2025年九年级数学中考二轮复习 实际问题与反比例函数解答题 专题提升训练

2025年九年级数学中考二轮复习 《实际问题与反比例函数解答题》专题提升训练 1．如图，某校在综合实践活动课上，小明设计了一个探索杠杆平衡条件的装置，在左边固定的托盘中放置一个重物（质量固定），在右边可左右移动的托盘中放置一定质量的砝码（质量记为），可使仪器水平平衡（平衡时遵循杠杆平衡条件）．改变托盘与点之间的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表格： 托盘与点的距离 10 15 20 25 30 托盘中的砝码质量 30 20 15 12 10 (1)与之间的函数表达式为____________． (2)当砝码的质量为时，求托盘与点之间的距离． (3)当托盘向左移动（不能移动到点）时，应往托盘中添加砝码还是减少砝码?并说明理由． 2．小明家在进行房屋装修时，使用了某品牌的装修材料，此材料会散发甲醛．经过测试，在自然扩散的情况下，从施工开始到结束，室内平均每立方米的甲醛含量（毫克/立方米）与时间（月）成正比例．施工结束后，与成反比例．这两个变量之间的关系如图所示．请根据图中信息，回答下列问题： (1)求施工结束后关于的函数解析式； (2)已知国际上适宜居住的甲醛含量标准为小于或等于毫克/立方米，按照这个标准．请问小明一家从施工开始计算，至少经过多久才可以入住？ 3．如图是一款可调节亮度的台灯，可通过调节台灯的电阻，控制电流的变化实现亮度的调节．该台灯工作时电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系．它的图象如图所示． (1)求这个反比例函数的解析式； (2)若该台灯工作的最小电流为，最大电流为，求该台灯的电阻的取值范围． 4．如图①是一盏亮度可调节的台灯，工作时电压不变，通过调节总电阻来控制电流实现灯光亮度调节，电流（单位：）与电阻（单位：）之间成反比例函数关系，对应的函数图象如图②所示，已知点在函数图象上． (1)求电流与电阻之间的关系式； (2)当台灯电流在时，光照适合看书写字，求出此时电阻的取值范围． 5．某型号的饮水机接通电源后就进入自动加热程序，水温升至后自动停止加热，停止加热后水温开始下降，当水温降至，饮水机再次启动自动加热，重复上述程序，一个周期内水温与时间的关系如图所示，（水温上升过程中温度与时间成一次函数；水温下降过程中，温度与时间成反比例函数），根据图象，解答下列问题： (1)饮水机从接通电源到下一次开机的时间为多少分钟？ (2)一个周期内水温不低于的时间为多少分钟？ 6．某工业大学学生在研究一种新型材料时，需先将材料加热到，再进行加工操作．如图，停止加热后，温度与时间成反比例关系． (1)求材料停止加热后与的函数关系式． (2)根据工艺要求，停止加热后，当材料温度不低于时，可以对材料进行加工，那么加工的时间有多长？ 7．如图是“水上滑梯”的侧面图，矩形为向上攀爬的梯子，以水面为x轴，所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，其中滑梯段可看成是反比例函数图象的一段，滑梯平台距水面的高度为6米，宽度为1米，滑梯出口C点到水面的距离为1.2米.求： (1)直接写出段所在的反比例函数表达式______（不写自变量取值范围）； (2)求C点到的距离是多少? (3)若滑梯上有一个小球Q，Q距的距离不少于2米，请直接写出点Q到水面的距离至多是_____米. 8．受新冠肺炎疫情的影响，运城市某化工厂从2020年1月开始产量下降．借此机会，为了贯彻“发展循环经济，提高工厂效益”的绿色发展理念；管理人员对生产线进行为期5个月的升级改造，改造期间的月利润与时间成反比例函数；到5月底开始恢复全面生产后，工厂每月的利润都比前一个月增加10万元．设2020年1月为第1个月，第个月的利润为万元，其图象如图所示，试解决下列问题： (1)分别写出该化工厂对生产线进行升级改造期间以及改造后与的函数表达式；（不用写出自变量取值范围） (2)到第几个月时，该化工厂月利润才能再次达到100万元？ (3)当月利润少于50万元时，为该化工厂的资金紧张期，问该化工厂资金紧张期共有几个月？ 9．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压（千帕）是气球的体积（立方米）的反比例函数，其图象如图所示． (1)求该反比例函数的表达式；（不用写自变量的取值范围） (2)当气球内的气压为千帕时，求气球的体积． 10．扶沟县坚持“提质效、扩规模、创品牌、延链条、建平台、强体系”的总体思路，大力发展蔬菜产业，成为河南蔬菜生产第一大县．