第二章二次函数单元测试2024-2025学年北师大版数学九年级下册

北师大版数学9年级下第二章二次函数 一．选择题（共10小题） 1．二次函数y＝﹣x2+2x+4的最大值为（　　） A．5 B．4 C．6 D．7 2．已知点A（3，y1），B（5，y2），C（﹣4，y3）均在抛物线y＝3x2﹣6x+m上，下列说法中正确的是（　　） A．y3＞y1＞y2 B．y1＞y2＞y3 C．y1＜y2＜y3 D．y1＞y3＞y2 3．如图，抛物线y＝ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac的值为（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4 4．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2，下列结论正确的是（　　） A．a＜0 B．c＜0 C．当x＜﹣2时，y随x的增大而减小 D．b2﹣4ac＜0 5．设O为坐标原点，点A、B为抛物线y＝x2上的两个动点，且OA⊥OB．连接点A、B，过O作OC⊥AB于点C，则点C到y轴距离的最大值（　　） A． B． C． D．1 6．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分如图所示，其中对称轴为：x＝1，下列结论：①abc＞0；②a+c＞0；③2a+3b＞0；④a+b＞am2+bm（m≠1）；上述结论中正确结论的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图，函数y＝ax2+bx+c与y＝x﹣1的图象如图所示，以下结论正确的是（　　） A．bc＜0 B．a+b+c＞0 C．2a+b＝1 D．当0＜x＜2时，ax2+（b﹣1）x+c+1＞0 8．在同一平面直角坐标系内，二次函数y＝ax2+bx+b（a≠0）与一次函数y＝ax+b的图象可能是（　　） A． B． C．D． 9．抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴的负半轴于C，顶点为D．下列结论：①2a+b＜0；②2c＞3b；③3a+2b+c＞0；④当△ABD是等边三角形时，抛物线解析式为．其中正确有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 10．已知二次函数y＝ax2﹣（3a+1）x+3（a≠0），下列说法： ①点（1，2）在该函数的图象上， ②当a＝1且﹣1≤x≤3时，0≤y≤8， ③该函数的图象与x轴一定有交点， ④当a＞0时，该函数图象的对称轴一定在直线的左侧， 其中正确的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二．填空题（共6小题） 11．抛物线y＝2x2+6x+c与x轴的一个交点为（1，0），则这个抛物线的顶点坐标是　 　 ． 12．把抛物线y＝2x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为 　 　 ． 13．请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按照第一题记分． A．Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝3BC，则tanB＝　 　 ． B．x＝m或x＝n（m≠n）时，代数式x2﹣2x+3的值相等，则当x＝m+n时，代数式x2﹣2x+3的值为　 　 ． 14．如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝﹣mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+mx+c＞n的解集是 　 　 ． 15．已知二次函数y＝（x﹣2a）2+（a﹣1）（a为常数），当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”，如图分别是当a＝﹣1，a＝0，a＝1，a＝2时二次函数的图象．它们的顶点在一条直线上，这条直线的解析式是　 　 ． 16．对称轴与y轴平行且经过原点O的抛物线也经过A（2，m），B（4，m），若△AOB的面积为4，则抛物线的解析式为　 　 ． 三．解答题（共7小题） 17．如图，已知抛物线y＝a（x﹣1）2+h与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C（0，4） （1）求该抛物线的表达式； （2）点E是线段BC的中点，连结AE并延长与抛物线交于点D，求点D的坐标． 18．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c图象经过点A（1，﹣2）和B（0，﹣5）． （1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标； （2）当y≤﹣2时，请根据图象直接写出x的取值范围是 　 　 ； （3）若关于x的方程|x2+bx+c|﹣m＝0有且只有四个解，则m的取值范围是 　 　 ． 19．