2.4二次函数的应用同步练习2024-2025学年 北师大版数学九年级下册

2.4二次函数的应用 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，抛物线交x轴的负半轴于点A，点B是y轴的正半轴上一点，点A关于点B的对称点Aʹ恰好落在抛物线上．过点Aʹ作x轴的平行线交抛物线于另一点C，则点Aʹ的纵坐标为（） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 2．如图，已知矩形ABCD的长AB为5，宽BC为4，E是BC边上的一个动点，AE⊥EF，EF交CD于点F，设BE=x，FC=y，则点E从点B运动到点C时，能表示y关于x的函数关系的大致图象是 A． B． C． D． 3．如图是抛物线形的拱桥，当水面宽4m时，顶点离水面2m，当水面宽度增加到6m时，水面下降（　　） A．1m B．1.5m C．2.5m D．2m 4．在平面直角坐标系中，先将抛物线作关于x轴的轴对称变换，再将所得的抛物线作关于y轴的轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 5．图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽，如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（　　）    A． B． C． D． 6．如图，矩形中，，E为上一点（不含点A），O为的中点，连接并延长，交于点F，点G为上一点，，连接，．甲、乙二位同学都对这个问题进行了研究，并得出自己的结论． 甲：存在点E，使； 乙：的面积存在最小值． 下列说法正确的是（    ） A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．甲正确，乙不正确 D．甲不正确，乙正确 7．某种商品每件的进价为30元，在某时间段内若以每件x元出售，可卖出（100－x）件．若想获得最大利润，则定价x应为（    ） A．35元 B．45元 C．55元 D．65元 8．如图，花坛水池中央有一喷泉，水管OP=3m，水从喷头P喷出后呈抛物线状先向上至最高点后落下，若最高点距水面4m，P距抛物线对称轴1m，则为使水不落到池外，水池半径最小为（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．3 9．如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水面AB宽为20米，拱桥的最高点O到水面AB的距离为4米．如果此时水位上升3米就达到警戒水位CD，那么CD宽为（　　） A．4米 B．10米 C．4米 D．12米 10．某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA，O恰为水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下.在过OA的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图），水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是，则下列结论：（1）柱子OA的高度为3m；（2）喷出的水流距柱子1m处达到最大高度；（3）喷出的水流距水平面的最大高度是4m；（4）水池的半径至少要3m才能使喷出的水流不至于落在池外.其中正确的有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4 11．进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价，设平均每次降价的百分率为，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x的函数关系为（     ） A． B． C． D． 12．如图所示，将一根长m的铁丝首尾相接围成矩形，则矩形的面积与其一边满足的函数关系是（   ） A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．二次函数关系 D．反比例函数关系 二、填空题 13．若把抛物线向左平移6个单位长度后得到抛物线，且知抛物线的顶点为，且与轴交于点，抛物线的顶点为，则 ． 14．某商店销售一种进价为50元/件的商品，当售价为60元/件时，一天可卖出200件；经调查发现，如果商品的单价每上涨1元，一天就会少卖出10件.设商品的售价上涨了x元/件（x是正整数），销售该商品一天的利润为y元，那么y与x的函数关系式为 （不写出x的取值范围） 15．在东京奥运会跳水比赛中，中国小花全红婵的表现，令人印象深刻．在正常情况下，跳水运动员进行10米跳台训练时，必须在距水面5米之前完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则容易出现失误．假设某运动员起跳后第t秒离水面的高度为h米，且．