期中重难点真题特训之压轴满分题型（95题16个考点）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版）

期中重难点真题特训之压轴满分题型（90题15个考点）专练 【精选最新考试题型专训】 压轴满分题一、分式方程的含参压轴题型 1．（24-25八年级下·上海松江·阶段练习）关于的分式方程：． (1)当时，求此时方程的解． (2)若这个方程的解为正数，求的取值范围． 2．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）已知关于x的方程 (1)当时，求方程的解； (2)当m取何值时，此方程无解； (3)当此方程的解是正数时，求m的取值范围． 3．（23-24八年级下·上海闵行·期中）小华在解分式方程时，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚； 解方程 (1)她把这个数“？”猜成，请你帮小华解这个分式方程； (2)小华的妈妈说：“如果方程的增根是，原分式方程无解”，设原分式方程中“？”代表的数为，请你求出的值 (3)小华的妈妈说：“如果方程的解为正数，”设原分式方程中“？”代表的数为，请你求出的取值范围． 4．（24-25八年级下·上海奉贤·阶段练习）新定义：如果两个实数，使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”．例如：，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”（若是，请在括号内打“√”．若不是，打“×”．） ①（   ）； ②（   ）． (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值． (3)若数对（且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 5．（23-24八年级下·上海宝山·期末）对于形如（、为常数）的分式方程，若，，容易验证，是分式方程的解． 例如：可化为，所以，是方程的解；又如可化为，所以，是方程的解． 根据上面材料解答下列问题： 【材料理解】 （1）方程的两个解分别为______，______（）； 【类比引申】 （2）若，分别是方程的两个解，求的值； 【拓展提升】 （3）若关于的方程的两个解分别为（），求的值． 压轴满分题二、分式方程的无解与增根压轴题型 6．（2025八年级下·全国·专题练习）关于x的分式方程． (1)当为何值时，分式方程有增根； (2)当为何值时，分式方程无解． 7．（24-25八年级下·全国·假期作业）已知，关于的方程：． (1)若方程有增根，求的取值； (2)若方程无解，求的取值； (3)若方程的解为整数，求整数的值． 8．（23-24八年级下·上海嘉定·课后作业）判断下列各题，正确的在题后括号内打“√”，错误的打“×”. （1）=是关于y的分式方程.    （       ） （2）分式方程=0的解是x=3.       （       ） （3）只要是分式方程，一定出现增根.      （       ） （4）方程=与方程5（x-2）=7x的解相同.     （       ） （5）方程 =－3的两边都乘以（x-2），得1=（x－1）－3. （       ） （6）方程=－3无解.          （       ） （7）方程=的根为x=0.      （       ） （8）方程变形得x=1，而x=1是原方程的增根，故原方程无解.（       ）   9．（2024·上海宝山·模拟预测）（1）先化简，再求值：，其中． （2）小丁和小迪分别解方程过程如下： 小丁： 解：去分母，得 去括号，得 合并同类项，得 解得， ∴原方程的解是 小迪： 解：去分母，得 去括号，得 合并同类项，得 解得， 经检验是方程的增根，原方程无解． 你认为小丁和小迪的解法是否正确，若正确，打“√”，如果错误，请写出正确的解答过程 10．（23-24八年级下·上海金山·期中）阅读下列材料： 在学习“分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于的分式方程的解为正数，求的取值范围．经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思路，小明说：解这个关于的方程，得到方程的解为，由题目可得，所以，问题解决．小聪说：你考虑的不全面，还必须保证才行． (1)请回答： 的说法是正确的，正确的理由是 ． 完成下列问题： (2)已知关于的方程的解为非负数，求的取值范围； (3)若关于的方程无解，求的值． 压轴满分题三、二元二次方程压轴题型 11．（23-24八年级下·上海金山·期中）若规定＝ad﹣bc，如＝2×0﹣3×（﹣1）＝3 （1）计算：； （2）计算：； （3）解方程组：． 12．（23-24八年级下·上海徐汇·期中）对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．已知，． （1）求，的值； （2）若关于，的方程组的解也满足方程，求的值； （3）若关于，的方程组的解为，求关于，的方程组的解． 13．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）两位同学设计一款填数游戏，根据下图信息解决问题． (1)求，的数量关系； (2)求的值． 14．（2024·上海奉贤·模拟预测）阅读材料，解答问题 材料：利用解二元一次方程组的代入消元法可解形如的方程组． 如：由（2）得，代入（1）消元得到关于的方程： ， 将代入得：，方程组的解为 请你用代入消元法解方程组： 15．（23-24八年级下·上海崇明·期中）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5③ 把方程①代入③得：2×3+y＝5，∴y＝﹣1， 所以y＝﹣1代入①得x＝4，∴方程组的解为， 请你解决以下问题： （1）模仿小军的“整体代换”法解方程组， （2）已知x，y满足方程组，求x2+4y2的值与xy的值； （3）在（2）的条件下，写出这个方程组的所有整数解． 压轴满分题四、一次函数增减性求最值 16．（23-24八年级下·上海闵行·阶段练习）已知一次函数（k，b是常数，且）的图象经过两点． (1)求该一次函数解析式； (2)若，请分别求出函数y的最大值和最小值． 17．（23-24八年级下·上海宝山·阶段练习）已知表格中的两组对应值满足一次函数． x 0 2 y 2 1 (1)求k，b的值； (2)判断点是否在该函数图像上，并说明理由； (3)当时，求y的最大值． 18．（23-24八年级下·上海长宁·期末）学习函数时，王老师带领同学们探索了函数的图象和性质，部分过程如下：自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值如下表所示： … 0 1 2 3 4 … … 3 2 1 0 1 2 3 4 5 … 根据表格中的数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分． (1)请补全该函数的图象； (2)观察该函数图象，写出该函数的一条性质： ________； (3)已知函数（其中为常量），当自变量的取值范围是时，该函数的最大值为，请求出满足条件的的值．   19．（23-24八年级下·上海宝山·阶段练习）八年级某数学兴趣小组在学习了一次函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质．其探究过程如下： (1)绘制函数图象， 列表：下表是x与y的几组对应值，其中 ． x … 0 1 2 3 … y … 4 3 2 1 2 3 m … 描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出各点 连线：顺次连接各点，请你把图象补充完整；    (2)通过观察图象，下列关于该函数的性质表述正确的是： ，（填写代号） ①函数值y随x的增大而减小； ②关于y轴对称； ③有最小值1． 20．（23-24八年级下·上海宝山·期末）在一次函数的学习中，我们经历了列表，描点，连线画函数图象，结合图象研究函数的性质并对其性质进行应用的过程．小勇对函数y＝的图象和性质进行如下探究，请同学们认真阅读探究过程并解答： (1)小勇列出表格，请同学们求出a，b，并在平面直角坐标系中画出该函数图象； x … 0 1 2 … y … 1 a b … ______；______． (2)根据函数图象，以下判断该函数性质的说法，正确的有______． ①函数图象关于x轴对称； ②此函数无最小值； ③此函数有最大值，且最大值为3； ④当时，y随x的增大而增大． (3)若直线与函数y＝的图象始终有两个交点，请你结合所画函数图象，直接写出k的取值范围． 压轴满分题五、一次函数与不等式、方程组 21．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）如图，已知直线与直线相交于点 (1)求直线与直线的解析式； (2)结合图象直接写出不等式的解集． 22．（23-24八年级下·上海金山·期中）如图所示，在同一个坐标系中一次函数和的图象，分别与轴交于点，两直线交于点，已知点坐标为，点B坐标为，观察图象并回答下列问题： (1)关于的方程的解是______；关于的不等式的解集是______； (2)直接写出关于的不等式组解集是______； (3)若点坐标为，关于的不等式的解集是______． 23．（23-24八年级下·上海长宁·期末）如图，已知一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A和点B，直线l的解析式为． (1)求点A和点B的坐标； (2)当直线l经过原点时，求直线l与直线的交点坐标，并直接写出方程的解； (3)若直线l与线段有交点时，直接写出m的取值范围． 24．（23-24八年级下·上海杨浦·期中）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助我们理解数学问题．如图1，已知一次函数（k、b为常数，且）的图象． (1)方程的解为______，不等式的解集为______； (2)若正比例函数（m为常数，且）与一次函数相交于点P（如图2），则不等式组的解集为______； (3)比较与的大小（根据图象直接写出结果）． 25．（24-25八年级下·上海普陀·阶段练习）已知一次函数与． (1)在同一平面直角坐标系中，画出它们的图象； (2)直线，与轴分别交于点，，请写出，两点的坐标； (3)根据图象，写出方程组的解． 压轴满分题六、无理方程的阅读材料问题 26．（23-24八年级下·上海松江·阶段练习）阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出x的值． 解方程： 提示：可以用“换元法”解方程． 解；设，则有． 原方程可化为： 续解： 27．（23-24八年级下·上海宝山·阶段练习）阅读题：各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想一一转化，把未知转化为已知．无理方程（根号下含有未知数的方程），可以通过方程两边平方把它转化为，可得．通过“方程两边平方”解方程，有可能产生增根，必须对解得的根进行检验．例如，把方程两边平方，得，解得，．经检验，不是原方程的根，是增根．根据上述思想方法，解下列方程： (1)； (2)． 28．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）下面是小明同学解无理方程3﹣＝x的过程： 原方程可变形为3﹣x＝……（第一步） 两边平方，得3﹣x＝2x﹣3……（第二步） 整理，得﹣3x＝6……（第三步） 解得x＝2……（第四步） 检验：把x＝2分别代入原方程的两边，左边＝3﹣＝2，右边＝2，左边＝右边，可知x＝2是原方程的解．……（第五步） 所以，原方程的解是x＝2．……（第六步） 请阅读上述小明的解题过程，并完成下列问题： （1）以上小明的解题过程中，从第 　 　步开始出错； （2）请完成正确求解方程3﹣＝x的过程． 29．（2024八年级下·全国·专题练习）阅读下列材料，解决问题： 求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解，求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想﹣转化，把未知转化为已知． 用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程例如：一元三次方程x3+x2﹣2x＝0，可以通过因式分解把它转化为x（x2+x﹣2）＝0，解方程x＝0和x2+x﹣2＝0，可得方程x3+x2﹣2x＝0的解． （1）方程x3﹣6x2﹣16x＝0的解是x1＝0，x2＝　　，x3＝　　； （2）用“转化”的思想求方程（x2+x﹣2）2+（2x2﹣7x+6）2＝（3x2﹣6x+4）2的解； （3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD＝8m，宽AB＝3m，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求AP的长． 30．（2024·上海闵行·一模）阅读下列两则材料，回答问题： 材料一：我们将与称为一对“对偶式”因为，所以构造“对俩式”相乘可以有效地将和中的去掉.例如：已知，求 的值．解：， 材料二：如图，点，点，以AB为斜边作，则，于是，，所以.反之，可将代数式的值看作点到点的距离. 例如：=． 所以可将代数式的值看作点到点的距离． 利用材料一，解关于x的方程：，其中； 利用材料二，求代数式的最小值，并求出此时y与x的函数关系式，写出x的取值范围； 将所得的y与x的函数关系式和x的取值范围代入中解出x，直接写出x的值． 压轴满分题七、分式方程的实际综合应用 31．（23-24八年级下·上海静安·期末）为改善道路通行条件，某市在周年国庆前夕将城市一段主干道进行拓宽改造．该项工程若由甲工程队单独施工，恰好能在规定时间内完成；若由乙工程队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的倍．如果由甲、乙两个工程队先合作施工天，那么余下的工程由甲工程队单独施工还需天完成． (1)求这项工程的规定时间是多少天？ (2)已知甲工程队每天的施工费用为万元，乙工程队每天的施工费用为万元．为了缩短工期以减少对交通的影响，工程指挥部决定该工程由甲、乙两个工程队合作来完成，则该工程的施工费用是多少？ 32．（24-25八年级下·上海金山·阶段练习）第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日在黑龙江省哈尔滨市开幕，吉祥物“滨滨”和“妮妮”均以东北虎为原型创作而成，两款毛绒玩具销售火爆．阅读下列素材解决问题． “滨滨”和“妮妮” 素材1 “滨宾”的单价比“妮妮”的单价少40元； 素材2 购买“滨滨”和“妮妮”的费用分别为8000元和5600元； 素材3 “滨滨”的数量是“妮妮”的数量的2倍． 问题解决 求吉祥物“滨滨”的单价． 33．（24-25八年级下·上海崇明·阶段练习）如图1，在底面积为、高为长方体水槽内放入一个长方体烧杯，以恒定不变的流量速度先向烧杯中注水，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽为止，此过程中，烧杯本身的质量、体积忽略不计，烧杯在大水槽中的位置始终不改变，水槽中水面上升的高度（厘米）和注水时间（秒）之间的关系如图2所示． (1)图2中，点________表示烧杯中刚好注满水，点________表示水槽中水面恰与烧杯中水面平齐； (2)求注水的速度； (3)烧杯的底面积是________，注满水槽所需要的时间为________秒． 34．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）年，在国家实行报废补贴、以旧换新利好政策的推动下，小明的爸爸准备换车，看中了两款价格相同的国产车．请帮小明父子解决以下问题： 燃油车 新能源车 油箱容积：升 电池容量：千瓦时 油价：元/升 电价：元/干瓦时 续航里程：千米 续航里程：干米 每千米行驶费用：元 每千米行驶费用： 元 (1)用含a的式子表示新能源车的每千米行驶费用 元（结果为最简）． (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元． 分别求出这两款车的每千米行驶费用． 若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为元和元．每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用＋年其他费用） 35．（23-24八年级下·上海宝山·期末）2024年中央一号文件强调“强化农业科技支撑”．为充分发挥科技生产力对农业发展的作用，某地与农业大学合作开发小麦试验田，并利用机械化播种、收割小麦． (1)现有A，B两种小麦播种机，A型播种机比B型播种机每小时多播种，A型播种机播种所用时间与B型播种机播种所用时间相等，两种播种机每小时分别播种多少小麦？ (2)如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分．“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形．两块试验田的小麦都收获了． ①哪种小麦的单位面积产量高？ ②请直接写出高的单位面积产量是低的单位面积产量的_____倍（用含的代数式表示）； (3)一台小麦收割机的工作效率相当于一个农民工作效率的150倍，用这台收割机收割小麦比100个农民人工收割这些小麦要少用，这台收割机每小时收割多少小麦？ 压轴满分题八、一次函数动点问题 36．（23-24八年级下·上海嘉定·期中）如图①，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与，轴分别交于，两点，正比例函数的图象与交于点． (1)求、的值； (2)已知点是直线上的一个动点．连接，当的面积是面积的倍时，求点的坐标； 37．（24-25八年级下·上海·阶段练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，与轴交于点． (1)求一次函数的解析式； (2)设为线段上的一个动点（不包括两点），过点作轴交反比例函数图象于点，当的面积是3时，求点的坐标． 38．（24-25八年级下·上海·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，，连接BD，动点P从点A出发沿折线方向运动，动点Q从点C出发沿方向运动，动点P，Q的运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点D时，P，Q两点时同时停止运动，连接DP，BQ．设运动的时间为x秒，记的面积为，的面积与的面积之比为． (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（结果保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 39．（23-24八年级下·上海宝山·期中）建立模型： （1）如图1，等腰直角三角形的直角顶点在直线上． 过点作交于点， 过点作交于点， 求证：； （2）如图2，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点A，B， 将直线绕点顺时针旋转得到， 求的函数表达式； （3）如图3，在平面直角坐标系，点， 过点作交于点， 过点作交于点， 为线段上的一个动点，点位于第一象限． 问点能否构成以点为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出的值； 若不能， 请说明理由． 40．（23-24八年级下·上海静安·期末）如图1，平面直角坐标系中，直线的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线的图象过点A，并且与y轴交于点C． (1)求A，B两点的坐标及b的值； (2)如图2，动点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向运动．过点P作x轴的垂线，分别交直线于点D，E．设点P运动的时间为t，点D的坐标为_____________，点E的坐标为_____________；（均用含t的式子表示） (3)在（2）的条件下，当点P在线段上时，探究是否存在某一时刻，使?若存在，求出此时的面积；若不存在说明理由； (4)一次函数的图象为，且不能围成三角形，直接写出k的值． 压轴满分题九、一次函数翻折问题 41．（23-24八年级下·上海宝山·期末）在平面直角坐标系中，直线经过点，交轴于点． (1)求直线所对应的函数表达式． (2)若点是轴上一点，连接．当的面积为时，直接写出点的坐标． (3)已知线段的端点坐标分别为，． ①当直线与线段有交点时，求的取值范围． ②已知点是直线上一点，其横坐标为．过点作直线轴，将直线在直线上方部分记作，在直线上及其下方的部分记为，将沿直线向下翻折得到，和两部分组成的图象记为．当图象与线段只有一个公共点时，直接写出的取值范围． 42．（23-24八年级下·上海闵行·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴相交于、两点，点在线段上，以为直角边作等腰直角，，点恰好落在直线上． (1)求k、b的值； (2)求点D的坐标； (3)若将沿直线翻折到直角坐标系平面得，求过点且与直线平行的直线的解析式． 