如图，抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，A（1，0），AB＝4，点P为线段AB上的动点，过P作PQ∥BC交AC于点Q． （1）求该抛物线的解析式； （2）设P（m，0）， ①试用含m的代数式表示△PCA的面积； ②试用含m的代数式表示点Q到x轴的距离； ③求△CPQ面积的最大值，并求此时P点坐标． 20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点D在第一象限抛物线上一点，连接BC、DC，若∠DCB＝2∠ABC，求点D的坐标； （3）已知点P为x轴上一动点，点Q为第三象限抛物线上一动点，若△CPQ为等腰直角三角形，请直接写出点Q的坐标． 21．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3a与x轴交于点A（﹣1，0），与x轴的另一交点为B，与y轴交于点C（0，﹣3），抛物线的对称轴与x轴交于点D． （1）求抛物线的解析式及对称轴； （2）点P在抛物线的对称轴上，且满足∠APB＝∠ABC，求点P的坐标． 22．如图，抛物线y＝x2+2x﹣c与x轴负半轴，y轴负半轴分别交于点A，点C，OA＝OC，它的对称轴为直线l． （1）求抛物线的表达式及顶点坐标． （2）P是直线AC上方对称轴上的一动点，过点P作PQ⊥AC于点Q，若PQ＝PO，求点P的坐标． 23．已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+3与坐标轴分别交于点A，B（﹣3，0），C（1，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的解析式； （2）过点P作PH⊥x轴于点H，交AB于点F，点P在运动过程中，求线段PF的最大值； （3）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积最大？ 北师大版数学9年级下第二章二次函数 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C B C A C C C A D 一．选择题（共10小题） 1．二次函数y＝﹣x2+2x+4的最大值为（　　） A．5 B．4 C．6 D．7 【分析】将y＝﹣x2+2x+4进行配方即可． 【解答】解：y＝﹣x2+2x+4＝﹣（x﹣1）2+5， 当x﹣1＝0，即x＝1时，函数有最大值为5． 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数的最值问题，解题的关键是掌握用配方法求最值． 2．已知点A（3，y1），B（5，y2），C（﹣4，y3）均在抛物线y＝3x2﹣6x+m上，下列说法中正确的是（　　） A．y3＞y1＞y2 B．y1＞y2＞y3 C．y1＜y2＜y3 D．y1＞y3＞y2 【分析】求得抛物线对称轴为直线x＝1，根据抛物线的性质，抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大，即可得到答案． 【解答】解：∵抛物线y＝3x2﹣6x+m， ∴抛物线的开口向上，对称轴是直线x1， ∴抛物线上的点离对称轴最远，对应的函数值就越大， ∵点（﹣4，y3）离对称轴最远，点A（3，y1）离对称轴最近， ∴y1＜y2＜y3． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．解题时，需熟悉抛物线的有关性质：抛物线的开口向上，则抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大． 3．如图，抛物线y＝ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac的值为（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4 【分析】过A作AH⊥x轴于H，根据正方形的性质得到∠AOB＝45°，得到AH＝OH，利用待定系数法求得a、c的值，即可求得结论． 【解答】解：过A作AH⊥x轴于H， ∵四边形ABCO是正方形， ∴∠AOB＝45°， ∴∠AOH＝45°， ∴AH＝OH， 设A（m，m），则B（0，2m）， ∴， 解得am＝﹣1，m， ∴ac的值为﹣2， 故选：B． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，根据图象得出抛物线经过的点的坐标是解题的关键． 4．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2，下列结论正确的是（　　） A．a＜0 B．c＜0 C．当x＜﹣2时，y随x的增大而减小 D．b2﹣4ac＜0 【分析】根据抛物线的开口方向，可判断A，根据抛物线与y轴的交点，可判断B，根据对称轴位置，可判断C，根据抛物线和x轴的交点个数，可判断D． 【解答】解：∵图象开口向上， ∴a＞0，故A不正确，不符合题意； ∵图象与y轴交于正半轴， ∴c＞0，故B不正确，不符合题意； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣2 ∴当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，x＞﹣2时，y随x的增大而增大， 故C正确，符合题意； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴b2﹣4ac＞0，故D不正确，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题主要考查二次函数图象和性质，掌握抛物线开口方向，对称轴，与坐标轴的交点和二次函数系数的关系是解题的关键． 