那么为了避免出现失误，这名运动员最多有 秒时间，完成规定的翻腾动作． 16．“地摊经济”一时兴起， 小明计划在夜市销售一款产品， 进价40元/件， 售价110 元/件， 每天可以销售 20 件，每销售一件需缴纳摊位管理费用元． 未来 30 天，这款产品将开展 “每天降价1元”的夏日大促活动， 即从第1天起每天的单价均比前一天降1元．通过市场调研发现， 该产品单价每降1元， 每天销量增加4件． 在这30天内，要使每天缴纳摊位管理费用后的利润随天数（为正整数）的增大而增大，的取值范围应为 ． 17．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠B=30°,AB=12cm，点P是AB边上的一个动点，过点P作PE⊥BC于点E,PF⊥AC于点F,当PB=6cm时，四边形PECF的面积最大，最大值为 三、解答题 18．我县某农业合作社对一种特色水果一共开展了35次线上销售，该种水果的成本价为每吨4万元，销售结束后，经过统计得到了如下信息； 信息1：设第次线上销售水果（吨），且第一次线上销售水果为39吨，然后每一次总比前一次销售减少1吨， 信息2：该水果的销售单价（万元/吨）与销售场次之间的函数关系式为 ，且当时，；当时，． 请根据以上信息，解决下列问题． （1）与之间的函数表达式为 ； （2）若（万元/吨），求的值； （3）在这35次线上销售中，哪一次线上销售获得利润最大？最大利润是多少？ 19．某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元．市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：y=﹣x+60（30≤x≤60）．设这种双肩包每天的销售利润为w元． （1）求w与x之间的函数关系式； （2）这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ （3）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于42元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少. 20．已知函数与的交点为A，B（A在B的右边）． (1)求点A、点B的坐标． (2)求的面积． 21．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）与坐标轴交于点A、B、C且OA=1，OB=OC=3． （1）求此二次函数的解析式； （2）写出顶点坐标和对称轴方程； （3）点M、N在y=ax2+bx+c的图象上（点N在点M的右边），且MN∥x轴，求以MN为直径且与x轴相切的圆的半径． 22．某租赁公司拥有汽车100辆.据统计，每辆车的月租金为4000元时，可全部租出.每辆车的月租金每增加100元，未租出的车将增加1辆.租出的车每辆每月的维护费为500元，未租出的车每辆每月只需维护费100元. （1）当每辆车的月租金为4600元时，能租出多少辆？并计算此时租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）是多少万元？ （2）规定每辆车月租金不能超过7200元，当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）可达40.4万元？ （3）当每辆车的月租金定为_________元时，租赁公司的月收益最大. 23．已知二次函数y=ax2+bx-3经过A（-1,0），B（3,0）两点， （1）求二次函数解析式及对称轴方程； （2）连接BC，交对称轴于点E，求E点坐标； （3）在y轴上是否存在一点M，使△BCM为等腰三角形，若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由； （4）在第四象限内抛物线上是否存一点H，使得四边形ACHB的面积最大，若存在，求出点H坐标，若不存在，说明理由． 24．如图1，已知二次函数（a、b、c为常数，a≠0）的图象过点O（0，0）和点A（4，0），函数图象最低点M的纵坐标为，直线l的解析式为y=x． （1）求二次函数的解析式； （2）直线l沿x轴向右平移，得直线l′，l′与线段OA相交于点B，与x轴下方的抛物线相交于点C，过点C作CE⊥x轴于点E，把△BCE沿直线l′折叠，当点E恰好落在抛物线上点E′时（图2），求直线l′的解析式； （3）在（2）的条件下，l′与y轴交于点N，把△BON绕点O逆时针旋转135°得到△B′ON′，P为l′上的动点，当△PB′N′为等腰三角形时，求符合条件的点P的坐标． 《2.4二次函数的应用》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A C A C D D D B D 题号 11 12 答案 D C 1．B 【分析】先求出点A坐标，利用对称可得点横坐标，代入可得纵坐标. 【详解】解：令得，即 解得 点B是y轴的正半轴上一点，点A关于点B的对称点Aʹ恰好落在抛物线上 点的横坐标为1 当时， 所以点Aʹ的纵坐标为2. 