2025年九年级数学中考二轮复习圆的综合解答题专题训练

2025年九年级数学中考二轮复习 圆的综合解答题专题训练 1．如图中，，平分交于点，以点为圆心，为半径作． (1)求证：与相切； (2)若，求的半径． 2．如图，是的直径，是的一条弦，是的切线，且，延长交于点，交于点，连接． (1)求证：； (2)若的半径为5，，求的长． 3．如图，，是的切线，，为切点，为上的一点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 4．如图，在中，是直径，是弦，平分且与交于点，过作交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的直径． 5．如图，为的弦，直径于点E，点M为上一点，． (1)求证：． (2)求． 6．如图，为的直径，过圆上一点D作的切线交的延长线于点C，过点O作交于点E，连接． (1)求证：直线是的切线； (2)若，求的半径及的长． 7．如图，是直角三角形，点O是线段上的一点，以点O为圆心，为半径作圆O交线段于点D，作线段的垂直平分线，交线段于点． (1)若，求的度数； (2)证明：是的切线． 8．如图，是的直径，射线交于点，是劣弧上一点，且，过点作于点，延长和的延长线交于点． (1)证明：是的切线； (2)若的面积为，，求的长． 9．如图，中，的顶点O，D在边上，顶点E，F分别在边上，以点O为圆心，长为半径的与相交于点D，与相切于点E． (1)求证：是直角三角形； (2)若，，求的长． 10．如图，四边形内接于，，P为延长线上一点，且． (1)求的度数； (2)探究与的位置关系，并证明． 11．如图，是的直径，是的弦，过点作于点，与的切线交于点，连接，，． (1)求证：是的切线． (2)连接，．若，，的半径为6，求的长． 12．如图，是的直径，点在上，作，连接交于点，交于点，过点作的切线，交于点，当时； (1)求证：； (2)若，，求的半径． 13．如图，是的内接三角形，，点D在的延长线上，且．    (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为2，求图中阴影部分的面积．（结果保留和根号） 14．如图①，独轮车俗称“手推车”，又名辇、鹿车等，是交通运输工具史上的一项重要发明，至今在我国农村和一些边远地区仍然广泛使用． 如图②所示为从独轮车中抽象出来的几何模型． 在 中，以 的边为直径作， 交于点 P，， 且， 垂足为点 D． (1)求证：是的切线； (2)若，，求弧的长． 15．如图，在中，，以为直径的分别交，于点，，的延长线与的切线交于点． (1)求证：； (2)若，，求半径的长及的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1)证明过程见详解 (2)3 【分析】本题主要考查了圆的切线的判定与性质，角平分线的性质定理，圆的切线的定义 ，过圆心作直线的垂线是解决此类问题常添加的辅助线． （1）过点作于点，，利用圆的切线的性质定理和角平分线的性质得到，再利用圆的切线的定义解答即可； （2）利用切线长定理和勾股定理解答即可得出结论． 【详解】（1）证明：过点作于点，如图， ，为半径作． 是的切线， 平分，，， ， 是的半径， 为的半径， 圆心到直线的距离等于的半径， 是的切线； （2）解：是的切线，， ， ， ， 中，， 中，， 即， ，即的半径为3． 2．(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据切线的性质得出，由等腰三角形的性质得，根据等角的余角相等得出，即可证得． （2）易得，则，，由，得，即可得出结论． 本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的性质及判定，熟练掌握作辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：证明：是的切线， ， ，． 又， ， ， ； （2）连接， 是的直径， ， 在中，，， ， ， ，由（1）知，， ， ，，即， ， 又， ， ． 3．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，延长交于点，先证明，由同圆的半径相等得，由平角的定义和三角形的内角和定理可得：，最后由平行线的判定可得结论； （2）延长交于点，过点作于，由垂径定理得：，由勾股定理计算的长，设，则，，根据勾股定理列方程可得结论． 【详解】（1）证明：如图1，连接，延长交于点， ，是的切线，，为切点， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ； （2）解：如图2，延长交于点，过点作于， ， ， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 由勾股定理得：， ，是的切线，，为切点， ， 设，则，， ，， ， ， ， ， 解得：， ． 【点睛】本题考查的是切线长定理，垂径定理，勾股定理，四边形的内角和定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 4．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由题意可得，可证，则可得，根据切线的判定可证是的切线； （2）过点作，垂足为，可证四边形是矩形，可得，，再根据勾股定理可求的长，即可求的直径． 【详解】（1）证明：如图，连接， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线； （2）解：如图，过点作，垂足为， ，，， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 在中，， ， ， ， 的直径是． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，垂径定理，角平分线的性质，矩形的判定与性质，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键． 5．(1)见解析 (2) 【分析】（1）先根据垂径定理得出，再由，可知，设，的半径等于，则，连接，在中，，，根据勾股定理用x表示出及的值，进而可得出结论； （2）根据（1）)得，，由圆周角定理得可得出结论， 【详解】（1）证明：的直径于点E， ， ， ， 设，的半径等于，则， 如图，连接， 在中，，，由勾股定理得：， 解得，， ， ， ； （2）解：，，， ． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，三角函数，勾股定理，圆周角定理等知识点，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 6．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质以及勾股定理是解题的关键． （1）由切线的性质可得，然后利用平行线和等腰三角形的性质可得平方，从而可得，进而可证，最后利用全等三角形的性质即可解答； （2）设的半径为r，在中，利用勾股定理求出r的长，再利用（1）的结论可得，最后在中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【详解】（1）证明：与相切于点D， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 为的半径， ∴直线是的切线； （2）解：设的半径为r， ， ， ， ， ， 由（1）得， ， ， ， 解得． 