5．设O为坐标原点，点A、B为抛物线y＝x2上的两个动点，且OA⊥OB．连接点A、B，过O作OC⊥AB于点C，则点C到y轴距离的最大值（　　） A． B． C． D．1 【分析】分别作AE、BF垂直于x轴于点E、F，设OE＝a，OF＝b，由抛物线解析式可得AE＝a2，BF＝b2，作AH⊥BH于H，交y轴于点G，连接AB交y轴于点D，设点D（0，m），易证△ADG∽△ABH，所以，即．可得m＝ab．再证明△AEO∽△OFB，所以，即，可得ab＝1．即得点D为定点，坐标为（0，1），得DO＝1．进而可推出点C是在以DO为直径的圆上运动，则当点C到y轴距离为此圆的直径的一半，即时最大． 【解答】解：如图，分别作AE、BF垂直于x轴于点E、F， 设OE＝a，OF＝b，由抛物线解析式为y＝x2， 则AE＝a2，BF＝b2， 作AH⊥BF于H，交y轴于点G，连接AB交y轴于点D， 设点D（0，m）， ∵DG∥BH， ∴△ADG∽△ABH， ∴，即． 化简得：m＝ab． ∵∠AOB＝90°， ∴∠AOE+∠BOF＝90°， 又∠AOE+∠EAO＝90°， ∴∠BOF＝∠EAO， 又∠AEO＝∠BFO＝90°， ∴△AEO∽△OFB． ∴， 即， 化简得ab＝1． 则m＝ab＝1，说明直线AB过定点D，D点坐标为（0，1）． ∵∠DCO＝90°，DO＝1， ∴点C是在以DO为直径的圆上运动， ∴当点C到y轴距离为时，点C到y轴的距离最大． 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数结合动点问题背景下的最值求法，涉及相似三角形，圆周角定理，此题难度较大，关键是要找出点D为定点，确定出点C的轨迹为一段优弧，再求最值． 6．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分如图所示，其中对称轴为：x＝1，下列结论：①abc＞0；②a+c＞0；③2a+3b＞0；④a+b＞am2+bm（m≠1）；上述结论中正确结论的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】由抛物线的开口方向可判定a的符号；结合抛物线的对称轴b的符号可判断①；通过x＝﹣1和x＝3的对称性判断②；将不等式的两边加上c，进而判断出③；将b＝﹣2a，a﹣b+c＝0可推出④． 【解答】解：∵抛物线的开口向下， ∴a＜0， ∵对称轴为：x1， ∴b＝﹣2a＞0， ∵抛物线与y轴交于y轴的正半轴， ∴c＞0， ∴abc＜0， 故①不正确； ∵2×1﹣3＝﹣1，当x＝3时，y＞0， ∴当x＝﹣1时，a﹣b+c＞0， ∴a+c＞b， ∵b＝﹣2a＞0， ∴a+c＞0， 故②正确； ∵b＝﹣2a， ∴2a+3b＝2a﹣6a＝﹣4a＞0， 故③正确， ∵当x＝1时，y＝a+b+c，a＜0， ∴函数的最大值为：a+b+c， ∴a+b+c＞am2+bm+c（m≠0）， ∴a+b＞am2+bm， 故④正确， ∴②③④正确， 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解决问题的关键是熟练掌握二次函数及其图象的性质． 7．如图，函数y＝ax2+bx+c与y＝x﹣1的图象如图所示，以下结论正确的是（　　） A．bc＜0 B．a+b+c＞0 C．2a+b＝1 D．当0＜x＜2时，ax2+（b﹣1）x+c+1＞0 【分析】由图象可得，a＞0，c＝﹣1，，抛物线与直线的交点坐标为（0，﹣1），（2，1），则b＜0，进而可判断A的正误；根据二次函数当x＝1时，y＜0，可判断B的正误；将（2，1）代入y＝ax2+bx+c，可判断C的正误；根据当0＜x＜2时，x﹣1＞ax2+bx+c，判断D的正误即可． 【解答】解：由图象可得，a＞0，c＝﹣1，，抛物线与直线的交点坐标为（0，﹣1），（2，1）， ∴b＜0， ∴bc＞0，A错误， 故不符合要求； 当x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0，B错误， 故不符合要求； 将（2，1）代入y＝ax2+bx+c得，4a+2b﹣1＝1，即2a+b＝1，C正确， 故符合要求； 当0＜x＜2时，x﹣1＞ax2+bx+c，即ax2+（b﹣1）x+c+1＜0，D错误， 故不符合要求； 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的图象性质，掌握二次函数与不等式，二次函数与一次函数综合等知识是解题的关键． 8．在同一平面直角坐标系内，二次函数y＝ax2+bx+b（a≠0）与一次函数y＝ax+b的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系即可得出a、b的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论． 