43．（24-25八年级下·上海嘉定·阶段练习）已知，在如图所示的网格中建立平面直角坐标系后，三个顶点的坐标分别为． (1)画出关于y轴的对称图形； (2)借助图中的网格，请只用直尺（不含刻度）完成以下要求：在x轴上画出一点Q，使得的周长最小，则Q点的坐标_______； (3)再把向下平移3个单位得到．若内有一点，则点P经上述翻折、平移后得到的点的坐标是_______． 44．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）如下图．分别以长方形的边所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，已知，点E在线段上，把以直线为轴进行翻折，点O的对应点恰好落在线段上． (1)分别求点D，E的坐标． (2)如下图，若直线与x轴相交于点F，求直线表达式及点F的坐标． (3)若点P是x轴上的一动点，是否存在以A，D，P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 45．（23-24八年级下·上海长宁·期末）探究与应用 【探究发现】 某数学小组的同学在学习完函数及一次函数后，掌握了函数的探究路径，即：定义→图像→性质→应用，他们尝试沿着此路径探究下列情景问题： 点A是数轴上一点，表示的数是2；点B是数轴上一动点，若它表示的数是x，的距离为．随着x的变化，的距离y会如何变化呢？ (1)数学小组通过列表得到以下数据： 0 1 2 3 4 5 4 m 2 1 0 1 2 3 其中m= ． 数学小组发现给定一个x的值，就会有唯一的一个y值与之对应，y是x的函数吗？ （填“是”或“不是”）； (2)请通过描点、连线画出该函数图象，并根据函数图象写出该函数的一条性质： ； 【应用拓展】 (3)若点，均在该函数图像上，请直接写出a，b满足的数量关系： ； (4)将该函数图象在直线上方的部分保持不变，下方的图象沿直线进行翻折，得到新函数图象，若一次函数与该函数图象只有一个交点，则k的取值范围为 ． (备注：直线y = 2即过点且与x轴平行的直线．) 压轴满分题十、一次函数规律问题 46．（23-24八年级下·上海杨浦·期末）如图1，直线与轴交于点，直线与轴交于点，、交于轴上一点． (1)求直线所对应的函数表达式； (2)求证：； (3)规律探究：将向左平移个单位长度得到图2，与轴交于点，在的延长线上取一点，使，连接交轴于点．请探究向左平移的过程中，线段的长度的变化情况． 47．（23-24八年级下·上海长宁·期末）小亮和妈妈去超市买凳子，小亮发现把凳子按如图方式叠放在一起时，每叠放一个凳子，增加的高度是一样的．下表是叠放凳子的总高度与凳子数量的几组对应值． 凳子的数量（张） 1 2 3 4 … 叠放凳子的总高度（厘米） 45 50 55 60 … 根据以上信息，回答下列问题： (1)按照表格所示的规律，当凳子的数量为6时，叠放的凳子总高度为______厘米； (2)按照表格所示的规律，写出叠放的凳子总高度h与凳子的数量n之间的关系式______； (3)按照表格所示的规律，若将该种凳子按如图方式叠放在层高为92厘米的超市货架上，能叠放11张凳子吗？说明理由． 48．（23-24八年级下·上海虹口·期中）如图，梯形的下底是，高是，设梯形较短的上底为，面积为，面积y随上底x的变化而变化． (1)在这个变化过程中， _______是自变量，________是因变量． (2)y与x的关系式为：________________； (3)请根据关系式填写表格： x 1 2 2．5 ______ 8 y 33 ______ ______ 45 ______ (4)小亮用图2的图象来表示面积y与上底x的变化规律，请观察图象回答：梯形的面积y随上底x的增大而_________；若要使面积y大于，则上底x的取值范围_________． 49．（23-24八年级下·上海闵行·期中）（1）如图，已知直线经过点，，与直线交于点，且直线交轴于点． ①求直线的函数表达式； ②求点的坐标； ③求的面积． （2）观察下列算式，完成问题： ①； ②； ③； ④ …… ①按照以上算式的规律，请写出算式⑤　　　　 ②上述算式用文字表述为：“任意两个连续偶数的平方差都是4的奇数倍”．若设两个连续偶数分别为2n和（为整数），请证明上述命题成立； ③命题“任意两个连续奇数的平方差都是4的奇数倍”是否成立?若成立，请证明；若不成立，请举出反例． 50．（23-24八年级下·上海青浦·期末）【问题背景】“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置． 【实验操作】综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后每隔观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据大致如表所示： 流水时间 0 10 20 30 40 水面高度（观察值） 30 29 28 27 26 任务1：观察水面的高度值的变化规律，每隔水面高度变化量为________值（填“定”或“不定”）； 【建立模型】小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，接着水面高度随着流水时间而变化． 任务2：请利用表格中“，；，”两组数据，求水面高度h与流水时间t的函数解析式； 【模型应用】综合实践小组利用建立的模型，预测了后续的水面高度． 任务3：当流水时间为2小时，求水面高度h的值． 【设计刻度】综合实践小组决定利用该装置设计一个计时工具． 任务4：如何在甲容器外壁设计刻度来估算相应的时间变化？请简要说明． 压轴满分题十一、一次函数最值问题 51．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）一次函数（k为常数，且）． (1)若点在一次函数的图象上， ①求k的值； ②设，则当时，求P的最大值． (2)若当时，函数有最大值M，最小值N，且，求此时一次函数y的表达式． 52．（23-24八年级下·上海宝山·期末）某教育科技公司销售，两种多媒体，这两种多媒体的进价与售价如表所示： 进价（万元/套） 售价（万元/套） (1)若该教育科技公司计划购进两种多媒体共套，共需资金万元，该教育科技公司计划购进，两种多媒体各多少套？ (2)若该教育科技公司计划购进两种多媒体共套，其中购进种多媒体套，设将购进的两种多媒体全部售出的利润为，请求出与之间的函数关系式，并求出利润的最大值． 53．（23-24八年级下·上海长宁·期末）如图，直线交y轴于点A，交x轴于点B，点在第三象限，点M在线段上，点M的横坐标为m，过点M作轴交折线于N． (1)求点A，B的坐标： (2)设点M，N的纵坐标分别为，，当时，为定值，求t的值； (3)在（2）的条件下，分别过点M，N作垂直于y轴，垂足分别为点Q，P，当时，求长方形周长的最大值． 54．（23-24八年级下·上海宝山·期末）阅读材料： 一次函数的图像是一条直线，因此，解析式也称为直线方程，也可以表示为的形式． 在平面直角坐标系中，点到直线的距离公式为：． 例如：求点到直线的距离． 解：由直线知，，，， ∴点P到直线的距离． 根据以上材料，解决下列问题： (1)问题1：点到直线的距离为______； (2)问题2：已知：是以点为圆心，1为半径的圆，与直线相切，求实数b的值； (3)问题3：如图，设点P为问题2中上的任意一点，点A、B为直线上的两点，且，请求出面积的最大值和最小值． 55．（23-24八年级下·上海松江·期末）情景探究 【问题情景】学习了“最短路径问题”后，李老师结合坐标系的知识，设计了下面的问题：如图1，在平面直角坐标系中，已知点为轴上的一个动点，点在什么位置时，的值最小？最小值为多少？ 【方法探究】“顶尖”小组先在图1中画出点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时的值最小；然后展示了两种求解方案： 方案一：连接，利用列方程求出点的坐标． 方案二：求出直线对应的函数表达式，利用一次函数的图象与性质求出点的坐标． （1）点的坐标为_____，的最小值为_____． （2）选择一种你喜欢的方案求出点的坐标． 【推广应用】 （3）小强受到启发，设计了如下问题：如图2，在平面直角坐标系中，已知点，，直线经过点，且与轴平行，分别在轴和直线m上找点，使得轴，且的值最小，求出点的坐标． 压轴满分题十二、 一次函数中的存在性问题 56．（24-25八年级下·上海长宁·阶段练习）在平面直角坐标系中，，，连接交轴于． (1)求的长； (2)如图，直线交轴于，将直线平移经过点，交轴于，在直线上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由． 57．（23-24八年级下·上海闵行·期中）在平面直角坐标系中，各个顶点的坐标分别是． (1)画出，标出A，B，C三点； (2)画出关于y轴对称的图形，其中的坐标为______； (3)在x轴上是否存在一点P，使得的周长最小？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由． 58．（23-24八年级下·上海青浦·期末）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数（）的图象相交于、两点，轴于点，点的坐标为，连接、． (1)求该反比例函数的表达式； (2)在该反比例函数的图象上是否存在点，使得的面积与的面积相等？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 59．（23-24八年级下·上海普陀·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点A，直线过点A，且与x轴交于点C． (1)求直线的函数表达式； (2)若线段上有一点M，使得，求直线的函数表达式； (3)在直线上是否存在点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 60．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）如图，已知与轴交于点，与轴交于点，与函数的图象交于点． (1)在该坐标系中画出函数的图象，并说明点也在函数的图象上； (2)设直线与轴交于点，与轴交于点，求证：平分； (3)连接，求的面积； (4)已知，在轴上，是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 压轴满分题十三、一次函数的综合应用 61．（24-25八年级下·上海宝山·阶段练习）为了提高同学们的运算能力，激发学习数学的兴趣，某中学开展了主题为“运算能力争霸赛”的数学活动，并计划购买两种奖品奖励在数学活动中表现突出的学生．已知奖品的单价是10元；奖品的单价是25元．学校计划购买两种奖品共100件，购买费用不超过1385元，且种奖品的数量不大于种奖品数量的4倍． (1)该学校有几种购买方案？ (2)设购买、两种奖品的总费用为元，请写出（元）与种奖品的数量（件）之间的函数关系，并求出哪一种购买方案可以使得总费用最少，并求出的最小值． 62．（23-24八年级下·上海金山·期末）两地在一条笔直的公路上，一辆货车从A地出发匀速驶向B地，后一辆小轿车从B地出发匀速驶向A地，如图是它们离B地的路程与货车行驶时间之间的函数图像． (1)求货车离B地的路程与它行驶的时间之间的函数表达式； (2)求两车之间相距不超过时，货车行驶时间x的取值范围． 63．（2025·广东深圳·一模）根据如表所示素材，探索完成任务． 深圳华强北电子配件采购方案 素材一 为备战双十一购物节，深圳华强北某电子商户分两次购进、两种充电器，两次同型号进价相同： 采购批次 A数量（件） B数量（件） 采购总费用（元） 第一次 30 40 3800 第二次 40 30 3200 素材二 售价A：30元/件，B：100元/件． 素材三 计划共购进1000件充电器，且数量不少于数量的4倍． 问题解决 任务一 求、充电器每件进价． 任务二 求获利最大的进货方案及最大利润． 64．（24-25八年级下·上海奉贤·阶段练习）甲、乙两同学在400米的环形跑道上参加1000米跑步训练，时间少于或等于3分40秒为满分．前800米的路程s（米）和时间t（秒）的函数关系如图． (1)乙同学按照当前的速度继续匀速跑，那么他能否得到满分？请说明理由． (2)求甲同学跑第2圈时的路程s（米）关于时间t（秒）的函数解析式． (3)若最后200米甲同学按第1圈的速度冲刺，乙同学保持原速不变，当乙同学跑到终点时，甲同学离终点还有多远？ 65．（2025·上海崇明·二模）某校综合与实践小组的同学开展了主题为探究最大心率与年龄的关系项目化学习，他们通过某医学杂志收集到在一定年龄范围内的最大心率（最大心率指人体在进行运动时心脏每分钟跳动的最大次数）数据如下： 年龄周岁 12 17 22 27 32 37 42 47 最大心率（次／分） 208 203 198 193 188 183 178 173 (1)根据表中的信息，可以推断最大心率（次／分）是年龄（周岁）的______函数关系（填“一次”“二次”或“反比例”）；求关于的函数表达式． (2)已知不同运动效果时的心率如下： 运动效果 运动心率占最大心率的百分比 燃烧脂肪 提升耐力 20周岁的小李想要达到提升耐力的效果，他的运动心率应该控制在______次／分至______次／分；小美想要达到燃烧脂肪的效果，她的运动心率应该控制在114次／分至133次／分，小美的年龄是______周岁． 压轴满分题十四、一次函数与反比例函数综合应用 66．（23-24八年级下·上海闵行·期末）为预防“手足口病”，某班对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与燃烧时间x（分钟）成正比例；燃烧后，y与x成反比例（如图所示）．现测得药物10分钟燃完，此时教室内每立方米空气含药量为12mg．据以上信息解答下列问题： (1)求药物燃烧时y与x的函数关系式； (2)求药物燃烧后y与x的函数关系式； (3)当每立方米空气中含药量不低于5mg时，对病毒有作用，求对病毒有作用的时间有多长？ 67．（23-24八年级下·上海闵行·期中）为了做好校园疫情防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物熏蒸消毒消毒药物在一间教室内空气中的浓度（单位：）与时间（单位：）的函数关系如图所示：校医进行药物熏蒸时与的函数关系式为，药物熏蒸完成后与成反比例函数关系，两个函数图象的交点为．    (1)求的值； (2)当时，求与的函数关系式； (3)当教室空气中的药物浓度不低于时，对杀灭病毒有效问：本次消毒中有效杀灭病毒的时间持续多长时间？ 68．（23-24八年级下·上海青浦·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点A、点B，与x轴交于点C，其中点和点． (1)填空：______，______； (2)求一次函数的解析式和的面积； (3)根据图象回答：当x为何值时，（请直接写出答案）______． 69．（2025八年级下·全国·专题练习）学习数学，也要善用现代工具．用绘图软件绘制过的双曲线与动直线：，且交于一点，图1为时的视窗情形． (1)当时，求：动直线与双曲线的交点坐标； (2)视窗的大小不变，但其可视范围可以变化，且变化前后原点始终在视窗中心．例如，为在视窗中看到（1）中的交点，可将图1中坐标系的单位长度变为原来的，其可视范围就由及变成了及（如图2）．当和时，动直线与双曲线的交点分别是点A和，为能看到双曲线在A和之间的一整段图象，需要将图1中坐标系的单位长度至少变为原来的，求：的取值范围． 70．（23-24八年级下·上海嘉定·期中）探索一个问题：“任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？” (1)完成下列空格： 当已知矩形A的边长分别为6和1时，小明是这样研究的：设所求矩形的一边是x，则另一边为，由题意得方程：，化简得：． ，______，_____． 满足要求的矩形B存在． 小红的做法是：设所求矩形的两边分别是x和y，由题意得方程组：消去y化简后也得到：，（以下同小明的做法） (2)如果已知矩形A的边长分别为2和1，请你仿照小明或小红的方法研究是否存在满足要求的矩形B． (3)在小红的做法中，我们可以把方程组整理为：，此时两个方程都可以看成是函数解析式，从而我们可以利用函数图象解决一些问题．如图，在同一平面直角坐标系中画出了一次函数和反比例函数的部分图象，其中x和y分别表示矩形B的两边长，请你结合刚才的研究，回答下列问题：（完成下列空格） ①这个图象所研究的矩形A的面积为________；周长为________． ②满足条件的矩形B的两边长为________和________． 压轴满分题十五、一次函数几何综合应用 71．（23-24八年级下·上海闵行·期末）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点E、点F，与的图象交于点M，且点M的横坐标为． (1)求m的值与的长； (2)若点Q为x轴上一点，且，求点Q的坐标. 72．（23-24八年级下·上海宝山·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．与y轴交于点． (1)在图中画出关于y轴对称的，并写出点的坐标（点A，B，C的对应点分别是点）； (2)在平面直角坐标系中，若点，，那么点是线段的中点．判断点P （填“是”或“不是”） 的中点，写出中点Q的坐标及（1）题中和重叠部分的面积． 73．（24-25八年级下·上海青浦·阶段练习）如图，在中，，，，E为上一点，，动点P从点E出发，沿折线方向运动，到达点B时停止运动，连接，．设点P走过的路程为x，的面积为y． (1)请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中．画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)一次函数的图像与y的图象有且仅有2个交点，请直接写出常数k的取值范围． 74．（23-24八年级下·上海宝山·期末）如图，坐标系中，直线与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，且，． 【基本问题】 （1）求直线的解析式； 【问题探究】 （2）点是线段上一点，连接，当的面积为时，求的值； 【问题拓展】 （3）在（2）的条件下，过点作直线轴，在直线上有一点，直线交轴正半轴于点，在射线上有一点，使，请直接写出点坐标． 75．（23-24八年级下·上海长宁·期末）【模型建立】 美国总统伽菲尔德利用图验证了勾股定理，过等腰的直角顶点作直线，再过点作于点，过点作于点，易证得：．我们称这种全等模型为“型全等”（无需证明）． 【模型应用】 （1）如图，在平面直角坐标系中，等腰中，，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为______； （2）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点、点，将直线绕点逆时针旋转得到直线，则直线的函数表达式为______； （3）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别交轴，轴于点、点，点，是正比例函数图像上两点，若，，则点到直线的距离为______； 【模型拓展】 （4）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，过点作轴于点，作轴于点，点是线段上一点，点在直线上．当点，，构成等腰直角三角形时，直接写出点的横坐标______． 1．（24-25八年级下·上海松江·阶段练习）已知，，均为整数且满足，则该方程组的解有（    ） A．2组 B．4组 C．8组 D．16组 2．（24-25八年级下·上海·阶段练习）函数与函数在同一直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·上海长宁·阶段练习）A，B两地相距，如果平均车速提高了，则从A地到B地的时间缩短了，设原来的平均车速为，则根据题意可列方程为（  ） A． B． C． D． 4．（2025·上海杨浦·模拟预测）如图，货车和轿车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一公路相向而行．轿车出发后休息，直至与货车相遇后，以原速度继续行驶，设两车出发时间为（单位：），货车、轿车与甲地的距离分别为（单位：）、（单位：），图中的线段、折线分别表示、与之间的函数关系．有下列四个结论：①轿车行驶的速度为；②货车行驶的速度为；③线段所在直线的函数表达式为；④两车出发2小时或4小时后相距．其中正确的结论是（　　） A．①③ B．①④ C．②③ D．③④ 5．（2024·上海虹口·模拟预测）如图，函数与的图象相交于点，直线与和分别交于点，，下列说法中错误的是（   ） A．两函数图象的交点的坐标为 B．当时， C．当时， D．当逐渐增大时，随着的增大而增大，随着的增大而减小 6．（24-25八年级下·上海黄浦·阶段练习）若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围为 ． 7．（23-24八年级下·上海·课后作业）已知是方程组的一个解，那么这个方程组的另一个解是 . 8．