故选：B 【点睛】本题考查了二次函数的图像，熟练利用函数解析式求点的坐标是解题的关键. 2．A 【分析】利用三角形相似求出y关于x的函数关系式，根据二次函数的图象和性质进行分析，即可求解． 【详解】解：在矩形ABCD中，∠B=∠C=90°， ∴∠CEF+∠CFE=90°， ∵BC=4，BE=x， ∴CE=4﹣x． ∵AE⊥EF， ∴∠AEB+∠CEF=90°， ∴∠AEB=∠CFE． 又∵∠B=∠C=90°， ∴△AEB∽△EFC， ∴， 即， ∴y=（4x﹣x2）=﹣（x﹣2）2+ ∴y与x的函数关系式为：y=﹣（x﹣2）2+（0≤x≤4） 由关系式可知，函数图象为一段抛物线，开口向下，顶点坐标为（2，），对称轴为直线x=2． 故选：A 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，动点问题的函数图象问题，根据题意求出函数关系式是解题关键． 3．C 【分析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数的解析式，再把代入抛物线的解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴通过，纵轴通过中点且通过顶点，则通过画图可得知为原点， 由平面直角坐标系可知，，即， 设抛物线的解析式为， 将点代入得：，解得， 则抛物线的解析式为，即， 当时，， 所以水面下降， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立平面直角坐标系从而得出二次函数的解析式是解决问题的关键． 4．A 【分析】根据平面直角坐标系中，二次函数关于x轴、y轴轴对称的特点得出答案． 【详解】解：先将抛物线作关于x轴的轴对称变换，可得新抛物线为；再将所得的抛物线作关于y轴的轴对称变换，可得新抛物线为， 故选A． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知关于x轴、y对称的点的坐标特点是解答此题的关键． 5．C 【分析】由图中可以看出，所求抛物线的顶点在原点，对称轴为轴，可设此函数解析式为：，利用待定系数法求解． 【详解】解：设此函数解析式为：， 由题意得：在此函数解析式上， 则 即得， 那么． 故选：C． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，关键是借助二次函数解决实际问题． 6．D 【分析】先证明△EOD≌△FOB得到DE=BF，推出AE=CF，则CF=DG，假设存在点E使得EG⊥FG，可证△EDG≌△GCF得到DE=CF，从而推出AD=CD，再由，推出CD＞AD，与AD=CD矛盾，即可判断甲；可假设设AB=CD=4，BC=AD=3，AE=DG=CF=x，则BF=DE=3-x，CG=4-x，然后根据求出△EFG的面积关于x的二次函数关系式，即可求出△EFG的面积的最小值，同理假设AB=CD=4时，只要满足BC＜AB，都能求出△EFG的面积关于线段AE的长的二次函数关系式，即可求出△EFG的面积有最小值，即可判断乙． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴，∠ADC=∠C=90°，AB=CD， ∴∠ODE=∠OBF，∠OED=∠OFB， ∵O是BD的中点， ∴OB=OD， ∴△EOD≌△FOB（AAS）， ∴DE=BF， ∴AE=CF， 又∵AE=DG， ∴CF=DG， 假设存在点E使得EG⊥FG， ∴∠EGF=90°， ∴∠EGD+∠CGF=90°， 又∵∠EGD+∠DEG=90°， ∴∠DEG=∠CGF， 又∵∠EDG=∠GCF=90°， ∴△EDG≌△GCF（AAS）， ∴DE=CG， ∴AE+DE=DG+CG，即AD=CD， ∵， ∴CD＞AD，与AD=CD矛盾， ∴假设不成立，即不存在点E使得EG与GF垂直，故甲说法错误； 设AB=CD=4，BC=AD=3，AE=DG=CF=x，则BF=DE=3-x，CG=4-x， ∴ ， 即当时，△EFG的面积有最小值， 同理假设AB=CD=4时，只要满足BC＜AB，都能求出△EFG的面积关于线段AE的长的二次函数关系式，即可求出△EFG的面积有最小值，故乙说法正确； 故选D． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，正方形的性质，二次函数的几何应用等等，熟知正方形的性质和全等三角形的性质与判定条件是解题的关键． 7．D 【分析】设所获得的利润为W，根据利润=（售价-进价）×数量，列出W关于x的二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设所获得的利润为W， 由题意得， ∵， ∴当时，W有最大值1225， 故选D． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键在于能够根据题意列出利润关于售价的二次函数． 8．D 【分析】首先建立坐标系，然后利用待定系数法求得函数的解析式，然后令y=0，即可求解． 