第26-28章阶段测试卷-2024-2025学年人教版数学九年级下册

第26-28章阶段测试卷-2024-2025学年数学九年级下册人教版 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，在平行四边形中，对角线相交于点为的四等分点，为的中点．若，则的长是（    ） A．8 B．10 C．14 D．16 2．对于反比例函数，下列哪个点在反比例函数图像上（   ） A． B． C． D． 3．某水库拦水坝的横成面如图所示，已知斜坡的坡度为，坡角，则为（   ） A． B． C． D． 4．如图，，，垂足为，若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．函数和（）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（  ） A． B． C． D． 6．若是锐角，且，则（   ） A． B． C． D． 7．如图，矩形中，是边上一动点，，，若，那么的长度为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，平分交于点E，则线段的长为（   ） A． B．2 C． D． 二、填空题 9．已知，且，则 ． 10．矩形中，对角线、交于点O，于E，若，则 ． 11．如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，且与位似，原点O是位似中心，则与的面积比为 ． 12．如图，在矩形中，，，点P由点A出发沿方向向点B匀速移动，速度为，点Q由点D出发沿方向向点A匀速移动，速度为，如果动点P、Q同时从A、D两点出发，连接、，设运动的时间为．若以Q、A、P为顶点的三角形与相似时，则t的值为 ．    13．如图，在菱形中，，是边上一点，在的右侧作，且，连接，连接交于点．若为边的三等分点，则的长为 ． 14．如图，在中，，．是边上的中线，点O是的中点，连接并延长交于点E．若，则的长为 ． 15．如图，在中，对角线，，点是边上一个动点，是延长线上一点，，连接、交于点．当点从点运动到点时，点的运动路径长为 ．（参考数据：，） 16．如图，点，分别在函数图象的两支上（在第一象限），连接交轴于点，点、在函数图象上，轴，轴，连接，．若，的面积为6，则的值为 ． 三、解答题 17．计算：． 18．如图，已知点是坐标原点，两点的坐标分别为，． (1)以点为位似中心在轴左侧将放大到倍（即新图与原图的相似比为），画出，并写出两点的对应点，的坐标； (2)将绕点逆时针旋转得到，画出图形． 19．如图，等腰三角形中，，D为的延长线上一点，E为的延长线上一点，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 20．如图是某种云梯车的示意图，云梯升起时，与底盘夹角为，液压杆与底盘夹角为．已知液压杆米，，当，时．（结果精确到米）（参考数据：，） (1)求液压杆顶端B到底盘的距离的长； (2)求的长． 21．如图，以线段为直径作，交射线于点C，平分交于点D，过点D作直线于点E，交的延长线于点F，连接并延长交射线于点M． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的半径． 22．如图①，实验课上，小明同学设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在天平的固定托盘A中放置一些大小不等的立方体，在活动托盘B中放置一定质量的砝码，使得天平平衡．改变活动托盘B与点O的距离，观察活动托盘B中砝码的质量的变化情况．实验数据记录如表： (1)把表中x，y的各组对应值作为点的坐标，如，……在图②的坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接这些点； (2)观察所画的图象，猜测y与x之间的函数关系，求出函数关系式； (3)当砝码的质量为时，活动托盘B与点O的距离是多少？ 23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与x轴相交于点C． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)直接写出不等式的解集； (3)点P为反比例函数图象上任意一点，若，求点P的坐标． 24．在中，，，为直线上任意一点（不与，重合），连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接． (1)如图1，当点在线段上时，求证：； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，猜想线段，与的数量关系并说明理由； (3)若，请直接写出的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第26-28章阶段测试卷-2024-2025学年数学九年级下册人教版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B A A C A B B 1．D 【分析】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．先根据平行四边形的性质可得，，再证出，根据相似三角形的性质可得，求出的长，由此即可得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵为的四等分点， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 2．B 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，根据纵横坐标的乘积为的点在反比例函数上，即可作答． 【详解】解：A、，该点不在反比例函数图象上，故该选项不符合题意； B、，该点在反比例函数图象上，故该选项符合题意； C、，该点不在反比例函数图象上，故该选项不符合题意； D、，该点不在反比例函数图象上，故该选项不符合题意； 故选：B． 3．A 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，根据坡度是坡角的正切值，利用特殊角的三角函数值求出坡角的度数即可，解题的关键是根据题意正确得出坡角与坡比的关系． 【详解】解：∵斜坡的坡度为， ∴， ∴， 故选：． 4．