【解答】解：A、二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧， ∴a＞0，b＜0， ∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于y轴负半轴的同一点， 故A错误； B、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧， ∴a＜0，b＜0， ∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，且与二次函数交于y轴负半轴的同一点， 故B错误； C、二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧， ∴a＞0，b＜0， ∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于y轴负半轴的同一点， 故C正确； ∵D、二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧， ∴a＞0，b＜0， ∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于y轴负半轴的同一点， 故D错误； 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，根据a、b的正负确定一次函数图象经过的象限是解题的关键． 9．抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴的负半轴于C，顶点为D．下列结论：①2a+b＜0；②2c＞3b；③3a+2b+c＞0；④当△ABD是等边三角形时，抛物线解析式为．其中正确有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据y＝ax2+bx+c的交点是A（﹣1，0），B（3，0），可知对称轴为x＝1，从而可判断①；根据①的结论及a﹣b+c＝0可得c与a的关系，从而判断②；将b＝﹣2a、c＝﹣3a代入3a+2b+c化简即可判断③；当△ABD是等边三角形时，可知D（1，﹣2）代入二次函数解析式，结合b＝﹣2a，c＝﹣3a判断④． 【解答】解：∵y＝ax2+bx+c的交点是A（﹣1，0），B（3，0）， ∴抛物线的对称轴为：， ∴， ∴b＝﹣2a，即，故2a+b＝0①错误； ∵（﹣1，0）在二次函数的图象上， ∴a﹣b+c＝0， ∴c＝﹣3a， ∴2c＝3b，故②错误； ∴3a+2b+c＝3a+2（﹣2a）+（﹣3a）＝﹣4a， ∵抛物线开口向上，a＞0 ∴3a+2b+c＝﹣4a＜0，故③错误； 当△ABD是等边三角形时，如图： 则∠DBH＝60°， 又∵HB＝AH＝2，H（1，0）， ∴， ∴代入二次函数解析式得：， 又b＝﹣2a、c＝﹣3a， 即， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， 故④正确； 综上所述：正确的结论是①，共一个， 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数与不等式以及二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键，本题属于中档题，有些难度． 10．已知二次函数y＝ax2﹣（3a+1）x+3（a≠0），下列说法： ①点（1，2）在该函数的图象上， ②当a＝1且﹣1≤x≤3时，0≤y≤8， ③该函数的图象与x轴一定有交点， ④当a＞0时，该函数图象的对称轴一定在直线的左侧， 其中正确的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】将点（1，2）代入抛物线的解析式即可对①进行判断；将 a＝1代入抛物线的解析式求出顶点坐标为（2，﹣1），据此可对②进行判断；令 y＝0，则ax2﹣（3a+1）x+3＝0，然后判断该方程判别式的符号即可对③进行判断；求出抛物线的解析式为：，然后根据a＞0得 ，据此可④进行判断． 【解答】解：①对于y＝ax2﹣（3a+1）x+3， 当x＝1时，y＝a×12﹣（3a+1）×1+3＝2﹣2a， ∵a≠0， ∴y＝2﹣2a≠2， ∴点A（1，2）不在该函数的图象上，故①不正确； ②当 a＝1时，抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1， ∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），即当x＝2时，y最小为﹣1； 即当x＝﹣1时，y最大为8， ∴当﹣1≤x≤3时，0≤y≤8，故②不正确； ③令y＝0，则 ax2﹣（3a+1）x+3＝0 ∵Δ＝[﹣（3a+1）]2﹣4a×3＝（3a﹣1）2≥0， ∴该函数的图象与x轴一定有交点，故③正确； ④∵该抛物线的对称轴为直线：， 又∵a＞0， ∴， ∴该抛物线的对称轴一定在直线的右侧，故④不正确． 故正确的为③， 故选：D． 【点评】此题主要考查了二次函数的图象和性质，解答此题的关键是熟练掌握求二次函数的顶点、对称轴以及判定与x轴有无交点的方法． 二．填空题（共6小题） 11．抛物线y＝2x2+6x+c与x轴的一个交点为（1，0），则这个抛物线的顶点坐标是　（，）　 ． 【分析】由于抛物线y＝2x2+6x+c与x轴的一个交点为（1，0），代入解析式即可得到c＝﹣8，从而求出解析式是：y＝2x2+6x﹣8，再利用y＝ax2+bx+c的顶点坐标公式（，）就可以得到顶点坐标． 