8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系 课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第八章 立体几何初步 8.4空间点、直线、平面之间的位置关系 8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系 1.了解空间中两直线间的位置关系,会用图形语言和符号语言表示 2.理解空间中直线与平面的位置关系,会用图形语言和符号语言表示 3.掌握空间中平面与平面的位置关系,会用图形语言和符号语言表示 学习目标 复习回顾 1.平面的含义: 2.平面的性质: (1)平面的特征: (2)平面的表示: ①用希腊字母表示:平面a、平面 、平面 . ②用大写英文字母表示:平面ABCD、平面AC. ①平 ②无厚薄 ③无限延展的 如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内. (2)基本事实2 过不在一条直线上的三个点,有且只有一个平面. 也可以简单说成“不共线的三点确定一个平面”. (1)基本事实1 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线. (3)基本事实3 推论1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面. 推论2 经过两条相交直线,有且只有一个平面. 推论3 经过两条平行直线,有且只有一个平面. 复习回顾 文字语言 符号语言 图形语言 1 2 3 前面我们认识了空间中点、直线、平面之间的一些位置关系: 复习回顾 文字语言 符号语言 图形语言 4 5 6 7 导入 前面我们认识了空间中点、直线、平面之间的一些位置关系,如点在平面内,直线在平面内,两个平面相交,等等.空间中点、直线、平面之间还有其他位置关系吗? 长方体是我们熟悉的空间几何图形,下面我们借助长方体进一步研究空间中点、直线、平面之间的位置关系. 观察 长方体有8个顶点,12条棱,6个面.12条棱对应12条棱所在的直线,6个面对应6个面所在的平面.观察如图8.4-11所示的长方体,你有发现这些顶点、直线、平面之间的位置关系吗? 新知讲解 A B C D 图8.4-11 点在直线上 点不在直线上 点不在平面内 点在平面内 空间中点与直线的位置关系有两种: A∈A'A 空间中点与平面的位置关系也有两种: A∉A'B' A∈平面ABCD A∉平面A'B'C'D' 下面我们研究空间中直线、平面之间的位置关系. 新知讲解——空间中直线与直线的位置关系 B D C A' B' C' D' A ①直线AB与 DC在同一个平面ABCD内, 它们没有公共点,它们是平行直线; ②直线AB与BC也在同一个平面ABCD内, 它们只有一个公共点B ,它们是相交直线; ③直线AB与CC'不在任何一个平面内,既不相交也不平行。 我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线(skew lines). 新知讲解——空间中直线与直线的位置关系 所以,空间两条直线的位置关系有三种∶ 平行直线 共面直线 异面直线 相交直线 不同在任何一个平面内,没有公共点 在同一平面内,没有公共点 在同一平面内,有且只有一个公共点 (1) (2) (3) 新知讲解——空间中直线与直线的位置关系 这样,空间中两条直线平行和我们学过的平面上两条直线平行的意义是一致的,即首先这两条直线在同一平面内,其次是它们不相交. 如果直线a,b为异面直线,为了表示它们不共面的特点,作图时,通常用一个或两个平面衬托,如下图 所示, a b b a 新知讲解——空间中直线与直线的位置关系 a与b是相交直线 a与b是平行直线 a与b是异面直线 不一定:它们可能异面,可能相交,也可能平行。 思考:分别在两个平面内的两条直线是否一定异面? a b M a b a b 新知讲解——空间中直线与平面的位置关系 探究:空间中的直线与平面有哪些位置关系? 我们可以借助长方体来研究空间中直线与平面的位置关系 B D C A' B' C' D' A ①直线AB与平面ABCD有无数个公共点; ②直线AA'与平面ABCD只有一个公共点, ③直线A'B'与平面ABCD没有公共点。 于是,空间两条直线的位置关系有三种∶ 直线在平面内 直线与平面有无数个公共点 直线在平面外 直线与平面相交 直线与平面有且只有一个公共点 直线与平面平行 直线与平面没有公共点 新知讲解——空间中直线与平面的位置关系 一般在作图时, 直线a在平面 内,应把直线a画在表示平面 的平行四边形内; 直线a在平面 外,应把直线a或它的一部分画在表示平面 的平行四边形外. (直线在平面内) (直线与平面平行) (直线与平面相交) 新知讲解——空间中平面与平面的位置关系 探究:空间中的平面与平面有哪些位置关系? 