云南省玉溪师范学院附属中学2023-2024学年高二下学期校二测数学试题

玉溪师院附中2025届高二下学期校二测数学试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150 出题人：普媛 审题人：陈奕谷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，则“”的必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 2. 记为等比数列的前项和，若，则（ ） A. 12 B. 15 C.18 D. 21 3. 已知向量，，且，则（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 4.为了了解全国观众对2024年春晚语言类节目的满意度，某网站对2024年春晚的2700名观众，按性别比例分层随机抽样的方法进行抽样调查，已知这2700名观众中男、女人数之比为，若样本容量为135，则不同的抽样结果共有（ ） A．种 B．种 C．种 D．种 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 6.荀子《劝学》：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”这告诉我们中学生要不断学习才能有巨大的进步．假设学生甲和学生乙刚开始的“日学习能力值”相同、学生甲的“日学习能力值”都在前一天的基础上提高1%，而学生乙的“日学习能力值”与前一天相同，那么当学生甲的“日学习能力值”是学生乙的2倍时，大约经过了（ ） （参考数据：，） A. 60天 B. 65天 C. 70天 D. 75天 7．在平面直角坐标系中，已知为双曲线的右顶点，以为直径的圆与的一条渐近线交于另一点，若，则的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 4 8. 东汉末年的数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股 定理的证明， 后人称其为 “赵爽弦图”. 如图 1 ， 它由四个全等的直角三 角形与一个小正方形拼成的一个大正方形. 我们通过类比得到图 2， 它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形 拼成的一 个大等边三角形， 若， 则（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示的在长方体中，若，、分别是、的中点，则下列结论中成立的是（ ） A. 与垂直 B. 与所成的角大小为 C. 与平面所成角大小为 D. 直线与平面平行 11．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．已知某港口水深（单位：）与时间（单位：）从时的关系可近似地用函数来表示，函数的图象如图所示，则（ ） A． B．函数的图象关于点对称 C．当时，水深度达到 D．已知函数的定义域为，有个零点，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 集合，则__________． 13. 已知p：∃x∈R，x2＋2x＋a≤0，若p是错误，则实数a的取值范围是__________．(用区间表示) 14. 五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽，若把这五个音阶全用上，排成一个五个音阶的音序，且要求宫、羽两音阶不相邻且在角音阶的同侧，则可排成不同的音序种数为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （本小题满分13分）已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）若恒成立，求的取值范围. 16. （本小题满分15分） （1）已知的展开式中的“二项式系数之和”比“各项系数之和”大255，求的值； （2）求展开式所有的有理项； （3）求展开式中系数最大的项. 17.（本小题满分15分）如图，多面体是由一个正四棱锥与一个三棱锥拼接而成，正四棱锥的所有棱长均为，． （1）在棱上找一点G，使得平面平面，并证明你的结论； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 18．（本小题满分17分）已知数列是等差数列，数列是等比数列，且，，. (1)求数列，的通项公式. (2)对任意的正整数，，求数列的前项和. 19.（本小题满分17分）如图，为圆上一动点，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为，，连接并延长至点，使得，点的轨迹记为曲线． （1）求曲线的方程； （2）若过点的两条直线，分别交曲线于，两点，且，求证：直线过定点； （3）若曲线交轴正半轴于点，直线与曲线交于不同的两点，，直线，分别交轴于，两点．请探究：轴上是否存在点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 玉溪师院附中2025届高二下学期期中考试数学试卷1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 玉溪师院附中2025届高二下学期校二测数学试卷答案 一、单选题:CDADBCBB 二、多选题：BC ACD ACD 三、填空题： 32 四、解答题： 15解：（1）∵，∴， 令，解得：， 所以，函数在上单调递减，，函数在上单调递增， 即函数单调递减区间为，单调递增区间为； （2）由题可知， 由（1）可知，当时，函数有最小值， ∴，即，故的取值范围为. 16解：（1）令可得，展开式中各项系数之和为，而展开式中的二项式系数之和为， （2） 当为整数时，为有理项，则或 所以展开式所有的有理项为： （3） 设第项最大，且为偶数 则解得： 所以展开式中系数最大的项为： 17解：（1）当点G为中点时，平面平面，证明如下： 因为四棱锥是正四棱锥， 所以，． 在正方形中，，所以， 在正方形中，，因为，所以， 因为，，平面， 所以平面，因为平面， 所以平面平面． （2）连接，与交于点O，连接，因为四棱锥是正四棱锥， 所以两两垂直，以O为坐标原点，以直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，． 设平面的法向量为，则有，得， 取，得， 设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为． 18解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 解得所以 （2） 数列的前项和为 19解：（1）不妨设，，，此时，，， 因为，所以， 此时，，，即 因为点在圆上， 所以，则， 故曲线的方程为； （2）证明：易知直线，与坐标轴不平行， 不妨设直线的方程为， 此时直线的方程为， 联立，消去并整理得， 解得或（舍去）， 所以， 此时，同理得， 当时，直线的斜率存在， 此时， 所以直线的方程为， 易知直线过定点； 当时，直线斜率不存在， 此时直线的方程为， 则直线过定点， 综上，直线过定点； （3）假设存在点使得，不妨设， 因为，所以， 此时，即， 所以， 因为直线与曲线交于不同的两点、， 易知、关于轴对称， 不妨设，，，，， 易知，所以直线方程为， 令，解得，而直线方程为， 令，解得， 因为，所以， 因为点在椭圆上，所以，解得， 故存在点，使得． 学科网（北京）股份有限公司 $$