2025年中考数学二轮专题训练：平面直角坐标系

2025年中考数学二轮专题训练： 平面直角坐标系 一．选择题 1．点P（3，﹣4）在平面直角坐标系中所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．如图，在中国象棋棋盘中建立平面直角坐标系，则“車”的坐标为（　　） A．（1，2） B．（﹣2，2） C．（3，1） D．（﹣3，2） 3．在平面直角坐标系中，点M的坐标是（3，﹣4），则点M到x轴的距离是（　　） A．3 B．4 C．5 D．2 4．如图，已知点A（﹣3，1），B（﹣3，﹣5），点C（x，y）在线段AB上运动，当OC＞OA时，y的取值范围为（　　） A．﹣5≤y＜﹣1 B．y＜1 C．﹣1＜y＜1 D．﹣5＜y≤﹣1 5．已知点A的坐标为（1，2），直线AB∥x轴，且AB＝6，则点B的坐标为（　　） A．（5，2）或（4，2） B．（6，2）或（﹣4，2） C．（7，2）或（﹣5，2） D．（1，7）或（1，﹣3） 6．已知点P（x，y）在第二象限，且y≤2x+6，x，y均为整数，则点P的个数是（　　） A．3 B．6 C．10 D．无数个 7．如图，小好同学用计算机软件绘制函数y＝x3﹣3x2+3x﹣1的图象，发现它关于点（1，0）中心对称．若点A1（0.1，y1），A2（0.2，y2），A3（0.3，y3），…，A19（1.9，y19），A20（2，y20）都在函数图象上，这20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1，则y1+y2+y3+…+y19+y20的值是（　　） A．﹣1 B．﹣0.729 C．0 D．1 8．点P（m+1，2m﹣7）在第二、四象限角平分线上，则点P的坐标为（　　） A．（2，﹣2） B．（﹣2，﹣2） C．（3，﹣3） D．（﹣3，﹣3） 9．在平面直角坐标系中，若点A（a，b）在第二象限，则点B（ab，﹣b）所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10．平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度． 例：“和点”P（2，1）按上述规则连续平移3次后，到达点P3（2，2），其平移过程如下：． 若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点Q16（﹣1，9），则点Q的坐标为（　　） A．（6，1）或（7，1） B．（15，﹣7）或（8，0） C．（6，0）或（8，0） D．（5，1）或（7，1） 二．填空题 11．若点P（m+3，m+1）在x轴上，则点P的坐标为　 　 ． 12．请你写出一个位于平面直角坐标系中第二象限内的点的坐标　 　 ． 13．第四象限内的点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是5，则点P的坐标是　 　 ． 14．定义：若x，y满足x2＝4y+t，y2＝4x+t且x≠y（t为常数），则称点M（x，y）为“和谐点”．若P（3，m）是“和谐点”，则m＝ 　 　 ． 15．某小区的圆形花园中间有两条互相垂直的小路，园丁在花园中栽种了8棵桂花，如图所示．若A，B两处桂花的位置关于小路对称，在分别以两条小路为x，y轴的平面直角坐标系内，若点A的坐标为（﹣6，2），则点B的坐标为 　 　 ． 16．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），…那么点A2024的坐标为 　 　 ． 17．在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别A（4，0）、B（0，2）．以AB为斜边在右上方作Rt△ABC．设点C坐标为（x，y），则x+2y的最大值为 　 　 ． 三．解答题 18．已知：A（0，1），B（2，0），C（4，3） （1）在坐标系中描出各点，画出△ABC． （2）求△ABC的面积； （3）设点P在坐标轴上，且△ABP与△ABC的面积相等，求点P的坐标． 19．已知点P（2a﹣2，a+5）回答下列问题： （1）点P在y轴上，求出点P的坐标； （2）点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求a2024+2024的值 20．