A 【分析】本题主要考查了解直角三角形．根据同角的余角相等，得出，再结合正切的定义即可解决问题． 【详解】解：由题知， ∵，， ∴， ∴． 在中， ， ∴． 故选：A． 5．C 【分析】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象．解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 根据题目中的函数解析式，利用分类讨论的方法可以判断各个选项中的函数图象是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：对于（），当时，，观察图象可排除B和D； 当时，函数在第一、三象限，一次函数经过一、三、四象限； 当时，函数在第二、四象限，一次函数经过二、三、四象限； 观察A、C选项，选项C符合题意， 故选：C． 6．A 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的增减性，锐角的正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），正确理解锐角正弦值的增减性是解题的关键．根据正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），及、、的正弦值可求解． 【详解】解：是锐角，且， ， 故选：A． 7．B 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．连接，可得，得到，，进而得，即得，据此解答即可求解． 【详解】解：连接，如下图， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴可设，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 8．B 【分析】本题考查了解直角三角形，作于D，作于F，分别解直角三角形求得，和，从而求得，设，在中表示出，进而根据列出方程求得x，进而求得结果． 【详解】解：如图， 作于D，作于F， 在中， ， 在中，， ， ∴， 在中，设， 在中，， ， 由得，， ∴， ∴， 故选：B． 9．3 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是关键．根据比例的性质，设，代入已知等式求出的值，即可求出所求． 【详解】解：设，则， 故答案为：3． 10．或 【分析】本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质和余弦的定义是解决问题的关键．如图1，先利用矩形的性质得到，设，则，所以，根据余弦的定义得到；如图2，利用同样方法可求出． 【详解】解：如图1， ∵， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵于E， ∴， 设，则， ∴， ∴； 如图2， ∵， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵于E， ∴， 设，则， ∴， ∴； 综上所述， 或． 故答案为：或． 11． 【分析】此题主要考查了位似图形的性质以及坐标与图形的性质，根据已知点的坐标得出 是解题关键． 根据位似图形的性质得出的长，进而得出 ，然后相似三角形的面积比等于相似比的平方求解． 【详解】解：∵与位似，原点O是位似中心，，， ∴，， ∴， ∴ 故答案为：． 12．或 【分析】本题考查矩形的性质、相似三角形的性质、解一元二次方程，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．与都是直角三角形，两个三角形相似时，的对应边是或．分两种情形构建方程，分别求解即可． 【详解】解：由题意，Q在上运动最大时间为，P在上运动最大时间为，，，， 分两种情况： ①当时，， 即， 或（舍去）， ； ②当时，， 即， ， 或， 经检验，是分式方程的解，不符合题意，舍去， 当或时，以Q、A、P为顶点的三角形与相似． 故答案为：或． 13．或 【分析】本题主要考查菱形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，掌握分类讨论的思想方法是解题的关键． 如图，在的延长线上取点，使得，证明，得出，则，证明，作于点，则，证明，进而根据相似三角形的性质，求出，在上截取，连接，证明，得，过作于点，根据等腰三角形的性质和含度角的直角三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：如图，在的延长线上取点，使得， 则， 又∵， ∴， ∴， 由，得， ∴， ， 在菱形中， ∵， ∴， ∴， 如图所示，连接交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，作于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在上截取，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 过作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 14．/ 【分析】本题考查了相似三角形判定与性质，直角三角形斜边上的中线定义斜边的一半，解直角三角形，等腰三角形的性质，作于点F，先求出，，证明，求出，根据勾股定理求出结论即可得到结论． 【详解】解：作于点F， ∵，为边上的中线，， ∴， ∵点O是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ， ， ， ， ． 故答案为：． 15． 【分析】过点作于，由平行四边形的性质可得，，，可得，进而得到垂直平分，又由可得，得到垂直平分线，可得点一定在直线上，点从点运动到点时，点的运动轨迹为线段，利用三角函数求出，再根据即可求解． 【详解】解：过点作于，如图，则， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∵， ∴， ∴垂直平分线， ∴点一定在直线上， 如图，当点从点运动到点时，点的运动轨迹为线段， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的运动路径长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，由题意得到点的运动轨迹是解题的关键． 