6.4.3 第2讲 正弦定理（9个题型分类）讲义-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

2024-2025学年高一下学期数学常考题型归纳 【6.4.3第二课时正弦定理】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1:利用正弦定理解三角形（边，角，周长，面积）】 知识讲解 1. 正弦定理内容：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等，即（为三角形外接圆半径）。 2. 正弦定理的应用条件 已知两角和任一边，求其他两边和一角。 已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角。 3. 解三角形思路 对于已知两角和一边的情况，先根据三角形内角和为求出第三个角，再利用正弦定理求出另外两边。 对于已知两边和其中一边对角的情况，利用正弦定理求出另一边对角的正弦值，然后根据已知条件判断解的个数。若已知角为大边所对的角，则只有一解；若已知角为小边所对的角，则可能有两解、一解或无解，需根据正弦值与的大小关系等进行判断。求出角后再根据三角形内角和求出第三个角，进而求出第三边。 例题精选 【例题1】（24-25高一下·广东佛山·阶段练习）中，角，，的对边长分别为，，.若，，，则（   ） A．10 B．5 C．2 D．4 【答案】B 【分析】先应用两角和差正弦结合诱导公式求解，再应用正弦定理求解. 【详解】因为，，，所以， 则， 由正弦定理得，所以. 故选：B. 【例题2】（24-25高一下·广西南宁·阶段练习）在锐角中，，，分别为内角，，的对边.已知，，，则（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由同角的正余弦的平方关系求得，进而由余弦定理求得，再利用正弦定理可求解. 【详解】因为为锐角三角形，所以，又，所以， 在中，由余弦定理可得， 所以，所以， 在中，由正弦定理可得，所以，解得. 故选：C. 【例题3】（24-25高三上·河南周口·期中）在中，内角、、所对的边分别为、、，，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二倍角公式求出的值，再利用正弦定理可求得的值. 【详解】因为为的内角，则， 由二倍角的余弦公式可得，解得， 由正弦定理可得，所以，. 故选：A. 相似练习 【相似题1】（24-25高二上·浙江·期中）在中，，，最短边的长为，则最长边的长为（   ） A． B． C． D．5 【答案】D 【分析】易得，则，再利用两角和的正切公式求出，即可得出最长边和最短边，再利用正弦定理即可得解. 【详解】由，， 所以，所以， 又， 所以，所以，所以， 故，为最长的边， 由，得， 则， 所以（舍去）， 由正弦定理得，所以. 即最长边的长为. 故选：D. 【相似题2】（23-24高一下·山东泰安·期中）中，角所对的边分别为，若，则（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】由正弦定理可得，再由边角关系确定角的大小即可. 【详解】由题意，在中，则，所以， 因为，所以或，又，所以． 故选：A 【相似题3】（24-25高一下·吉林四平·阶段练习）已知的角A，B，C的对边分别为，若，，，则 ． 【答案】 【分析】应用正弦定理计算求解. 【详解】因为， 由正弦定理得， 所以. 故答案为： 【题型2：利用正弦定理判断三角形解的个数】 知识讲解 1. 知识讲解 · 已知中，角、、所对的边分别为、、，正弦定理为（为外接圆半径）。 · 当已知两边、和其中一边的对角时，由正弦定理，可得。 · 因为，所以需要根据的值以及边、的大小关系来确定的个数，从而确定三角形解的个数。 2. 解题思路 · 步骤一：计算的值 根据已知条件，利用正弦定理算出的值。 · 步骤二：判断解的情况 · 情况一：若：此时三角形无解。因为正弦函数的值域是$[ 1,1]$，不存在角使得。 · 情况二：若：则，三角形有一解。 · 情况三：若：此时需进一步比较与的大小。 · 当时，根据大边对大角，，由于，所以为锐角，三角形有一解。 · 当时，，可能为锐角也可能为钝角，此时三角形有两解。 例题精选 【例题1】（23-24高一下·湖北孝感·期中）在中，分别为角所对边，已知，，，若满足条件的角有两个不同的值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦定理用表示出，结合题意得到关于的不等式，解不等式即可. 【详解】由正弦定理，可得，所以， 若满足条件的角有两个不同的值，即三角形有两解， 所以，则，即，解得. 故选：C. 【例题2】多选题（22-23高一下·江苏扬州·期中）在中，角、、所对的边分别为、、，，，若满足条件的三角形有且只有一个，则边的长可以是（     ） A． B． C． D．4 【答案】BCD 【分析】利用正弦定理判断出三角形有一解的条件，对照选项一一验证即可. 【详解】若满足条件的三角形有且只有一个，则或，即或. 故选：BCD. 【例题3】多选题（22-23高一下·浙江·期中）在中，角所对的边分别是，已知，且该三角形仅有唯一解，则可能的取值有（    ） A．1 B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据正弦定理三角形有唯一解，得到或，求出参数的取值范围，从而得解. 【详解】由于，有唯一解，则或，即， 所以可能的取值为1，，AD正确，BC错误. 故选：AD 相似练习 【相似题1】（24-25高三上·江苏泰州·期中）已知的内角所对的边分别为，则使得有两组解的的值为 ．（写出满足条件的一个整数值即可）． 【答案】 【分析】先根据正弦定理表示出，再根据三角形有两组解的条件确定的取值范围，从而得出满足条件的的整数值. 【详解】由正弦定理，已知，， 可得. 因为，，要使有两组解，则有两个值. 要使有两个值，则且，即. 所以满足条件的一个整数值. 故答案为： 【相似题2】（24-25高三上·江苏扬州·期中）已知的内角，，所对的边分别为，，，，，则使得有两组解的的值为 .（写出满足条件的一个整数值即可） 【答案】6（答案不唯一，6,7,8,9任意一个均可） 【分析】先根据正弦定理表示出，再根据三角形有两组解的条件确定的取值范围，从而得出满足条件的的整数值. 【详解】由正弦定理，已知，，可得. 因为，，要使有两组解，则有两个值. 因为，当时，，此时. 要使有两个值，则且，即. 所以满足条件的一个整数值（答案不唯一，只要满足的整数均可）. 故答案为：6 （答案不唯一，6,7,8,9任意一个均可） 【相似题3】（23-24高一下·江苏徐州·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，的三角形有且只有一个，则b的一个值为 ． 【答案】8（答案不唯一） 【分析】由符合条件的有且只有一个，可得或，列式算出的取值范围，从而可得正确答案． 【详解】根据正弦定理，得，即，解得， 若满足条件的有且只有一个，则或， 即或， 因此，符合条件的的取值范围是，的一个值为8. 故答案为：8（答案不唯一）． 【题型3：利用正弦定理进行边角互化】 知识讲解 1. 知识讲解 · 正弦定理公式为（为三角形外接圆半径）。由此可得到边角互化的关系： · ，，（边化角）。 · ，，（角化边）。 2. 解题思路 · 步骤一：分析题目条件 观察题目中所给的等式或条件，判断是边的关系较多还是角的关系较多，以此决定是将边化为角还是将角化为边。 · 步骤二：进行边角互化 · 边化角：若题目中条件多为边的等式，且等式中边的次数相同，常将边化为角。比如已知，利用，，，可化为，即。 · 角化边：若题目中条件多为角的等式，且等式中正弦函数的次数相同，常将角化为边。例如已知，由，，可得，两边同乘$2R$后化为。 · 步骤三：化简求解 完成边角互化后，运用三角函数的相关公式（如两角和差公式、二倍角公式等）或三角形内角和定理等对式子进行化简，从而求解出三角形的边或角等相关问题。 例题精选 【例题1】（2025高三·全国·专题练习）在中，内角所对的边分别为，，则 ． 【答案】 【分析】利用正弦定理边化角，计算可得，可求. 【详解】因为，所以由正弦定理可得． 又，所以，故．又因为，所以． 故答案为：. 【例题2】（24-25高三下·河北邢台·阶段练习）已知的三个内角分别为、、，，求的值 ． 【答案】/ 【分析】利用正弦定理和余弦定理，即可得到结果. 【详解】由余弦定理得：， 由正弦定理（r为外接圆的半径）， 得， 则， 故答案为： 【例题3】（24-25高一下·湖南衡阳·阶段练习）已知△ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则 ． 【答案】 【分析】由正弦定理将转化为，再由正弦的和差角公式求出及，再由求解即可. 【详解】因为， 由正弦定理可得：， 所以， 即， 又因为， 所以 因为，所以， 故，解得， 又因为，所以， 所以， 所以. 故答案为： 相似练习 【相似题1】（23-24高一下·四川南充·阶段练习）已知的内角的对边分别为,且，则角 ． 【答案】 【分析】利用正弦定理将角化成边，再代入余弦定理即可得出答案. 【详解】根据正弦定理可得，即， 根据余弦定理，. 因为，所以. 故答案为：. 【相似题2】（24-25高三上·辽宁沈阳·阶段练习）在中，内角的对边分别是，若，且，则 【答案】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦求解即得. 【详解】在中，由及正弦定理得， 则, 于是，而，则，又，因此， 所以. 故答案为： 【相似题3】（24-25高三上·陕西咸阳·阶段练习）在中，角所对的边分别为，则 . 【答案】 【分析】由题设和正弦定理结合，求出即可求解. 【详解】因为，所以由正弦定理得， 又，所以， 又，所以，所以，即， 所以. 故答案为：. 【题型4：利用正弦定理判断三角形的形状】 知识讲解 1. 知识讲解 · 正弦定理：在中，（为外接圆半径）。 · 利用正弦定理进行三角形形状判断，主要是通过边角互化，将已知条件中的边与角的关系进行转化，再结合三角形的内角和定理（）以及三角函数的性质来分析三角形的形状。三角形按边分为等腰三角形（含等边三角形）和不等边三角形；按角分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。 2. 解题思路 · 步骤一：观察已知条件 仔细分析题目所给的等式或条件，确定是边的关系居多还是角的关系居多。 · 步骤二：进行边角互化 · 边化角：若已知条件中多为边的等式，根据正弦定理，，，将边全部转化为角。例如已知，可化为，即。 · 角化边：若已知条件中多为角的等式，利用，，，把角全部转化为边。比如已知，则，进一步得到。 · 步骤三：化简与判断 · 从角的角度判断： · 若化简后得到，因为，则，三角形为等腰三角形。 · 若得到，那么或，即或，三角形为等腰三角形或直角三角形。 · 若能推出，根据正弦函数在的单调性以及大边对大角，可得，且可进一步判断角的大小范围，确定三角形是锐角、直角还是钝角三角形。 · 从边的角度判断： · 化简后若得到，则三角形为等腰三角形；若，则为等边三角形。 · 若得到，根据勾股定理逆定理，三角形为直角三角形；若，边所对的角为钝角，三角形为钝角三角形；若，边所对的角为锐角，再结合其他边的关系进一步判断三角形是否为锐角三角形。 例题精选 【例题1】（22-23高一下·吉林长春·阶段练习）在中，a，b是∠A，∠B，所对的边，已知，则的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【分析】利用正弦定理边化角，再利用二倍角的正弦公式化简求解即得. 【详解】在中，由及正弦定理，得， 则，而， 因此或，即或， 所以是等腰三角形或直角三角形. 故选：D 【例题2】（23-24高一下·河北·期中）在中，角的对边分别为，已知，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【分析】先用二倍角公式化简，结合正弦定理和三角形内角和定理化简判断三角形形状； 【详解】化简得：，， 根据正弦定理整理可得，因为 即，所以或， 可得或或, 所以等腰三角形或直角三角形． 故选：D． 【例题3】（23-24高一下·山东烟台·期中）在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【分析】利用正弦定理变化角及三角形的内角和定理，再利用诱导公式及两角和的正弦公式，结合三角形内角的范围和三角方程即可求解. 【详解】由及正弦定理，得 , 所以, 所以, 即， 即，解得或, 当时，又，,所以或（舍），所以为等腰三角形; 当时，又，所以，所以为直角三角形; 综上所述，为等腰或直角三角形. 故选：D. 相似练习 【相似题1】（23-24高一下·天津河北·期中）在中，角所对的边分别为，若，则的形状是（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】利用正弦定理化简整理得到，进而得到，可得，即可确定三角形形状． 【详解】已知等式利用正弦定理化简得：， 整理得：，即， 所以，即， 所以， 所以， 所以， 则或， 因为， 所以，所以为等腰三角形或直角三角形． 故：B． 【相似题2】（23-24高一下·安徽芜湖·期中）已知在中，角所对的边分别为，若，则一定是（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】利用正弦定理的边角关系，根据二倍角公式化简得，结合三角形内角性质确定关系，即可得三角形形状. 【详解】根据正弦二倍角公式，得， 则得，则， 又因为，则，故， 所以一定是等腰三角形， 故选：C 【相似题3】（23-24高一下·四川成都·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】利用正弦定理边角互化，三角函数两角差公式以及三角函数的诱导公式即可得到答案. 【详解】根据正弦定理边角互化若， 则， 又根据诱导公式可知， 将上式可变形为， 根据三角函数两角差公式可化简， 所以 三角形内角和，代入即可求得 所以是直角三角形. 故选：A 【题型5：利用正弦定理证明边长关系】 知识讲解 1. 知识讲解 · 正弦定理：在任意三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等，即（为三角形外接圆半径）。由此可以得到一些重要的边角转换关系，如，，；反之，，，。这些转换关系是利用正弦定理证明边长关系的基础。 2. 解题思路 · 步骤一：分析已知条件 仔细研读题目所给的信息，明确已知的是三角形的哪些角的关系、边的关系，以及是否有其他额外条件（如三角形内角和相关信息、三角函数值等）。 · 步骤二：选择合适的正弦定理形式进行边角转换 · 如果已知条件中角的关系较多，通常考虑将角转化为边。例如，已知，根据，，可将等式转化为，进而得到，完成了从角的等式到边的关系的证明。 · 若已知条件中边的关系较多，且要证明的是边之间新的关系，可能需要将边转化为角。比如已知，利用，，，将其转化为，即，然后再通过三角函数的相关公式（如两角和差公式等）对其进行变形和推导，以证明最终的边长关系。 · 步骤三：运用三角函数公式进行推导 在完成边角转换后，若式子中出现三角函数，就需要运用三角函数的各种公式进行化简和推导。常见的公式有两角和差公式（，）、二倍角公式（，）等。例如，由，根据，则，，那么，再展开进一步推导，最终得到边的关系。 · 步骤四：得出结论 经过一系列的推导和化简，将式子变形为要证明的边长关系的形式，从而完成证明。 例题精选 【例题1】（2025·广东·一模）已知的内角所对的边分别为，且． (1)证明：； 【详解】（1）根据正弦定理设，则， 代入，得，即， 整理得， 由，得， 所以； 【例题2】（24-25高三上·安徽阜阳·期末）已知的内角，，所对的边分别为，，，，且． (1)求证：； 【详解】（1）根据正弦定理(R为三角形外接圆半径)， 已知，则，因为, 所以或, 因为，所以，故, 若，则 ， 由正弦定理得， 又，故， ，即 若，则,与已知矛盾舍去. 结论得证. 【例题3】（2025·新疆喀什·二模）记的内角所对的边分别为，已知． (1)证明：； 【详解】（1），， 两边同时乘以得，， 由正弦定理得，； 在中，，， ，， 又，，， 或， 若，且，则，，不合题意，舍去. . 相似练习 【相似题1】（24-25高二下·云南大理·开学考试）在中，角，，所对的边分别是，，，已知． (1)求证：； 【详解】（1）因为，又， 所以整理得， 由正弦定理可得：，得证. 【相似题2】（2025·福建福州·模拟预测）在中，点在边上，平分，设，． (1)若，，证明：； 【详解】（1）方法1:因为，平分，所以，， 又，所以，由正弦定理可得，所以， 又，所以，所以，所以， 且，所以，则， 所以． 方法2：因为，平分，所以，， 又，由余弦定理得， 则，所以，即，且， 则，故． 【相似题3】（24-25高三下·全国·开学考试）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求证： 【详解】（1）因为，即， 整理可得， 由正弦定理得，解得，或舍去， 所以 【题型6：利用正弦定理证明二倍角】 知识讲解 1. 明确目标与已知条件：仔细审题，确定要证明的二倍角等式，同时梳理题目给出的三角形边角信息，如已知的边的长度关系、角的度数或三角函数值等。 2. 选择合适的正弦定理形式： 边化角：若已知条件中边的关系较多，利用，，将边全部转化为角的形式。例如已知，转化为，即，后续再通过三角函数公式进一步推导与二倍角相关内容。 角化边：当已知条件角的关系居多时，借助，，把角转化为边。比如已知，可化为，即，然后结合其他条件向二倍角证明方向推进。 3. 运用三角函数公式推导： 和差公式：如，。在证明时，通过构建合适三角形，利用角之间关系（如）结合和差公式进行推导。 二倍角公式：本身就是证明目标，但在推导过程中也可能会反复运用其变形形式，如，等。例如在证明时，通过正弦定理转化后，利用余弦定理代入化简，再结合二倍角公式变形逐步推导。 辅助角公式：（其中），在一些复杂式子化简中可能会用到，以简化式子从而便于向二倍角证明方向转化。 4. 结合三角形内角和与其他性质： 因为三角形内角和，所以，，。这在将角进行转化，与二倍角建立联系时非常关键。 大边对大角等三角形基本性质也可能在推导过程中用于判断角的范围、边与角的对应关系等，辅助完成二倍角的证明。 例题精选 【例题1】（24-25高三下·重庆·阶段练习）在中，角，，所对的边分别为，，，且. (1)证明：； 【详解】（1）因为，所以， 由正弦定理得， 所以， 因为，所以. 所以. 【例题2】（2025·江西景德镇·二模）在中，角，，的对边分别为，，，，分别为，边上的高，，． (1)求证：； 【详解】（1）由，则， 则， 所以， 整理可得 则，由，∴或， 当时，可得，， 则，解得，则， ∵，且，∴． 由正弦定理可知，则，显然与矛盾， 所以不符合题意，舍去，所以． 【例题3】（24-25高三上·山西太原·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，. (1)证明：； 【详解】（1），， 由正弦定理可得， 由余弦定理得，， 或， 当时，则，，，，成立， 综上所述，成立. 相似练习 【相似题1】（2025·安徽合肥·一模）记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知 (1)证明：； 【详解】（1）由正弦定理及，知， 即， 所以， 所以或， 因为B，，所以，即 【相似题2】（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. (1)求证：； 【详解】（1）在锐角中，由余弦定理及，得， 由正弦定理得， 则，由，得， 所以，即. 【相似题3】（2024高三·全国·专题练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c（a，b，c互不相等），且满足，求证：. 【答案】证明见解析 【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，再逆用和角的正弦公式化简推理即得. 【详解】在中，由及正弦定理，得， 整理得，即， 又，，则或， 而当时，由，得，与a，b，c互不相等矛盾， 所以. 【题型7：三角形的面积公式】 知识讲解 三角形面积公式 1. 基本公式：，其中为三角形的底边长，为这条底边对应的高。 2. 常用公式： ，这个公式是通过将三角形的高用三角函数表示推导而来，它将三角形的面积与三角形的两边及其夹角联系起来。 ，其中为三角形外接圆半径。该公式可通过正弦定理及三角形面积的其他表达式推导得出。 ，其中为三角形内切圆半径，表示三角形的半周长。此公式是基于三角形面积可以分割为以内切圆半径为高，分别以三角形三边为底的三个小三角形面积之和推导而来。 解题思路 1. 分析已知条件：仔细阅读题目，确定已知的三角形元素，如三边长度、两角及一边、两边及夹角等信息。同时，留意是否给出了与三角形外接圆半径、内切圆半径相关的条件。 2. 选择合适的面积公式： 若已知两边及其夹角，直接使用（或其他类似形式）求解。例如，已知，，，则可直接代入公式。 若已知三边长度，可先通过余弦定理求出一个角的余弦值，进而得到正弦值，再代入等公式计算面积；也可以使用海伦公式，其中。例如，已知，，，先计算，则。 若已知三角形外接圆半径及三边，可考虑使用。比如，已知，，，外接圆半径，则。 若涉及三角形内切圆半径，则使用。例如，已知，，，内切圆半径，那么。 3. 进行计算求解：根据所选公式，代入已知数据进行计算，得出三角形的面积。 4. 检验答案：检查计算过程是否正确，答案是否符合实际情况，如面积值应为正数等。同时，也可以尝试用其他方法（如果可能的话）来验证答案的正确性。 例题精选 【例题1】（2025·上海崇明·二模）在中，若，其面积为，则 ． 【答案】 【分析】先根据三角形面积公式求出的值，再结合余弦定理求出的值，进而求出的值. 【详解】已知，，代入面积公式可得： 则，可得：. 根据余弦定理为，可得 则.即， 把代入可得：，即. 由于为边长，可得. 故答案为：. 【例题2】（2025高二·全国·专题练习）在中，内角所对的边分别为，若，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】由正弦定理边角转化得，结合余弦定理可得，利用三角形面积公式可得结果. 【详解】∵，∴由正弦定理得， ∴，即， ∴，即， 由正弦定理得， ∵，∴， 由余弦定理得，得， ∴的面积． 故答案为：． 【例题3】（24-25高二下·陕西西安·阶段练习）在中，，面积，则等于 ． 【答案】 【分析】先利用三角形的面积公式求出，然后利用余弦定理和正弦定理即可． 