某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培蔬菜试验期间，某天气的恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系式如图所示，其中线段，表示恒温系统的开启阶段，双曲线的一部分表示恒温系统的关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题： (1)求关于的函数解析式． (2)已知一种蔬菜在温度为到的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前大棚内的温度是，则这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长？ 11．一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间（单位：）与行驶速度（单位：）满足函数关系式，其图象为如图所示的一段曲线，且端点为，． (1)求与的值； (2)受天气影响，若行驶速度不得超过，则汽车通过该路段至少需要多长时间？ 12．为了全面推进乡村振兴，进一步提高村民环境保护的意识，某乡镇开展清理河道垃圾保护生态文明活动，用实际行动践行绿水青山就是金山银山的生态理念．如图，志愿者团队清理河道所需的天数（天）是每天完成的工程量天）的反比例函数，其图象经过点． (1)求这一函数的解析式； (2)已知该志愿者团队每天能够清理河道，清理完这条河道一共需要多少天？ 13．心理学家研究发现，一般情况下，一节课分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数随时间（分钟）的变化规律如图所示（其中、分别为线段，为双曲线的一部分）： (1)开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？ (2)一道数学竞赛题，需要讲分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？ 14．如图，利用秤杆研究杠杆原理．用细绳绑在秤杆上的点O处并将其吊起来，在点O右侧的秤钩上挂一个物体，在点O左侧的秤杆上有一个动点A（最长为），在点A处用一个弹簧秤向下拉．当秤杆处于水平状态时，分别测得弹簧秤的示数y（单位：N）与的长度x（单位：）的五组对应值如表所示． x 10 20 30 40 50 y 24 12 8 6 4.8 (1)由表格中数据判断y与x之间是什么函数，并求y关于x的函数表达式． (2)当的长度为时，求弹簧秤的示数． (3)嘉嘉在做实验时记录一个数据为，淇淇认为这个数据有问题，请你帮助淇淇说明理由． 15．心理学研究发现，一般情况下，在一节45分钟的课中，学生的注意力随学习时间的变化而变化．开始学习时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数随时间（分钟）的变化规律如图所示（其中分别为线段，为双曲线的一部分，注意力指标数越大，学生的注意力越集中）． (1)分别求出线段和曲线的函数解析式； (2)开始学习后第5分钟时与第35分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？为什么？ (3)为贯彻“品质课堂”的教育理念，以立德树人为根本任务，以“减负增效提质”为目标，立足打造“教有品、学有质、评有效”的品质课堂，某节数学课的学习主要可分为三个环节：即“整体感知，明确目标--探究思考，归纳新知—辨别应用，巩固新知”，其中重点环节“探究思考，归纳新知”这一过程要求至少需要30分钟才能完成，为了确保效果，要求学习时的注意力指标数不低于40．请问这样的要求能否实现？如果能，请写出如何安排此环节的时间；如果不能，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年九年级数学中考二轮复习《实际问题与反比例函数解答题》专题提升训练》参考答案 1．(1) (2)托盘与点之间的距离是 (3)应往托盘中添加砝码，理由见解析 【分析】（1）由表格中，即可得到与之间的函数表达式； （2）把代入求解即可得到答案； （3）由反比例函数性质即可得到答案． 【详解】（1）解：由 托盘与点的距离 10 15 20 25 30 托盘中的砝码质量 30 20 15 12 10 中数据可知，， 与之间的函数表达式为， 故答案为：； （2）解：把代入，得，解得， 答：当砝码的质量为时，托盘B与点之间的距离是． （3）解：应往托盘中添加砝码． 理由如下： ∵， ∴该函数图象在第一象限内，的值随值的增大而减小， ∵当托盘向左移动（不能移动到点）时，逐渐减小， ∴逐渐增大， ∴应往托盘中添加砝码． 2．(1) (2)个月 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的应用，理解题意，结合函数图像获取所需信息是解题的关键． （1）利用待定系数法，将点代入，求出反比例函数解析式即可； （2）利用（1）求出的解析式，当时，，解得，即可求出答案． 