若数列是数列，则数列是数列 32．(23-24高二下·湖北武汉吴家山第四中学·期中)已知数列的首项，且满足，数列的前项和满足，且. (1)求证：是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)设，求数列的前项和. 33．(23-24高二下·湖北云学名校联盟·期中)已知数列的前项和为，且满足.数列的前项和为，且满足，. (1)求数列的通项公式； (2)若，设数列的前项和为，且对任意的恒成立，求的取值范围. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 数列（6考点33题） 题型概览 题型01等差数列 题型02等比数列 题型03数列与常用逻辑用语 题型04数列的概念与数列中的递推关系 题型05数列中的单调性问题 题型06数列中的新定义问题 优选提升题 等差数列题型01 1．(23-24高二下·湖北部分级示范高中·期中)已知为等差数列，，则等于（   ） A．21 B．17 C．23 D．20 【答案】D 【来源】湖北省部分省级示范高中2023-2024学年高二下学期4月期中测试数学试题 【分析】根据等差数列的通项公式求得和公差，然后计算出． 【详解】设的公差为，因为， 所以，解得， 所以， 故选：D． 2．(23-24高二下·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)在等差数列中，是数列的前项和，，则（    ） A．118 B．128 C．138 D．148 【答案】C 【来源】湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2023-2024学年高二下学期期中联考数学试卷 【分析】利用等差数列的性质以及求和公式计算即得． 【详解】由，又， 所以， 由题意得． 故选：C． 3．(23-24高二下·湖北部分级示范高中·期中)（多选）等差数列的前项和为，则（   ） A． B． C． D．当时，的最小值为16 【答案】AD 【来源】湖北省部分省级示范高中2023-2024学年高二下学期4月期中测试数学试题 【分析】设等差数列的公差为d，由，利用等差数列通项公式求出，由此利用等差数列通项公式和求和公式即可求解判断. 【详解】设等差数列的公差为d， 因为，所以， 即， 对于A，，故A正确； 对于B，，所以，故B错误； 对于C，，，所以,故C错误； 对于D，， 因为，所以当时，，即当时，的最小值为16，故D正确. 故选：AD. 4．(23-24高二下·湖北孝感重点高中教科研协作体·期中)（多选）已知公差为的等差数列是递减数列，其前项和为，且满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，则的最大值为7 D．取最大值时， 【答案】ABC 【来源】湖北省孝感市重点高中教科研协作体2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题 【分析】根据递减数列的定义得，求出，再求得，然后结合数列性质判断各选项． 【详解】等差数列是递减数列，则公差，A正确； 由题意，∴， 则，从而取最大值时，或，D错误； 所以，B正确； ，由得，C正确． 故选：ABC． 5．(23-24高二下·湖北云学名校联盟·期中)（多选）已知数列，其前项和记为，则下列说法不正确的是（   ） A．若是等差数列，且，则 B．若是等差数列，且，则 C．若是等比数列，且为常数，则 D．若是等比数列，则也是等比数列 【答案】ACD 【来源】湖北省云学名校联盟2023-2024学年高二下学期期中联考数学试卷 【分析】利用举反例来说明选项是错误的，如A选项中，当等差数列是常数列时， 就不能推出；又如D选项中，当时，，这就不是等比数列；而选项中，由公比不为1的等比数列前和公式得，所以可判断应该等于－2，最后B选项是可以用等差数列求和公式证明成立的. 【详解】A选项中，当等差数列是常数列时，由，就不能得到， 所以A是错误的； B选项中，当等差数列是常数列时，，此时且， 当差数列公差不为0时，，此时，所以B是正确的； 选项中，由公比不为1的等比数列前和公式得，所以常数应该等于－2，所以是错误的； D选项中，当时，，则就不是等比数列，所以D是错误的； 故选：ACD． 6．(23-24高二下·湖北部分学校·期中)在公差不为0的等差数列中， ，是与的等比中项. (1)求的通项公式； (2)记的前n项和为，求的最大值. 【答案】(1) (2)100 【来源】湖北省部分学校2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题 【分析】（1）由题意列出关于的方程，求出公差即可得解； （2）首先得出单调递减，并求出时的最大值，结合等差数列求和公式即可求解. 【详解】（1）设的公差为d，因为是与的等比中项，所以， 即，整理得. 又，所以， 则. （2）由（1）可得，. 因为，所以是递减数列. 又，， 所以当时，取得最大值，且最大值为. 7．(23-24高二下·湖北云学名校联盟·期中)已知等差数列的前项和为，且 (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和为． 