（23-24八年级下·上海嘉定·阶段练习）每年中秋节，某商家生产的甲、乙、丙三种月饼礼盒一直深受消费者喜爱．今年中秋节，该商家继续售卖甲、乙、丙三种月饼礼盒，已知去年该商家售卖甲、乙、丙三种月饼礼盒的营业额之比为．今年，由于商家加大了促销宣传力度，预计三种月饼礼盒的营业额都会增加，其中甲种礼盒增加的营业额占总增加的营业额的，此时，甲种月饼礼盒的营业额与今年三种月饼礼盒总营业额之比为，为使今年乙、丙两种月饼礼盒的营业额之比为，则今年乙种月饼礼盒增加的营业额与今年总营业额之比为 ． 9．（24-25八年级下·上海宝山·阶段练习）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，若把直线向上平移3个单位长度与交于点B，连接、，则的面积为 ． 10．（24-25八年级下·上海静安·阶段练习）在两地之间有汽车站站，客车由地驶往站，货车由地驶往地．两车同时出发，匀速行驶．客车、货车离站的路程与行驶时间之间的函数图象如图所示．有下列说法：两地相距为；②两小时后，货车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式为；③客车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式为：；④客、货两车在小时相遇．其中正确的有 （填序号．）    11．（24-25八年级下·上海闵行·阶段练习）解方程组：． 12．（24-25八年级下·上海青浦·阶段练习）新定义：如果两个实数，使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”． 例如：，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”， ①（______）；②（______）．若是，请在括号内打“√”若不是，打“×”． (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值． (3)若数对（，且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 13．（24-25八年级下·上海普陀·阶段练习）如图，直角坐标系中，一次函数的图象分别与，轴交于，两点，正比例函数的图象与交于点． (1)求的值及的解析式； (2)求的值； (3)若点为直线上不与点、重合的一个动点．当的面积是5时，求点的坐标； 14．（23-24八年级下·上海长宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点，的坐标分别为和． (1)求反比例函数的解析式； (2)直接写出不等式的解集； (3)连接，求的面积． 15．（23-24八年级下·上海闵行·期末）《九章算术》中记载，浮箭漏（如图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间，某学校数学兴趣小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究，兴趣小组每2h记录一次箭尺读数（箭尺最大读数为），得到如下表： 供水时间x（h） 0 2 4 6 8 箭尺读数y（cm） 6 18 30 42 54 (1)如图②，建立平面直角坐标系，横轴表示供水时间，纵轴表示箭尺读数，请描出以表格中数据为坐标的各点，并连线； (2)观察搞出各点的分布规律，可以知道它是我们学过的什么函数，请结合表格数据，求出该函数的解析式； (3)应用上述得到的规律计算：如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当箭尺读数为时是几点？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中重难点真题特训之压轴满分题型（90题15个考点）专练 【精选最新考试题型专训】 压轴满分题一、分式方程的含参压轴题型 1．（24-25八年级下·上海松江·阶段练习）关于的分式方程：． (1)当时，求此时方程的解． (2)若这个方程的解为正数，求的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】此题主要考查了解分式方程及不等式的解法，注意解分式方程要进行检验是解题关键． （1）直接利用解分式方程的方法求解即可； （2）先解分式方程，然后依据题意求解不等式即可． 【详解】（1）解：当时，分式方程为， 方程两边同乘， 解得， 检验：当时，， 所以当时， 分式方程的解为； （2）， 方程两边同乘， 解得， 这个方程的解为正数， 且， 解得且． 2．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）已知关于x的方程 (1)当时，求方程的解； (2)当m取何值时，此方程无解； (3)当此方程的解是正数时，求m的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)且 【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，将代入计算即可求出x的值； （2）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，将代入计算，即可求出m的值； （3）表示出分式方程的解，由解为正数确定出m的范围即可． 【详解】（1）解：分式方程去分母得：， 整理得：， 当时，， 解得：， 经检验：是原方程的解； （2）解：∵分式方程无解， ∴， ∴， 当时，， ∴时该分式方程无解； （3）解：解关于x的分式方程得：， ∵方程有解，且解为正数， ∴ ， 解得：且． 【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 3．（23-24八年级下·上海闵行·期中）小华在解分式方程时，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚； 解方程 (1)她把这个数“？”猜成，请你帮小华解这个分式方程； (2)小华的妈妈说：“如果方程的增根是，原分式方程无解”，设原分式方程中“？”代表的数为，请你求出的值 (3)小华的妈妈说：“如果方程的解为正数，”设原分式方程中“？”代表的数为，请你求出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)且 【分析】本题主要考查解分式方程，理解增根，分式方程的解为正数，掌握把分式方程化为一元一次方程，解一元一次方程的方法是解题的关键，注意检验根是否使原分式方程有意义． （1）根据解分式方程的方法，去分母化为一元一次方程，再去括号，移项，合并同类项，系数化为1得方法计算，最后检验根，由此即可求解； （2）根据解分式方程的方法可得，把方程的增根是代入计算即可求解； （3）根据解分式方程的方法可得，再根据方程的解为正数可得，同时保证原分式方程有意义，即，由此即可求解． 【详解】（1）解：当“？”猜成时，原式为， ∴， 两边同时乘以去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，， 检验，当时，， ∴原分式方程的解为； （2）解：“？”代表的数为， ∴原式为， ∴， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，， ∵方程的增根是，原分式方程无解， ∴把代入得，， 解得，； （3）解：“？”代表的数为， ∴， ∴， ∴由上述计算可得，， ∵方程的解为正数， ∴， 解得，， ∵，即， ∴， 解得，， ∴且． 4．（24-25八年级下·上海奉贤·阶段练习）新定义：如果两个实数，使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”．例如：，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”（若是，请在括号内打“√”．若不是，打“×”．） ①（   ）； ②（   ）． (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值． (3)若数对（且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 【答案】(1)①×；②√ (2) (3)或 【分析】本题考查了新定义，分式方程的解，学生的理解能力以及知识的迁移能力等知识，理解“关联数对”的定义是解题的关键． （1）根据“关联数对”定义分别判断即可； （2）根据“关联数对”定义计算即可； （3）根据“关联数对”定义计算即可． 【详解】（1）解：当，时， 分式方程为：分式方程，解得：， ∵ 故①的答案为：×， 当，时， 分式方程为：分式方程，方程的解为：， ∵， 故②的答案为：√； （2）解：∵数对是关于x的分式方程的“关联数对”， ∴，， ∴， 解得：； （3）解：∵数对是关于x的分式方程的“关联数对”， ∴，， ∴， ∴， 化简得：， 解得：， ∵关于x的方程有整数解， ∴或， 解得：或或1或， ∵， ∴或． 5．（23-24八年级下·上海宝山·期末）对于形如（、为常数）的分式方程，若，，容易验证，是分式方程的解． 例如：可化为，所以，是方程的解；又如可化为，所以，是方程的解． 根据上面材料解答下列问题： 【材料理解】 （1）方程的两个解分别为______，______（）； 【类比引申】 （2）若，分别是方程的两个解，求的值； 【拓展提升】 （3）若关于的方程的两个解分别为（），求的值． 【答案】（1），；（2）；（3） 【分析】本题属于材料分析题，考查分式方程的解、代数式求值． （1）可以化为，根据题意即可求解； （2）根据，分别是方程的两个解得到 代入即可求解； （3）设，方程可化为，根据题意求出方程的解，代入即可求解． 【详解】解：（1）∵可以化为， ∴方程的两个解分别为，； 故答案为：，； （2）∵，分别是方程的两个解， ∴ ∴ （3）解：由题意得可化为， 设，方程可化为， 易知k和是这个方程的解， ∵k为自然数， ∴， ∴必有，， ∴，， ∴． 压轴满分题二、分式方程的无解与增根压轴题型 6．（2025八年级下·全国·专题练习）关于x的分式方程． (1)当为何值时，分式方程有增根； (2)当为何值时，分式方程无解． 【答案】(1)或 (2)或或 【分析】本题考查解分式方程、分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法以及分式方程的解的定义是解决本题的关键． (1)根据分式方程的增根的定义解决此题． (2)根据分式方程的解的定义解决此题． 【详解】（1）解：， 去分母，得)． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得(． ∵分式方程有增根， ∴ ∴或． （2）解：由()得，． ∵分式方程无解， ∴无解或该分式方程有增根． ∴或或． 7．（24-25八年级下·全国·假期作业）已知，关于的方程：． (1)若方程有增根，求的取值； (2)若方程无解，求的取值； (3)若方程的解为整数，求整数的值． 【答案】(1)若方程有增根，的取值为或 (2)若方程无解，的取值为或或 (3)或 【分析】本题考查了分式方程的增根，解分式方程，掌握分式方程的解法是解题的关键． （）根据分式方程的解法得出，然后将增根代入求解即可； （）分当时原分式方程无解，当或时方程有增根，从而求解； （）由，得，然后根据方程的解为整数得出，，最后求解并检验即可； 【详解】（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 当时，得， 解得； 当时，得， 解得， ∴若方程有增根，的取值为或； （2）解：∵， ∴当时原分式方程无解， ∴， ∵当或时方程有增根， ∴若方程无解，的取值为或或； （3）解：∵， ∴， ∵方程的解为整数， ∴，， 当时，（舍去）； 当时，（舍去）； 当时，； 当时，； ∴或． 8．（23-24八年级下·上海嘉定·课后作业）判断下列各题，正确的在题后括号内打“√”，错误的打“×”. （1）=是关于y的分式方程.    （       ） （2）分式方程=0的解是x=3.       （       ） （3）只要是分式方程，一定出现增根.      （       ） （4）方程=与方程5（x-2）=7x的解相同.     （       ） （5）方程 =－3的两边都乘以（x-2），得1=（x－1）－3. （       ） （6）方程=－3无解.          （       ） （7）方程=的根为x=0.      （       ） （8）方程变形得x=1，而x=1是原方程的增根，故原方程无解.（       ） 【答案】 × × × √ × √ × × 【分析】根据分式方程的定义与概念进行判断. 【详解】解：⑴此选项不符合分式方程的定义 ，错误 ⑵x=±3为分式方程的解，所以错误 ⑶不一定，此命题错误. ⑷正确 ⑸去分母时，漏掉了-3那项，1=（x－1）－3（x-2） ⑹正确 ⑺去分母得:x(x-1)=2x(x+1)，化简得:x(x+3)=0,解得: x1=0,x2=-3,经检验，x=0是原方程的增根，  x=-3是原方程的根，故该命题错误 ⑻解分式方程可得x=1或-1  x=1为增根  x=-1为方程的解，所以该命题错误. 【点睛】本题考查了分式方程的定义，分式方程的解，分式方程的化简和增根，解题的关键是掌握分式方程定义和计算方法. 9．（2024·上海宝山·模拟预测）（1）先化简，再求值：，其中． （2）小丁和小迪分别解方程过程如下： 小丁： 解：去分母，得 去括号，得 合并同类项，得 解得， ∴原方程的解是 小迪： 解：去分母，得 去括号，得 合并同类项，得 解得， 经检验是方程的增根，原方程无解． 你认为小丁和小迪的解法是否正确，若正确，打“√”，如果错误，请写出正确的解答过程 【答案】（1）；；（2）小丁和小迪的解法都不正确，正确过程见解析 【分析】本题考查的是整式的化简求值、分式方程的解法，掌握整式的混合运算法则、解分式方程的一般步骤是解题的关键． （1）根据平方差公式、完全平方公式、合并同类项法则把原式化简，把、的值代入计算即可； （2）根据解分式方程的一般步骤解出方程． 【详解】解：（1）原式 ， 当，时，原式； （2）小丁和小迪的解法都不正确， 正确解法如下：方程两边同乘，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 检验，当时，， 原方程的解是． 10．（23-24八年级下·上海金山·期中）阅读下列材料： 在学习“分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于的分式方程的解为正数，求的取值范围．经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思路，小明说：解这个关于的方程，得到方程的解为，由题目可得，所以，问题解决．小聪说：你考虑的不全面，还必须保证才行． (1)请回答： 的说法是正确的，正确的理由是 ． 完成下列问题： (2)已知关于的方程的解为非负数，求的取值范围； (3)若关于的方程无解，求的值． 【答案】(1)小聪，分式的分母不能为0； (2)且； (3)或． 【分析】（1）根据分式有意义的条件：分母不能为0，即可知道小聪说得对； （2）首先按照解分式方程的步骤得到方程的解，再利用解是非负数即可求出的取值范围； （3）按照解分式方程的步骤去分母得到整式方程，若分式方程无解，则得到增根或者整式方程无解，即可求出的范围． 【详解】（1）解：∵分式方程的解不能是增根，即不能使分式的分母为0 ∴小聪说得对，分式的分母不能为0． （2）解：原方程可化为 去分母得： 解得： ∵解为非负数 ∴，即 又∵ ∴，即 ∴且 （3）解：去分母得： 解得： ∵原方程无解 ∴或者 ①当时，得： ②当时，，得： 综上：当或时原方程无解． 【点睛】本题考查了解分式方程以及根据分式方程的解确定参数范围，重点要掌握解分式方程的步骤：去分母化成整式方程；再解整式方程；验根．理解当分式方程无解时包含整式方程无解和有曾根两种情况． 压轴满分题三、二元二次方程压轴题型 11．（23-24八年级下·上海金山·期中）若规定＝ad﹣bc，如＝2×0﹣3×（﹣1）＝3 （1）计算：； （2）计算：； （3）解方程组：． 【答案】（1）﹣17；（2） 5x+3y；（3） 【分析】（1）根据所给的式子求出代数式的值即可； （2）根据所给的式子得出关于x、y的方程即可； （3）先根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出x、y的值即可． 【详解】解：（1）∵＝ad﹣bc， ∴原式＝﹣2﹣15 ＝﹣17； （2）原式＝5x+3y； （3）由题意可得， 解得． 【点睛】本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法是解答此题的关键． 12．（23-24八年级下·上海徐汇·期中）对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．已知，． （1）求，的值； （2）若关于，的方程组的解也满足方程，求的值； （3）若关于，的方程组的解为，求关于，的方程组的解． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】（1）根据新运算法则及已知条件列出关于a、b的二元一次方程组即可得到解答； （2）由题意可得关于x、y、m的三元一次方程组，利用消元法消去x、y即可得到m的值； （3）令，则由题意可得 ，从而可以求得原方程组的解 ． 【详解】解：（1）由题意可得： 解得； （2）由题意可得： ①+②并整理得：x=m+1， ②-①并整理得：y=3m-2， 把x=m+1，y=3m-2代入③并整理得：4m=4， ∴m=1； （3）解为 对 令， ∴ ∴ ∴①，即 ②，即 【点睛】本题考查二元方程组的解，把二元高阶方程组转化为二元一次方程组求解是解题关键． 13．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）两位同学设计一款填数游戏，根据下图信息解决问题． (1)求，的数量关系； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程，解二元二次方程组等知识点，读懂题意，根据题中的数量关系正确列出方程、方程组及算式是解题的关键． （1）由“②号正方形上四个数的和与③号正方形上四个数的和相等”，可列出关于、的二元一次方程，变形后即可得出结论； （2）由“②号正方形上四个数的和与③号正方形上四个数的和相等，②号正方形上四个数的平方和与③号正方形上四个数的平方和相等”，可列出关于、的二元二次方程组，解方程组即可求出、的值，再结合“①号正方形上四个数的和与②号正方形上四个数的和相等”，即可求出的值． 【详解】（1）解：由题意得： ， ； （2）解：由题意得： ， 解得：， 又， ． 14．（2024·上海奉贤·模拟预测）阅读材料，解答问题 材料：利用解二元一次方程组的代入消元法可解形如的方程组． 如：由（2）得，代入（1）消元得到关于的方程： ， 将代入得：，方程组的解为 请你用代入消元法解方程组： 【答案】， 【详解】解：由（1）得，代入（2）得 化简得： ， 把，分别代入得：， ，． 【点睛】这是阅读理解题，考查学生的阅读理解能力，把二元二次方程组利用代入消元转化成一元二次方程，解出一元二次方程的解，再求另一个未知数的解即可． 15．（23-24八年级下·上海崇明·期中）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5③ 把方程①代入③得：2×3+y＝5，∴y＝﹣1， 所以y＝﹣1代入①得x＝4，∴方程组的解为， 请你解决以下问题： （1）模仿小军的“整体代换”法解方程组， （2）已知x，y满足方程组，求x2+4y2的值与xy的值； （3）在（2）的条件下，写出这个方程组的所有整数解． 【答案】（1）；（2）x2+4y2=17，xy=2；（3）或 【分析】（1）把第2个方程变形为3（3x−2y）＋2y＝19，则利用整体代换消去x，求出y的值，然后利用代入法求出x得到方程组的解； （2）把第2个方程变形为，再与第1个方程相加，即可求解； （3）在（2）的条件下可知x，y同号，进而即可求解． 【详解】解：（1）， 把②变形为9x−6y＋2y＝19，即3（3x−2y）＋2y＝19③． 把①代入③，得3×5＋2y＝19， ∴y＝2． 把y＝2代入①，得3x−2×2＝5， ∴x＝3． ∴方程组的解为； （2）， 把②变形为：③， 由①+③得：，解得：x2+4y2=17， 把x2+4y2=17，代入②得：2×17+xy=36，解得：xy=2， 综上所述：x2+4y2=17，xy=2； （3）在（2）的条件下：x，y同号， ∵x，y为整数， ∴或． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组以及解一元一次方程，掌握解方程组的方法和步骤是关键，注意整体思想的运用． 压轴满分题四、一次函数增减性求最值 16．（23-24八年级下·上海闵行·阶段练习）已知一次函数（k，b是常数，且）的图象经过两点． (1)求该一次函数解析式； (2)若，请分别求出函数y的最大值和最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的性质，关键是要理解函数图象上的点的坐标与函数图象的关系：若点在函数的图象上，那么点的坐标就满足函数的解析式． （1）将点的坐标代入一次函数的解析式中，得到关于，的二元一次方程组，解之即可； （2）根据函数图象的性质及函数的解析式求出的取值即可． 