【解答】解：∵抛物线y＝2x2+6x+c与x轴的一个交点为（1，0） 即抛物线经过点（1，0） 代入解析式得到c＝﹣8 ∴解析式是y＝2x2+6x﹣8 ∵y＝ax2+bx+c的顶点坐标公式为（，） 代入公式求值得到顶点坐标是（，） 故填空答案：（，）． 【点评】本题主要是对抛物线一般形式中对称轴，顶点坐标求法的考查，是中考中经常出现的问题． 12．把抛物线y＝2x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为 　y＝2x2+4x　 ． 【分析】可根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答． 【解答】解：把抛物线y＝2x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为：y＝2（x+1）2+1﹣3，即y＝2x2+4x 故答案为y＝2x2+4x． 【点评】本题考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式． 13．请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按照第一题记分． A．Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝3BC，则tanB＝　2　 ． B．x＝m或x＝n（m≠n）时，代数式x2﹣2x+3的值相等，则当x＝m+n时，代数式x2﹣2x+3的值为　3　 ． 【分析】A、根据勾股定理求出AC，解直角三角形求出即可； B、把x＝m和x＝n代入得出方程，求出m+n＝2，再代入求出即可． 【解答】解：A、设BC＝x，则AB＝3x， 由勾股定理得：AC2x， 则tanB2， 故答案为：2； B、∵x＝m或x＝n（m≠n）时，代数式x2﹣2x+3的值相等， ∴m2﹣2m+3＝n2﹣2n+3， ∴（m﹣n）（m+n﹣2）＝0， ∵m≠n， ∴m+n﹣2＝0， 即m+n＝2， ∴当x＝m+n＝2时，代数式x2﹣2x+3＝22﹣2×2+3＝3， 故答案为：3． 【点评】本题考查了勾股定理，解直角三角形和求代数式的值，能够熟练地运用知识点进行计算是解此题的关键． 14．如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝﹣mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+mx+c＞n的解集是 　x＞3或x＜﹣1　 ． 【分析】由抛物线与直线交点横坐标确定直线在抛物线上方时x的取值范围． 【解答】解：∵A（﹣1，p），B（3，q）， ∴当x＞3或x＜﹣1时，直线在抛物线下方，即x＞3或x＜﹣1时，ax2+c＞﹣mx+n， ∴不等式ax2+mx+c＞n的解集为x＞3或x＜﹣1． 故答案为：x＞3或x＜﹣1． 【点评】本题考查二次函数与不等式的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，通过图象求解． 15．已知二次函数y＝（x﹣2a）2+（a﹣1）（a为常数），当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”，如图分别是当a＝﹣1，a＝0，a＝1，a＝2时二次函数的图象．它们的顶点在一条直线上，这条直线的解析式是　y　 ． 【分析】已知抛物线的顶点式，写出顶点坐标，用x、y代表顶点的横坐标、纵坐标，消去a得出x、y的关系式． 【解答】解：由已知得抛物线顶点坐标为（2a，a﹣1）， 设x＝2a①，y＝a﹣1②， ①﹣②×2，消去a得，x﹣2y＝2， 即． 故答案为：． 【点评】本题考查了根据顶点式求顶点坐标的方法，消元的思想． 16．对称轴与y轴平行且经过原点O的抛物线也经过A（2，m），B（4，m），若△AOB的面积为4，则抛物线的解析式为　yx2+3x或yx2﹣3x　 ． 【分析】根据A、B两点是对称点，可知抛物线的对称轴是直线x＝3，再根据△AOB的面积为4求m＝±4，分别代入抛物线的解析式中可得结论． 【解答】解：∵抛物线经过A（2，m），B（4，m）， ∴对称轴是：x＝3，AB＝2， ∵△AOB的面积为4， ∴AB•|m|＝4， m＝±4， 当m＝4时，则A（2，4），B（4，4）， 设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣3）2+h， 把（0，0）和（2，4）代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：y（x﹣3）2x2+3x； 当m＝﹣4时，A（2，﹣4），B（4，﹣4）， 设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣3）2+h， 把（0，0）和（2，﹣4）代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：y（x﹣3）2x2﹣3x； 综上所述，抛物线的解析式为：yx2+3x或yx2﹣3x． 【点评】此题主要考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，根据顶点式求出二次函数解析式是解题关键，注意根据m的值进行讨论，不要漏解． 