精品解析：甘肃省白银市第八中学2024-2025学年高三下学期3月质量检测数学试题

2024—2025学年（下）高三年级3月质量检测 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷与答题卡一并交监考人员收回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 某小区随机调查了10位业主2月份每户的天然气使用量，数据如下（单位：）：18，19，20，20，21，21，22，23，23，24．估计该小区业主月均用气量的样本数据的60%分位数为（ ） A. 21 B. 21.5 C. 22 D. 22.5 3. 已知复数是纯虚数，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 4. 若，，则（ ） A. B. C. D. 5. 设椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为B．若，则该椭圆的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 一个圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，轴截面的面积为9，则该圆台的体积为（ ） A. B. 2π C. D. 7π 7. 在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则角的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，有恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知双曲线的右焦点为F，直线是C的一条渐近线，P是l上一点，则下列说法中正确的是（ ） A. C的虚轴长为 B. C的离心率为 C. 的最小值为 D. 过点能作4条直线与C仅有一个交点 10. 在棱长为1的正方体中，是棱的中点，则（ ） A. 过点有且只有一条直线与直线和都相交 B. 过点有且只有一个平面与直线和所成角相等 C. 过，，三点的截面把正方体分成两部分，则该截面的周长为 D. 点是正方形内的动点，，则点的轨迹长度 11. 对于正整数n，是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目（若两个正整数的最大公因数是1，则称这两个正整数互质）．函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如，（10与1，3，7，9均互质）则（ ） A. B. 数列是单调递增数列 C. 若p为质数，则数列为等比数列 D. 数列的前5项和等于 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，向量在向量方向上的投影向量的模长为，写出一个满足条件的向量________． 13. 排球比赛实行“五局三胜制”（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束），根据此前的若干次比赛数据统计可知，在甲、乙两队的比赛中，每场比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，则在这场“五局三胜制”的排球比赛中甲队获胜的概率为________． 14. 已知正四棱锥的底面边长与高均为2，设是正方形及其内部的点构成的集合，点是正方形的中心，若集合，则直线与平面所成角的正切值的最小值为________． 四､解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 某校为了解学生数学学科核心素养发展水平，组织本校2000名学生进行针对性检测（检测分为初试和复试），并随机抽取了100名学生的初试成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示． （1）根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值；（同一组数据用该区间的中点值作代表） （2）根据频率分布直方图，求样本的80％分位数（四舍五入精确到整数）； （3）若所有学生的初试成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，．初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数（四舍五入精确到整数）． 附：若随机变量服从正态分布，则，，． 16. 已知函数，． （1）若，求曲线的斜率为1的切线方程； （2）若不等式没有整数解，求实数的取值范围． 17. 已知等差数列的前项和为，且，，． （1）求的通项公式； （2）设其中是正整数． （i）求，，，； （ii）求． 18. 如图，在四棱锥中，四边形是菱形，，三角形是正三角形，是棱的中点，设平面与平面的交线为． （1）证明：平面； （2）证明：； （3）若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值． 19. 抛物线的弦与弦的端点处的两条切线形成的三角形称为阿基米德三角形，由抛物线的三条切线围成的三角形称为抛物线的切线三角形．