含60°角的菱形A1B1C1B2，A2B2C2B3，A3B3C3B4，……，按如图所示的方式放置在平面直角坐标系xOy中，点A1，A2，A3，……，和点B1，B2，B3，B4，……，分别在直线y＝kx和x轴上．已知B1（2，0），B2（4，0）， 【探究】 （1）点A1的坐标是 　 　 ； （2）点A2的坐标是 　 　 ； （3）点An的坐标是 　 　 （n为正整数）． 21．已知，对于平面直角坐标系中的点P（a，b），若点P'（a﹣kb，b﹣ka）（其中k为常数，且k≠0，则称点P′为点P的“k系好点”．例如：P（1，2）的“2系好点”为P'（1﹣2×2，2﹣2×1），即P'（﹣3，0）． （1）求点P（﹣2，1）的“﹣2系好点”P′的坐标； （2）若点P在x轴的正半轴上，点P的“k系好点”为点P′，PP'＝2OP，求k的值； （3）已知点A（x，y）在第二象限，且满足xy＝﹣9，点A为点B（m，n）的“1系好点”，求m﹣n的值． 22．如图（1），是边长为1的正方形OBB1C，以对角线OB1为一边作第2个正方形OB1B2C1，再以对角线OB2为一边作第3个正方形OB2B3C2，…依次下去，则： （1）第2个正方形的边长＝　 　 ，第10个正方形的边长＝　 　 ，第n个正方形的边长为 　 　 ． （2）如图（2）所示，若以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，则点B3的坐标是 　 　 ，点B5的坐标是 　 　 ，点B2014的坐标是 　 　 ． 23．如图，某小区绿化区的护栏是由两种大小不等的正方形间隔排列组成，将护栏的图案放在平面直角坐标系中．已知小正方形的边长为1，A1的坐标为（2，2），A2的坐标为（5，2）． （1）A3的坐标为 　 　 ，An的坐标为 　 　 用含n的代数式表示； （2）若护栏长为2020，则需要小正方形 　 　 个，大正方形 　 　 个． 24．如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为（1，0）、点A2的坐标为（2，0）、点A3的坐标为（3，0）、…，过点A1、A2、A3、…分别作x轴垂线，交直线y＝x于点B1、B2、B3、…，△OA1B1覆盖的整点（横、纵坐标均为整数的点）的个数记为P1，面积的值记为S1；△OA2B2覆盖的整点的个数记为P2，面积的值记为S2；△OA3B3覆盖的整点的个数记为P3，面积的值记为S3；… （1）由题意可知：P1＝3、S1；P2＝6、S2＝2；P3＝10、S3；则P4＝　 　 、S4＝　 　 ； （2）P7﹣S7＝　 　 ； （3）Pn﹣Sn的值是否会等于2022？若能，请求出n的值，若不能，请说明理由． 【注：连续x个正整数和的计算公式：1+2+3+…+x﹣1+x】 25．先阅读下列一段文字，在回答后面的问题． 已知在平面内两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），其两点间的距离公式，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|． （1）已知A（2，4）、B（﹣3，﹣8），试求A、B两点间的距离； （2）已知A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为﹣1，试求A、B两点间的距离． （3）已知一个三角形各顶点坐标为A（0，6）、B（﹣3，2）、C（3，2），你能判定此三角形的形状吗？说明理由． 26．问题情境： 在平面直角坐标系xOy中有不重合的两点A（x1，y1）和点B（x2，y2），小明在学习中发现，若x1＝x2，则AB∥y轴，且线段AB的长度为|y1﹣y2|；若y1＝y2，则AB∥x轴，且线段AB的长度为|x1﹣x2|； 【应用】： （1）若点A（﹣1，1）、B（2，1），则AB∥x轴，AB的长度为 　 　 ． （2）若点C（1，0），且CD∥y轴，且CD＝2，则点D的坐标为 　 　 ． 【拓展】： 我们规定：平面直角坐标系中任意不重合的两点M（x1，y1），N（x2，y2）之间的折线距离为d（M，N）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|；例如：图1中，点M（﹣1，1）与点N（1，﹣2）之间的折线距离为d（M，N）＝|﹣1﹣1|+|1﹣（﹣2）|＝2+3＝5． 