我们可以借助长方体来研究空间中平面与平面的位置关系 B D C A' B' C' D' A ①平面与平面没有公共点; ②平面与平面有无数公共点,恰好形成了一条公共直线, 我们可以看出,两平面的位置关系有且只有以下两种: 两平面有一条公共直线 两平面相交 两平面没有公共点 两平面平行 画两个互相平行的平面时,要注意使表示 平面的两个平行四边形的对应边平行 新知讲解——空间中平面与平面的位置关系 【探究】 A B C D 图8.4-15 与其他同学交流一下你的结果 典例分析——空间中点、线、面的位置关系 例1: 如图,用符号表示下列图形中直线、平面之间的位置关系. 【分析】 【解析】 根据图形,先判断直线、平面之间的位置关系, 然后用符号表示出来. A B l (1) a a b l (2) P 巩固练习——空间中点、线、面的位置关系 变式: 【答案】 C D A B 【知识点】判断图形中的线面关系、判断图形中的面面关系 【分析】根据空间中点线面的几何表示即可逐一求解. ∉ 巩固练习——空间中点、线、面的位置关系 练习1: 已知两直线,,两平面,,若,,∥,则与的位置关系是( ) A.平行 B.相交 C.异面 D.平行或异面 解:因为∥,所以与没有公共点, 又,,所以与没有公共点, 则与的关系为平行或异面. D 巩固练习——空间中点、线、面的位置关系 练习2:如图,在长方体中, ①直线与直线的位置关系是_; ②直线与直线的位置关系是_; ③直线与直线的位置关系是_. 平行 相交 异面 练习3:已知直线与平面,满足,,则与的位置关系是_. 答:平行、异面或相交 典例分析——空间中点、线、面的位置关系 例2: 【解析】 A B a 图8.4-17 巩固练习——空间中点、线、面的位置关系 练习:已知ABCD是空间四个点,且直线AB与CD是两条异面直线.证明:直线AC与BD也是异面直线. 解:因为直线与是两条异面直线, 所以平面, 因为平面,,平面, 所以与是异面直线. 课堂总结 直线在平面内 直线在平面外 直线与平面平行 直线与平面相交 直线与平面有无数个公共点 直线与平面有且只有一个公共点 直线与平面没有公共点 共面直线 异面直线 平行直线 相交直线 不同在任何一个平面内,没有公共点 在同一平面内,没有公共点 在同一平面内,有且只有一个公共点 两平面平行 两平面没有公共点 两平面相交 两平面有一条公共直线 课后练习 P131练习 D 两直线平行与异面时都没有公共点 课后练习 P131练习 D A B C D 课后练习 P131练习 A B C D 课后练习 P131练习 3.判断下列命题是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“ ”. 也可能直线在平面内 √ 课后练习 P131练习 课后练习 P131习题8.1 a b A c A B C D l 课后练习 P131习题8.1 C B a 课后练习 P131习题8.1 3.判断下列命题是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“ ”. √ c b a A B C A C B D a b l 课后练习 P131习题8.1 2 a b c 课后练习 P131习题8.1 平行或在这个平面内 a 课后练习 P131习题8.1 a b b 课后练习 P131习题8.1 5.正方体各面所在平面将空间分成几部分? 解析:正方体各面所在平面分空间为27部分. 课后练习 P131习题8.1 6.如果一条直线与两条平行直线都相交,那么这三条直线共面吗?请说说你的理由. 两条平行直线确定唯一的平面,第三条直线有两个点在此平面内,则第三条直线也在这个平面内,所以这三条直线共面. a b A B c 课后练习 P131习题8.1 7.如图,三条直线两两平行且不共面,每两条直线确定一个平面,一共可以确定几个平面?如果三条直线相交于一点,它们最多可以确定几个平面? 三条直线两两平行且不共面,一共可以确定三个平面;如果三条直线相交于一点,则最多可以确定三个平面. 课后练习 P131习题8.1 (第8题) 课后练习 P131习题8.1 9.如图是一个正方体的展开图,如果将它还原为正方体,那么在AB,CD,EF,GH这四条线段中,哪些线段所在直线是异面直线? 还原正方体如图,直线EF和直线HG异面,直线AB和直线HG异面,直线AB和直线CD异面. A C B D G H E F A F(B) D H E G(C) 课后练习 P131习题8.1 10.在本节,我们学习了平面,了解了它的基本特征以及一些利用点、直线、平面等组成立体图的基本元素刻画这些特征的方法.类似地,直线有什么基本特征?如何刻画直线的这些基本特征? 直线是直的,是无限延伸的,没有粗细. A. B. C. D. (1) , : ; (2) , 且 : ; (3) , : ; (4) , , , : . 把下列符号叙述所对应的图形的字母编号填在题后横线上. $$