2025年高考数学二轮复习重点专题突破·导数与不等式证明（全国通用）

NO 1 高考二轮复习专题 导数与不等式证明 目 录 CONTENTS 1 知识梳理·温故知新 2 典例分析·能力提升 3 真题演练·高分突破 知识梳理·温故知新 1待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减 右”的函数，有时对复杂的式子要进行变形，利用导数研究其单调性和 最值，借助所构造函数的单调性和最值即可得证 2.若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个 函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目标.本例中同时含lx 与，不能直接构造函数，把指数与对数分离两边，分别计算它们的最 值，借助最值进行证明 3.将两个变量分离，根据式子的特点构造新函数，利用导数研究新函数 的单调性及最值，从而得到所证不等式，或者要求证的不等式等价变形， 然后利用整体思想换元，再构造函数，结合函数的单调性可证得不等式， 2 典例分析·能力提升 例1 已知函数f(x)=xlnx+lnx-2x+2,求证：x-1f(c)≥0. 【证明】因为f(x)=xlnx十lnx-2x十2，定义域为(0，+∞)， 所以5‘)=nx+1+-2, 设)=nx+1+-2,则g)=-克-. 当x>1时，g'()>0,函数g(x)单调递增， 当0<<1时，g'(x)0,函数g(x)单调递减， 所以gx)2g(1)=0,即f'(x)≥0且不恒为零， 所以f(x)在(0，十∞)上单调递增， 又f(1)=ln1+ln1-2+2=0, 所以当x>1时，f(x)>0,所以x一1丫(x)>0, 当0<x<1时，f(x)<0,所以x一1y(x)>0, 当x=1时，f(1)=0,所以x-1yx)=0. 综上，(x-1y(x)20. 例好 (2024广州一模)已知函数f(x)=cosx+x sinx,xE(一T，,T): (1)求f(x)的单调区间和极小值； 【解析】(1y'x)=-sinx十sinx十x cosx-=x COSx,f'x)=0x =0或2 π 或- 2 当-n-号时，'0，了单洞道增当-及0时，0 f单调递减：当0r及时，了'国0，了弹调递增：当}n时，f' (x)0,f(x)单调递减： /@的单润递给区间为-1，-马），心，】》，单调递减区间为 -0.及.n）.fa0=1