【详解】（1）解：∵点在该一次函数的图象上， ∴， 解得， ∴该一次函数的解析式为． （2）解：∵， ∴该一次函数的函数值随的增大而减小． 当时，； 当时，． ∴当时，该一次函数的函数值的取值范围是． 17．（23-24八年级下·上海宝山·阶段练习）已知表格中的两组对应值满足一次函数． x 0 2 y 2 1 (1)求k，b的值； (2)判断点是否在该函数图像上，并说明理由； (3)当时，求y的最大值． 【答案】(1) (2)不在，理由见解析 (3)3 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，判断点在函数图象上，一次函数的性质等知识． （1）将，分别代入，即可求出k，b的值； （2）将点代入函数解析式，不满足函数解析式，问题得解； （3）根据函数性质得到y的值随x的值的增大而减小，结合自变量取值即可求解． 【详解】（1）解：将，分别代入，得 ， 解得； （2）解：点不在该函数图像上； 理由：由（1）得一次函数解析式为， 当时，， 点P不在该函数图像上； （3）解：， y的值随x的值的增大而减小， 当时，y取最大值对应的， ∴y的最大值为3． 18．（23-24八年级下·上海长宁·期末）学习函数时，王老师带领同学们探索了函数的图象和性质，部分过程如下：自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值如下表所示： … 0 1 2 3 4 … … 3 2 1 0 1 2 3 4 5 … 根据表格中的数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分． (1)请补全该函数的图象； (2)观察该函数图象，写出该函数的一条性质： ________； (3)已知函数（其中为常量），当自变量的取值范围是时，该函数的最大值为，请求出满足条件的的值． 【答案】(1)见解析 (2)对称轴是（答案不唯一） (3)的值为 【分析】本题主要考查了一次函数性质、一次函数的图象等知识点，掌握数形结合是解题的关键． （1）根据表格数据，画出函数图象即可； （2）根据函数图象，写出一条性质即可； （3）在自变量范围内，分、两种情况分别利用一次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：补全函数图象如下： （2）解：函数图象的对称轴是（答案不唯一） （3）解：①若，即，当时，函数取最大值，     ∴，即（舍去）．     ②若，即，当时，函数取最大值，     ∴，即，解得，符合题意． 综上，满足条件的的值为． 19．（23-24八年级下·上海宝山·阶段练习）八年级某数学兴趣小组在学习了一次函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质．其探究过程如下： (1)绘制函数图象， 列表：下表是x与y的几组对应值，其中 ． x … 0 1 2 3 … y … 4 3 2 1 2 3 m … 描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出各点 连线：顺次连接各点，请你把图象补充完整；    (2)通过观察图象，下列关于该函数的性质表述正确的是： ，（填写代号） ①函数值y随x的增大而减小； ②关于y轴对称； ③有最小值1． 【答案】(1)4，图见解析 (2)②③ 【分析】（1）把代入函数解析式，求出y的值即可求得m的值，然后在坐标系内描出各点，再顺次连接即可； （2）根据函数图象即可判断． 【详解】（1）∵当时，； ∴． 描点、连线画出函数图象如图所示；    故答案为：4； （2）通过观察图象， ①函数值y随x的增大而减小，错误； ②关于y轴对称，正确； ③有最小值1，正确． 故答案为：②③． 【点睛】本题考查的是一次函数的性质，根据题意画出函数图象，利用数形结合求解是解答此题的关键． 20．（23-24八年级下·上海宝山·期末）在一次函数的学习中，我们经历了列表，描点，连线画函数图象，结合图象研究函数的性质并对其性质进行应用的过程．小勇对函数y＝的图象和性质进行如下探究，请同学们认真阅读探究过程并解答： (1)小勇列出表格，请同学们求出a，b，并在平面直角坐标系中画出该函数图象； x … 0 1 2 … y … 1 a b … ______；______． (2)根据函数图象，以下判断该函数性质的说法，正确的有______． ①函数图象关于x轴对称； ②此函数无最小值； ③此函数有最大值，且最大值为3； ④当时，y随x的增大而增大． (3)若直线与函数y＝的图象始终有两个交点，请你结合所画函数图象，直接写出k的取值范围． 【答案】(1)画函数图象见解析；3，3 (2)②③④ (3)k的取值范围为 【分析】（1）分别把，代入函数解析式即可得到a，b的值，再利用描点法画图即可； （2）结合函数图象可得答案； （3）如图，由一次函数过定点，当直线经过点，可得，当与平行时，则，从而可得答案． 【详解】（1）解：当时，，所以； 当时，，所以； 画出函数图象如图所示： （2）由图象可知，正确的性质为②此函数无最小值；③此函数有最大值，且最大值为3；④当x＜1时，y随x的增大而增大． （3）如图，∵，当时，， ∴一次函数过定点， 当直线经过点， ∴， ∴， 当与平行时， 则， 若直线与函始终有两个交点， 则． 【点睛】本题考查的是画一次函数的图象，画函数的图象，归纳函数的性质，利用图象法判断两个函数的交点情况，熟练的利用图象解题是关键． 压轴满分题五、一次函数与不等式、方程组 21．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）如图，已知直线与直线相交于点 (1)求直线与直线的解析式； (2)结合图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1)直线的解析式为：，直线的解析式为： (2) 【分析】本题考查了一次函数的交点问题和一次函数与一元一次不等式的关系，读懂图象，弄清一次函数图象的交点与解析式的关系和一次函数与一元一次不等式的关系是解题的关键． （1）把点P的坐标分别代入直线与直线的函数解析式，解方程即可； （2）利用函数图象，写出直线在直线的上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】（1）解：因为点P是两条直线的交点，所以把点分别代入直线：与直线：中，得： ， 解得，． ∴直线的解析式为：，直线的解析式为：； （2）当时，的图象在的上方， 所以，不等式的解集是． 22．（23-24八年级下·上海金山·期中）如图所示，在同一个坐标系中一次函数和的图象，分别与轴交于点，两直线交于点，已知点坐标为，点B坐标为，观察图象并回答下列问题： (1)关于的方程的解是______；关于的不等式的解集是______； (2)直接写出关于的不等式组解集是______； (3)若点坐标为，关于的不等式的解集是______． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题主要考查一次函数与一元一次不等式、一次函数与一元一次方程，数形结合思想是解题的关键． （1）利用直线与轴的交点即为时，对应的的值，进而得出答案； （2）利用两直线与轴的交点坐标，结合图象即可得出答案； （3）利用图象即可求出答案． 【详解】（1）解： 一次函数和的图象，分别与轴交于点、点， 关于的方程的解是， 关于的不等式的解集是； （2）解：根据图象可得关于的不等式组解集为； （3）解：点， 结合图象可知，不等式的解集是． 23．（23-24八年级下·上海长宁·期末）如图，已知一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A和点B，直线l的解析式为． (1)求点A和点B的坐标； (2)当直线l经过原点时，求直线l与直线的交点坐标，并直接写出方程的解； (3)若直线l与线段有交点时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)交点坐标为，解为； (3)且 【分析】题目主要考查一次函数的图象的性质，与二元一次方程组的关系等，理解题意，结合图象，熟练掌握运用一次函数的性质是解题关键． （1）根据题意当时，，当时，，即可求解； （2）当直线l经过原点时，确定，直线l的解析式为，联立两个一次函数即可得出交点坐标，确定方程的解； （3）根据题意得出直线l恒过点，再分当直线l经过时，当直线l经过时，结合图象求解即可． 【详解】（1）解：， 当时，，当时，， ∴； （2）当直线l经过原点时， 将点代入得：， 解得：， 直线l的解析式为， 联立两个一次函数：，解得， ∴交点坐标为， ∴方程的解为； （3）直线l的解析式为， ∴直线l恒过点， ， 当直线l经过时，，解得； 当直线l经过时，，解得； ∴且． 24．（23-24八年级下·上海杨浦·期中）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助我们理解数学问题．如图1，已知一次函数（k、b为常数，且）的图象． (1)方程的解为______，不等式的解集为______； (2)若正比例函数（m为常数，且）与一次函数相交于点P（如图2），则不等式组的解集为______； (3)比较与的大小（根据图象直接写出结果）． 【答案】(1)， (2) (3)当时，；当时，；当时， 【分析】（1）根据点A的坐标即可方程的解，再根据点B的坐标即可得不等式的解集； （2）根据函数图象分别求出不等式和不等式的解集，再找出它们的公共部分即可得不等式组的解集； （3）根据点P的横坐标，分、、三种情况，结合函数图象即可． 【详解】（1）解：由函数图象可知，方程的解为，不等式的解集为， 故答案为：，； （2）解：由函数图象可知，不等式的解集为，不等式的解集为，则这个不等式组的解集为， 故答案为：； （3）解：由函数图像可知， 当时，， 当时，， 当时，． 【点睛】本题考查一次函数与方程、不等式，熟练掌握函数图象是解题的关键． 25．（24-25八年级下·上海普陀·阶段练习）已知一次函数与． (1)在同一平面直角坐标系中，画出它们的图象； (2)直线，与轴分别交于点，，请写出，两点的坐标； (3)根据图象，写出方程组的解． 【答案】(1)画图见解析； (2)，； (3)． 【分析】（）根据画函数图象的步骤即可求解； （）当时，，，即可求出，两点的坐标； （）根据图象即可求出方程组的解； 本题考查了一次函数与二元一次方程组，一次函数的性质，画函数图象，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：列表： 如图， （2）解：当时，，， ∴，； （3）解：根据图象可知：方程组的解为． 压轴满分题六、无理方程的阅读材料问题 26．（23-24八年级下·上海松江·阶段练习）阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出x的值． 解方程： 提示：可以用“换元法”解方程． 解；设，则有． 原方程可化为： 续解： 【答案】， 【分析】利用直接开平方法解一元二次方程，得到，，根据可得不符合题意，然后解方程，进而进行检验确定原方程的解． 【详解】解：， ∴，， ∵， ∴， 则有，配方，得：， 解得：， 经检验：，是原方程的根． 【点睛】本题考查了无理方程，解无理方程的基础思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法，注意：用乘方法来解无理方程，往往会产生增根，应注意检验． 27．（23-24八年级下·上海宝山·阶段练习）阅读题：各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想一一转化，把未知转化为已知．无理方程（根号下含有未知数的方程），可以通过方程两边平方把它转化为，可得．通过“方程两边平方”解方程，有可能产生增根，必须对解得的根进行检验．例如，把方程两边平方，得，解得，．经检验，不是原方程的根，是增根．根据上述思想方法，解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（1）根据平方，可得整式方程，解整式方程并检验可得答案； （2）根据平方，可得整式方程，解整式方程并检验可得答案． 【详解】（1）解：两边平方，得， ， 解得，， 经检验，，均为原方程的解， 故原方程的解为：，； （2）两边平方，得， 解得，， 经检验，不是原方程的解，为原方程的解， 故原方程的解为：． 【点睛】本题考查了解无理方程以及一元二次方程，熟练掌握转化的思想是解题的关键． 28．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）下面是小明同学解无理方程3﹣＝x的过程： 原方程可变形为3﹣x＝……（第一步） 两边平方，得3﹣x＝2x﹣3……（第二步） 整理，得﹣3x＝6……（第三步） 解得x＝2……（第四步） 检验：把x＝2分别代入原方程的两边，左边＝3﹣＝2，右边＝2，左边＝右边，可知x＝2是原方程的解．……（第五步） 所以，原方程的解是x＝2．……（第六步） 请阅读上述小明的解题过程，并完成下列问题： （1）以上小明的解题过程中，从第 　 　步开始出错； （2）请完成正确求解方程3﹣＝x的过程． 【答案】（1）二；（2）见解析 【分析】（1）移项后两边平方即可； （2）先移项，再两边平方，求出方程的解，最后进行检验即可． 【详解】解：（1）以上小明的解题过程中，从第二步开始出错， 故答案为：二； （2）， 移项，得， 两边平方，得（3-x）2=2x-3， 整理得：x2-8x+12=0， 解得：x1=2，x2=6， 经检验：x=2是原方程的解，x=6不是原方程的解， 所以原方程的解是x=2． 【点睛】本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键． 29．（2024八年级下·全国·专题练习）阅读下列材料，解决问题： 求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解，求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想﹣转化，把未知转化为已知． 用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程例如：一元三次方程x3+x2﹣2x＝0，可以通过因式分解把它转化为x（x2+x﹣2）＝0，解方程x＝0和x2+x﹣2＝0，可得方程x3+x2﹣2x＝0的解． （1）方程x3﹣6x2﹣16x＝0的解是x1＝0，x2＝　　，x3＝　　； （2）用“转化”的思想求方程（x2+x﹣2）2+（2x2﹣7x+6）2＝（3x2﹣6x+4）2的解； （3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD＝8m，宽AB＝3m，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求AP的长． 【答案】（1）﹣2，8；（2）x1＝﹣2，x2＝1，x3＝，x4＝2；（3）4米 【分析】（1）因式分解多项式，然后得结论； （2）分析方程的结构，发现（x2+x﹣2）2+（2x2﹣7x+6）2＝（3x2﹣6x+4）2，所以有（x2+3x﹣4）2+（2x2﹣7x+6）2＝[（x2+x﹣2）+（2x2﹣7x+6）]2，得到2（x2+3x﹣4）（2x2﹣7x+6）＝0，然后得到两个一元二次方程，求出方程有四个根； （3）设AP的长为xm，根据勾股定理和BP+CP＝10，可列出方程，由于方程含有根号，两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解． 【详解】解：（1）x3﹣6x2﹣16x＝0， x（x2﹣6x﹣16）＝0， x（x+2）（x﹣8）＝0 所以x＝0或x+2＝0或x﹣8＝0 ∴x1＝0，x2＝﹣2，x3＝8； 故答案为：﹣2，8； （2）（x2+x﹣2）2+（2x2﹣7x+6）2＝（3x2﹣6x+4）2 （x2+x﹣2）2+（2x2﹣7x+6）2＝[（x2+x﹣2）+（2x2﹣7x+6）]2﹣2（x2+x﹣2）（2x2﹣7x+6）＝（3x2﹣6x+4）2 2（x2+x﹣2）（2x2﹣7x+6）＝0 （x2+x﹣2）（2x2﹣7x+6）＝0 （x+2）（x﹣1）（2x﹣3）（x﹣2）＝0 x+2＝0或x﹣1＝0或2x﹣3＝0或x﹣2＝0． 解得x1＝﹣2，x2＝1，x3＝，x4＝2； （3）因为四边形ABCD是矩形， 所以∠A＝∠D＝90°，AB＝CD＝3m 设AP＝xm，则PD＝（8﹣x）m 因为BP+CP＝10， BP＝，CP＝． ∴＝10 ∴＝10﹣． 两边平方，得（8﹣x）2+9＝100﹣20+9+x2 整理，得5＝4x+9 两边平方并整理，得x2﹣8x+16＝0 即（x﹣4）2＝0 所以x＝4． 经检验，x＝4是方程的解． 答：AP的长为4m． 【点睛】本题考查矩形的性质、解一元二次方程-因式分解法、无理方程、一元二次方程的应用，理解相关性质和计算法则是解题关键． 30．（2024·上海闵行·一模）阅读下列两则材料，回答问题： 材料一：我们将与称为一对“对偶式”因为，所以构造“对俩式”相乘可以有效地将和中的去掉.例如：已知，求 的值．解：， 材料二：如图，点，点，以AB为斜边作，则，于是，，所以.反之，可将代数式的值看作点到点的距离. 例如：=． 所以可将代数式的值看作点到点的距离． 利用材料一，解关于x的方程：，其中； 利用材料二，求代数式的最小值，并求出此时y与x的函数关系式，写出x的取值范围； 将所得的y与x的函数关系式和x的取值范围代入中解出x，直接写出x的值． 【答案】（1）；（2）①，；②. 【分析】根据理解材料一的内容进行解答，比对这题很容易解决． 中把根式下的式子转化成平方平方的形式，转化成点到点的距离问题，根据两点之间距离最短，所以当三个点共线时距离最短，可以求出最小值和函数关系式 中也根据材料二的内容来解答求出x的值． 【详解】根据材料一； , ， ， , , 解得：, ； 解：由材料二知： ， ， 可将的值看作点到点的距离 的值看作点到点的距离， ∴ ， 当代数式取最小值， 即点与点，在同一条直线上，并且点位点的中间， 的最小值 =， 且， 设过，，的直线解析式为： ， 解得：， ； 中， ， (ⅰ), 又 (ⅱ) 由(ⅰ)得：， 解得：舍， ， 的值为. 【点睛】本题是材料阅读题，属于新定义题，理解新定义的内容是解题的关键. 压轴满分题七、分式方程的实际综合应用 31．（23-24八年级下·上海静安·期末）为改善道路通行条件，某市在周年国庆前夕将城市一段主干道进行拓宽改造．该项工程若由甲工程队单独施工，恰好能在规定时间内完成；若由乙工程队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的倍．如果由甲、乙两个工程队先合作施工天，那么余下的工程由甲工程队单独施工还需天完成． (1)求这项工程的规定时间是多少天？ (2)已知甲工程队每天的施工费用为万元，乙工程队每天的施工费用为万元．为了缩短工期以减少对交通的影响，工程指挥部决定该工程由甲、乙两个工程队合作来完成，则该工程的施工费用是多少？ 【答案】(1)天 (2)万元 【分析】（）设这项工程的规定时间是天，根据题意列出方程即可求解； （）根据（）的结果求出甲、乙两队合作完成所需的时间，进而列式计算即可； 本题考查了分式方程的应用，有理数混合运算的实际应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设这项工程的规定时间是天， 由题意得， ， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 答：这项工程的规定时间是天； （2）解：该工程由甲、乙两队合作完成，所需时间为天， 则该工程的施工费用是 万元， 答：该工程的施工费用为万元． 32．（24-25八年级下·上海金山·阶段练习）第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日在黑龙江省哈尔滨市开幕，吉祥物“滨滨”和“妮妮”均以东北虎为原型创作而成，两款毛绒玩具销售火爆．阅读下列素材解决问题． “滨滨”和“妮妮” 素材1 “滨宾”的单价比“妮妮”的单价少40元； 素材2 购买“滨滨”和“妮妮”的费用分别为8000元和5600元； 素材3 “滨滨”的数量是“妮妮”的数量的2倍． 问题解决 求吉祥物“滨滨”的单价． 【答案】“滨滨”的单价为100元 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设“滨滨”的单价为元，则“妮妮”的单价为 元，根据购买“滨滨”和购买“妮妮”的费用分别为8000元和5600元，且“滨滨”的数量是“妮妮”的数量的2倍，列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：“滨滨”的单价为元，则“妮妮”的单价为 元，由题意得： ， 解得：， 经检验，为原分式方程的解，且符合题意， 答：“滨滨”的单价为100元． 33．（24-25八年级下·上海崇明·阶段练习）如图1，在底面积为、高为长方体水槽内放入一个长方体烧杯，以恒定不变的流量速度先向烧杯中注水，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽为止，此过程中，烧杯本身的质量、体积忽略不计，烧杯在大水槽中的位置始终不改变，水槽中水面上升的高度（厘米）和注水时间（秒）之间的关系如图2所示． (1)图2中，点________表示烧杯中刚好注满水，点________表示水槽中水面恰与烧杯中水面平齐； (2)求注水的速度； (3)烧杯的底面积是________，注满水槽所需要的时间为________秒． 