【答案】(1) (2) 【来源】湖北省云学名校联盟2023-2024学年高二下学期期中联考数学试卷 【分析】（1）由等差数列的通项公式以及前n项和公式构成方程组即可求得的通项公式； （2）将原式变形为，再利用裂项相消法即可求得答案. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为． 因为，所以， 化简得，所以 所以数列的通项公式为； （2）， 整理得， 所以， 整理得 8．(23-24高二下·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)已知数列是单调递增的等差数列，数列为等比数列，且是和的等差中项，是和的等比中项． (1)求数列的通项公式； (2)若为数列的前项和，求证：． 【答案】(1)，． (2)证明见解析 【来源】湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2023-2024学年高二下学期期中联考数学试卷 【分析】（1）根据题意设出公差以及公比，求出以及，利用通项公式即可； （2）利用错位相减法求得，显然小于3，根据单调性得大于等于1，即可． 【详解】（1）设数列的公差为，数列的公比为， 由已知可得， 消去得：，解得或， 因为等差数列单调递增，所以， 于是，， ，． （2）由得： ，① ，② ①②得： ， 于是， 又单调递增． 综上所述：． 9．(23-24高二下·湖北武汉新洲区·期中)已知等差数列满足，，正项数列满足，，（其中e是自然对数的底数）． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)， (2)． 【来源】湖北省武汉市新洲区2023-2024学年高二下学期4月期中质量检测数学试题 【分析】（1）先根据基本量运算求出等差数列，再取对数得出等比数列，再求出等比数列通项公式； （2）先分组求和，再分情况去掉绝对值并应用等差等比数列求和公式分段计算. 【详解】（1）设等差数列的公差为d，则， ，即 又由，，可得， 数列是首项为1，公比为2的等比数列， ，即 （2），设数列的前n项和为，则 又， 当时，，； 当时，，； 当时，，，数列递减， 当时，，当时，， 又因为 数列的前n项和， 当，时， 当，时， 即数列的前n项和． 10．(23-24高二下·湖北孝感重点高中教科研协作体·期中)若数列是等差数列，则称数列为调和数列.若实数、、依次成调和数列，则称是和的调和中项. (1)求和4的调和中项； (2)已知调和数列，，，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2). 【来源】湖北省孝感市重点高中教科研协作体2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题 【分析】（1）根据新定义求解； （2）利用裂项相消法求和结合条件即得． 【详解】（1）设和4的调和中项为，依题意得：， ∴. （2）依题意，设公差为， 所以， 所以， 所以， 所以. 等比数列题型02 11．(23-24高二下·湖北部分级示范高中·期中)设等比数列的前项和为，若，则等于（   ） A． B． C．2 D．5 【答案】B 【来源】湖北省部分省级示范高中2023-2024学年高二下学期4月期中测试数学试题 【分析】根据等比数列的前项和公式列方程组求解． 【详解】由题意易知数列的公比， 则有，解得， 故选：B． 12．(23-24高二下·湖北云学名校联盟·期中)一个乒乓球从高的桌面上落下，每次反弹的高度都是原来高度的，则乒乓球至少在第 次着地时，它所经过的总路程会超过． 【答案】7 【来源】湖北省云学名校联盟2023-2024学年高二下学期期中联考数学试卷 【分析】计算乒乓球第次着地时经过的总路程，根据等比数列的前项和公式即可求解. 【详解】由题意得，第次着地时经过的总路程为 ， 因为， 所以在第7次着地时它所经过的总路程会超过． 故答案为：7. 13．(23-24高二下·湖北孝感重点高中教科研协作体·期中)已知等比数列的前项和，则 . 【答案】 【来源】湖北省孝感市重点高中教科研协作体2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题 【分析】由求得数列的前三项，由前三项成等比数列求得． 【详解】由已知，，， 成等比数列，则，解得， 此时，也适合， 所以，满足题意. 故答案为：， 14．(23-24高二下·湖北恩施州高中教育联盟·期中)设是等比数列的前项和，若，则（    ） A． B． C．5 D． 【答案】A 【来源】湖北省恩施州高中教育联盟2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题 【分析】利用成等比数列求解可得答案. 【详解】，，可得， 可得，，， 则. 故选；A. 数列与常用逻辑用语题型03 15．(23-24高二下·湖北部分学校·期中)“数列{}是等比数列”是“数列是等比数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【来源】湖北省部分学校2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题 【分析】利用等比数列的定义说明充分性，举反例说明不必要即可得解. 【详解】若是等比数列，设的公比为q，则，则数列是公比为的等比数列. 