【详解】由题意及三角形面积公式可得， 可得， 由余弦定理可得， 所以， 所以． 故答案为：． 相似练习 【好题精选】【相似题1】（2025·山东聊城·一模）在中，已知，，，则的面积为 . 【答案】/ 【分析】数形结合，将分为两角，再运用余弦定理和三角形面积公式计算即得. 【详解】因，故， 如图，过点作射线交线段于点，使，则， 则， 在中利用余弦定理得，，解得， 在中利用余弦定理得，，则， 则. 故答案为：. 【好题精选】【相似题2】（24-25高三下·湖南岳阳·开学考试）在中，为上一点，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】利用等面积法可得，结合余弦定理解三角形求得，再利用三角形的面积公式求解即可. 【详解】在中，为上一点，， 则 记的内角的对边分别为，， 因为，所以. 由余弦定理可知， 可得， 因为，所以，所以， 则的面积为. 故答案为：. 【相似题3】（24-25高三上·云南昭通·阶段练习）在中，若，则的外接圆半径为 . 【答案】 【分析】利用三角形面积公式可得，再由余弦定理计算可得，根据正弦定理可得外接圆半径. 【详解】易知，即， 解得， 由余弦定理可知， 可得， 设外接圆半径为，所以， 可得. 故答案为： 【题型8：正余弦定理结合下的解三角形问题】 知识讲解 1. 分析已知条件：仔细阅读题目，明确已知的三角形元素，包括边的长度、角的度数等信息。确定哪些元素是直接给出的，哪些是需要通过定理求解的。 2. 选择合适的定理： 正弦定理：一般用于已知两角和一边，或者已知两边和其中一边的对角的情况。正弦定理的表达式为（为三角形外接圆半径）。例如，已知，，，可根据正弦定理求出的值。 余弦定理：适用于已知三边求角，或者已知两边及其夹角求第三边的情况。余弦定理的表达式为，，。例如，已知，，，可利用余弦定理求出的值。 3. 进行计算求解： 若先使用正弦定理，根据已知条件代入相应的比例关系，求出未知的边或角。例如在中，已知、、，可求出。在求角时，要注意根据三角形内角和为以及大边对大角等性质进行判断和取舍。 若先使用余弦定理，将已知的边和角代入相应公式，求出未知的边或角。例如已知三边、、，可通过求出角。 很多时候需要多次使用正弦定理和余弦定理，逐步求解出三角形的所有未知元素。例如，已知两边和其中一边的对角，先用正弦定理求出另一个角，再根据三角形内角和求出第三个角，最后用余弦定理求出第三边。 例题精选 【例题1】（24-25高一下·山东淄博·阶段练习）在平面四边形ABCD中， (1)求的面积； (2)求 ； (3)若，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）在中利用余弦定理可得：，可求，从而可求的面积； （2）在中，由正弦定理可得，从而求得，在由，进而求得； （3）在中，由可求，从而可求，在中，由正弦定理可求，可求结论. 【详解】（1）在中，所以 解得：，因为，所以. 所以 （2）在中， 所以即    解得： 又∠A=90°，所以 所以. （3）因为所以 所以 在中， 即 所以 所以 【例题2】（24-25高一下·江苏苏州·阶段练习）在中，设角所对的边分别为. (1)求； (2)若点M为边AC上一点，，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角形内角和与二倍角公式，求得半角三角函数值，从而可得答案； （2）由锐角三角函数表示边，根据余弦定理求得边，利用三角形面积公式，可得答案. 【详解】（1）由，根据，则， 由正弦定理，则，由，则， 可得，由，即，则， 可得，，则. 所以. （2）在中，，，则，， 由，且，则， 由余弦定理可得，则，解得，即， 所以的面积. 相似练习 【相似题1】（24-25高一下·河南·阶段练习）已知在中，三个内角满足，且为锐角． (1)求； (2)在内作射线交于，使得，若，，求． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据，结合三角恒等变换公式转化已知条件求得即可求得，进而求得； （2）取中点为，连接，根据三角形为等腰三角形，求得关于的函数关系；再在三角形中，由余弦定理列出方程，求解即可. 【详解】（1）因为，， 所以， 所以，所以， 所以，所以，又，所以． （2）根据题意设的中点为，连接，如图，则．    因为，所以， 所以，， 在中，，由正弦定理得，即， 化简得， 由题知，即，所以， 则，解得，此时不存在，舍去， 或，解得，满足题意． 综上． 【相似题2】（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）如图，在 中，已知 ，是边上一点，，，. (1)求的值； (2)求的长； (3)求的面积. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用余弦定理求解即可. （2）首先根据题意得到，从而得到，再利用正弦定理求解即可. （3）首先利用正弦定理得到，从而得到，再利用面积公式求解即可. 【详解】（1）在中，，，， 由余弦定理可得：. （2）因为， 所以，所以， 在中，，，， 由正弦定理可得. （3）在中，，，所以， 在中，由正弦定理 可得，， 所以， . 【题型9：多次使用正弦定理】 知识讲解 1. 分析已知条件：仔细阅读题目，明确给出的三角形的边和角的信息，确定哪些是已知量，哪些是未知量，判断是否具备使用正弦定理的条件。 2. 第一次使用正弦定理：根据已知条件，选择合适的正弦定理形式。例如，已知两角和一边，设已知、和边，由正弦定理，可得到，这是第一个关于未知边的表达式。 3. 第二次使用正弦定理：再次观察已知条件和已求出的量，寻找新的关系。比如已知、和边，根据正弦定理，得出，这是关于未知边的表达式。 4. 构建方程组： 若三角形中还有其他条件，如三边的某种关系或面积等，可结合前面得到的表达式构建方程组。例如，已知三角形的周长，将和代入周长公式，得到，这就构成了一个含有（已知）、（已知或可求）、、的方程。 又因为，所以，再利用三角函数的两角和公式展开，可得到另一个方程，从而联立方程组求解。 5. 解方程组：通过代入消元、加减消元等方法解方程组，求出未知的边和角。在求解过程中，要注意三角函数值的范围以及三角形内角和定理的应用，确保解的合理性。 例题精选 【例题1】（2025·山西太原·一模）已知，，分别是的内角，，的对边，且． (1)求； (2)若是边上一点，且，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理化简已知条件，从而求得. （2）利用三角恒等变换求得，利用正弦定理列方程来求得. 【详解】（1）由得， 由余弦定理得，∵，∴． （2）设，∵，∴， ∴， 在中，由正弦定理得， 在中，由正弦定理得， ∵，∴， ∴， ∴． 【例题2】（24-25高三下·江苏宿迁·开学考试）记的角的对边分别为，已知. (1)求A； (2)若点D是BC边上一点， 且， 求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，结合两角和差公式运算求解即可； （2）设，利用正弦定理可得，结合题中关系列式求解即可. 【详解】（1）因为， 则， 可得， 且，则，可得，即， 又因为，所以. （2）因为，由（1）可知：， 设，则. 在Rt中，可得，即， 在中，由正弦定理得， 可得， 又因为，即， 可得，解得， 所以的值为. 相似练习 【相似题1】（2025·山西·一模）在中，，，． (1)若，求； (2)若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的线性运算，利用向量的模长公式即可求解， （2）根据正弦定理可得①式和②式，即可作商求解.. 