16．8 【分析】本题考查了反比例函数的性质以及图形中的几何关系．根据题设，点的坐标可以通过给定的条件来表示，进而利用面积公式和已知条件求解未知参数．具体地，首先，根据给定的条件表达点的坐标；其次，通过面积公式建立等式关系；最后，利用给定的面积值解出参数． 【详解】解：设， 轴，且点E在函数上， ， ，且点B在函数上， ， 轴，点D在函数上， ， 的面积为6， . ． 故答案为：8． 17． 【分析】此题主要考查了三角函数的混合运算．代入特殊角的三角函数值，利用二次根式的混合运算法则计算即可求解． 【详解】解： ． 18．(1)画图见解析，， (2)画图见解析 【分析】（）根据位似图形的性质画图即可，由图形可得点的坐标； （）根据旋转的性质画图即可； 本题考查了位似作图，旋转作图，坐标与图形，掌握位似图形和旋转的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，由图形可得，，； （2）如图所示，即为所求． 19．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；利用相似三角形的性质解决角或线段之间的关系问题．也考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理及外角性质． （1）先利用等腰三角形的性质得到，则根据等角的补角相等得到，接着利用等量代换和比例的性质得到，然后根据相似三角形的判定方法得到结论； （2）先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到，再利用相似三角形的性质得到，则根据三角形外角性质可证明，然后计算即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵． ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 20．(1)米 (2)米 【分析】（1）根据，代入数进行计算，即可求解； （2）利用，先求出米，再利用，求出米，问题得解． 本题考查了解直角三角形的其他应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：液压杆与底盘夹角为β．已知液压杆米，， 在中， ∴， ∴米， 即的长为2.55米； （2）解：在中，，米， ∴， ∴米， ∵， ∴， ∴米， ∴（米）， 即的长为米． 21．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的定义得到，证明，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理证明即可； （2）根据垂直的定义得到，根据三角函数的定义得到，根据勾股定理得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴直线是的切线； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的半径为． 【点睛】本题考查的是切线的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键． 22．(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查反比例函数的应用，求出反比例函数解析式是解题的关键． （1）在坐标系中描点连线即可； （2）根据图象猜测是反比例函数，利用待定系数法求解； （3）将代入（2）中结论，求出x的值即可． 【详解】（1）解：由题意，可画出图象如下： （2）解：猜测y与x之间的函数关系为反比例函数，设函数关系式为， ∵当时，， ， 解得， ∴函数关系式为； （3）解：当时， 解得， 即活动托盘B与点O的距离是． 23．(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为 (2)或 (3)或 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，主要考查学生的计算能力．利用了数形结合思想． （1）利用待定系数法即可求得函数解析式； （2）先求出点坐标，再结合图象写出一次函数落在反比例函数的图象下方的部分对应的自变量的取值范围即可； （3）先求出，则，得出点的纵坐标，即可解答． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于， ， ， ∴反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为； （2）解：∵在一次函数的图象上， ， ， 根据图象可知，不等式的解集为或； （3）解：把代入， 解得：， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴，则或， 当时，，， 当时，，， 综上：或． 24．(1)见解析； (2)，证明见解析； (3)或． 【分析】（1）根据同角的余角相等求解即可； （2）如图所示，过点E作于点F，连接，证明出，得到，，然后得到是等腰直角三角形，求出，然后求出，然后利用勾股定理求解即可； （3）设，则，根据题意两种情况讨论：点D在点A左边和点D在点A右边，然后证明出，分别表示出，，然后根据勾股定理表示出，然后根据余弦的概念求解即可． 【详解】（1）∵，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段， ∴ ∴ ∴； （2），理由如下： 如图所示，过点E作于点F，连接 同（1）可得， 又∵， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴，即 ∴ 又∵ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴ ∴； （3）设，则 如图所示，当点D在点A左边时，过点E作于点F， 同（2）可证， ∴， ∴ ∴ ∴； 如图所示，当点D在点A右边时，过点E作于点F， 同（2）可证， ∴， ∴ ∴ ∴； 综上所述，的值为或． 【点睛】此题考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，求角的余弦值等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$