【详解】如图建立坐标系： 抛物线的顶点坐标是（1，4）， 设抛物线的解析式是y=a（x-1）2+4， 把（0，3）代入解析式得：a+4=3， 解得：a=-1， 则抛物线的解析式是：y=-（x-1）2+4， 当y=0时，-（x-1）2+4=0， 解得：x1=3，x2=-1（舍去）， 则水池的最小半径是3米． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数的解析式是本题的关键． 9．B 【分析】以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作y轴的垂线，建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y＝ax²，由此可得A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4），即可求函数解析式为y＝﹣ x²，再将y＝﹣1代入解析式，求出C、D点的横坐标即可求CD的长． 【详解】解：以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作y轴的垂线，建立直角坐标系， 设抛物线的解析式为y＝ax2， ∵O点到水面AB的距离为4米， ∴A、B点的纵坐标为﹣4， ∵水面AB宽为20米， ∴A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4）， 将A代入y＝ax2， ﹣4＝100a， ∴a＝﹣， ∴y＝﹣x2， ∵水位上升3米就达到警戒水位CD， ∴C点的纵坐标为﹣1， ∴﹣1＝﹣x2， ∴x＝±5， ∴CD＝10， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数在实际问题中的应用，找对位置建立坐标系再求解二次函数是关键． 10．D 【分析】在已知抛物线解析式的情况下，利用其性质，求顶点（最大高度），与x轴，y轴的交点，解答题目的问题即可． 【详解】解：当x=0时，y=3，故柱子OA的高度为3m；（1）正确； ∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4， ∴顶点是（1，4）， 故喷出的水流距柱子1m处达到最大高度，喷出的水流距水平面的最大高度是4米；故（2）（3）正确； 解方程-x2+2x+3=0， 得x1=-1，x2=3， 故水池的半径至少要3米，才能使喷出的水流不至于落在水池外，（4）正确． 故选D． 【点睛】本题考查了抛物线解析式的实际应用，掌握抛物线顶点坐标，与x轴交点，y轴交点的实际意义是解决问题的关键． 11．D 【详解】∴第一次降价后的价格是a×(1−x)， 第二次降价为a×(1−x)×(1−x)=a(1−x)2 ∴y=a(1−x)2. 故选D. 12．C 【分析】设矩形的一边长为xm，求出矩形面积即可判断． 【详解】设矩形的一边长为xm，另一边长为(1-x)m，面积用y表示， ， 故选择：C． 【点睛】本题考查列函数关系式，并判断函数的类型，掌握列函数的方法和函数的特征是解题关键． 13．144 【分析】根据抛物线的平移规则，求出的值，进而求出两条抛物线的顶点坐标和点的坐标，再利用面积公式进行求解即可． 【详解】解：∵把抛物线向左平移6个单位长度后得到抛物线， ∴， ∴， ∴平移以前的抛物线为，平移后的抛物线为， ∴，， ∴， ∵，当时，， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查抛物线的平移，与轴的交点，求顶点坐标．熟练掌握抛物线的平移规则：左加右减，上加下减，是解题的关键． 14． 【分析】根据题意，得出每件商品的利润以及商品的销量，即可得出y与x的函数关系式． 【详解】解：设每件商品的售价上涨x元/件（x为正整数）， 则每件商品的利润为：（60−50＋x）=（10+x）元，销量为：（200−10x）件， 所以商品总利润为：y＝（10＋x）（200−10x）， 故答案为． 【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据每天的利润＝一件的利润×销售量，建立函数关系式，从而借助二次函数解决实际问题． 15．/1.5 【分析】根据题意，令，解一元二次方程求解即可． 【详解】依题意 整理得 即 解得（不符合题意，舍） 故答案为： 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意将代入关系式是解题的关键． 16． 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，注意为正整数所包含的意义，找出所求问题需要的条件．根据题意可以列出相应的不等式，从而可以解答本题． 【详解】解：设未来30天每天获得的利润为y， 化简，得 ∵，当时，随着的增大而增大， ∴ 解得，， 又∵， 即a的取值范围是：． 17．9cm2 【详解】试题分析：设PE=x，在Rt△PEB中，根据∠B=30°，可知PB=2x，BE=x，再在Rt△ABC中，利用三角函数的知识求出BC的长，进而可以表示出CE的长度；然后利用矩形的面积公式，即可得到四边形PECF的面积S关于x的表达式，对表达式进行配方，利用二次函数的最值即可得到答案. 