【详解】（1）∵，∴， ∴， 即，∴． 又，∴，∴． （2）在中，①， 在中， ②， ①÷②得 又，，∴， 所以 【相似题2】（24-25高三上·福建福州·期末）如图，在等边三角形中，为边上一点，，点，分别是边上的动点（不包括端点），若，且设 (1)求证：不论为何值，为定值. (2)当和的面积相等时，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）首先得到，即，再在、分别利用正弦定理即可证明； （2）首先表示出、，结合（1）即可得到，最后由两角差的正弦公式化简计算可得. 【详解】（1）在中，， 又，所以， 在中，所以， 在中，由正弦定理得，即， 在中，由正弦定理得，即， 所以，即不论为何值，恒成立； （2）因为， ， 又，，由（1）可得， 所以， 即， 整理得，所以. 课后针对训练 一、单选题 1．（21-22高二上·辽宁朝阳·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为，，，若，，，则（    ） A． B．1 C． D． 2．（23-24高一下·江苏南京·期中）在中，若，，，则等于（    ） A． B． C．或 D．或 3．（23-24高一下·四川成都·期末）在中，分别为角所对的边，且，，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·江苏常州·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A．2 B． C．3 D． 5．（2024·四川成都·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（   ）． A． B． C． D． 6．（23-24高二下·云南·期末）的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若，，，则（   ） A． B． C． D． 7．（21-22高一下·四川绵阳·期末）在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则（   ） A．或 B． C． D．3 8．（21-22高一下·江苏扬州·期中）在中，，则的最小内角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 9．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，角，，的对边分别是，，，，则角（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高二上·湖南株洲·期末）在中，角，，所对的边分别为，，，为的面积，若，则（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高三上·重庆长寿·期末）在中，角所对的边分别为，且，的面积，则（   ） A． B． C．4 D．8 二、多选题 12．（20-21高一下·湖南·阶段练习）在中，内角所对的边分别为，已知，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 13．（24-25高二上·北京·期中）在中，，，点在边上，，，则（1） ；（2）的面积为 . 14．（24-25高三上·山西·期中）在中，角的对边分别为.已知，边上的高为，则 . 四、解答题 15．（23-24高二下·广东揭阳·阶段练习）已知的内角的对边分别为，且． (1)求的值； (2)若，求． 16．（22-23高一下·云南昭通·期末）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且__________. (1)求角C； (2)若，的面积为，求的周长. 17．（24-25高三上·河北承德·期中）如图，在三角形中，，，平分交于点，．    (1)求的值； (2)求的长度； (3)求的面积． 18．（22-23高一下·天津静海·阶段练习）在中，内角所对的边长分别为，且满足. (1)求； (2)若，求 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D C A C B A B B B 题号 11 12 答案 C ACD 1．A 【分析】利用正弦定理计算即可. 【详解】根据正弦定理，得，解得． 故选：A. 2．D 【分析】根据正弦定理即可求解. 【详解】解：由正弦定理可得，，， ，， 或， 故选：D 3．C 【分析】根据正弦定理，将角化边，再用余弦定理的推论得到，再次用余弦定理的推论求解即可. 【详解】因为， 所以， 因为， 所以， 化简得， 将代入可得， 所以， 所以. 故选：C. 4．A 【分析】利用同角的三角函数的基本关系可求得，利用正弦定理可求解. 【详解】由，可得，又， 所以，解得， 又因为，，所以，所以， 由正弦定理可得，所以，解得. 故选：A. 5．C 【分析】由正弦定理角化边，再由余弦定理求，可得角. 【详解】由，根据正弦定理有， 所以，有， 根据余弦定理，有，由，所以． 故选：C. 6．B 【分析】由正弦定理求解即可. 【详解】由正弦定理可得：， 则，解得：. 故选：B. 7．A 【点睛】用正弦定理先求出，根据三角形内角关系得到，再用正弦定理求. 【详解】由题意及正弦定理，得，解得. 又，故，于是或，均符合题意. 当时，，由正弦定理，得，解得； 当时，，此时是等腰三角形，. 故选：A 8．B 【分析】由正弦定理可得是最小的角，设，再由余弦定理可得答案. 【详解】由正弦定理可得， 可得是最小的角，设，则， 由余弦定理得. 故选：B. 9．B 【分析】根据正弦定理，结合三角恒等变化，将题中条件化为，从而可求出结果. 【详解】由得， 则，所以，即， 因为为三角形内角，所以，，则，所以； 故选：B 10．B 【分析】将三角形的面积，及，代入条件计算即可. 【详解】将代入已知条件，得到， 则，则，则. 故选：B 11．C 【分析】根据已知条件利用余弦定理和三角形的面积公式列方程求解即可. 【详解】因为，所以由余弦定理得， 由，得，得， 所以，得， 所以，得， 因为，所以. 故选：C 12．ACD 【分析】由二倍角公式结合正弦定理的角化边公式求出，进而由和角公式得出，进而得出，最后求出三角形面积. 【详解】因为，所以，又， 所以，又，所以， ，所以， . 故选：ACD 13． 【分析】（1）在中，应用正弦定理即可；（2）由即可求得. 【详解】解：（1）因为在中，，，， 所以， 于是在中，由正弦定理可知，， 所以； （2）. 故答案为： ； 14．/ 【分析】由求出，再根据两个面积公式“算两次”建立的关系，然后结合余弦定理得，最后由正弦定理化边为角可得所求. 【详解】由，，得， 由，得， 所以由余弦定理得， 则，所以， 所以由正弦定理知，. 故答案为：. 15．(1)； (2). 【分析】（1）根据，对目标式进行转化，求得，即可求得结果； （2）利用正弦定理，结合（1）中所求和已知条件求得，再求即可. 【详解】（1）由题意可得，∵为的内角，∴， ∴，∴， 即，又∵，∴，故． （2）由正弦定理，得，由（1）知，，， 即，∴，又∵，∴， ，又，． 16．(1) (2)6 【分析】（1）选①由正弦定理边化角结合两角和的正弦公式可得；选②结合正弦定理边化角和同角的三角函数关系可得；选③由正弦定理边化角结合余弦定理可得； （2）由三角形的面积公式结合余弦定理可得. 【详解】（1）选①，， ， 又，，又，. 选②，， 又，， ，，. 