假设数列是1，2，2，4，4，8，8，16，16，…，则数列是等比数列，但是数列不是等比数列. 故数列“是等比数列”是“数列是等比数列”的充分不必要条件. 故选：A. 16．(23-24高二下·湖北云学名校联盟·期中)已知函数，数列满足，则“为递增数列”是“”的（   ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分又不必要 【答案】B 【来源】湖北省云学名校联盟2023-2024学年高二下学期期中联考数学试卷 【分析】由为递增数列，注意n是正整数的条件，可得不等式组，解不等式组即可判断. 【详解】由“为递增数列”可以得到，解得， 所以“为递增数列”是“”的必要不充分条件， 故选：B． 17．(23-24高二下·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期中)已知等差数列，则“”是“”成立的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【来源】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2023-2024学年高二下学期4月期中检测数学试题 【分析】根据等差数列等差中项的应用即可判断充分性成立，举反例否定必要性即可. 【详解】当时，由等差数列下标和性质得显然成立，故充分性成立， 设等差数列首项为，公差为，当时，无论取何值，一定成立， 无法推出，可得必要性不成立， 则“”是“”成立的充分不必要条件. 故选：A. 18．(23-24高二下·湖北“荆、荆、襄、宜四地七校”考试联盟·期中)已知数列的前项和（为常数），则“为递增的等差数列”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【来源】湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校”考试联盟2023-2024学年高二下学期期中联考数学试卷 【分析】根据等差数列前n项和公式函数性质、与的关系，结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】设等差数列的公差为， 由等差数列的前项和， 类比表达式，有. 当为递增等差数列时，有； 反之，当时，例如，可得； ，则， 此时数列从第二项开始才为递增的等差数列； 所以“为递增的等差数列”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 数列的概念与数列中的递推关系题型04 19．(23-24高二下·湖北云学名校联盟·期中)已知数列满足，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】湖北省云学名校联盟2023-2024学年高二下学期期中联考数学试卷 【分析】根据前几项式子结构特征观察求解即可. 【详解】由题意，则. 故选：D 20．(23-24高二下·湖北孝感重点高中教科研协作体·期中)在数列中，，，则数列的前2024项的积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】湖北省孝感市重点高中教科研协作体2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题 【分析】通过递推关系得出数列周期，利用周期可求答案. 【详解】因为，所以， ，，，， 所以数列的周期为，且， 设数列的前项的积为，. 故选：C 21．(23-24高二下·湖北武汉新洲区·期中)（多选）已知数列的前n项和为，且满足：，则下列结论正确的是（    ） A．数列为等差数列 B． C．数列的前100项和为 D．数列的前10项和为 【答案】BC 【来源】湖北省武汉市新洲区2023-2024学年高二下学期4月期中质量检测数学试题 【分析】首先由数列的递推公式推导出数列的通项公式，对于A，利用等差数列定义即可排除；对于B，利用等比数列的求和公式易得；对于C，将数列的项展开后分组求和即得；对于D，先由求得，从而将数列的和分成两部分，分别求和或者补项合并求和即可排除. 【详解】由可得，，即， 当时， 两式相减得，，化简得， 显然，当时符合题意，故. 对于A，由不是常数，故A错误； 对于B，由上分析，可知即是等比数列， 因，故B正确； 对于C，数列的前100项和为 ，故C正确； 对于D，由可得，故数列的前10项和为： ,故D错误. 故选：BC 22．(23-24高二下·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)（多选）已知数列满足，则（    ） A． B．数列是等差数列 C．的前项和为 D．数列的最小项为4 【答案】ABC 【来源】湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2023-2024学年高二下学期期中联考数学试卷 【分析】对递推公式两边同时加6，这样可以确定数列是等比数列，最后等比数列的通项公式、前项和公式，对数的运算性质、等差数列的定义、基本不等式逐一判断即可. 