【答案】(1)A；B； (2)立方厘米/秒 (3)20；180 【分析】题目主要考查根据函数图象获取相关信息及分式方程的应用，理解题意，结合图象获取信息是解题关键． （1）由函数图象可以得出点A表示烧杯刚好注满水，点B表示水槽中水面刚好与少烧杯中水面齐平； （2）根据图象得当注水时间为90秒时，水槽的高度的10厘米，求出体积，然后除以时间即可； （3）设烧杯的底面积为x，根据题意列出方程求解即可确定底面积；再由图象即可确定注满水的时间． 【详解】（1）解：由图象得，点A表示烧杯中刚好注满水，点B表示水槽中水面恰与烧杯中水面平齐， 故答案为：A；B； （2）根据题意得，当注水时间为90秒时，水槽的高度的10厘米， ∴注入的水的体积为立方厘米， ∴注水速度为：立方厘米/秒； （3）设烧杯的底面积为x， 根据题意得：， 解得：， 经检验：为原分式方程的解， ∴烧杯的底面积是； 根据图象得：注水90秒，水槽的高度为10厘米， ∴要注满20厘米的水槽，需要的时间为秒； 故答案为：20；180． 34．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）年，在国家实行报废补贴、以旧换新利好政策的推动下，小明的爸爸准备换车，看中了两款价格相同的国产车．请帮小明父子解决以下问题： 燃油车 新能源车 油箱容积：升 电池容量：千瓦时 油价：元/升 电价：元/干瓦时 续航里程：千米 续航里程：干米 每千米行驶费用：元 每千米行驶费用： 元 (1)用含a的式子表示新能源车的每千米行驶费用 元（结果为最简）． (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元． 分别求出这两款车的每千米行驶费用． 若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为元和元．每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用＋年其他费用） 【答案】(1)； (2)燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元；当每年行驶里程大于千米时，买新能源车的年费用更低． 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，列代数式，解题关键是明确题意，列出相应方程与不等式． （1）用总电量乘以电的单价，再除以总里程，列出代数式，再化简即可； （2）根据燃油车每千米的行驶费用比新能源车多元，列出分式方程，求解即可； 设每年行驶里程为千米时，根据新能源车的年费用更低，列出不等式，求解即可． 【详解】（1）解：， 即新能源车的每千米行驶费用为元， 故答案为：； （2）解：燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元， ， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ，， 答：燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元； 设每年行驶里程为千米， 由题意，得， 解得， 答：当每年行驶里程大于千米时，买新能源车的年费用更低． 35．（23-24八年级下·上海宝山·期末）2024年中央一号文件强调“强化农业科技支撑”．为充分发挥科技生产力对农业发展的作用，某地与农业大学合作开发小麦试验田，并利用机械化播种、收割小麦． (1)现有A，B两种小麦播种机，A型播种机比B型播种机每小时多播种，A型播种机播种所用时间与B型播种机播种所用时间相等，两种播种机每小时分别播种多少小麦？ (2)如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分．“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形．两块试验田的小麦都收获了． ①哪种小麦的单位面积产量高？ ②请直接写出高的单位面积产量是低的单位面积产量的_____倍（用含的代数式表示）； (3)一台小麦收割机的工作效率相当于一个农民工作效率的150倍，用这台收割机收割小麦比100个农民人工收割这些小麦要少用，这台收割机每小时收割多少小麦？ 【答案】(1)A型播种机每小时播种小麦，B型播种机每小时播种小麦 (2)①“丰收2号”小麦的单位面积产量高；② (3)这台收割机每小时收割小麦 【分析】本题考查分式方程的应用，列代数式． （1）设B型播种机每小时播种小麦，型播种机每小时播种小麦，根据题意列分式方程，解方程并检验可得答案； （2）①分别求出“丰收1号”和“丰收2号”单位面积产量，再用作差法来比较大小，即可得出结论； ②用高的单位面积产量除低的单位面积产量，化简即可得出答案； （3）设这台收割机每小时收割小麦，根据“用这台收割机收割小麦比100个农民人工收割这些小麦要少用”列分式方程，解方程并检验可得答案． 【详解】（1）解：设B型播种机每小时播种小麦，型播种机每小时播种小麦， 根据题意得， 解得． 检验：当时，， 原分式方程的解为， A型播种机每小时种植， 答：A型播种机每小时播种小麦，B型播种机每小时播种小麦； （2）解：①“丰收1号”小麦的试验田面积是，单位面积产量是， “丰收2号”小麦的试验田面积是，单位面积产量是， ， ，． ． ． ． “丰收2号”小麦的单位面积产量高； ②∵， ∴高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍； 故答案为：； （3）解：设这台收割机每小时收割小麦， ， 解得， 检验：当时，． 原分式方程的解为． 答：这台收割机每小时收割小麦． 压轴满分题八、一次函数动点问题 36．（23-24八年级下·上海嘉定·期中）如图①，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与，轴分别交于，两点，正比例函数的图象与交于点． (1)求、的值； (2)已知点是直线上的一个动点．连接，当的面积是面积的倍时，求点的坐标； 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题主要考查两直线的交点，两直线相交，待定系数法求函数解析式、三角形的面积及分类讨论思想等． （1）将代入，，即可求解． （2）设，根据的面积是面积的倍，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，代入，， 得， 解得：， （2）解：由（1）可得 ∵点是直线上的一点， 由一次函数的图象与，轴分别交于，两点， 当时，；当时，，解得：， ∴， ∵ ∴ 设， ∵的面积是面积的倍， ∴， ∴， 解得：或， 当时， 当时， ∴或． 37．（24-25八年级下·上海·阶段练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，与轴交于点． (1)求一次函数的解析式； (2)设为线段上的一个动点（不包括两点），过点作轴交反比例函数图象于点，当的面积是3时，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求解析式，灵活运用这些性质解决问题是解题关键．     （1）先求出，再利用待定系数法即可求解； （2）设点的坐标为，则，由，即可求解． 【详解】（1）解：把代入中，得： ， 又∵在一次函数的图象上， ， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：当时，， ∴， 设点的坐标为，则， ， ∴， 解得：，（不合题意，舍去）， ． 38．（24-25八年级下·上海·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，，连接BD，动点P从点A出发沿折线方向运动，动点Q从点C出发沿方向运动，动点P，Q的运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点D时，P，Q两点时同时停止运动，连接DP，BQ．设运动的时间为x秒，记的面积为，的面积与的面积之比为． (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（结果保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】(1)， (2)见解析，当时，随的增大而增大 (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，掌握一次函数与反比例函数综合应用是解题的关键． （1）由勾股定理得到，当点P在上时，， 当点P在上时，过点A作于E，根据等面积法求出，则，再求出，，由此可求出； （2）根据（1）所求画出对应的函数图象，再写出对应函数的性质即可； （3）求出两函数的交点坐标，根据函数图象找到函数图象在函数图象下方方时自变量的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∵， ∴ 在中，，， ∴, 如图1，当时，如图1， ∴，即； 当时，如图2，过点A作 ∵， ∴； 而 ∴，即 综上，； ∵ ∴，， ∴； （2）解：①画的图象： 列表： x 1 2 3 8 y 2 4 6 0 描点，连线，如图： 画的图象， 列表得， x 1 2 4 5 y 8 4 2 1.6 描点，连线，如图： 性质：当时，随的增大而增大； （3）解：联立方程组， 解得，或（舍去） 联立方程组 整理得，， 解得，或， 由函数图象可知，当或时，． 39．（23-24八年级下·上海宝山·期中）建立模型： （1）如图1，等腰直角三角形的直角顶点在直线上． 过点作交于点， 过点作交于点， 求证：； （2）如图2，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点A，B， 将直线绕点顺时针旋转得到， 求的函数表达式； （3）如图3，在平面直角坐标系，点， 过点作交于点， 过点作交于点， 为线段上的一个动点，点位于第一象限． 问点能否构成以点为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出的值； 若不能， 请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）先说明，然后再根据即可证明结论； （2）先由题意确定、点坐标，根据全等三角形的判定与性质确定点C的坐标，然后运用根据待定系数法求得的解析式； （3）作线段的中垂线记为，由等腰三角形的性质可知，若点存在， 则一定在上；然后分点在的上方和下方两种情况，分别根据全等三角形的性质列出关于的方程求解即可． 【详解】解：（1）由题意可知， 为等腰直角三角形 ∴ ， 在中 ． （2）由题意意可知点坐标为，点坐标为 过点作交于点， 过点C作轴交轴于点， 由（1）的证明可知 点坐标为， 设 过点 解得 ． （3）如图：作线段的中垂线记为，由等腰三角形的性质可知，若点存在， 则一定在上． ①当点在下方时 过点作轴交于点， 则交于点， 由（2）同理可得出， ， 即 解得， 则点与点位于第一象限相矛盾， 故舍去 ②当点在上方时 过点分别作轴交于点， 则的延长线交于点， 由（2）同理可得出， ， 即 解得， 则点符合题意． 综上，． 【点睛】本题主要考查了一次函数综合题、全等三角形的判定、全等三角形的性质、用待定系数法求函数解析式等知识点，利用全等三角形的性质得出关于的方程是解题关键． 40．（23-24八年级下·上海静安·期末）如图1，平面直角坐标系中，直线的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线的图象过点A，并且与y轴交于点C． (1)求A，B两点的坐标及b的值； (2)如图2，动点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向运动．过点P作x轴的垂线，分别交直线于点D，E．设点P运动的时间为t，点D的坐标为_____________，点E的坐标为_____________；（均用含t的式子表示） (3)在（2）的条件下，当点P在线段上时，探究是否存在某一时刻，使?若存在，求出此时的面积；若不存在说明理由； (4)一次函数的图象为，且不能围成三角形，直接写出k的值． 【答案】(1)点A的坐标为，点B的坐标为， (2) (3)存在，，的面积为 (4)或 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，直线与x轴垂直时点的坐标特点，两点间距离的求法是解题的关键． （1）将代入，求出点A的坐标为，同理求出点B的坐标为；将代入，求出b的值； （2）由（1）知，直线的表达式为，根据P点运动情况可知点，再根据轴分别求出； （3）求出，利用，即可求解； （4）当过点A以及和平行时，满足题设要求，即可求解． 【详解】（1）解：令，则， 解得，， ∴点A的坐标为， 令，则， ∴点B的坐标为， 将代入，得， 解得； （2）解：由（1）知，直线的表达式为， 设点， ∵轴， ∴， 故答案为：； （3）解：存在t，使，理由如下： ∵点P在线段上， ∴， 由（2）知， ∴， ∵点B的坐标为， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴； （4）解：当过点A以及和平行时，满足题设要求， 当过点A时，将点A的坐标代入得：，则， 当和分别平行时，或， 综上，或． 压轴满分题九、一次函数翻折问题 41．（23-24八年级下·上海宝山·期末）在平面直角坐标系中，直线经过点，交轴于点． (1)求直线所对应的函数表达式． (2)若点是轴上一点，连接．当的面积为时，直接写出点的坐标． (3)已知线段的端点坐标分别为，． ①当直线与线段有交点时，求的取值范围． ②已知点是直线上一点，其横坐标为．过点作直线轴，将直线在直线上方部分记作，在直线上及其下方的部分记为，将沿直线向下翻折得到，和两部分组成的图象记为．当图象与线段只有一个公共点时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)点或 (3)①；②图象与线段只有一个公共点时，的取值范围为：． 【分析】本题考查一次函数于几何的综合，解题的关键是掌握一次函数的图象和性质，待定系数法求解函数解析式，学会数形结合的解题思路，进行解答，即可． （1）根据待定系数法求出直线表达式，即可； （2）设点，由题意可得，点到的距离为，根据的面积为时，可得，求出，即可； （3）①线段的端点坐标分别为，，可得直线与直线的交点为，根据直线与线段有交点时，则或，解出；②根据题意，可得：；：，将沿直线向下翻折得到，过点作直线轴于点，过点作轴交轴于点，在直线上取点，，过点作的垂线交直线于点，交直线于点，求出的函数表达式，分类讨论：点于直线有一个交点时，点只能在直线上或在直线下方，求出的取值范围，即可． 【详解】（1）解：∵直线经过点，交轴于点， ∴ 解得： ∴ ∴直线所对应的函数表达式为：． （2）解：设点， 由题意可得，点到的距离为， ∵的面积为时， ∴， 解得：或， ∴点或． （3）解：①线段的端点坐标分别为， ∴直线与直线的交点为 ∴直线与线段有交点时，则或（无解） ∴； ②当时，， ∴， 由题意可得，：；：， ∵将沿直线向下翻折得到，过点作直线轴于点，过点作轴交轴于点，在直线上取点，，过点作的垂线交直线于点，交直线于点， ∴点的横坐标为， ∴点的横坐标为， ∵点在直线 ， ∴， ∴点， ∴点， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为 ∴沿直线翻折得到：； 点与直线有一个交点时，点只能在直线上或在直线下方 由图可得，， 解得：； 当点与点重合时，点在直线上，此时点与直线有一个交点， ∴， 由可得：， 当点在直线下方，点与相交时，， 解得：， ∴， 解得：， 由可得：； 当与相交时，， ∴， 由和，可得， 由和，可得， ∴图象与线段只有一个公共点时，的取值范围为：． 42．（23-24八年级下·上海闵行·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴相交于、两点，点在线段上，以为直角边作等腰直角，，点恰好落在直线上． (1)求k、b的值； (2)求点D的坐标； (3)若将沿直线翻折到直角坐标系平面得，求过点且与直线平行的直线的解析式． 【答案】(1)， (2) (3)解析式为 ． 【分析】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，两直线平行问题，等腰直角三角形的性质，翻折的性质等知识，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）将、两点代入即可求解； （2）过点作轴于点．设，根据可证明，可得，，由点恰好落在直线上即可求解； （3）连接交于，由翻折得，，根据等腰三角形的性质可得，可得，设过点且与直线平行的直线的解析式为，将代入即可求解． 【详解】（1）一次函数的图象与轴、轴相交于、两点， ， 解得， 即，； （2）过点作轴于点． 设， 是等腰直角三角形， ，， ，， ， ； ，， ， ，， 直线的解析式为， 点恰好落在直线上， ， 解得， ； （3）连接交于， 由翻折得，， 是等腰直角三角形， ， ，，， ， 设过点且与直线平行的直线的解析式为， 将代入得， 解得， 过点且与直线平行的直线的解析式为． 43．（24-25八年级下·上海嘉定·阶段练习）已知，在如图所示的网格中建立平面直角坐标系后，三个顶点的坐标分别为． (1)画出关于y轴的对称图形； (2)借助图中的网格，请只用直尺（不含刻度）完成以下要求：在x轴上画出一点Q，使得的周长最小，则Q点的坐标_______； (3)再把向下平移3个单位得到．若内有一点，则点P经上述翻折、平移后得到的点的坐标是_______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析； (3) 【分析】（1）根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同找到A、B、C对应点的位置，再顺次连接即可； （2）作点A关于x轴的对称点G，连接交x轴于Q，则点Q即为所求； （3）根据上下平移纵坐标相加减，横坐标不变即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图，作点A关于x轴的对称点G，连接交x轴于Q，则点Q即为所求； 连接， 根据轴对称可知：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小， ∵为定值， ∴最小，即的周长最小， 设直线的解析式为：， 把，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴点Q的坐标为； （3）解：∵把向下平移3个单位得到．内有一点， ∴点P经上述翻折、平移后得到的点的坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称和平移，轴对称最短路径问题，求一次函数解析，熟练掌握相关知识是解题的关键． 44．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）如下图．分别以长方形的边所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，已知，点E在线段上，把以直线为轴进行翻折，点O的对应点恰好落在线段上． (1)分别求点D，E的坐标． (2)如下图，若直线与x轴相交于点F，求直线表达式及点F的坐标． (3)若点P是x轴上的一动点，是否存在以A，D，P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)， (3)存在，点P的坐标为或或或 【分析】（1）由折叠的性质以及勾股定理，可得的长，可得，设，则，再由，可求出x的值，即可求解； （2）求出直线的解析式，即可求解； （3）根据等腰三角形的性质分类讨论可得点P的坐标． 【详解】（1）解：如图1，由折叠得：， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴； （2）解：设的解析式为：， 根据题意得：， 把和代入得： ，解得：， ∴的解析式为：， 当时，， ∴， ∴点F的坐标为； （3）解：①设点， ∵，，， ∴， 当时，， ∴， ∴点， 当时，， ∴， ∴点， 当时，， ∴， ∴点P的坐标为或； 综上，点P的坐标为或或或． 【点睛】本题是一次函数的几何应用．涉及了翻折的性质，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题． 45．（23-24八年级下·上海长宁·期末）探究与应用 【探究发现】 某数学小组的同学在学习完函数及一次函数后，掌握了函数的探究路径，即：定义→图像→性质→应用，他们尝试沿着此路径探究下列情景问题： 点A是数轴上一点，表示的数是2；点B是数轴上一动点，若它表示的数是x，的距离为．随着x的变化，的距离y会如何变化呢？ (1)数学小组通过列表得到以下数据： 0 1 2 3 4 5 4 m 2 1 0 1 2 3 其中m= ． 数学小组发现给定一个x的值，就会有唯一的一个y值与之对应，y是x的函数吗？ （填“是”或“不是”）； (2)请通过描点、连线画出该函数图象，并根据函数图象写出该函数的一条性质： ； 【应用拓展】 (3)若点，均在该函数图像上，请直接写出a，b满足的数量关系： ； (4)将该函数图象在直线上方的部分保持不变，下方的图象沿直线进行翻折，得到新函数图象，若一次函数与该函数图象只有一个交点，则k的取值范围为 ． (备注：直线y = 2即过点且与x轴平行的直线．) 