三．解答题（共7小题） 17．如图，已知抛物线y＝a（x﹣1）2+h与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C（0，4） （1）求该抛物线的表达式； （2）点E是线段BC的中点，连结AE并延长与抛物线交于点D，求点D的坐标． 【分析】（1）把A，C坐标代入解析式，用待定系数法求函数解析式即可； （2）令y＝0，解方程求出B的坐标，再根据中点坐标公式求出E的坐标，用待定系数法求出AE的解析式，再联立直线AE和抛物线解析式，解方程组求出D的坐标． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝a（x﹣1）2+h与x轴交于点A（﹣2，0），与y轴交于点C（0，4）， ∴， 解得， ∴该抛物线的表达式为y（x﹣1）2x2+x+4； （2）令y＝0，则x2+x+4＝0， 解得x1＝﹣2，x2＝4， ∴B（4，0）， ∵E是BC的中点， E（2，2）， 设直线AE的解析式为y＝mx+n， 则， 解得， ∴直线AE的解析式为yx+1， 联立方程组， 解得或， ∴D（3，）． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，中点坐标公式，直线和抛物线的交点等知识，关键是求出抛物线解析式． 18．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c图象经过点A（1，﹣2）和B（0，﹣5）． （1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标； （2）当y≤﹣2时，请根据图象直接写出x的取值范围是 　﹣3≤x≤1　 ； （3）若关于x的方程|x2+bx+c|﹣m＝0有且只有四个解，则m的取值范围是 　0＜m＜6　 ． 【分析】（1）利用待定系数法求解可得函数解析式，再配方成顶点式即可得出其顶点坐标； （2）当y≤﹣2时，x2+2x﹣5≤﹣2，解该不等式即可得出答案； （3）直线y＝m与函数y＝|x2+2x﹣5|的交点即为|x2+bx+c|﹣m＝0的解，据此利用函数图象求解即可． 【解答】解：（1）将点A（1，﹣2）和B（0，﹣5）代入解析式，得： ， 解得， 所以函数解析式为y＝x2+2x﹣5， ∵y＝x2+2x﹣5＝（x+1）2﹣6， ∴函数图象的顶点坐标为（﹣1，﹣6）； （2）当y≤﹣2时，x2+2x﹣5≤﹣2， ∴x2+2x﹣3≤0， 解得﹣3≤x≤1， 故答案为：﹣3≤x≤1； （3）由|x2+bx+c|﹣m＝0知|x2+bx+c|＝m， 如图所示， 由图知，当0＜m＜6时，直线y＝m与函数y＝|x2+2x﹣5|有4个交点，即此时|x2+bx+c|﹣m＝0有4个解． 故答案为：0＜m＜6． 【点评】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数与相应方程间的关系． 19．如图，抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，A（1，0），AB＝4，点P为线段AB上的动点，过P作PQ∥BC交AC于点Q． （1）求该抛物线的解析式； （2）设P（m，0）， ①试用含m的代数式表示△PCA的面积； ②试用含m的代数式表示点Q到x轴的距离； ③求△CPQ面积的最大值，并求此时P点坐标． 【分析】（1）先根据A（1，0），AB＝4，求出B点坐标，再将A，B点坐标代入y＝x2+bx+c求解； （2）①将y＝x2+2x﹣3化成顶点式求出C（﹣1，﹣4），则； ②先证△PQA∽△BCA，推出，再根据CF∥QE，推出，代入数值求出QE即可； ③根据S△CPQ＝S△PCA﹣S△PQA，得到关于m的二次函数，化为顶点式即可求出最值． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，A（1，0），AB＝4， ∴B（﹣3，0）， 将A（1，0），B（﹣3，0）代入y＝x2+bx+c，得： ， 解得：， 抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3； （2）①如图，过Q作QE⊥x轴于E，过C作CF⊥x轴于F， 设P（m，0），则PA＝1﹣m， ∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4， ∴C（﹣1，﹣4）， ∵C（﹣1，﹣4）， ∴CF＝4， ∴； ②∵PQ∥BC， ∴∠PQA＝∠BCA，∠QPA＝∠CBA， ∴△PQA∽△BCA， ∴， ∵CF∥QE， ∴， ∴，即， ∴QE＝1﹣m，即点Q到x轴的距离为1﹣m； ③∵， ∴S△CPQ＝S△PCA﹣S△PQA， ∵﹣3≤m≤1， ∴当m＝﹣1时S△CPQ有最大值2， ∴△CPQ面积的最大值为2，此时P点坐标为（﹣1，0）． 【点评】本题属于二次函数综合题，考查待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例、求二次函数的最值等，有一定难度，解题的关键是熟练运用数形结合思想． 