7．(1) (2)见解析 【分析】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质． （1）根据三角形的内角和定理得到，根据等腰三角形的性质得到，于是得到； （2）根据线段垂直平分线的性质得到，求得，根据切线的判定定理即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． 8．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由可得，由得到，可得，推出，结合，即可求证； （2）在中，根据三角形的面积公式求出，再由勾股定理求得，最后根据，即可求解； 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线； （2）解：在中，， 的面积为，， ， , ， ， ． 【点睛】本题考查了切线的判定、圆周角定理、等腰三角形的性质，勾股定理及平行线的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． 9．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的性质，平行四边形的性质与判定，菱形的性质与判定，正弦函数等知识点，掌握图形的基本性质，熟练运用正弦函数值以及勾股定理是解题关键． （1）连接，根据切线的性质以及平行四边形的性质，推出，即可证得结论； （2）由平行线的性质推出，从而求出、，然后证得四边形是菱形，通过设，，在中，运用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵与相切于点E， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （2）解；∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， 设，则， ∴， ∴（舍去负值）， ∴． 10．(1) (2)相切，证明见解析 【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定： （1）由圆周角定理的推论推出是的直径，进而得到，平角的定义求出的度数，即可； （2）根据圆周角定理，结合已知条件得到，推出，即可得出结论． 【详解】（1）解：连接， ， 是的直径， ， ； （2）与相切； 证明：， ， ，， ， ， ， ∵是的直径， 与相切； 11．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆的切线的判定与性质，垂径定理，圆周角定理以及解直角三角形等知识点，解题的关键是利用全等三角形证明角的关系来判定切线，以及通过圆周角定理求出相关角度进而求解线段长度． （1）通过证明得到角相等，从而证明，以此判定是圆的切线． （2）先根据圆周角定理求出的度数，再利用直角三角形的性质求出的长． 【详解】（1）证明：为的切线，是的半径， ， ． ，， ． ， ， ， ． 是的半径， 是的切线． （2），， ， ． 同理，可得， ， ． 在中，． 设，则． 由勾股定理，得， （负值已舍去）， ． 12．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，由切线的性质得到，根据圆周角定理得到，根据，得到，由此即可求解； （2）连接，根据直径所对圆周角为直角得到，由，得到，再证明，得到，则， 在中，由，得到，则，在中由勾股定理得到，由此即可求解． 【详解】（1）解：连接， ∵与相切于点， ∴，即， 又∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， 由（1）可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，则， 又∵， ∴， 在中 ，， ∴的半径为． 【点睛】本题主要考查切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数的计算，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识的综合，掌握切线的性质，锐角三角函数的计算，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 13．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定定理、扇形的面积公式，勾股定理，直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）连接，证明即可得证； （2）过点O作，垂足为点E，求出，，再根据计算即可得解． 【详解】（1）证明：如答图1，连接，   ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 在中，， ， ， ，即， 是半径， 是的切线． （2）解：过点O作，垂足为点E，   ，， 在中，，， ， ， ， ， ， ， ． 答：图中阴影部分的面积为． 14．(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据等边对等角并结合已知可得出，则可证明，再关键平行线的性质得出，最后根据切线的判定即可得证； （2）根据圆周角定理求出，证明是等边三角形，得出，在中，根据含角的直角三角形的性质求出，最后根据弧长公式求解即可． 【详解】（1）证明：连接，如图 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又∵为半径， ∴是的切线； （2）解：连接，如图， ， ， ， 为等边三角形， ， 由（1）得， ， ， ， ∴弧的长． 【点睛】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，圆周角定理，弧长公式等知识，正确添加辅助线，熟练掌握知识点是解题的关键． 15．(1)见解析 (2)半径的长为5；的长为8 【分析】本题主要考查了切线的性质、三角函数，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用是解答此题关键． （1）首先连接，由为直径，可得，又由是的切线，易证得．然后由，证得：； （2）证明得求出，可得圆的半径，连接，证明，由正弦求出的长，进而求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接． ∵为的直径， ∴， ∴． ∵是的切线， ∴，即． ∴． ∵， ∴． ∴． （2）解：∵， ∴ ∵是的切线， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵, ∴ ∴； ∴的半径为； 连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$