【答案】(1)3，是 (2)见解析 (3)（或） (4)或 【分析】本题主要考查函数的图象和性质： （1）根据数轴上两点间距离公式求m，根据函数的定义判断是否为函数； （2）根据表格中数据描点连线，再根据所得图象写出一条性质即可； （3），关于直线对称，据此求解； （4）作出翻折后新函数图象，如图，求出一次函数图象与直线及平行时的k值，即可得出答案． 【详解】（1）解：点B表示的数是，的距离为， 给定一个x的值，就会有唯一的一个y值与之对应，因此y是x的函数， 故答案为：3，是； （2）解：依题意得： 所画函数图象如图所示 函数的性质：①该函数图象关于直线对称；②当时，函数有最小值0；③当时，y随x的增大而增大；④当时，y随x的增大而减小；（以上写对一条或言之有理即得分） （3）解：由（2）中函数图象可得：，关于直线对称， ， ， 故答案为：； （4）解：翻折后新函数图象如下图所示： 对于一次函数，无论k取何值，当时，值一定为3， 因此一次函数图象过定点， ∵原函数得解析式为：， ∴新函数的解析式为：， 结合函数图象可知，直线解析式中k值为1，直线解析式中k值为， 若一次函数图象与直线平行，则； 若一次函数图象与直线平行，则， 当或时，一次函数与该函数图象只有一个交点， 故答案为：或． 压轴满分题十、一次函数规律问题 46．（23-24八年级下·上海杨浦·期末）如图1，直线与轴交于点，直线与轴交于点，、交于轴上一点． (1)求直线所对应的函数表达式； (2)求证：； (3)规律探究：将向左平移个单位长度得到图2，与轴交于点，在的延长线上取一点，使，连接交轴于点．请探究向左平移的过程中，线段的长度的变化情况． 【答案】(1) (2)见解析 (3)在向左平移的过程中，线段的长度不变 【分析】（1）先求出A点坐标，然后用待定系数法即可求出直线的解析式． （2）先求出点和点的坐标，得出，根据线段垂直平分线的性质定理即可证明； （3）过点作轴，证明，算出，再证明，即可得出，即可解答． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴点的坐标为， 设直线的表达式为， 把，代入得， 解得：， ∴直线的表达式为； （2）证明：令，有， 解得：， 则点坐标为； 令，有，解得：， 故点的坐标为； ∴， 又∵， ∴． （3）解：的长度不变，理由如下： 过点作轴， ∴， 由（2）可知， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴． ∴在向左平移的过程中，线段的长度不变． 【点睛】本题主要考查一次函数的性质，涉及待定系数法求一次函数解析式、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质．解题的关键是作辅助线并证明三角形全等． 47．（23-24八年级下·上海长宁·期末）小亮和妈妈去超市买凳子，小亮发现把凳子按如图方式叠放在一起时，每叠放一个凳子，增加的高度是一样的．下表是叠放凳子的总高度与凳子数量的几组对应值． 凳子的数量（张） 1 2 3 4 … 叠放凳子的总高度（厘米） 45 50 55 60 … 根据以上信息，回答下列问题： (1)按照表格所示的规律，当凳子的数量为6时，叠放的凳子总高度为______厘米； (2)按照表格所示的规律，写出叠放的凳子总高度h与凳子的数量n之间的关系式______； (3)按照表格所示的规律，若将该种凳子按如图方式叠放在层高为92厘米的超市货架上，能叠放11张凳子吗？说明理由． 【答案】(1)70 (2)（是正整数） (3)不能能叠放11个．理由见解析 【分析】本题考查一次函数的应用，有理数四则混合运算的应用，找到数据变化的规律并求出函数关系式是解题的关键． （1）每叠放一个凳子，增加的高度是5厘米，据此作答即可； （2）根据“总高度的增加量凳子数量每叠放一个凳子增加的高度”写出h与n的关系式，并标明n的取值范围即可； （3）将代入（2）中得到的关系式，求出对应h的值并与92比较大小即可得出结论． 【详解】（1）解：由表格中的数据可知，凳子数量每增加1，叠放凳子的总高度就增加5， 当凳子的数量为6时，叠放的凳子总高度为厘米， 故答案为：70； （2）解：由题意得， 故答案为：（是正整数）； （3）解：不能能叠放11个．理由如下： 当时，， 不能叠放11个． 48．（23-24八年级下·上海虹口·期中）如图，梯形的下底是，高是，设梯形较短的上底为，面积为，面积y随上底x的变化而变化． (1)在这个变化过程中， _______是自变量，________是因变量． (2)y与x的关系式为：________________； (3)请根据关系式填写表格： x 1 2 2．5 ______ 8 y 33 ______ ______ 45 ______ (4)小亮用图2的图象来表示面积y与上底x的变化规律，请观察图象回答：梯形的面积y随上底x的增大而_________；若要使面积y大于，则上底x的取值范围_________． 【答案】(1)上底x，面积y (2) (3)5，36，，54 (4)增大， 【分析】（1）根据自变量和因变量的定义，即可进行解答； （2）根据梯形的面积公式：梯形的面积（上底+下底）×高，即可解答； （3）根据（2）中个关系式，将x和y的值分别代入求解即可； （4）根据图象，即可得出面积y随上底x的增大而增大；根据面积y大于列出不等式，再根据上底的定义，即可得出x的取值范围． 【详解】（1）解：∵面积y随上底x的变化而变化， ∴上底x是自变量，面积y是因变量， 故答案为：上底x，面积y； （2）解：， 故答案为：； （3）解：由（2）可得； 当时，； 当时，； 当时，，解得：； 当时，； 填写表格为： x 1 2 2．5 __5_ 8 y 33 __36_ 45 __54__ 故答案为：5，36，，54； （4）解：根据图象可得：面积y随上底x的增大而增大， ∵面积y大于， ∴，解得：， ∵x为梯形的上底，该梯形下底为， ∴， 故答案为：增大，． 【点睛】本题主要考查了函数关系式，解题的关键是利用函数的定义，自变量与函数的对应关系，梯形面积公式，一次函数性质进行解答． 49．（23-24八年级下·上海闵行·期中）（1）如图，已知直线经过点，，与直线交于点，且直线交轴于点． ①求直线的函数表达式； ②求点的坐标； ③求的面积． （2）观察下列算式，完成问题： ①； ②； ③； ④ …… ①按照以上算式的规律，请写出算式⑤　　　　 ②上述算式用文字表述为：“任意两个连续偶数的平方差都是4的奇数倍”．若设两个连续偶数分别为2n和（为整数），请证明上述命题成立； ③命题“任意两个连续奇数的平方差都是4的奇数倍”是否成立?若成立，请证明；若不成立，请举出反例． 【答案】（1）①；②；③面积为3；（2）①；②任意两个连续偶数的平方差都是4的奇数倍，成立，理由见解析；③任意两个连续奇数的平方差都是4的奇数倍，不成立，理由见解析 【分析】本题考查了一次函数的应用；因式分解—平方差公式的应用，有理数的混合运算； （1）①待定系数法求解析式，即可求解； ②联立可得点坐标； ③点纵坐标为的高，，直线当时，点横坐标点横坐标，进而根据三角形的面积公式，即可求解； （2）①根据题意写出算式⑤，即可； ②利用平方差公式进行因式分解，即可； ③设两个连续奇数分别为和（为整数），利用平方差公式进行因式分解，即可． 【详解】解：（1）①设直线的函数表达式代入点A，B坐标得， ， 解得：， 所以，； ②联立可得点坐标， ，， 代入得，， ， ； ③点纵坐标为的高，， 直线当时，， 由于点横坐标点横坐标， ， 即面积为3． （2）①根据题意，可得算式⑤： 故答案为：； ②由题意可得， ， 能被4整除，且为奇数， 任意两个连续偶数的平方差都是4的奇数倍，成立； ③设两个连续奇数为和． ， 是偶数， 任意两个连续奇数的平方差都是4的奇数倍，不成立． 例如：，即是4的6倍，6是偶数，不是奇数． 50．（23-24八年级下·上海青浦·期末）【问题背景】“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置． 【实验操作】综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后每隔观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据大致如表所示： 流水时间 0 10 20 30 40 水面高度（观察值） 30 29 28 27 26 任务1：观察水面的高度值的变化规律，每隔水面高度变化量为________值（填“定”或“不定”）； 【建立模型】小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，接着水面高度随着流水时间而变化． 任务2：请利用表格中“，；，”两组数据，求水面高度h与流水时间t的函数解析式； 【模型应用】综合实践小组利用建立的模型，预测了后续的水面高度． 任务3：当流水时间为2小时，求水面高度h的值． 【设计刻度】综合实践小组决定利用该装置设计一个计时工具． 任务4：如何在甲容器外壁设计刻度来估算相应的时间变化？请简要说明． 【答案】任务1：定；任务2：；任务3：18；任务4：见解析 【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意，观察出水面的高度值随流水时间的变化规律是满足一次函数关系解答的关键． 任务1：直接由表格数据可得出答案； 任务2：利用待定系数法求解函数解析式即可； 任务3：直接根据所求的函数解析求解即可； 任务4：根据观察出水面的高度值随流水时间的变化规律进行设计即可． 【详解】解：任务1：根据表格数据，每隔，水面高度都减小， ∴观察水面的高度值的变化规律，每隔水面高度变化量为定值， 故答案为：定； 任务2：根据任务1的结论，水面高度与流水时间满足一次函数关系， 故设水面高度h与流水时间t的函数解析式为， 将，；，代入，得， 解得， ∴水面高度h与流水时间t的函数解析式为； 任务3：当时，， ∴当流水时间为2小时，水面高度h的值为； 任务4：根据任务1的变化规律，可以在甲容器外壁每隔标记一个刻度，这样水面高度每降低一个刻度，就代表时间经过了． 压轴满分题十一、一次函数最值问题 51．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）一次函数（k为常数，且）． (1)若点在一次函数的图象上， ①求k的值； ②设，则当时，求P的最大值． (2)若当时，函数有最大值M，最小值N，且，求此时一次函数y的表达式． 【答案】(1)①；②P的最大值为5； (2)一次函数解析式为或． 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数，则需要两组x，y的值．也考查了一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征． （1）①把已知点的坐标代入中即可得到k的值； ②用x表示P得到，根据一次函数的性质，时，P的值最大，然后计算自变量为5所对应的函数值即可； （2）当时，，，则，当时，，，则，然后分别解方程求出k，从而得到对应的一次函数解析式． 【详解】（1）解：①把代入得， 解得； ②当时，， ∴， ∵y随x的增大而增大， ∴当时，时，P的值最大， 当时，， 即P的最大值为5； （2）解：当时，，， ∵， ∴， 解得， 此时一次函数解析式为； 当时，，， ∵， ∴， 解得， 此时一次函数解析式为； 综上所述，一次函数解析式为或． 52．（23-24八年级下·上海宝山·期末）某教育科技公司销售，两种多媒体，这两种多媒体的进价与售价如表所示： 进价（万元/套） 售价（万元/套） (1)若该教育科技公司计划购进两种多媒体共套，共需资金万元，该教育科技公司计划购进，两种多媒体各多少套？ (2)若该教育科技公司计划购进两种多媒体共套，其中购进种多媒体套，设将购进的两种多媒体全部售出的利润为，请求出与之间的函数关系式，并求出利润的最大值． 【答案】(1)该教育科技公司计划购进种多媒体套，则购进种多媒体套； (2)，利润的最大值为万元． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用和一次函数的应用． 设该教育科技公司计划购进种多媒体套，则购进种多媒体套，根据共需资金万元，可列一元一次方程求解； 根据表中每种型号的多媒体的利润可以得到与之间的函数关系式，根据函数关系式和的取值范围求出利润最大值． 【详解】（1）解：设该教育科技公司计划购进种多媒体套，则购进种多媒体套， 根据题意可得：， 解方程得：， 则(套)， 答：该教育科技公司计划购进种多媒体套，则购进种多媒体套； （2）解：根据题意可得：， 整理得：， ， 随着的增大而减小， 又， 当时，利润有最大值， 最大值为， 答：利润的最大值为万元． 53．（23-24八年级下·上海长宁·期末）如图，直线交y轴于点A，交x轴于点B，点在第三象限，点M在线段上，点M的横坐标为m，过点M作轴交折线于N． (1)求点A，B的坐标： (2)设点M，N的纵坐标分别为，，当时，为定值，求t的值； (3)在（2）的条件下，分别过点M，N作垂直于y轴，垂足分别为点Q，P，当时，求长方形周长的最大值． 【答案】(1) (2) (3)长方形周长的最大值为22 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，求一次函数解析式，一次函数的图象与性质等知识，注意分类讨论思想的运用． （1）在中，分别令，相应地可求得的值，从而得到A、B的坐标； （2）求出直线的解析式，由题意知，则，由为定值，即可求得t的值； （3）分与两种情况考虑，利用一次函数的图象与性质即可求解． 【详解】（1）解：在中，令，则；令，即，得， ∴； （2）解：设直线的解析式为， 则有， ∴， 即直线的解析式为； 设，则； ∵轴， ∴， ∴， ∴； 由题意得：， ∴； （3）解：当时， 由（2）知，，，此时， 则长方形周长为； 当时， ∵， 设直线解析式为， 把B、C两个坐标代入得， 解得：， 即直线解析式为， 则； ∴长方形周长为，其中， ∵， ∴函数值随自变量的增大而增大， ∴当时，长方形周长有最大值22； 综上，长方形周长的最大值为22． 54．（23-24八年级下·上海宝山·期末）阅读材料： 一次函数的图像是一条直线，因此，解析式也称为直线方程，也可以表示为的形式． 在平面直角坐标系中，点到直线的距离公式为：． 例如：求点到直线的距离． 解：由直线知，，，， ∴点P到直线的距离． 根据以上材料，解决下列问题： (1)问题1：点到直线的距离为______； (2)问题2：已知：是以点为圆心，1为半径的圆，与直线相切，求实数b的值； (3)问题3：如图，设点P为问题2中上的任意一点，点A、B为直线上的两点，且，请求出面积的最大值和最小值． 【答案】(1)3 (2)或； (3)最大值和最小值分别为和 【分析】本题主要考查一次函数综合题、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系等知识，理解题意，掌握圆上的点到直线的距离的最大值以及最小值． （1）先把直线化为，然后再利用点到直线的距离公式求解即可； （2）把直线整理得，然后再利用点到直线的距离公式求解即可； （3）先求圆心到直线的距离，判断出P到的最大距离与最短距离，然后运用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ ∵， ∴． 故答案为：3． （2）解：直线整理，得， ∴， ∵且与直线相切， ∴点C到直线的距离等于半径1， ∴， ∴或，解得或． （3）解：如图，过点C作于点D． ∵， ∴， ∴圆心到直线的距离， ∴上的点到直线的最大距离为，最小距离为， ∵， ∴的最大值为，最小值为． 55．（23-24八年级下·上海松江·期末）情景探究 【问题情景】学习了“最短路径问题”后，李老师结合坐标系的知识，设计了下面的问题：如图1，在平面直角坐标系中，已知点为轴上的一个动点，点在什么位置时，的值最小？最小值为多少？ 【方法探究】“顶尖”小组先在图1中画出点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时的值最小；然后展示了两种求解方案： 方案一：连接，利用列方程求出点的坐标． 方案二：求出直线对应的函数表达式，利用一次函数的图象与性质求出点的坐标． （1）点的坐标为_____，的最小值为_____． （2）选择一种你喜欢的方案求出点的坐标． 【推广应用】 （3）小强受到启发，设计了如下问题：如图2，在平面直角坐标系中，已知点，，直线经过点，且与轴平行，分别在轴和直线m上找点，使得轴，且的值最小，求出点的坐标． 【答案】（1），；（2）点的坐标为；（3）点的坐标为，点的坐标为 【分析】本题考查坐标与轴对称，一次函数与几何的综合应用： （1）根据对称性求出点坐标，勾股定理求出的长即可； （2）方案一，根据等积法求出点坐标即可；方案二：求出的解析式，进而求出直线与轴的交点即为点； （3）设，连接，证明，得到，进而得到，三点共线时，的值最小；连接，与直线的交点即为点，进而求出点，的坐标即可． 【详解】解：（1）∵，点与点关于轴对称， ∴， ∴， ∴当点在上时，的最小值为的长， ∵， ∴； 即：的最小值为； （2）方案一：连接， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，即， ∴， ∴； 方案二：∵， ∴设直线的解析式为直线，把代入，得：，解得：， ∴， 当时，，， ∴； （3）由题意设，连接， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时，的值最小； ∵， ∴设直线的解析式为：，则：， ∴， ∴， 当时，，即， ∴． 压轴满分题十二、 一次函数中的存在性问题 56．（24-25八年级下·上海长宁·阶段练习）在平面直角坐标系中，，，连接交轴于． (1)求的长； (2)如图，直线交轴于，将直线平移经过点，交轴于，在直线上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在；或 【分析】（1）先求解直线函数表达式为，再求解点的坐标为，再利用勾股定理求解即可； （2）求解直线函数表达式为，可得的解析式为，可得，设点，求解，如图，当点位于轴的上方时，当点位于轴的下方时，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设直线函数表达式为， 把，代入得 解得， 直线函数表达式为， 当时，， 点的坐标为． ∴． （2）解：直线交轴于，设直线函数表达式为， 把，代入得， 解得， 直线函数表达式为， 将直线平移经过点交轴于， 设直线函数表达式为， 把代入得，解得， 即， 令，即，所以， 点在直线上， 点， ， 如图，当点位于轴的上方时， ， 解得，此时点的坐标为； 当点位于轴的下方时， ， 解得，此时点的坐标为． 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查的是求解一次函数的解析式，坐标与图形面积问题，勾股定理的应用，化为最简二次根式；清晰的分类讨论是解本题的关键． 57．（23-24八年级下·上海闵行·期中）在平面直角坐标系中，各个顶点的坐标分别是． (1)画出，标出A，B，C三点； (2)画出关于y轴对称的图形，其中的坐标为______； (3)在x轴上是否存在一点P，使得的周长最小？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析， (3)存在，点的坐标 【分析】（1）在坐标系中确定点A、B、C的位置，再顺次连接即可； （2）在平面直角坐标系中，分别确定点A、B、C关于y轴对称的对称点、、，再顺次连接，即可求得点的坐标； （3）如图，作点B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，则，根据轴对称的性质可得点A、P、三点共线时，的周长最小，利用待定系数法求得直线的解析式为，再把代入得求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求，的坐标为， 故答案为：； （3）解：存在，理由如下： 如图，作点B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P， ∵点B、关于x轴对称， ∴， ∴， ∴点A、P、三点共线时，的周长最小， 设直线的解析式为， 把、代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， 把代入得，， 解得， ∴． 【点睛】本题考查平面直角坐标系点的坐标、轴对称变换、轴对称的性质、用待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 58．（23-24八年级下·上海青浦·期末）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数（）的图象相交于、两点，轴于点，点的坐标为，连接、． (1)求该反比例函数的表达式； (2)在该反比例函数的图象上是否存在点，使得的面积与的面积相等？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为或 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，正比例函数的图象与性质，三角形的面积，解题的关键是掌握相关知识． （1）由轴于点，得到的横坐标为，将其代入正比例函数中，求出，再将代入反比例函数中，求出，即可求解； （2）联立正比例函数与反比例函数，求出，，结合，，得到，，进而得出，，根据“的面积与的面积相等”列方程求出，即可求解． 