20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点D在第一象限抛物线上一点，连接BC、DC，若∠DCB＝2∠ABC，求点D的坐标； （3）已知点P为x轴上一动点，点Q为第三象限抛物线上一动点，若△CPQ为等腰直角三角形，请直接写出点Q的坐标． 【分析】（1）根据抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，写出交点式解析式，整理即可得出答案； （2）作DE∥AB，交BC延长线于点E，交y轴于点F，证明△DCF∽△BCO，设，列出方程求解即可； （3）根据点P为x轴上一动点，点Q为第三象限抛物线上一动点，对等腰直角三角形△CPQ进行分类讨论，画出四种不同情况的图形，分别进行计算即可得出答案． 【解答】解：（1）抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）作DE∥AB，交BC延长线于点E，交y轴于点F． ∵DE∥AB，∠BOC＝90°， ∴∠ABC＝∠DEC，∠DFC＝180°﹣∠BOC＝90°＝∠BOC． ∵∠DCB＝2∠ABC， ∴∠DCB＝2∠DEC． ∵∠DCB＝∠DEC+∠CDE， ∴∠CDE＝∠DEC． ∴∠ABC＝∠CDE． ∴△DCF∽△BCO． ∴． 设， ∴DF＝m，． ∵B（4，0），C（0，3）， ∴OB＝4，OC＝3． ∴． ∴． 解得m1＝0（舍去），m2＝2． ∴； （3）∵点P为x轴上一动点，点Q为第三象限抛物线上一动点， ∴等腰直角三角形△CPQ共有四种情况， （1）如图1，当∠PQC＝90°，PQ＝CQ时，过点Q作QE⊥x轴于点E，QF⊥y轴于点F，设QC交x轴于点N， ∵∠EPQ+∠PNQ＝90°，∠FCQ+∠CNO＝90°，∠PNQ＝∠CNO， ∴∠EPQ＝∠FCQ． 又∵∠PEQ＝∠CFQ＝90°，PQ＝CQ， ∴△PEQ≌△CFQ（AAS）． ∴QE＝QF． 设， 则， 解得：n1＝3（舍去），， ∴． （2）如图2，当∠CPQ＝90°，PQ＝CP时，过点Q作QE⊥x轴于点E， ∵∠EPQ+∠EPC＝90°，∠PCO+∠EPC＝90°， ∴∠EPQ＝∠PCO． 又∵∠PEQ＝∠COP＝90°，PQ＝CP， ∴△PEQ≌△COP（AAS）． ∴QE＝OP，PE＝OC． ∵C（0，3）， ∴PE＝OC＝3． ∴QE＝OP＝PE+OE＝3+OE． 设， 则OE＝﹣n，QE＝OP＝3+OE＝3﹣n， ∴， 解得：（舍去），， ∴． （3）如图3，当∠CPQ＝90°，PQ＝CP时，过点Q作QE⊥x轴于点E， ∵∠EPQ+∠EPC＝90°，∠PCO+∠EPC＝90°， ∴∠EPQ＝∠PCO． 又∵∠PEQ＝∠COP＝90°，PQ＝CP， ∴△PEQ≌△COP（AAS）． ∴QE＝OP，PE＝OC． ∵C（0，3）， ∴PE＝OC＝3． ∴QE＝OP＝PE﹣OE＝3﹣OE． 设， 则OE＝﹣n，QE＝OP＝3﹣OE＝3+n， ∴， 解得：（舍去），， ∴． （4）如图4，当∠PCQ＝90°，PC＝CQ时，过点Q作QF⊥y轴于点F， ∵∠QCF+∠FCP＝90°，∠CPO+∠FCP＝90°， ∴∠QCF＝∠CPO． 又∵∠QFC＝∠COP＝90°，PC＝CQ， ∴△QCF≌△PCO（AAS）． ∴QF＝OC＝3． ∴点Q的横坐标是﹣3． 把x＝﹣3代入得：， ∴． 故点Q的坐标为、、或． 【点评】本题是二次函数的综合题，综合考查了待定系数法，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，以及分类讨论思想和数形结合思想，灵活运用所学知识，根据题意画出图形，分类讨论求出存在的点Q的坐标是解题的关键和难点． 21．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3a与x轴交于点A（﹣1，0），与x轴的另一交点为B，与y轴交于点C（0，﹣3），抛物线的对称轴与x轴交于点D． （1）求抛物线的解析式及对称轴； （2）点P在抛物线的对称轴上，且满足∠APB＝∠ABC，求点P的坐标． 【分析】（1）利用待定系数法求出a，b，可得结论； （2）先由抛物线解析式求得OB＝OC＝3，并求出∠ABC＝45°，再根据二次函数的对称性质及等腰三角形的性质推出∠MPB＝∠MBP，则由等腰三形判定得MP＝MB，最后由勾股定理及线段的和差关系可求出点P的坐标； 【解答】解：（1）把A（﹣1，0），点C（0，﹣3）的坐标代入y＝ax2+bx﹣3a，可得， 解得，， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3， ∴对称轴x1； （2）令y＝0得：x2﹣2x﹣3＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝3， ∴B（3，0）， ∵C（0，3）， ∴OB＝OC＝3， ∴∠ABC＝45°， 当点P在x轴下方时， ∵∠APB＝∠ABC＝45°，且PA＝PB， ∴∠PBA（180°﹣45°）＝67.5°，∠MPB∠APB＝22.5°， ∴∠MBP＝67.5°﹣45°＝22.5°， ∴∠MPB＝∠MBP， ∴MP＝MB， 在Rt△BMD中，BD＝MD＝2， 由勾股定理可得：BM＝2， ∴MP＝2， ∴PD＝MG\D+MP＝2+2， ∴P（1，﹣2﹣2）； 当点P在x轴上方时，由对称性可得P点坐标为（1，2+2）； ∴P点坐标为（1，2+2）或（1，﹣2﹣2）； 【点评】本题属于二次函数综合问题，考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的对称性质，三角形的面积等知识，熟练掌握次函数的图象与性质是解题的关键． 