已知抛物线的焦点为F，直线过点F，过x轴下方的一点P作C的两条切线和，且，分别交x轴于点A，B，交l于点M，N． （1）求抛物线C的标准方程； （2）若△PMN为阿基米德三角形，求∠MPN； （3）证明：切线三角形PAB的外接圆过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年（下）高三年级3月质量检测 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷与答题卡一并交监考人员收回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由对数函数的单调性解不等式化简集合，根据集合的交集运算可得结果. 【详解】∵对数函数在上为增函数， ∴由得，故， ∵，∴. 故选：D. 2. 某小区随机调查了10位业主2月份每户的天然气使用量，数据如下（单位：）：18，19，20，20，21，21，22，23，23，24．估计该小区业主月均用气量的样本数据的60%分位数为（ ） A. 21 B. 21.5 C. 22 D. 22.5 【答案】B 【解析】 【分析】根据百分位数的计算公式即可得到答案. 【详解】，则样本数据的60%分位数为. 故选：B. 3. 已知复数是纯虚数，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的概念及复数的运算求解即可. 【详解】， 所以要使为纯虚数，则，解得：． 故选：B． 4. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由条件得，进而，再用两角和的正切公式求解即可. 【详解】因为，所以， ， 所以，即， 故． 故选：D. 5. 设椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为B．若，则该椭圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意和椭圆的几何性质，得到，进而求得的值，即可求解. 【详解】由椭圆的几何性质，因为，可得， 所以，，则，所以椭圆的方程为. 故选：A. 6. 一个圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，轴截面的面积为9，则该圆台的体积为（ ） A. B. 2π C. D. 7π 【答案】D 【解析】 【分析】首先求圆台的高，再代入体积公式，即可求解. 【详解】设圆台的高为，由题意可知，，得， 圆台的体积. 故选：D 7. 在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助余弦定理计算可得，借助三角恒等变化公式化简可得，代入计算即可得角的大小. 【详解】因为，由余弦定理得， 所以，又，所以， 因为， 所以， 即， 又，所以， 所以或（舍）， 所以，所以. 故选：B. 8. 已知函数，，有恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由及得到和，讨论的范围：当时，在上恒成立，由函数和在存在交点，得到存在区间使得，不合题意；当时，由过点作曲线切线得到.再分类讨论：当时，由导数求得最小值，然后得到，由切线可知存在区间使得，不合题意；当时，，恒成立，满足题意；当时，，则需要成立，即得到的最小值大于0，然后得到的范围.综上所述得到结果. 【详解】∵，∴， 当时，则恒成立， 在上单调递减， 由一次函数与函数一定存在交点可知函数存在零点， 即存在，使得时，，时，， 不符合题意，舍去. 当时， 设直线为函数切线，设切点为 则，即，则，， ①当时，函数存在两个零点， 令，则， ∴当时，，单调递减；当时，，单调递增； 故，∵， ∴，即恒成立. 此时无法满足题意，舍去； ②当时，由①可知，，满足， ③当时，恒成立，要使得恒成立，则需要恒成立，由①得，∴，即. 综上所述. 故选：D. 【点睛】思路点睛，要想得到，则需要函数在相同区间内同号. 然后借助直线与曲线的切线以及导函数等知识来找到函数在某些区间上的正负情况. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知双曲线的右焦点为F，直线是C的一条渐近线，P是l上一点，则下列说法中正确的是（ ） A. C的虚轴长为 B. C的离心率为 C. 的最小值为 D. 过点能作4条直线与C仅有一个交点 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，求出双曲线的渐近线方程，求出，再逐项判断ABC，D选项，分过点P斜率存在和不存在两种情况研究问题即可. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 依题意，解得，所以双曲线， 对于A，的虚轴长，A正确； 对于B，的离心率，B错误； 对于C，点到直线的距离为， 即的最小值为，C正确； 对于D，过点垂直于轴的直线为，此直线与双曲线相切与点，符合题意， 设过点斜率存在的直线为， 联立方程组，得， 当时，即时，直线平行于渐近线，与双曲线只有一个交点，符合题意， 当时，， 解得，此时直线与双曲线相切， 故过点能作4条直线与C仅有一个交点，D正确. 故选：ACD 10. 在棱长为1的正方体中，是棱的中点，则（ ） A. 过点有且只有一条直线与直线和都相交 B. 过点有且只有一个平面与直线和所成角相等 C. 过，，三点的截面把正方体分成两部分，则该截面的周长为 D. 点是正方形内的动点，，则点的轨迹长度 【答案】AD 【解析】 【分析】利用平面的基本事实判断A；举例说明判断B；作出截面并求出其周长判断C；求出轨迹有长度判断D. 【详解】对于A，点直线，点直线，点与直线确定平面， 点与直线确定平面，平面与相交，该交线过点且与直线和都相交，A正确； 对于B，由正方体的结构特征知，与平面都成角，则过与平面 平行的平面与直线和所成角相等；直线和都平行于过与直线垂直的平面， 该平面与直线和所成角相等，B错误； 对于C，取中点，连接，由是棱的中点，得， 四边形是过三点的正方体截面，周长为，C错误； 对于D，连接，由平面，平面，则， 而，平面，于是平面， 又，因此平面，又平面，则点的轨迹为平面 与平面的交线，所以点的轨迹长度为，D正确. 