【详解】（1）解：轴于点， 的横坐标为， 在正比例函数中，令，则， ， 将代入反比例函数中，得：， 反比例函数的表达式为； （2）存在， 联立， 解得：或， ，， ，， ，， ，， 的面积与的面积相等， ， 解得：或， 在反比例函数的图象上存在点，使得的面积与的面积相等，点的坐标为或． 59．（23-24八年级下·上海普陀·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点A，直线过点A，且与x轴交于点C． (1)求直线的函数表达式； (2)若线段上有一点M，使得，求直线的函数表达式； (3)在直线上是否存在点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，点P的坐标为或． 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，求一次函数解析式，掌握一次函数的性质是解题关键． （1）先求出直线与y轴交点，再利用待定系数法求出直线的函数表达式即可； （2）由直线的函数表达式求出，从而得到，设，根据求出的值，得到点的坐标，再利用待定系数法求出直线的函数表达式即可； （3）先求出，设，得到，再根据列方程求出的值，即可得到点P的坐标． 【详解】（1）解：直线过点A， 当时，， ， 直线与x轴交于点，与y轴交于点， ，解得：， 直线的函数表达式为； （2）解：直线的函数表达式为， 令，则，解得：， ， ， ， ， ， 线段上有一点M， 设， ， ， ， 解得：， ， 设直线的函数表达式为，则， 解得：， 直线的函数表达式为； （3）解：，， ，， ，， 点P在直线上， 设， ， ， ， 解得：或， 点P的坐标为或； 60．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）如图，已知与轴交于点，与轴交于点，与函数的图象交于点． (1)在该坐标系中画出函数的图象，并说明点也在函数的图象上； (2)设直线与轴交于点，与轴交于点，求证：平分； (3)连接，求的面积； (4)已知，在轴上，是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析，见解析 (2)见解析 (3) (4)或或或 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的定义和性质： （1）求出直线与坐标轴的交点即可画出对应的函数图象，再联立直线解析式求出点P的坐标即可判断点也在函数的图象上； （2）求出B、D坐标，得到，再根据点P在直线得到，据此证明，得到，则可证明平分； （3）求出A、C坐标，得到的长，再根据列式求解即可； （4）分，和三种情况，根据等腰三角形的定义和性质讨论求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； 联立，解得， ∴点P的坐标为， 在中，当时，， ∴点P在函数的图象上； （2）证明：在中，当时，， ∴， ∴； 在中，当时，， ∴， ∴， ∵点P在直线上， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴平分； （3）解：在中，当时，， ∴， 在中，当时，，当时，， ∴， ∴； （4）解：当时，则点M的坐标为或； 当时，则此时点M与原点重合，即此时点M的坐标为； 当时， ∵， ∴， ∴点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或或或． 压轴满分题十三、一次函数的综合应用 61．（24-25八年级下·上海宝山·阶段练习）为了提高同学们的运算能力，激发学习数学的兴趣，某中学开展了主题为“运算能力争霸赛”的数学活动，并计划购买两种奖品奖励在数学活动中表现突出的学生．已知奖品的单价是10元；奖品的单价是25元．学校计划购买两种奖品共100件，购买费用不超过1385元，且种奖品的数量不大于种奖品数量的4倍． (1)该学校有几种购买方案？ (2)设购买、两种奖品的总费用为元，请写出（元）与种奖品的数量（件）之间的函数关系，并求出哪一种购买方案可以使得总费用最少，并求出的最小值． 【答案】(1)共有6种购买方案； (2)，购买种奖品件，两种奖品件使得总费用最少，的最小值为元． 【分析】（）根据题意列出不等式组，求解即可； （）列出函数关系式，再利用一次函数的性质即可求解； 本题考查了一次函数的应用及不等式组的应用，读懂题意，列出不等式组和函数关系式是解题的关键． 【详解】（1）解：设种奖品的数量是件，则种奖品的数量是件， ， 解得：， ∵是正整数， ∴种奖品的数量范围且是正整数； ∴共有6种购买方案； （2）解：由题意得， ∵， ∴随的增大而减小， ∵， ∴当时，最小，为（元）． 即购买种奖品件，两种奖品件使得总费用最少，的最小值为元． 62．（23-24八年级下·上海金山·期末）两地在一条笔直的公路上，一辆货车从A地出发匀速驶向B地，后一辆小轿车从B地出发匀速驶向A地，如图是它们离B地的路程与货车行驶时间之间的函数图像． (1)求货车离B地的路程与它行驶的时间之间的函数表达式； (2)求两车之间相距不超过时，货车行驶时间x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是一次函数的实际应用，一元一次方程的应用； （1）设货车离B地的路程与它行驶的时间之间的函数表达式是，代入点，，再求解即可； （2）设小轿车从B地出发匀速驶向A地的函数关系式是：，代入点，，可得函数解析式，结合，再进一步解答即可； 【详解】（1）解：设货车离B地的路程与它行驶的时间之间的函数表达式是， 代入点，， 得， 解得， 所以，货车离B地的路程与它行驶的时间之间的函数表达式是； （2）解：设小轿车从B地出发匀速驶向A地的函数关系式是：， 代入点，， 得， 解得：， ∴小轿车从B地出发匀速驶向A地的函数关系式是：， 当时， ，即， 解得：或， ∴两车之间相距不超过时，货车行驶时间x的取值范围为：. 63．（2025·广东深圳·一模）根据如表所示素材，探索完成任务． 深圳华强北电子配件采购方案 素材一 为备战双十一购物节，深圳华强北某电子商户分两次购进、两种充电器，两次同型号进价相同： 采购批次 A数量（件） B数量（件） 采购总费用（元） 第一次 30 40 3800 第二次 40 30 3200 素材二 售价A：30元/件，B：100元/件． 素材三 计划共购进1000件充电器，且数量不少于数量的4倍． 问题解决 任务一 求、充电器每件进价． 任务二 求获利最大的进货方案及最大利润． 【答案】任务一：、充电器每件进价分别为元、元；任务二：获利最大的进货方案为购进件充电器，购进件充电器，最大利润为元． 【分析】本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用以及解一元一次不等式，解题的关键是：①找准等量关系，列出二元一次方程组一元一次不等式；②根据数量关系，找出w与m之间的函数关系式． 任务一：设、充电器每件进价分别为元、元，根据题意列二元一次方程组求解即可； 任务二：设购进件充电器，则购进件充电器，根据“计划共购进1000件充电器，且数量不少于数量的4倍”列不等式，求出，设利润为元，列出关于的一次函数，再根据一次函数的增减性求最值即可． 【详解】任务一：设、充电器每件进价分别为元、元， 由题意得：，解得：． 答：、充电器每件进价分别为元、元； 任务二：设购进件充电器，则购进件充电器， 由题意得：， 解得：， 设利润为元， 则， ， 随的增大而减小， 当时，有最大值为， 即获利最大的进货方案为购进件充电器，购进件充电器，最大利润为元． 64．（24-25八年级下·上海奉贤·阶段练习）甲、乙两同学在400米的环形跑道上参加1000米跑步训练，时间少于或等于3分40秒为满分．前800米的路程s（米）和时间t（秒）的函数关系如图． (1)乙同学按照当前的速度继续匀速跑，那么他能否得到满分？请说明理由． (2)求甲同学跑第2圈时的路程s（米）关于时间t（秒）的函数解析式． (3)若最后200米甲同学按第1圈的速度冲刺，乙同学保持原速不变，当乙同学跑到终点时，甲同学离终点还有多远？ 【答案】(1)乙同学能够得到满分，理由见解析 (2) (3)米 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，一次函数的应用，数形结合是解答本题的关键． （1）求出乙同学路程s（米）关于时间t（秒）的函数解析式，然后令，求出t的值即可解答； （2）设，用待定系数法求解即可； （3）求出最后200米，乙跑到终点时，甲同学跑的时间是（秒），速度是（米/秒），进而可求出甲同学离终点还有多远． 【详解】（1）解：由乙图象可知s是t的正比例函数，设， 将代入可得，， 解得：， ． 令， 解得：． ∵3分40秒秒，， ∴乙同学能够得到满分． （2）解：由图象可知s是t的一次函数，设， 将代入可得， 解得： ． （3）解：由（1）可知乙同学到终点的时间是215秒， 由图象可知甲同学跑前800米的时间是180秒， 所以最后200米，乙跑到终点时，甲同学跑的时间是（秒）． 速度是（米/秒）． 路程是（米）． ∴甲离终点的距离是（米）． 65．（2025·上海崇明·二模）某校综合与实践小组的同学开展了主题为探究最大心率与年龄的关系项目化学习，他们通过某医学杂志收集到在一定年龄范围内的最大心率（最大心率指人体在进行运动时心脏每分钟跳动的最大次数）数据如下： 年龄周岁 12 17 22 27 32 37 42 47 最大心率（次／分） 208 203 198 193 188 183 178 173 (1)根据表中的信息，可以推断最大心率（次／分）是年龄（周岁）的______函数关系（填“一次”“二次”或“反比例”）；求关于的函数表达式． (2)已知不同运动效果时的心率如下： 运动效果 运动心率占最大心率的百分比 燃烧脂肪 提升耐力 20周岁的小李想要达到提升耐力的效果，他的运动心率应该控制在______次／分至______次／分；小美想要达到燃烧脂肪的效果，她的运动心率应该控制在114次／分至133次／分，小美的年龄是______周岁． 【答案】(1)一次，y关于x的函数关系式为． (2)140，160；． 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握一次函数的判断及待定系数法求函数关系式是解题的关键． （1）根据“年龄增加5周岁，最大心率减少5次/分”即可判定函数类型，然后根据待定系数法即可求得函数解析式； （2）由题意可得，，把代入（1）中求得的函数关系式，即可得到答案． 【详解】（1）解：根据表中的信息可知，年龄增加5周岁，最大心率减少5次/分， ∴可以推断最大心率y（次/分）是年龄x（周岁）的一次函数关系． 故答案为：一次． 设y关于x的函数关系式为（k、b为常数，且）． 将和分别代入, 得，解得：， ∴y关于x的函数关系式为． （2）解：当时，，（次/分），（次/分）， ∴小李的运动心率应该控制在140次/分至160次/分； 当运动心率应该控制在114次／分至133次／分时， 当时，，解得， ∴小美的年龄是周岁． 故答案为：140，160；． 压轴满分题十四、一次函数与反比例函数综合应用 66．（23-24八年级下·上海闵行·期末）为预防“手足口病”，某班对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与燃烧时间x（分钟）成正比例；燃烧后，y与x成反比例（如图所示）．现测得药物10分钟燃完，此时教室内每立方米空气含药量为12mg．据以上信息解答下列问题： (1)求药物燃烧时y与x的函数关系式； (2)求药物燃烧后y与x的函数关系式； (3)当每立方米空气中含药量不低于5mg时，对病毒有作用，求对病毒有作用的时间有多长？ 【答案】(1) (2) (3)对病毒有作用的时间长为分钟 【分析】本题考查反比例函数的实际问题，掌握待定系数法是解题的关键． （1）利用待定系数法求正比例函数解析式即可； （2）利用待定系数法求反比例函数解析式即可； （3）根据题意列不等式组，求出不等式组的解集即可解题． 【详解】（1） 解：设药物燃烧时的函数解析式为， 由题意得：，解得：， 燃烧时的函数关系式为； （2） 解：设燃烧后函数解析式为， 由题意得：，解得：， 燃烧后的函数关系式为； （3） 解：由题意得： 解得：， （分钟）， 答：对病毒有作用的时间长为分钟． 67．（23-24八年级下·上海闵行·期中）为了做好校园疫情防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物熏蒸消毒消毒药物在一间教室内空气中的浓度（单位：）与时间（单位：）的函数关系如图所示：校医进行药物熏蒸时与的函数关系式为，药物熏蒸完成后与成反比例函数关系，两个函数图象的交点为．    (1)求的值； (2)当时，求与的函数关系式； (3)当教室空气中的药物浓度不低于时，对杀灭病毒有效问：本次消毒中有效杀灭病毒的时间持续多长时间？ 【答案】(1)6 (2) (3)8min 【分析】（1）依据题意，将代入可以得解； （2）由（1）得坐标，再设反比例函数解析式，从而将代入反比例函数解析式可以得解； （3）依据题意，令，结合函数的性质可得有效时间． 【详解】（1）解：由题意，，即为，． （2）解：由（1）可得． 设熏蒸完后函数的关系式为：， ． 熏蒸完后函数的关系式为：． （3）解：药物浓度不低于， 当时，， 当时，， 有效时长为， 答：有效杀灭病毒的时间持续． 【点睛】本题考查了反比例函数及正比例函数的应用，解题的关键是能够从实际问题中抽象出反比例函数和正比例函数模型，难度不大． 68．（23-24八年级下·上海青浦·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点A、点B，与x轴交于点C，其中点和点． (1)填空：______，______； (2)求一次函数的解析式和的面积； (3)根据图象回答：当x为何值时，（请直接写出答案）______． 【答案】(1) (2)4 (3)或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法，明确函数图象上的点满足函数关系式是本题关键． （1）将点坐标，点坐标代入解析式可求的值； （2）用待定系数法可求一次函数解析式，根据可求的面积． （ 3 ）由图象直接可得． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点， ， ， 故答案为：． （2）解：一次函数解析式，且过， ∴，解得：， ∴一次函数的解析式为， ∵一次函数图象与轴交点为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：∵，即， ∴一次函数图象在反比例函数图象下方， 或， 故答案为：或． 69．（2025八年级下·全国·专题练习）学习数学，也要善用现代工具．用绘图软件绘制过的双曲线与动直线：，且交于一点，图1为时的视窗情形． (1)当时，求：动直线与双曲线的交点坐标； (2)视窗的大小不变，但其可视范围可以变化，且变化前后原点始终在视窗中心．例如，为在视窗中看到（1）中的交点，可将图1中坐标系的单位长度变为原来的，其可视范围就由及变成了及（如图2）．当和时，动直线与双曲线的交点分别是点A和，为能看到双曲线在A和之间的一整段图象，需要将图1中坐标系的单位长度至少变为原来的，求：的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数、反比例函数、分式方程、直角坐标系的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数、反比例函数、分式方程、直角坐标系的性质，从而完成求解． （1）设双曲线的解析式为，代入点，求出解析式，结合题意，联立直线和双曲线的解析式，然后列分式方程并求解，即可得到答案； （2）当和时，根据一次函数、反比例函数和直角坐标系的性质，得出，结合题意即可得到答案． 【详解】（1）解：设双曲线的解析式为，代入点， 则， 解得：， ∴双曲线的解析式为， 根据题意，得， ∴， ∴当时，动直线与双曲线的交点坐标为：； （2）解：当时，得， ∴， ∴， 当时，得， ∴， ∴， ∴要能看到在和之间的一整段图象，则， ∵原来的坐标系的单位长度为， ∴． 70．（23-24八年级下·上海嘉定·期中）探索一个问题：“任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？” (1)完成下列空格： 当已知矩形A的边长分别为6和1时，小明是这样研究的：设所求矩形的一边是x，则另一边为，由题意得方程：，化简得：． ，______，_____． 满足要求的矩形B存在． 小红的做法是：设所求矩形的两边分别是x和y，由题意得方程组：消去y化简后也得到：，（以下同小明的做法） (2)如果已知矩形A的边长分别为2和1，请你仿照小明或小红的方法研究是否存在满足要求的矩形B． (3)在小红的做法中，我们可以把方程组整理为：，此时两个方程都可以看成是函数解析式，从而我们可以利用函数图象解决一些问题．如图，在同一平面直角坐标系中画出了一次函数和反比例函数的部分图象，其中x和y分别表示矩形B的两边长，请你结合刚才的研究，回答下列问题：（完成下列空格） ①这个图象所研究的矩形A的面积为________；周长为________． ②满足条件的矩形B的两边长为________和________． 【答案】(1)2； (2)不存在矩形B (3)①8；18；②， 【分析】（1）用解一元二次方程的方法求一元二次方程的根即可； （2）设所求矩形的一条边是x，根据周长表示出另外一条边，根据面积列出方程，解方程即可； （3）①由图可知，一次函数解析式为，反比例函数解析式为，组成方程组，消去y求出方程的根，再根据一元二次方程根与系数的关系求出，，即可． ②利用解二元二次方程，可求出满足条件的矩形B的两边长． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴，． 故答案为：2；． （2）解：设B矩形的一边长为x，则另一边为 ， ， ， 不存在矩形B． （3）解：①设直线的关系式为，把，代入得： ， 解得：， ∴一次函数解析式为， 设反比例函数解析式为，把代入得：，解得：， ∴反比例函数解析式为， 根据一次函数解析式可得：，根据反比例函数解析式可得：， ∴图形B的两边之和为，面积为4， ∴图形A的周长为：，面积为； 故答案为：8；18． ②把代入得：， 解得：，， 当时，， 当时，， ∴满足条件的矩形B的两边长为，． 故答案为：，． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程解，利用函数图象得函数解析式等知识，根据图象得出函数解析式，是解题关键． 压轴满分题十五、一次函数几何综合应用 71．（23-24八年级下·上海闵行·期末）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点E、点F，与的图象交于点M，且点M的横坐标为． (1)求m的值与的长； (2)若点Q为x轴上一点，且，求点Q的坐标. 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数解析式，一次函数的几何问题，正确求出一次函数解析式是解题的关键． （）求出点坐标，代入可得的值，进而由一次函数解析式求出点、坐标，即可由勾股定理求出的长； （）根据，可得，即可得，据此即可求解； 【详解】（1）解：∵点M在直线上，点M的横坐标为， 点M坐标为， 又点C在直线上， ， ， 直线的函数表达式为， 令，则，令，则，解得， 、， ； （2）∵， ， ， 点Q坐标为或． 72．（23-24八年级下·上海宝山·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．与y轴交于点． (1)在图中画出关于y轴对称的，并写出点的坐标（点A，B，C的对应点分别是点）； (2)在平面直角坐标系中，若点，，那么点是线段的中点．判断点P （填“是”或“不是”） 的中点，写出中点Q的坐标及（1）题中和重叠部分的面积． 【答案】(1)，，见解析 (2)是，，4 【分析】（1）根据纵坐标不变，横坐标变为相反数，确定变换后的坐标，，，，画图即可． （2）根据定义解答即可． 本题考查了y轴对称作图，中点坐标公式的应用，三角形面积计算，熟练掌握相应的知识是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得，，， 故对称坐标为，，，画图如下： 则即为所求． （2）解：根据题意，得，， ∴B，C的中点坐标为即， 故是的中点， 故答案为：是； ∵，， ∴的中点Q的坐标为即； ∴， 设直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， 所以， 由， 设直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， 所以， 设直线与直线的交点为G，根据题意，得 ， 解得， ∴， 根据对称性质，得重叠部分的面积是． 73．（24-25八年级下·上海青浦·阶段练习）如图，在中，，，，E为上一点，，动点P从点E出发，沿折线方向运动，到达点B时停止运动，连接，．设点P走过的路程为x，的面积为y． (1)请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中．