22．如图，抛物线y＝x2+2x﹣c与x轴负半轴，y轴负半轴分别交于点A，点C，OA＝OC，它的对称轴为直线l． （1）求抛物线的表达式及顶点坐标． （2）P是直线AC上方对称轴上的一动点，过点P作PQ⊥AC于点Q，若PQ＝PO，求点P的坐标． 【分析】（1）由题意可知A的坐标为（﹣c，0），代入解析式即可求得c的值，把解析式化成顶点式，即可求得顶点坐标； （2）先设P的坐标为（﹣1，t），则可计算PO，由直线AC的解析式与对称轴直线x＝﹣1可计算出其交点坐标D，则可计算PD，由题意可知△PQD是等腰直角三角形，PD，PQ＝PO，即可算出点P的坐标． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+2x﹣c与y轴交于点C， ∴C（0，﹣c）， ∵OA＝OC，且A点在x轴负半轴上， ∴A（﹣c，0）， 把A（﹣c，0），代入y＝x2+2x﹣c得，c2﹣3c＝0， 解得c1＝3，c2＝0（舍去）， ∴抛物线为y＝x2+2x﹣3， ∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4， ∴顶点为（﹣1，﹣4）； （2）∵抛物线y＝x2+2x﹣3的对称轴为直线x＝1， ∴设点P（﹣1，t），如图， 则OP， 设直线AC的解析式为y＝kx+b， 把A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入上式得， ， 解得， ∴直线AC得解析式为y＝﹣x﹣3， 取直线AC与对称轴直线x＝1的交点为D， 则D（﹣1，﹣2）， ∵P点在直线AC的上方， ∴t＞﹣2， ∴PD＝t+2， 又∵AO＝CO＝3，∠AOC＝90°， ∴∠ACB＝45°， 又∵PQ⊥AC， ∴∠QDP＝∠PQD＝45°， ∴PQ＝DQ， ∴， 即t+2， 解得t1＝2．t2＝22， ∴点P的坐标为P（﹣1，2）或（﹣1，2）． 【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，根据等腰直角三角形的性质列式计算是解决本题的关键． 23．已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+3与坐标轴分别交于点A，B（﹣3，0），C（1，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的解析式； （2）过点P作PH⊥x轴于点H，交AB于点F，点P在运动过程中，求线段PF的最大值； （3）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积最大？ 【分析】（1）将B（﹣3，0），C（1，0）代入y＝ax2+bx+3，列方程组并且解该方程组求出a、b的值，即得到抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3； （2）先求得A（0，3），再用待定系数法求得直线AB的解析式为y＝x+3，设P（m，﹣m2﹣2m+3），则F（m，m+3），所以PF＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣（m）2，则线段PF的最大值为； （3）由S△PAB＝S△PAF+S△PBFPF•OHPF•BHPF•OB，得S△PAB3（﹣m2﹣3m）（m）2，所以当m时，△PAB的面积最大，此时P（，），可知当点P运动到坐标为（，）时，△PAB的面积最大． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3经过点B（﹣3，0），C（1，0）， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3． （2）抛物线y＝﹣x2﹣2x+3，当x＝0时，y＝3， ∴A（0，3）， 设直线AB的解析式为y＝kx+b，则， 解得， ∴直线AB的解析式为y＝x+3， 设P（m，﹣m2﹣2m+3）（﹣3＜m＜0），则F（m，m+3）， ∴PF＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m）2， ∴线段PF的最大值为． （3）由（2）得PF＝﹣m2﹣3m ∵S△PAB＝S△PAF+S△PBFPF•OHPF•BHPF•OB， ∴S△PAB3（﹣m2﹣3m）m2m（m）2， ∴当m时，△PAB的面积最大， ∴﹣m2﹣2m+3＝﹣（）2﹣2×（）+3， ∴P（，）， ∴当点P运动到坐标为（，）时，△PAB的面积最大． 【点评】此题重点考查一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、根据转化思想求图形的面积等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/3/31 23:28:14；用户：姚怀洪；邮箱：13927028828；学号：38450005 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$