【详解】由， 因此是以为首项，公比为的等比数列，因此有 . A：因为，所以本选项正确； B：因为 所以数列是等差数列，因此本选项正确； C：因为， 所以的前项和为，所以本选项正确； D：， 当且仅当时取等号，即当时取等号，因为是正整数， 所以上述不等式等号不成立，即，所以本选项不正确， 故选：ABC 【点睛】方法点点睛：对于形如的递推公式，一般运用待定系数法进行求通项公式，即设，显然. 23．(23-24高二下·湖北部分级示范高中·期中)在数列中，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【来源】湖北省部分省级示范高中2023-2024学年高二下学期4月期中测试数学试题 【分析】（1）由数列递推公式，采用累加的方法可求得数列的通项公式； （2）求数列的前项和，分别采用错位相减法和分组求和法即可求得结果. 【详解】（1）因为数列满足，且， 当时，可得， 即， 当时，适合上式， 所以数列的通项公式为． （2）由于，且， 则， 即， 设， 则， 两式相减得：， 所以， 所以. 24．(23-24高二下·湖北鄂北六校·期中)已知数列满足，． (1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； (2)若记为满足不等式，的正整数k的个数，求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【来源】湖北省鄂北六校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】（1）将两边取倒数，化简后即可证明；再根据等差数列通项公式即可得出数列的通项公式； （2）根据即可得出，再根据错位相减即可求出的前n项和． 【详解】（1）证明：∵，∴， 即，∴，又， ∴为等差数列，其首项为1，公差为， ∴， ∴． （2）由得，，， ∵， ∴满足不等式的正整数k的个数为， ∴， ， ①， ②， 得： ， ∴． 25．(23-24高二下·湖北“荆、荆、襄、宜四地七校”考试联盟·期中)已知数列中，，且. (1)求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)设为数列的前项和，求使成立的正整数的最大值. 【答案】(1)证明见解析，； (2)5. 【来源】湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校”考试联盟2023-2024学年高二下学期期中联考数学试卷 【分析】（1）将已知变形为，即可得证，然后利用累加法可得通项； （2）根据错位相减法求出，代入不等式求解即可. 【详解】（1）由已知得， 所以数列是以为首项，公比为2的等比数列. 所以. 当时，. 累加得，， 当时满足上式，. （2）由（1）知. ①， ②， ①-②得， . 由得， ，即. 所以，所求正整数的最大值为5. 26．(23-24高二下·湖北部分学校·期中)已知数列 满足 (1)求的通项公式； (2)设，数列 的前n项和为，求 .（其中表示不超过x的最大整数） 【答案】(1) (2) 【来源】湖北省部分学校2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题 【分析】（1）根据的关系可以求得，其中，进而得解； （2）对所求进行适当划分，再结合错位相减法即可求解. 【详解】（1）当时，. 当时，由，得， 则，即时，. 因为也符合上式，所以的通项公式为. （2）由（1）可知，， 因为，所以当，时，. 所以， 设. 因为， 所以， 则， 则， 则. 数列中的单调性问题题型05 27．(23-24高二下·湖北部分级示范高中·期中)已知数列中，，且对任意正整数都有．若数列满足：， (1)求数列和数列的通项公式； (2)设，若为递增数列，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【来源】湖北省部分省级示范高中2023-2024学年高二下学期4月期中测试数学试题 【分析】（1）通过递推关系式确定数列为等差数列，进而确定通项公式，再由可得数列的通项公式； （2）先确定数列的通项公式，由得，分为奇数、偶数讨论即可. 【详解】（1）根据已知，，则，且， 则数列为首项为2，公差为2的等差数列，故． 由，得， 两式相减有： ，， 当时，也符合上式，； （2）由（1）知，又为递增数列， 所以 整理得 当为偶数时，，而，所以． 当为奇数时，，所以 综上所述，的取值范围是． 28．(23-24高二下·湖北宜昌部分级示范高中·期中)设是各项都为正的单调递增数列，已知，且满足关系式：，. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项积. 【答案】(1) (2) 【来源】湖北省宜昌市部分省级示范高中2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】（1）利用递推公式可证明数列是公差为的等差数列，代入可求通项公式； （2）由（1）可知，各项相乘即可求出前n项积. 【详解】（1）根据题意，将整理可得； 即，因此， 又是单调递增数列，所以，因此； 可知数列是以为首项，公差为的等差数列， 可得，所以； 即数列的通项公式为； （2）由（1）可知，， 因此数列的前n项积 即可得. 数列中的新定义问题题型06 29．(23-24高二下·湖北鄂北六校·期中)（多选）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法.