画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)一次函数的图像与y的图象有且仅有2个交点，请直接写出常数k的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析， (3) 【分析】本题考查了勾股定理、一次函数的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）先由勾股定理得出，即可得出，再分两种情况：当，即点在上时；当时，即点在上时，分别求解即可； （2）利用描点法画出函数图象，结合函数图象即可得出性质； （3）求出当一次函数经过时，一次函数的图象与的图象有且仅有一个交点，即；当一次函数经过时，一次函数的图象与的图象有且仅有一个交点，即，结合题意即可得解． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 当，即点在上时，过点作于， ， 由题意可得：，则，， ∴， 当时，即点在上时， 此时， ∴， 综上所述，； （2）解：列表得： 2 6 6 0 画出函数图象如图所示： ， 由函数图象可得：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． （3）解：当一次函数经过时，一次函数的图象与的图象有且仅有一个交点，即， 解得：， 当一次函数经过时，一次函数的图象与的图象有且仅有一个交点，即， ∵一次函数的图像与y的图象有且仅有2个交点， ∴． 74．（23-24八年级下·上海宝山·期末）如图，坐标系中，直线与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，且，． 【基本问题】 （1）求直线的解析式； 【问题探究】 （2）点是线段上一点，连接，当的面积为时，求的值； 【问题拓展】 （3）在（2）的条件下，过点作直线轴，在直线上有一点，直线交轴正半轴于点，在射线上有一点，使，请直接写出点坐标． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解决问题的关键是证明三角形全等． （1）先根据勾股定理求得的长，从而得出点的坐标，利用待定系数法求解即可； （2）由点是线段上一点，，可得，根据列出方程，进一步得出结果； （3）由（2）可知，由可得，，可证得，从而得出，从而得出或，可直线的解析式，可得或，推出或，再求出，即可进一步得出结果． 【详解】解（1），，， ，， ， 将，代入直线中得： ， 解得：， 直线的解析式为； （2）点是线段上一点，， ， ， 的面积为4.5， ， 解得：； （3）， ，， ，， ， 直线轴， ， ， 又，， ， ， 或， 设直线的解析式为，将或，代入得： 或， 解得：或， 直线的解析式为或， 令，则或， 解得：或， 或， 或， 或， 或， 或． 75．（23-24八年级下·上海长宁·期末）【模型建立】 美国总统伽菲尔德利用图验证了勾股定理，过等腰的直角顶点作直线，再过点作于点，过点作于点，易证得：．我们称这种全等模型为“型全等”（无需证明）． 【模型应用】 （1）如图，在平面直角坐标系中，等腰中，，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为______； （2）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点、点，将直线绕点逆时针旋转得到直线，则直线的函数表达式为______； （3）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别交轴，轴于点、点，点，是正比例函数图像上两点，若，，则点到直线的距离为______； 【模型拓展】 （4）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，过点作轴于点，作轴于点，点是线段上一点，点在直线上．当点，，构成等腰直角三角形时，直接写出点的横坐标______． 【答案】（）；（）；（）；（），． 【分析】（）作轴于，根据得出，，进而得出结果； （）作轴于，根据（）知：，设的解析式为，将，两点坐标代入，进一步得出结果； （）作于，可证得, 从而得出； （）当，时，作轴，延长，交于，设，根据，得出，进而根据由，得方程，进一步得出结果；同样方法得出当，时的情形，当时，求得的值不能满足在上； 本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，求一次函数的解析式等知识，掌握知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键． 【详解】解：（）如图，作轴于， 由［模型建立］得， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （）如图， 作轴于， 由得，当时，；当时，； ∴，， 由（）知：， 设的解析式为， ∴，解得：， ∴， 故答案为：； （）如图， 作于， ∴， 由得，当时，；当时，； ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， 故答案为：； （）如图， 当，时， 作轴，延长，交于， 设， ∴，，， 由［模型建立］得， ∴， ∴， 由得，， ∴， ∴点横坐标为：， 如图， 当，时， 作于，作，交的延长线于， 设，则，， 由上可知，，， ∴， ∴， ∴， ∴点横坐标为: ； 如图， 当时， 作，交的延长线于，设， 同理可得，，， ∴， ∴， ∴， 此时点不在线段上， ∴舍去， 综上所述：点的横坐标为：或； 故答案为：或． 1．（24-25八年级下·上海松江·阶段练习）已知，，均为整数且满足，则该方程组的解有（    ） A．2组 B．4组 C．8组 D．16组 【答案】D 【分析】本题考查求二元二次方程组的整数解，熟练掌握解二元二次方程组的方法是解题关键．两方程相加可得，关键，，均为整数得出，或，或，或，，即可得答案． 【详解】解： ①+②得：， ∴， ∵，，均为整数， ∴，或，或，或，， ∴该方程组的解有组， 故选：D． 2．（24-25八年级下·上海·阶段练习）函数与函数在同一直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和一次函数的图象，根据反比例函数的图象与性质分析判断即可． 【详解】解：当时，一次函数的图象经过第一、三、四象限，反比例函数的图象在第一、三象限，选项中没有符合条件的图象； 当时，一次函数的图象经过第一、二、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限，A选项的图象符合要求． 故选：A． 3．（24-25八年级下·上海长宁·阶段练习）A，B两地相距，如果平均车速提高了，则从A地到B地的时间缩短了，设原来的平均车速为，则根据题意可列方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程． 设原来的平均速度为，表示出提速后的平均速度，然后根据提速之后比原来从甲地到乙地的时间缩短了，列方程． 【详解】解：设原来的平均速度为，车速提高了后车速为，根据题意得： 故选：C． 4．（2025·上海杨浦·模拟预测）如图，货车和轿车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一公路相向而行．轿车出发后休息，直至与货车相遇后，以原速度继续行驶，设两车出发时间为（单位：），货车、轿车与甲地的距离分别为（单位：）、（单位：），图中的线段、折线分别表示、与之间的函数关系．有下列四个结论：①轿车行驶的速度为；②货车行驶的速度为；③线段所在直线的函数表达式为；④两车出发2小时或4小时后相距．其中正确的结论是（　　） A．①③ B．①④ C．②③ D．③④ 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的应用，从函数图象获取信息是解题的关键． 根据图象可得轿车行驶千米，用路程除以时间可得轿车的速度可以判断①， 根据图象可得小时的路程为600千米，根据路程除以时间求得货车的速度，可以判断②； 设直线的解析式为：，待定系数法求解析式，继而得到点的坐标为，根据题意得出点坐标为：，然后待定系数法求解析式即可判断③； 待定系数法求得解析式，根据：Ⅰ当轿车休息前与货车相距时，Ⅱ当轿车休息后与货车相距时，分别列出一元一次方程，解方程即可求解判断④． 【详解】解：由图象可得，轿车行驶千米，则车的速度为：，故①正确； 由图象可得，货车行驶的速度为：，故②错误； 由题意可得所在直线为关于x的正比例函数， 设直线的解析式为：， 将代入得：， 解得， ∴直线的解析式为； 在中，当时，， ∴点的坐标为， ∵轿车在休息前行驶，休息后按原速度行驶， ∴轿车行驶后需． ∴点坐标为：． 设线段所在直线的函数表达式为， 将点代入得：， 解得， ∴线段所在直线的函数表达式为，故③正确； 在中，当，， ∴相遇前二者在前内存在某个时间段相距， 设段的函数解析式为， 将代入得：， 解得， ∴段的函数解析式为， 当轿车休息前与货车相距时，有， 解得； 当轿车休息后与货车相距时，有， 解得． 即两车出发小时或小时后相距． 故④错误． 故选：A． 5．（2024·上海虹口·模拟预测）如图，函数与的图象相交于点，直线与和分别交于点，，下列说法中错误的是（   ） A．两函数图象的交点的坐标为 B．当时， C．当时， D．当逐渐增大时，随着的增大而增大，随着的增大而减小 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征、正比例函数的性质以及反比例函数的性质，A联立两函数解析式求解即可得出答案；B．观察函数图象，可找出当时，．C．利用一次函数图象上点的坐标特征及反比例函数图象上点的坐标特征，可求出点B，C的坐标，进而可得出；D．利用正比例函数的性质及反比例函数的性质，可得出答案． 【详解】解：A，解得：或（舍去） ∴点A的坐标为，说法正确，故选项A不符合题意； B．观察函数图象，可知∶当时，，原说法错误，故选项B符合题意； C．当时，，，∴点B的坐标为，点C的坐标为，，原说法正确，故选项C不符合题意； D∵，∴当x逐渐增大时，随着x的增大而增大； ∵，且， ∴当x逐渐增大时，随着的增大而减小，原说法正确，故选项D不符合题意， 故选∶B． 6．（24-25八年级下·上海黄浦·阶段练习）若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题考查了由分式方程的解求参数的取值范围，解分式方程得，由分式方程的最简公分母不为零得，即可求解． 【详解】解：方程两边同时乘以得， ， 解得：， 解为负数， ， 解得：， ， ， ， 解得：， 的取值范围为且， 故答案为：且． 7．（23-24八年级下·上海·课后作业）已知是方程组的一个解，那么这个方程组的另一个解是 . 【答案】. 【分析】将代入原方程组求得，所以原方程组是，再解此方程组即可. 【详解】解：将代入原方程组求得， ∴原方程组是， 由①，得x=-y-1③， 把③代入②式，化简得y2+y-2=0， 解之，得y1= -2，y2= 1． 把y1=-2代入x=-y-1，得x1=1， 把y2=1代入x=-y-1，得x2=-2． ∴原方程组的解为：.故答案为. 【点睛】本题考查了解二元二次方程组，熟练掌握运算法则是解题的关键． 8．（23-24八年级下·上海嘉定·阶段练习）每年中秋节，某商家生产的甲、乙、丙三种月饼礼盒一直深受消费者喜爱．今年中秋节，该商家继续售卖甲、乙、丙三种月饼礼盒，已知去年该商家售卖甲、乙、丙三种月饼礼盒的营业额之比为．今年，由于商家加大了促销宣传力度，预计三种月饼礼盒的营业额都会增加，其中甲种礼盒增加的营业额占总增加的营业额的，此时，甲种月饼礼盒的营业额与今年三种月饼礼盒总营业额之比为，为使今年乙、丙两种月饼礼盒的营业额之比为，则今年乙种月饼礼盒增加的营业额与今年总营业额之比为 ． 【答案】/ 【分析】根据题意分别把今年和去年三种月饼礼盒的营业额表示出来，再根据甲种礼盒增加的营业额占总增加的营业额的列出方程求解即可． 【详解】解：∵甲种月饼礼盒的营业额与今年三种月饼礼盒总营业额之比为，且乙、丙两种月饼礼盒的营业额之比为， ∴今年甲、乙、丙三种月饼礼盒的营业额之比为4∶6∶5， 设今年甲、乙、丙三种月饼礼盒的营业额分别为4a，6a，5a，则今年总营业额为15a， ∵去年该商家售卖甲、乙、丙三种月饼礼盒的营业额之比为， ∴设去年甲、乙、丙三种月饼礼盒的营业额分别为4b，9b，7b，则去年总营业额为20b， ∴今年甲、乙、丙三种月饼礼盒的营业额分别增加了，，，总营业额增加了， ∵甲种礼盒增加的营业额占总增加的营业额的， ∴， 解得：， 经检验：b＝0.6a符合题意， ∴今年乙种月饼礼盒增加的营业额与今年总营业额之比为， 故答案为：1∶25． 【点睛】本题考查了列代数式，分式方程的应用，理清题意，设出未知数，列出分式方程是解决本题的关键． 9．（24-25八年级下·上海宝山·阶段练习）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，若把直线向上平移3个单位长度与交于点B，连接、，则的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题考查一次函数图象的平移，一次函数与反比例函数的交点问题，把代入，求出点坐标，进而求出反比例函数的解析式，求出平移后的直线的解析式，进而求出点的坐标，作轴，轴，推出的面积等于梯形的面积，进行求解即可． 【详解】解：把代入，得：， ∴， ∴， ∴， ∵把直线向上平移3个单位长度，得到， ∴联立，解得：或， ∴， 作轴，轴，则：， 则：， ∴ ； 故答案为：6． 10．（24-25八年级下·上海静安·阶段练习）在两地之间有汽车站站，客车由地驶往站，货车由地驶往地．两车同时出发，匀速行驶．客车、货车离站的路程与行驶时间之间的函数图象如图所示．有下列说法：两地相距为；②两小时后，货车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式为；③客车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式为：；④客、货两车在小时相遇．其中正确的有 （填序号．）    【答案】①②③④ 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息、一次函数的应用，根据函数图象提供的信息即可判断①；分别利用待定系数法求出函数解析式即可判断②③；再由求出的值即可判断④；采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得：A，B两地相距为，故①正确； 货车的速度为：， 故货车到达地一共需要， 设两小时后，货车离C站的路程与行驶时间x之间的函数关系式为， 由题意可得：， 解得：， ∴两小时后，货车离C站的路程与行驶时间x之间的函数关系式为，故②正确； 设客车离C站的路程与行驶时间x之间的函数关系式为， 由题意可得：， 解得：， ∴客车离C站的路程与行驶时间x之间的函数关系式为：，故③正确； 由得， 解得：， ∵， ∴符合题意，即客、货两车在小时相遇，故④正确； 综上所述，正确的有①②③④． 故答案为：①②③④． 11．（24-25八年级下·上海闵行·阶段练习）解方程组：． 【答案】或或或 【分析】本题考查了解二元二次方程组，利用因式分解法解方程是解题的关键．利用因式分解法对每个方程进行化简，再联立化简后的方程即可求解． 【详解】解：， 由①得，， 解得：或， 由②得，， 解得：或， 当，时，解得； 当，时，解得； 当，时，解得； 当，时，解得； 综上所述，方程组的解为或或或． 12．（24-25八年级下·上海青浦·阶段练习）新定义：如果两个实数，使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”． 例如：，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”， ①（______）；②（______）．若是，请在括号内打“√”若不是，打“×”． (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值． (3)若数对（，且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 【答案】(1)①打√；②打“×” (2)4 (3)或 【分析】（1）①根据题意，得分式方程的解为， 满足题意，打√；②根据题意，得分式方程的解为， 不满足题意，打“×”． （2）根据数对是关于的分式方程的“关联数对”，得到关于x的分式方程的解为，根据方程同解，建立等式解答即可． （3）根据数对（，且，）是关于的分式方程的“关联数对”，得的解为，继而得到，整理，得 ，得，根据关于的方程有整数解，整理，得，得到，得到，根据方程有整数解，分类解答即可． 【详解】（1）①解：根据题意，得分式方程的解为， 又， 故满足关于的分式方程的解是成立， 满足题意，故打√； 故答案为：√； ②根据题意，得分式方程的解为， 不满足题意，打“×”． 故答案为：“×”． （2）解：根据数对是关于的分式方程的“关联数对”， ∴关于x的分式方程的解为， ∵的解为， ∴， 解得， ∵， 故． （3）解：∵数对（，且，）是关于的分式方程的“关联数对”， ∴的解为， ∴， 整理，得， ∴， ∵关于的方程有整数解， 整理，得， ∴， ∴， ∵方程有整数解， ∴即时，此时； ∴即时，此时； ∴即时，此时； ∴即时，此时； ∵，且， ∴或． 【点睛】本题考查了新定义，分式方程的解，整数解的理解，整数解的计算，学生的理解能力以及知识的迁移能力等知识，理解“关联数对”的定义是解题的关键． 13．（24-25八年级下·上海普陀·阶段练习）如图，直角坐标系中，一次函数的图象分别与，轴交于，两点，正比例函数的图象与交于点． (1)求的值及的解析式； (2)求的值； (3)若点为直线上不与点、重合的一个动点．当的面积是5时，求点的坐标； 【答案】(1)，； (2)15 (3)点的坐标为或． 【分析】本题考查了一次函数与几何综合、正比例函数，熟练掌握一次函数和正比例函数的图象与性质是解题关键． （1）将代入直线的解析式即可得的值；再利用待定系数法即可得直线的解析式； （2）先求出点的坐标，从而可得的长，再利用三角形的面积公式求解即可得； （3）设，根据题意得，据此求解即可得． 【详解】（1）解：将点代入一次函数得：， 解得； ∴， 设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， 则直线的解析式为； （2）解：对于一次函数， 当时，，解得， 即，， 当时，，即，， 由（1）知：， ∴； （3）解：设， 由题意得， 解得或， 或， ∴点的坐标为或． 14．（23-24八年级下·上海长宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点，的坐标分别为和． (1)求反比例函数的解析式； (2)直接写出不等式的解集； (3)连接，求的面积． 【答案】(1) (2)或 (3)16 【分析】本题考查了反比例函数解析式，反比例函数与一次函数综合．熟练掌握反比例函数与一次函数综合是解题的关键． （1）把点代入，解得，则点的坐标为，然后由反比例函数的图象过点，求反比例函数即可； （2）把点代入直线，解得，即，根据不等式的解集为一次函数图象在反比例函数图象的上方（包含交点）所对应的的取值范围，结合图象作答即可； （3）先求解一次函数与轴的交点坐标，再根据三角形面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：把点代入得，， 解得：， 点的坐标为：， 反比例函数的图象过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：把点代入直线得，， 解得， ∴， 由函数图象可知：当或时，一次函数图象在反比例函数图象的上方， 不等式的解集为或． （3）解：连接，如图所示， ∵直线与轴相交于点， 当时， ∴ ∴ ∴． 15．（23-24八年级下·上海闵行·期末）《九章算术》中记载，浮箭漏（如图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间，某学校数学兴趣小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究，兴趣小组每2h记录一次箭尺读数（箭尺最大读数为），得到如下表： 供水时间x（h） 0 2 4 6 8 箭尺读数y（cm） 6 18 30 42 54 (1)如图②，建立平面直角坐标系，横轴表示供水时间，纵轴表示箭尺读数，请描出以表格中数据为坐标的各点，并连线； (2)观察搞出各点的分布规律，可以知道它是我们学过的什么函数，请结合表格数据，求出该函数的解析式； (3)应用上述得到的规律计算：如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当箭尺读数为时是几点？ 【答案】(1)见解析 (2)一次函数， (3)下午 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）描点并连线即可； （2）根据画出的图象特征判断即可，运用待定系数法求出函数解析式； （3）将代入函数解析式，求出的值，并根据本次实验记录的开始时间计算当箭尺读数为时的时间即可． 【详解】（1）解：描点并连线如图所示： （2）解：观察描出各点的分布规律，可以知道它是我们学过的一次函数，设与之间的函数解析式为、为常数，且． 将，和，分别代入， 得， 解得， 与之间的函数解析式为； （3）解：当时，得， 解得， 上午经过12小时是，即下午． 答：当箭尺读数为时是下午． 学科网（北京）股份有限公司 $$