解：设PE=x，由∠B=30°， 得PB=2x，BE=x. 由AB=12cm， 得BC=12×cos30°=6cm， 故CE=BC-BE=6－x. 则四边形PECF的面积=CE×PE=(6－x)x=－x2+6x=－(x-3)2+9， 当x=3cm，即PB=2x=6cm时，四边形PECF的面积最大，最大值是9cm2. 故答案为9cm2. 18．（1）；（2）4；（3）第19次线上销售获得利润最大，且最大利润是79.8万元． 【分析】（1）根据“第一次线上销售水果为39吨，然后每一次总比前一次销售减少1吨”即可列出与之间的函数表达式为； （2）根据当时，；当时，即可求出k1、k2的值，进而得到p与x的函数关系式为，再把代入分段函数，分别求出x=4，x=40，舍去不合题意的x的值，问题得解， （3）设每场获得的利润为（万元），分和两种情况，求出w与x的函数关系式，再分别求出最大值，进行比较，问题得解． 【详解】解：（1）∵第一次线上销售水果为39吨，然后每一次总比前一次销售减少1吨， ∴与之间的函数表达式为； （2）当时，，所以有，解之得，． 当时，，所以有，解之得，． ∴， 当时，，解之得， 当时，，解得．，所以舍去． ∴的值为4； （3）设每场获得的利润为（万元），则有 当时，， ∴当时，最大，且最大值为万元． 当时，， ∴当时，最大，且最大值为万元． ∴第19次线上销售获得利润最大，且最大利润是79.8万元． 【点睛】本题为一次函数、二次函数、反比例函数的综合应用，考查了列一次函数解析式，分段函数、二次函数的性质，反比例函数的性质等知识，综合性较强，熟练掌握各函数性质是解题关键，注意当时，函数不是反比例函数，但注意借鉴反比例函数性质即可求解． 19．（1）w＝﹣x2+90x﹣1800；（2）当x＝45时，w有最大值，最大值是225；（3）该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元． 【分析】（1）每天的销售利润=每天的销售量×每件产品的利润； （2）根据配方法，可得答案； （3）根据自变量与函数值的对应关系，可得答案． 【详解】（1）w＝（x﹣30）•y ＝（﹣x+60）（x﹣30） ＝﹣x2+30x+60x﹣1800 ＝﹣x2+90x﹣1800， w与x之间的函数解析式w＝﹣x2+90x﹣1800； （2）根据题意得：w＝﹣x2+90x﹣1800＝﹣（x﹣45）2+225， ∵﹣1＜0， 当x＝45时，w有最大值，最大值是225． （3）当w＝200时，﹣x2+90x﹣1800＝200， 解得x1＝40，x2＝50， ∵50＞42，x2＝50不符合题意，舍， 答：该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元． 【点睛】本题考查的知识点是二次函数的应用，解题的关键是熟练的掌握二次函数的应用. 20．(1)交点A，B的坐标分别为， (2) 【分析】本题考查了二次函数的图像，一次函数与坐标轴的交点，解一元二次方程，联立两个函数得到点，的坐标是解题的关键． （1）将两个函数的解析式联立组成方程组，求得方程组的解就可得到交点的坐标； （2）根据题意得到，再利用即可求解． 【详解】（1）解：由题意得： 解得：或 在的右边 交点，的坐标分别为，； （2）解：直线与轴交于点 当时，，即点坐标为 又， 点，到的距离分别为3，1 ． 21．（1）y=x2-2x-3；（2）顶点坐标（1，-4），对称轴x=1；（3）或． 【分析】（1）由OA=1，OB=OC=3，可知三点的坐标分别为A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），用待定系数法求得解析式； （2）把解析式变换成顶点式，写出坐标； （3）由（2）知，对称轴为x=1，当MN在x轴下方时，设圆半径为r，则点N的坐标为（1+r，-r），代入解析式求得r的值，同理求得当MN在x轴上方时r的值． 【详解】解：（1）依题意A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）分别代入y=ax2+bx+c， 解方程组得所求解析式为y=x2-2x-3； （2）y=x2-2x-3=（x-1）2-4， ∴顶点坐标（1，-4），对称轴x=1； （3）设圆半径为r，当MN在x轴下方时，N点坐标为（1+r，-r）， 把N点代入y=x2-2x-3得， 当MN在x轴上方时，N点坐标为（1+r，r）， 把N点代入y=x2-2x-3得r=． ∴圆的半径为或． 考点：二次函数综合题. 22．（1）94辆，38.48万元；（2）5000元；（3）7200元. 【分析】（1）由题意，每辆车的月租金每增加100元，未租出的车将会增加一辆，当每辆车的月租金为4600元时，则增加了600元，即减少了6辆，在根据租金和维护费算出月收益即可； （2）设每辆车的月租金设上涨x个100元，由月收益为40.4万元列出等式求解，然后检验每辆车月租金是否超过7200元，超过则不满足； （3）设当每辆车的月租金设上涨x个100元时，租赁公司的月收益为y元，得出函数表达式，由配方法求最大值． 