商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，….设第n层有个球，从上往下n层球的总数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【来源】湖北省鄂北六校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】根据题意，得到，利用叠加法求得，结合等差数列的求和公式，以及裂项法求和，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意得：， 以上个式子累加可得， 其中时，满足上式，所以， 对于A中，由，所以A正确； 对于B中，由，所以B错误； 对于C中，由，所以C正确； 对于D中，由， 可得，所以D正确. 故选：ACD. 30．(23-24高二下·湖北鄂北六校·期中)对于数列，把它连续两项与的差记为，得到一个新数列，称数列为原数列的一阶差数列．若，则数列是的二阶差数列，以此类推，可得数列的p阶差数列．如果某数列的p阶差数列是一个非零的常数列，则称此数列为p阶等差数列，如数列1，3，6，10，它的前后两项之差组成新数列2，3，4，新数列2，3，4的前后两项之差再组成新数列1，1，1，新数列1，1，1为非零常数列，则数列1，3，6，10称为二阶等差数列．已知数列满足，且，则下列结论中错误的有（    ） A．为二阶等差数列 B．为三阶等差数列 C． D． 【答案】A 【来源】湖北省鄂北六校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】首先由与的等量关系及得出的递推公式，即可判断C；由累乘法即可判断D；由通项公式分别求出，和即可判断A，B． 【详解】由得，， 所以，即， 当时，，故C正确； 所以，即， 因为，所以，故D正确； ， ，不为常数，故A错误； 为非零常数，故为3阶等差数列，故B正确； 故选：A． 31．(23-24高二下·湖北部分级示范高中·期中)数列，若存在常数，对任意的，恒有，则称数列为数列．记是数列的前项和，下列说法错误的是（   ） A．首项为1，公比为的等比数列是数列 B．存在等差数列和等比数列，使得数列是数列 C．若数列是数列，则数列是数列 D．若数列是数列，则数列是数列 【答案】D 【来源】湖北省部分省级示范高中2023-2024学年高二下学期4月期中测试数学试题 【分析】根据数列的规定一一检测选项A,B,C,均可推理得到，通过举反例可说明D项不是数列即得. 【详解】对于A项，设首项为1，公比为的等比数列是，则， 因为， 则， 故该数列是数列，即A项正确； 对于B项，取，则， 因， 则 ， 故该数列是数列，即B项正确； 对于C项，时，，当时，， 因数列是数列， 则存在常数，满足, 则 , 而是另一个常数，故数列是数列，即C项正确； 对于D项，当，则， 易得数列是数列，而此时， 于是，而， 具有任意性，故数列不是数列，即D项错误. 故选：D. 【点睛】思路点睛：解决数列新定义的问题时，应充分理解数列的概念，善于观察分析数列新定义的结构特征，灵活运用其性质，善于把陌生的知识点化归为熟悉的知识点或方法，达到解题的目的. 32．(23-24高二下·湖北武汉吴家山第四中学·期中)已知数列的首项，且满足，数列的前项和满足，且. (1)求证：是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【来源】湖北省武汉市吴家山第四中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】（1）由递推关系借助等比数列的定义进行证明； （2）利用当时，，求出数列是首项为1，公差为2的等差数列，可得通项公式； （3）由，利用裂项相消法求和. 【详解】（1） 所以是以为首项，为公比的等比数列. 所以. （2）当时，，得； 当时，， 整理得， 因为，所以，则， 故数列是首项为1，公差为2的等差数列，从而， 所以数列的通项公式为. （3）由 ， 设数列的前项和为， 当 当时， 综上：. 33．(23-24高二下·湖北云学名校联盟·期中)已知数列的前项和为，且满足.数列的前项和为，且满足，. (1)求数列的通项公式； (2)若，设数列的前项和为，且对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【来源】湖北省云学名校联盟2023-2024学年高二下学期期中联考数学试卷 【分析】（1）根据与的关系，作差结合等比数列定义即可求得，当时，，作差变形得，利用等差数列定义求通项公式即可； （2）先利用错位相减法求得，然后把恒成立问题转化为恒成立，按照奇偶性分类讨论，分离参数利用数列单调性求解参数范围. 【详解】（1）对于数列，当时，，解得； 当时，，与原式作差可得， 所以是以为首项，2为公比的等比数列，所以； 对于数列，当时，，解得， 时，， 与原式作差可得， 因为，所以， 所以是以为首项，1为公差的等差数列，所以. （2）由（1）可知， 所以， 所以， 两式作差可得， 所以， 所以恒成立，化简得. 当时，恒成立，所以， 当时，恒成立，所以. 综上可得：. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$