选③，， ，即， ，，. （2），，，， 又，且， ，， ，， 所以的周长为6. 17．(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意，利用正弦定理，结合角的取值范围，可得答案； （2）由题意，求得三角形的内角，结合等腰三角形的性质，可得答案； （3）利用三角形的面积公式，结合正弦的差角公式，可得答案. 【详解】（1）在中，由正弦定理得， 所以， 因为，所以； （2）由（1）得， 由题设，，则，即为等腰三角形， 所以． （3）， 所以的面积． 18．(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理的边化角公式得出； （2）由正弦定理得出，再由面积公式求解. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 因为，所以 因为为三角形的内角，所以 （2）因为，，， 由正弦定理可得：，所以 因为为三角形的内角，所以 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高一下学期数学常考题型归纳 【6.4.3第二课时正弦定理】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1:利用正弦定理解三角形（边，角，周长，面积）】 知识讲解 1. 正弦定理内容：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等，即（为三角形外接圆半径）。 2. 正弦定理的应用条件 已知两角和任一边，求其他两边和一角。 已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角。 3. 解三角形思路 对于已知两角和一边的情况，先根据三角形内角和为求出第三个角，再利用正弦定理求出另外两边。 对于已知两边和其中一边对角的情况，利用正弦定理求出另一边对角的正弦值，然后根据已知条件判断解的个数。若已知角为大边所对的角，则只有一解；若已知角为小边所对的角，则可能有两解、一解或无解，需根据正弦值与的大小关系等进行判断。求出角后再根据三角形内角和求出第三个角，进而求出第三边。 例题精选 【例题1】（24-25高一下·广东佛山·阶段练习）中，角，，的对边长分别为，，.若，，，则（   ） A．10 B．5 C．2 D．4 【例题2】（24-25高一下·广西南宁·阶段练习）在锐角中，，，分别为内角，，的对边.已知，，，则（      ） A． B． C． D． 【例题3】（24-25高三上·河南周口·期中）在中，内角、、所对的边分别为、、，，，若，则（   ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（24-25高二上·浙江·期中）在中，，，最短边的长为，则最长边的长为（   ） A． B． C． D．5 【相似题2】（23-24高一下·山东泰安·期中）中，角所对的边分别为，若，则（   ） A． B． C． D．或 【相似题3】（24-25高一下·吉林四平·阶段练习）已知的角A，B，C的对边分别为，若，，，则 ． 【题型2：利用正弦定理判断三角形解的个数】 知识讲解 1. 知识讲解 · 已知中，角、、所对的边分别为、、，正弦定理为（为外接圆半径）。 · 当已知两边、和其中一边的对角时，由正弦定理，可得。 · 因为，所以需要根据的值以及边、的大小关系来确定的个数，从而确定三角形解的个数。 2. 解题思路 · 步骤一：计算的值 根据已知条件，利用正弦定理算出的值。 · 步骤二：判断解的情况 · 情况一：若：此时三角形无解。因为正弦函数的值域是$[ 1,1]$，不存在角使得。 · 情况二：若：则，三角形有一解。 · 情况三：若：此时需进一步比较与的大小。 · 当时，根据大边对大角，，由于，所以为锐角，三角形有一解。 · 当时，，可能为锐角也可能为钝角，此时三角形有两解。 例题精选 【例题1】（23-24高一下·湖北孝感·期中）在中，分别为角所对边，已知，，，若满足条件的角有两个不同的值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例题2】多选题（22-23高一下·江苏扬州·期中）在中，角、、所对的边分别为、、，，，若满足条件的三角形有且只有一个，则边的长可以是（     ） A． B． C． D．4 【例题3】多选题（22-23高一下·浙江·期中）在中，角所对的边分别是，已知，且该三角形仅有唯一解，则可能的取值有（    ） A．1 B． C． D． 相似练习 【相似题1】（24-25高三上·江苏泰州·期中）已知的内角所对的边分别为，则使得有两组解的的值为 ．（写出满足条件的一个整数值即可）． 【相似题2】（24-25高三上·江苏扬州·期中）已知的内角，，所对的边分别为，，，，，则使得有两组解的的值为 .（写出满足条件的一个整数值即可） 【相似题3】（23-24高一下·江苏徐州·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，的三角形有且只有一个，则b的一个值为 ． 【题型3：利用正弦定理进行边角互化】 知识讲解 1. 知识讲解 · 正弦定理公式为（为三角形外接圆半径）。由此可得到边角互化的关系： · ，，（边化角）。 · ，，（角化边）。 2. 解题思路 · 步骤一：分析题目条件 观察题目中所给的等式或条件，判断是边的关系较多还是角的关系较多，以此决定是将边化为角还是将角化为边。 · 步骤二：进行边角互化 · 边化角：若题目中条件多为边的等式，且等式中边的次数相同，常将边化为角。比如已知，利用，，，可化为，即。 · 角化边：若题目中条件多为角的等式，且等式中正弦函数的次数相同，常将角化为边。例如已知，由，，可得，两边同乘$2R$后化为。 · 步骤三：化简求解 完成边角互化后，运用三角函数的相关公式（如两角和差公式、二倍角公式等）或三角形内角和定理等对式子进行化简，从而求解出三角形的边或角等相关问题。 例题精选 【例题1】（2025高三·全国·专题练习）在中，内角所对的边分别为，，则 ． 【例题2】（24-25高三下·河北邢台·阶段练习）已知的三个内角分别为、、，，求的值 ． 【例题3】（24-25高一下·湖南衡阳·阶段练习）已知△ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则 ． 相似练习 【相似题1】（23-24高一下·四川南充·阶段练习）已知的内角的对边分别为,且，则角 ． 【相似题2】（24-25高三上·辽宁沈阳·阶段练习）在中，内角的对边分别是，若，且，则 【相似题3】（24-25高三上·陕西咸阳·阶段练习）在中，角所对的边分别为，则 . 【题型4：利用正弦定理判断三角形的形状】 知识讲解 1. 知识讲解 · 正弦定理：在中，（为外接圆半径）。 · 利用正弦定理进行三角形形状判断，主要是通过边角互化，将已知条件中的边与角的关系进行转化，再结合三角形的内角和定理（）以及三角函数的性质来分析三角形的形状。三角形按边分为等腰三角形（含等边三角形）和不等边三角形；按角分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。 2. 解题思路 · 步骤一：观察已知条件 仔细分析题目所给的等式或条件，确定是边的关系居多还是角的关系居多。 · 步骤二：进行边角互化 · 边化角：若已知条件中多为边的等式，根据正弦定理，，，将边全部转化为角。例如已知，可化为，即。 · 角化边：若已知条件中多为角的等式，利用，，，把角全部转化为边。比如已知，则，进一步得到。 · 步骤三：化简与判断 · 从角的角度判断： · 若化简后得到，因为，则，三角形为等腰三角形。 · 若得到，那么或，即或，三角形为等腰三角形或直角三角形。 · 若能推出，根据正弦函数在的单调性以及大边对大角，可得，且可进一步判断角的大小范围，确定三角形是锐角、直角还是钝角三角形。 · 从边的角度判断： · 化简后若得到，则三角形为等腰三角形；若，则为等边三角形。 · 若得到，根据勾股定理逆定理，三角形为直角三角形；若，边所对的角为钝角，三角形为钝角三角形；若，边所对的角为锐角，再结合其他边的关系进一步判断三角形是否为锐角三角形。 例题精选 【例题1】（22-23高一下·吉林长春·阶段练习）在中，a，b是∠A，∠B，所对的边，已知，则的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【例题2】（23-24高一下·河北·期中）在中，角的对边分别为，已知，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【例题3】（23-24高一下·山东烟台·期中）在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 相似练习 【相似题1】（23-24高一下·天津河北·期中）在中，角所对的边分别为，若，则的形状是（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 【相似题2】（23-24高一下·安徽芜湖·期中）已知在中，角所对的边分别为，若，则一定是（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【相似题3】（23-24高一下·四川成都·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【题型5：利用正弦定理证明边长关系】 知识讲解 1. 知识讲解 · 正弦定理：在任意三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等，即（为三角形外接圆半径）。由此可以得到一些重要的边角转换关系，如，，；反之，，，。这些转换关系是利用正弦定理证明边长关系的基础。 2. 解题思路 · 步骤一：分析已知条件 仔细研读题目所给的信息，明确已知的是三角形的哪些角的关系、边的关系，以及是否有其他额外条件（如三角形内角和相关信息、三角函数值等）。 · 步骤二：选择合适的正弦定理形式进行边角转换 · 如果已知条件中角的关系较多，通常考虑将角转化为边。例如，已知，根据，，可将等式转化为，进而得到，完成了从角的等式到边的关系的证明。 · 若已知条件中边的关系较多，且要证明的是边之间新的关系，可能需要将边转化为角。比如已知，利用，，，将其转化为，即，然后再通过三角函数的相关公式（如两角和差公式等）对其进行变形和推导，以证明最终的边长关系。 · 步骤三：运用三角函数公式进行推导 在完成边角转换后，若式子中出现三角函数，就需要运用三角函数的各种公式进行化简和推导。常见的公式有两角和差公式（，）、二倍角公式（，）等。例如，由，根据，则，，那么，再展开进一步推导，最终得到边的关系。 · 步骤四：得出结论 经过一系列的推导和化简，将式子变形为要证明的边长关系的形式，从而完成证明。 例题精选 【例题1】（2025·广东·一模）已知的内角所对的边分别为，且． (1)证明：； 【例题2】（24-25高三上·安徽阜阳·期末）已知的内角，，所对的边分别为，，，，且． (1)求证：； 【例题3】（2025·新疆喀什·二模）记的内角所对的边分别为，已知． (1)证明：； 相似练习 【相似题1】（24-25高二下·云南大理·开学考试）在中，角，，所对的边分别是，，，已知． (1)求证：； 【相似题2】（2025·福建福州·模拟预测）在中，点在边上，平分，设，． (1)若，，证明：； 【相似题3】（24-25高三下·全国·开学考试）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求证： 【题型6：利用正弦定理证明二倍角】 知识讲解 1. 明确目标与已知条件：仔细审题，确定要证明的二倍角等式，同时梳理题目给出的三角形边角信息，如已知的边的长度关系、角的度数或三角函数值等。 2. 选择合适的正弦定理形式： 边化角：若已知条件中边的关系较多，利用，，将边全部转化为角的形式。例如已知，转化为，即，后续再通过三角函数公式进一步推导与二倍角相关内容。 角化边：当已知条件角的关系居多时，借助，，把角转化为边。比如已知，可化为，即，然后结合其他条件向二倍角证明方向推进。 3. 运用三角函数公式推导： 和差公式：如，。在证明时，通过构建合适三角形，利用角之间关系（如）结合和差公式进行推导。 二倍角公式：本身就是证明目标，但在推导过程中也可能会反复运用其变形形式，如，等。例如在证明时，通过正弦定理转化后，利用余弦定理代入化简，再结合二倍角公式变形逐步推导。 辅助角公式：（其中），在一些复杂式子化简中可能会用到，以简化式子从而便于向二倍角证明方向转化。 4. 结合三角形内角和与其他性质： 因为三角形内角和，所以，，。这在将角进行转化，与二倍角建立联系时非常关键。 大边对大角等三角形基本性质也可能在推导过程中用于判断角的范围、边与角的对应关系等，辅助完成二倍角的证明。 例题精选 【例题1】（24-25高三下·重庆·阶段练习）在中，角，，所对的边分别为，，，且. (1)证明：； 【例题2】（2025·江西景德镇·二模）在中，角，，的对边分别为，，，，分别为，边上的高，，． (1)求证：； 【例题3】（24-25高三上·山西太原·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，. (1)证明：； 相似练习 【相似题1】（2025·安徽合肥·一模）记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知 (1)证明：； 【相似题2】（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. (1)求证：； 【相似题3】（2024高三·全国·专题练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c（a，b，c互不相等），且满足，求证：. 【题型7：三角形的面积公式】 知识讲解 三角形面积公式 1. 基本公式：，其中为三角形的底边长，为这条底边对应的高。 2. 常用公式： ，这个公式是通过将三角形的高用三角函数表示推导而来，它将三角形的面积与三角形的两边及其夹角联系起来。 ，其中为三角形外接圆半径。该公式可通过正弦定理及三角形面积的其他表达式推导得出。 ，其中为三角形内切圆半径，表示三角形的半周长。此公式是基于三角形面积可以分割为以内切圆半径为高，分别以三角形三边为底的三个小三角形面积之和推导而来。 解题思路 1. 分析已知条件：仔细阅读题目，确定已知的三角形元素，如三边长度、两角及一边、两边及夹角等信息。同时，留意是否给出了与三角形外接圆半径、内切圆半径相关的条件。 2. 选择合适的面积公式： 若已知两边及其夹角，直接使用（或其他类似形式）求解。例如，已知，，，则可直接代入公式。 若已知三边长度，可先通过余弦定理求出一个角的余弦值，进而得到正弦值，再代入等公式计算面积；也可以使用海伦公式，其中。例如，已知，，，先计算，则。 若已知三角形外接圆半径及三边，可考虑使用。比如，已知，，，外接圆半径，则。 若涉及三角形内切圆半径，则使用。例如，已知，，，内切圆半径，那么。 3. 进行计算求解：根据所选公式，代入已知数据进行计算，得出三角形的面积。 4. 