【详解】解：（1）由题意，每辆车的月租金每增加100元，未租出的车将会增加一辆，当每辆车的月租金为4600元时，则增加了600元，即减少了600÷100=6辆，未租出辆，即租出辆； 月收益：（元），即38.48万元； （2）设上涨x个100元， 由题意得： , 整理得： , 解得： 又因为规定每辆车月租金不能超过7200元，则x=54，租金为9400，大于7200故舍去， 则x=10，此时月租金为（元）； （3）设上涨x个100元， 由题意得： 整理得： ， 配方得：， 当x=32时，y有最大值，此时月租金为7200元. 【点睛】本题考查了一元二次方程的运用题型，准确根据题意列出方程，熟练掌握一元二次方程的计算及代数式最值得求解是解决本题的关键，难度适中. 23．（1）二次函数解析式为y=x2-2x-3，对称轴方程为：直线x=1；（2）E（1，-2）；（3）存在：M1（0,3），M2（0，0），M3（0，-3-），M4（0，-3+）；（4）点H坐标为 【分析】（1）将A（-1，0）、B（3，0）代入二次函数y= ，求得a、b的值即可确定二次函数的解析式； （2）求出直线BC：y=x-3，把对称轴方程直线x=1代入，即可求解； （3）在RT△BOC中，根据勾股定理求出BC，据等腰三角形的性质求出①当BC=BM时，M1（0,3）；②当CM=BM时，点M与点O重合，M2（0，0）；③当BC=CM时，M点有两个即M3（0，-3-），M4（0，-3+）； （4）设点H的坐标为 ，连接OH，根据建立二次函数表达式求解即可． 【详解】解：（1）将A，B两点坐标代入y=ax2+bx-3， 得方程组，解得a=1，b=-2， ∴二次函数解析式为y=x2-2x-3，对称轴方程为：直线x=1； （2）设E点坐标为(1，a)， 把B(3，0)，C(0，-3)代入直线BC：y=kx+b， 求得解析式为：y=x-3， 把x=1，代入得：a=-2； ∴E（1，-2）； （3）存在，理由如下： ∵M点在y轴上， ∴设M点坐标为（0，m）， 则由B(3，0)，C(0，-3)，以及两点间的距离公式可得： ，，， ①当BC=BM时，， 即：， 解得：或（不合题意，舍去） ∴M1（0，3）； ②当BM=CM时，， 即：， 解得：， ∴M2（0，0）； ③当BC=CM时，， 即：， 解得：， ∴M3（0，-3-），M4（0，-3+）； 综上，M点的坐标为M1（0，3），M2（0，0），M3（0，-3-），M4（0，-3+）； （4）连接OH，设H点坐标为（x0，x02-2x0-3） S四边形ACHB=S△AOC+S△COH+S△BOH =+x0+|x02-2x0-3| = = ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当x0=时，四边形ACHB的面积最大，此时，x02-2x0-3=， ∴点H坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，涉及了待定系数法求二次函数的解析式的运用，勾股定理的运用，等腰三角形的性质的运用，四边形的面积的运用，解答时求出函数的解析式是关键． 24．（1）；（2）y=x﹣3；（3）P坐标为（0，﹣3）或（，）或（，）． 【分析】（1）由题意抛物线的顶点坐标为（2，），设抛物线的解析式为，把（0，0）代入得到，即可解决问题； （2）如图1中，设E（m，0），则C（m，），B（，0），由E、B关于对称轴对称，可得=2，由此即可解决问题； （3）分两种情形求解即可①当P1与N重合时，△P1B′N′是等腰三角形，此时P1（0，﹣3）．②当PN′=N′B′时，设P（m，m﹣3），列出方程解方程即可； 【详解】由题意抛物线的顶点坐标为（2，），设抛物线的解析式为，把（0，0）代入得到， ∴抛物线的解析式为，即． （2）如图1中，设E（m，0），则C（m，）， ∵直线l是第一与第三象限的角平分线，且， ∴， ∵轴， ∴，， ∴BE=CE， 由折叠的性质得：，， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴B（，0）， ∵E′在抛物线上， ∴E、B关于对称轴对称， ∴ =2，解得m=1或6（舍去）， ∴B（3，0），C（1，﹣2）， 设直线l′解析式为， 则在， 解得：， ∴直线l′的解析式为y=x﹣3． （3）如图2中，①当P1与N重合时，△P1B′N′是等腰三角形，此时P1（0，﹣3）． ②当PN′=N′B′时， 由题意知，点N逆时针旋转135°后在直线l上，且，轴， 由勾股定理得点， 设P（m，m﹣3），则有， 解得m=或， ∴P2（，），P3（，）． 综上所述，满足条件的点P坐标为（0，﹣3）或（，）或（，）． 【点睛】本题是二次函数综合题；考查了待定系数法求二次函数与一次函数解析式，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的判定与性质，几何变换；解答（3）时关键是分类讨论． 学科网（北京）股份有限公司 $$