解决下列问题： （1）如图2，已知E（2，0），若F（﹣1，﹣2），则d（E，F） 　 　 ； （2）如图2，已知E（2，0），H（1，t），若d（E，H）＝3，则t＝　 　 ． （3）如图3，已知P（3，3），点Q在x轴上，且三角形OPQ的面积为3，则d（P，Q）＝　 　 ． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B A C B D C C D 二．填空题 11．解：∵点P（m+3，m+1）在x轴上， ∴m+1＝0， 解得m＝﹣1， ∴m+3＝﹣1+3＝2， ∴点P的坐标为（2，0）． 故答案为：（2，0）． 12．解：平面直角坐标系中第二象限内的点的坐标为：（﹣2，1）（答案不唯一）． 故答案为：（﹣2，1）（答案不唯一）． 13．解：由点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是5，得 |y|＝3，|x|＝5． 由第四象限内点的横坐标大于零，纵坐标小于零，得 点P的坐标是（5，﹣3）， 故答案为：（5，﹣3）． 14．解：∵P（3，m）是“和谐点”， ∴， 消去t得到m2+4m﹣21＝0， 解得m＝﹣7或3， ∵x≠y， ∴m＝﹣7； 故答案为：﹣7． 15．解：由题意可知，点A和点B关于y轴对称， ∵点A的坐标为（﹣6，2） ∴点B的坐标为（6，2）． 故答案为：（6，2）． 16．解：根据题意可知，A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），A5（2，1），A6（3，1），A7（3，0），A8（4，0），……， ∴坐标变换的规律为每移动4次，它的纵坐标都能为1，横坐标向右移动力2个单位长度，也就是移动次数的一半， ∴2024÷4＝506， ∴点A2024的纵坐标为0，横坐标为2×506＝1012， ∴点A2024的坐标（1012，0）， 故答案为：（1012，0）． 17．解：∵A（4，0）、B（0，2）， ∴AB2， 直线AB的解析式为y， 线段AB的中点坐标为D（2，1）， ∵以AB为斜边在右上方作Rt△ABC，点C（x，y）， ∴点C的轨迹是以AB为直径，AB上方的圆弧上运动， ∵x＞0，y＞0， 设直线x+2y＝t，t＞0， 整理得：y， 求x+2y的最大值，就是求t的最大值， ∵直线y与y轴的交点坐标为M（0，）， 当直线y与圆相切时，取到最大值， 如图示，∠MBN＝∠OAB，∠MNB＝∠BOA＝90°， ∴cos∠MBN＝cos∠BAO， ∵BN，MB， ∴， 解得t＝9， ∴x+2y的最大值是9． 故答案为：9． 三．解答题 18．解：（1）如图所示： （2）过点C向x、y轴作垂线，垂足为D、E． ∴四边形DOEC的面积＝3×4＝12，△BCD的面积3，△ACE的面积4，△AOB的面积1． ∴△ABC的面积＝四边形DOEC的面积﹣△ACE的面积﹣△BCD的面积﹣△AOB的面积 ＝12﹣3﹣4﹣1＝4． （3）当点p在x轴上时，△ABP的面积4，即：，解得：BP＝8， 所以点P的坐标为（10，0）或（﹣6，0）； 当点P在y轴上时，△ABP的面积4，即，解得：AP＝4． 所以点P的坐标为（0，5）或（0，﹣3）． 所以点P的坐标为（0，5）或（0，﹣3）或（10，0）或（﹣6，0）． 19．解：（1）∵P在y轴上， ∴2a﹣2＝0， 解得：a＝1， ∴a+5＝6， ∴P（0，6）； （2）∵点P到x轴和y轴距离相等， ∴|2a﹣2|＝|a+5|， ∵P在第二象限， ∴2a﹣2＜0，a+5＞0， ∴|2a﹣2|＝2﹣2a，|a+5|＝a+5， ∴2﹣2a＝a+5， 解得：a＝﹣1， ∴a2024+2024＝（﹣1）2024+2024＝2025． 20．解：过点A1作x轴的垂线，垂足为M， ∵B1（2，0），B2（4，0）， ∴OB1＝2，OB2＝4， ∴B1B2＝4﹣2＝2． 又∵A1B1＝A1B2， ∴， ∴OM＝2+1＝3． ∵∠B1A1B2＝60°，A1B1＝A1B2， ∴△A1B1B2是等边三角形， ∴∠A1B1B2＝60°． 又∵OB1＝A1B1＝2， ∴∠A1OM＝30°． 在Rt△A1OM中， tan30°， ∴， 则点A1的坐标为（3，）． 故答案为：（3，）． （2）同理可得， 点A2的坐标为（6，）． 故答案为：（6，）． （3）依次类推， 点A3的坐标为（12，）， 点A4的坐标为（24，）， …， 由此可见，点An的坐标为（）． 故答案为：（）． 21．