【详解】（1）解：当时，设此阶段关于的函数解析式为， 将点代入，可得，解得：， 所以施工结束后关于的函数解析式为； （2）解：当时，，解得：， 答：小明一家从施工开始计算，至少经过个月才可以入住． 3．(1) (2) 【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，已知函数值求自变量值． （1）设，代入即可求出； （2）将和分别代入（1）中反比例解析式求出的值，即可求出本题答案． 【详解】（1）解：设由函数图象可知，其经过点． 把代入，得，解得． ∴这个反比例函数的解析式为； （2）解：当时，，解得． 当时，，解得． 所以该台灯的电阻的取值范围是． 4．(1) (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，弄清题意是解题的关键． （1）用待定系数法求出反比例函数的解析式； （2）分别把和代入（1）中解析式求出的值，再根据反比例函数的性质求出I的取值范围． 【详解】（1）解：设电流与电阻的关系式为， 将点代入得：， 解得， 故电流与电阻的关系式为：； （2）解：当时，， 当时，， 因为随的增大而减小， 所以电阻的范围为：． 5．(1)15分钟 (2)11分钟 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的实际应用，求出函数解析式是解题关键． （1）先求出水温下降过程中的反比例函数解析式，即可求解； （2）先求出水温上升过程中的一次函数解析式，进而求出升温到的时间，再根据（1）所得关系式，求出降温至的时间，即可求解． 【详解】（1）解：设反比例函数关系式为：， 将代入，得， ∴， 将代入，解得：， ∴饮水机接通电源到下一次开机的间隔时间为15分钟； （2）解：设一次函数关系式为：， 将，代入， ，解得：， ∴， 当时，，解得：， 将代入，解得：， 则， 要想喝到超过的水，有11分钟． 6．(1) (2) 【分析】（1）设反比例函数的解析式为，把代入解析式列式计算确定k值即可； （2）将代入得到，得，计算时，反比例函数的值，其差即为所求． 本题考查了反比例函数的应用、待定系数法求解析式，熟练掌握待定系数法，明确时长等于交点横坐标的差是解题的关键． 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为， 把代入解析式，得， 故反比例函数的解析式为． （2）解：将代入， 解得， ∴， 当时，； 故加工的时长为． 7．(1) (2)4米 (3)2 【分析】本题考查了反比例函数的应用，矩形的性质，掌握的识别图形是解题的关键． （1）可得，设双曲线的解析式为，得到，于是得到结论； （2）由题意得，将代入求得，即可求解C点到的距离； （3）先确定Q距轴的距离不少于3米，那么当时，，再根据反比例函数的性质求解． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形， ∴轴， ∴， 设双曲线的解析式为， ， 段所在的反比例函数关系式是， 故答案为：； （2）解：由题意得，， ∴将代入得：， 解得：， ∴C点到的距离是（米）； （3）解：∵Q距的距离不少于2米， ∴Q距轴的距离不少于3米， ∴当时，， ∵， ∴在第一象限内，随着的增大而减小， ∴Q距轴的距离不少于3米时，点Q到水面的距离至多2米， 故答案为：2． 8．(1) (2)到第13个月时，该化工厂月利润再次达到100万元 (3)该化工厂资金紧张期共有5个月 【分析】本题考查了反比例函数的应用，一次函数的应用，正确的理解题意是解题的关键． （1）根据题意利用待定系数法即可得到函数解析式； （2）把代入即可得到结论； （3）对于，当时，得，得到时，，对于，当时，得到，于是得到结论． 【详解】（1）解：当时，由月利润与时间成反比例函数，设函数解析式为：， 由图可知：在函数图像上， ， ， 当时， 当时，设函数为， 由从6月初开始恢复全面生产后，工厂每月的利润都比前一个月增加10万元， ， 由图可知，过点， ， ， ， 综上：， （2）解：在函数中，令，得， 解得：， 答：到第13个月时，该化工厂月利润再次达到100万元． （3）解：在函数中， 当时，， ∵，y随x的增大而减小， ∴当时，， 在函数中， 当时，得 解得： ∴且x为整数； ∴x可取3，4，5，6，7；共5个月． 答：该化工厂资金紧张期共有5个月 9．(1) (2)立方米 【分析】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是掌握反比例函数的图象和性质，根据点在反比例函数图象上，求出反比例系数，再根据反比例函数的性质，进行解答，即可． （1）设，根据点在反比例函数图象上，代入，求出，即可； （2）根据题意，当，代入反比例函数解析式，求出，即可． 