检验答案：检查计算过程是否正确，答案是否符合实际情况，如面积值应为正数等。同时，也可以尝试用其他方法（如果可能的话）来验证答案的正确性。 例题精选 【例题1】（2025·上海崇明·二模）在中，若，其面积为，则 ． 【例题2】（2025高二·全国·专题练习）在中，内角所对的边分别为，若，，则的面积为 ． 【例题3】（24-25高二下·陕西西安·阶段练习）在中，，面积，则等于 ． 相似练习 【好题精选】【相似题1】（2025·山东聊城·一模）在中，已知，，，则的面积为 . 【好题精选】【相似题2】（24-25高三下·湖南岳阳·开学考试）在中，为上一点，，则的面积为 ． 【相似题3】（24-25高三上·云南昭通·阶段练习）在中，若，则的外接圆半径为 . 【题型8：正余弦定理结合下的解三角形问题】 知识讲解 1. 分析已知条件：仔细阅读题目，明确已知的三角形元素，包括边的长度、角的度数等信息。确定哪些元素是直接给出的，哪些是需要通过定理求解的。 2. 选择合适的定理： 正弦定理：一般用于已知两角和一边，或者已知两边和其中一边的对角的情况。正弦定理的表达式为（为三角形外接圆半径）。例如，已知，，，可根据正弦定理求出的值。 余弦定理：适用于已知三边求角，或者已知两边及其夹角求第三边的情况。余弦定理的表达式为，，。例如，已知，，，可利用余弦定理求出的值。 3. 进行计算求解： 若先使用正弦定理，根据已知条件代入相应的比例关系，求出未知的边或角。例如在中，已知、、，可求出。在求角时，要注意根据三角形内角和为以及大边对大角等性质进行判断和取舍。 若先使用余弦定理，将已知的边和角代入相应公式，求出未知的边或角。例如已知三边、、，可通过求出角。 很多时候需要多次使用正弦定理和余弦定理，逐步求解出三角形的所有未知元素。例如，已知两边和其中一边的对角，先用正弦定理求出另一个角，再根据三角形内角和求出第三个角，最后用余弦定理求出第三边。 例题精选 【例题1】（24-25高一下·山东淄博·阶段练习）在平面四边形ABCD中， (1)求的面积； (2)求 ； (3)若，求的值. 【例题2】（24-25高一下·江苏苏州·阶段练习）在中，设角所对的边分别为. (1)求； (2)若点M为边AC上一点，，求的面积. 相似练习 【相似题1】（24-25高一下·河南·阶段练习）已知在中，三个内角满足，且为锐角． (1)求； (2)在内作射线交于，使得，若，，求． 【相似题2】（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）如图，在 中，已知 ，是边上一点，，，. (1)求的值； (2)求的长； (3)求的面积. 【题型9：多次使用正弦定理】 知识讲解 1. 分析已知条件：仔细阅读题目，明确给出的三角形的边和角的信息，确定哪些是已知量，哪些是未知量，判断是否具备使用正弦定理的条件。 2. 第一次使用正弦定理：根据已知条件，选择合适的正弦定理形式。例如，已知两角和一边，设已知、和边，由正弦定理，可得到，这是第一个关于未知边的表达式。 3. 第二次使用正弦定理：再次观察已知条件和已求出的量，寻找新的关系。比如已知、和边，根据正弦定理，得出，这是关于未知边的表达式。 4. 构建方程组： 若三角形中还有其他条件，如三边的某种关系或面积等，可结合前面得到的表达式构建方程组。例如，已知三角形的周长，将和代入周长公式，得到，这就构成了一个含有（已知）、（已知或可求）、、的方程。 又因为，所以，再利用三角函数的两角和公式展开，可得到另一个方程，从而联立方程组求解。 5. 解方程组：通过代入消元、加减消元等方法解方程组，求出未知的边和角。在求解过程中，要注意三角函数值的范围以及三角形内角和定理的应用，确保解的合理性。 例题精选 【例题1】（2025·山西太原·一模）已知，，分别是的内角，，的对边，且． (1)求； (2)若是边上一点，且，，求的值． 【例题2】（24-25高三下·江苏宿迁·开学考试）记的角的对边分别为，已知. (1)求A； (2)若点D是BC边上一点， 且， 求的值. 相似练习 【相似题1】（2025·山西·一模）在中，，，． (1)若，求； (2)若，，求的值． 【相似题2】（24-25高三上·福建福州·期末）如图，在等边三角形中，为边上一点，，点，分别是边上的动点（不包括端点），若，且设 (1)求证：不论为何值，为定值. (2)当和的面积相等时，求的值. 课后针对训练 一、单选题 1．（21-22高二上·辽宁朝阳·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为，，，若，，，则（    ） A． B．1 C． D． 2．（23-24高一下·江苏南京·期中）在中，若，，，则等于（    ） A． B． C．或 D．或 3．（23-24高一下·四川成都·期末）在中，分别为角所对的边，且，，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·江苏常州·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A．2 B． C．3 D． 5．（2024·四川成都·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（   ）． A． B． C． D． 6．（23-24高二下·云南·期末）的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若，，，则（   ） A． B． C． D． 7．（21-22高一下·四川绵阳·期末）在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则（   ） A．或 B． C． D．3 8．（21-22高一下·江苏扬州·期中）在中，，则的最小内角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 9．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，角，，的对边分别是，，，，则角（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高二上·湖南株洲·期末）在中，角，，所对的边分别为，，，为的面积，若，则（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高三上·重庆长寿·期末）在中，角所对的边分别为，且，的面积，则（   ） A． B． C．4 D．8 二、多选题 12．（20-21高一下·湖南·阶段练习）在中，内角所对的边分别为，已知，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 13．（24-25高二上·北京·期中）在中，，，点在边上，，，则（1） ；（2）的面积为 . 14．（24-25高三上·山西·期中）在中，角的对边分别为.已知，边上的高为，则 . 四、解答题 15．（23-24高二下·广东揭阳·阶段练习）已知的内角的对边分别为，且． (1)求的值； (2)若，求． 16．（22-23高一下·云南昭通·期末）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且__________. (1)求角C； (2)若，的面积为，求的周长. 17．（24-25高三上·河北承德·期中）如图，在三角形中，，，平分交于点，．    (1)求的值； (2)求的长度； (3)求的面积． 18．（22-23高一下·天津静海·阶段练习）在中，内角所对的边长分别为，且满足. (1)求； (2)若，求 1 学科网（北京）股份有限公司 $$