解：（1）∵点P'是点P（﹣2，1）的“﹣2系好点”， ∴P'（﹣2+2×1，1﹣2×2），即P'（0，﹣3）； （2）设P（t，0），其中t＞0，则P'（t，﹣kt）， ∴PP'∥y轴， ∴PP'＝|﹣kt|， ∵OP＝t，PP'＝2OP， ∴|﹣kt|＝2t，解得k＝±2； （3）∵B（m，n）的“1系好点”A为（m﹣n，n﹣m）， ∴x＝m﹣n，y＝n﹣m， 又∵xy＝﹣9， ∴（m﹣n）（n﹣m）＝﹣9， ∴m﹣n＝±3， ∵点A（x，y）在第二象限， ∴m﹣n＝﹣3． 22．解：（1）∵第1个正方形的边长为1， ∴由勾股定理可以得出： 第2个正方形的边长为：OB1， 第3个正方形的边长为：2＝（）2， 第4个正方形的边长为：2（）3， 第5个正方形的边长为：4＝（）4， … 第10个正方形的边长为：（）9， 第 n个正方形的边长为：（）n﹣1； 故答案为：，，（）n﹣1； （2）根据题意和图形可看出每经过一次变化，都顺时针旋转45°，边长都乘以， ∵从B到B3经过了3次变化， ∵45°×3＝135°，1×（）3＝2． ∴点B3所在的正方形的边长为2，点B3位置在第四象限． ∴点B3的坐标是（2，﹣2）； 可得出：B1点坐标为（1，1）， B2点坐标为（2，0）， B3点坐标为（2，﹣2）， B4点坐标为（0，﹣4）， B5点坐标为（﹣4，﹣4）， B6（﹣8，0）， B7（﹣8，8）， B8（0，16）， B9（16，16）， 由规律可以发现，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍， ∵2014÷8＝251…6， ∴从B到B2014与B6都在x轴负半轴上， ∴（）2014＝21007， ∴点B2014的坐标是（﹣21007，0）． 故答案为：（2，﹣2），（﹣4，﹣4），（﹣21007，0）． 23．解：（1）∵A1的坐标为（2，2）、A2的坐标为（5，2）， ∴A1，A2，A3，…，An各点的纵坐标均为2， ∵小正方形的边长为1， ∴A1，A2，A3，…，An各点的横坐标依次大3， ∴A3（5+3，2），An（2，2）， 即A3（8，2），An（3n﹣1，2）， 故答案为（8，2）；（3n﹣1，2）； （2）∵2020÷3＝673…1， ∴需要小正方形674个，大正方形673个． 24．解：（1）∵P1＝1+2＝3、S1；P2＝1+2+3＝6、S22；P3＝1+2+3+4＝10、S3...， ∴可以发现规律，Pn＝1+2+3+……+（n+1），Sn， ∴P4＝15，S4＝8， 故答案为：15，8； （2）根据规律可知，P736，S7， ∴P7﹣S7＝36， 故答案为：； （3）∵Pn﹣Sn， ∴2022， ∴n， ∵不是整数， ∴Pn﹣Sn的值不会等于2022． 25．解：（1）∵A（2，4）、B（﹣3，﹣8）， ∴|AB|13，即A、B两点间的距离是13； （2）∵A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为﹣1， ∴|AB|＝|﹣1﹣5|＝6，即A、B两点间的距离是6； （3）△ABC是等腰三角形，理由如下： ∵一个三角形各顶点坐标为A（0，6）、B（﹣3，2）、C（3，2）， ∴AB＝5，BC＝6，AC＝5， ∴AB＝AC， ∴△ABC是等腰三角形． 26．解：【应用】： （1）AB的长度为|﹣1﹣2|＝3． 故答案为：3． （2）由CD∥y轴，可设点D的坐标为（1，m）， ∵CD＝2， ∴|0﹣m|＝2，解得：m＝±2， ∴点D的坐标为（1，2）或（1，﹣2）． 故答案为：（1，2）或（1，﹣2）． 【拓展】： （1）d（E，F）＝|2﹣（﹣1）|+|0﹣（﹣2）|＝5． 故答案为：＝5． （2）∵E（2，0），H（1，t），d（E，H）＝3， ∴|2﹣1|+|0﹣t|＝3，解得：t＝±2． 故答案为：2或﹣2． （3）由点Q在x轴上，可设点Q的坐标为（x，0）， ∵三角形OPQ的面积为3， ∴|x|×3＝3，解得：x＝±2． 当点Q的坐标为（2，0）时，d（P，Q）＝|3﹣2|+|3﹣0|＝4； 当点Q的坐标为（﹣2，0）时，d（P，Q）＝|3﹣（﹣2）|+|3﹣0|＝8． 故答案为：4或8． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/3/31 14:01:59；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$