【详解】（1）解：设， 由函数图象可得，点在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∴反比例函数的表达式为． （2）解：由（1）得，反比例函数的表达式为：， 当时， ∴， 答：当气球内的气压为千帕时，气球的体积为立方米． 10．(1) (2)这种蔬菜一天内最适合生长得时间有 【分析】本题考查了反比例函数的应用的知识，掌握以上知识是解答本题的关键． （1）应用待定系数法求函数解析式即可； （2）观察图象可知：三段函数都有的点，而且段是恒温阶段，，所以计算和两段当时对应的值，相减然后即可求解； 【详解】（1）解：设双曲线解析式为：， 把代入， 求解得：， 根据图像可得， ∴双曲线解析式为：； （2）解：设的解析式为：， 把，代入中得： ， 解得：， ∴线段解析式：， 把代入解得， 把代入得解得， ∴， 答：这种蔬菜一天内最适合生长得时间有． 11．(1)，； (2)． 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用．解决本题的关键是利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再利用解析式求出相应的点的坐标即可． 把点的坐标代入，求出的值，从而得到反比例函数的解析式为，再把点代入解析式即可求出的值； 求出当时，，可知汽车通过该路段至少需要． 【详解】（1）解：把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 函数关系式为， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：； （2）解：当时，可得， 汽车通过该路段至少需要． 12．(1)； (2)清理完这条河道一共需要6天． 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）设出反比例函数解析式，利用待定系数法求解即可； （2）求出当时，y的值即可得到答案． 【详解】（1）解：设y与x的函数解析式为， ∵点在函数图象上， ∴， ∴所求函数解析式为； （2）解：当时，， ∴， 答：清理完这条河道一共需要6天． 13．(1)第分钟注意力更集中 (2)经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的应用． （1）分别从图象中找到其经过的点，利用待定系数法求得和的函数表达式，再分别求第五分钟和第三十分钟的注意力指数，最后比较判断； （2）分别求出注意力指数为时的两个时间，再将两时间之差和比较，大于则能讲完，否则不能． 【详解】（1）解：设线段所在的直线的解析式为， 把代入得，，解得， ． 设、所在双曲线的解析式为， 把代入得，， 当时，， 当时，，    答：第分钟注意力更集中． （2）令， ， 令， ， ， 答：经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目． 14．(1)反比例函数， (2)弹簧秤的示数为 (3)见解析 【分析】本题考查反比例函数的应用： （1）根据表格数轴可知为定值，得出y与x之间是反比例函数，再将一组数据代入即可求解； （2）将代入（1）中解析式即可求解； （3）将代入（1）中解析式，求出对应的x的值，即可判断． 【详解】（1）解：反比例函数． 设函数表达式为， 将代入上式，得， 解得， ∴y关于x的函数表达式为； （2）解：当时，． 答：弹簧秤的示数为4N． （3）解：将代入中，得， 解得． ∵， ∴y不可能等于2． 15．(1) (2)第35分钟时学生的注意力更集中，见解析 (3)要求能够实现，见解析 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的实际应用． （1）从图象上看，表示的函数为一次函数 ，为反比例函数的一部分，设出解析式，代入数值可以解答； （2）把和的值代入相对应的函数解析式，求出对应的函数值比较得出； （3）求出40相对应的自变量的取值范围，与30相比较，得出答案． 安排时间具体方案答案不唯一，合理即可． 【详解】（1）解：设，把代入函数解析式得 ， 解得： ∴， 设，把代入函数解析式解得； （2）解：把代入，得， 把代入， 得， 因为，所以第35分钟时学生的注意力更集中； （3）解：由题意知，注意力指数不低于40 当即；同时，即 即当开始上课分钟直至上课37.5分钟时学生的注意力指数均不小于40． 而 ∴要求能够实现． 具体方案答案不唯一，合理即可． 例1：探究思考，归纳性质环节不早于分钟开始，不早于分钟结束． 例2：探究思考，归纳性质环节不晚于分钟开始，不晚于分钟结束． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$