故选：AD 11. 对于正整数n，是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目（若两个正整数的最大公因数是1，则称这两个正整数互质）．函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如，（10与1，3，7，9均互质）则（ ） A. B. 数列是单调递增数列 C. 若p为质数，则数列为等比数列 D. 数列的前5项和等于 【答案】AC 【解析】 【分析】根据欧拉函数的定义，即可判断A，利用列举特殊项法，即可判断B，利用欧拉函数的定义，列举求，根据等比数列的定义，即可判断C，根据C的结果，即可判断D. 【详解】A.12与1,5,7,11均互质，所以，17与1,2,3,4,5,…,13,14,15,16均互质，所以，所以，故A正确； B.7与1,2,3,4,5,6互质，则，9与1,2,4,5,7,8互质，所以，，所以数列不是单调递增数列，故B错误； C.设为质数，则小于等于的正整数中与互质的数为， 即每个数当中就有一个与不互质，所以互质的数的数目为, 故，所以为常数， 所以数列为等比数列，故C正确； 根据选项C可知，，数列的前5项和为，故D错误. 故选：AC. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，向量在向量方向上的投影向量的模长为，写出一个满足条件的向量________． 【答案】或（答案不唯一，写出任意一个即可） 【解析】 【分析】利用投影向量的定义求解. 【详解】设，则根据条件有，即. 从而只要满足或即可. 故答案为：或（答案不唯一，写出任意一个即可）. 13. 排球比赛实行“五局三胜制”（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束），根据此前的若干次比赛数据统计可知，在甲、乙两队的比赛中，每场比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，则在这场“五局三胜制”的排球比赛中甲队获胜的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】对命题等价转化，再使用排列组合知识即可． 【详解】命题可以转化为：即使某一队获胜三场，也照常进行后续的场次，直至五场全部结束，最后获胜场次数多的队获胜。二者等效（区别仅在于胜负已定后，后续场次是否真正进行）. 此时，甲队获胜的概率即为甲队获胜场数不小于的概率，即． 故答案为：． 14. 已知正四棱锥的底面边长与高均为2，设是正方形及其内部的点构成的集合，点是正方形的中心，若集合，则直线与平面所成角的正切值的最小值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据题意得到点的范围，根据几何关系得到与平面所成角最小即为最大时，找到最大距离位置后，计算得到答案. 【详解】如图，在正方形内，分别是的中垂线在正方形内部分， 由，则点在五边形及其内部， 同理，，，点在相应的五边形及其内部， 综上，点在正方形及其内部， 可设与平面所成角为，由图可得：， 因为，所以要让最小，只需最大， 由几何关系可知点在正方形的顶点时，，此时取得最小值2. 故答案为：2. 四､解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 某校为了解学生数学学科核心素养发展水平，组织本校2000名学生进行针对性检测（检测分为初试和复试），并随机抽取了100名学生的初试成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示． （1）根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值；（同一组数据用该区间的中点值作代表） （2）根据频率分布直方图，求样本的80％分位数（四舍五入精确到整数）； （3）若所有学生的初试成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，．初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数（四舍五入精确到整数）． 附：若随机变量服从正态分布，则，，． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据平均数的求法计算即可； （2）根据80％分位数的求法计算即可； （3）根据原则以及正态分布的对称性计算. 【小问1详解】 设样本平均数的估计值为， 则. 所以，样本平均数的估计值为62. 【小问2详解】 由图可知，前三组的频率和为，第四组的频率为， 所以样本的80％分位数为 【小问3详解】 由（1）可知，样本平均数的估计值， 所以， 则 所以，估计能参加复试的人数为 16. 已知函数，． （1）若，求曲线的斜率为1的切线方程； （2）若不等式没有整数解，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求导，构造函数，利用导数求得的零点即得时的值，继而求得切点坐标，再用点斜式即可得切线方程. （2）通过参变分离转化为没有整数解，相继构造函数，，利用导数分析的单调性，得存在唯一的使，即，继而再利用的单调性结合得结论：当时，，从而当时，没有整数解. 【小问1详解】 当时，， 则，即， 令，则， 令，得，令，得， 所以，故有且仅有，， 此时，所以曲线的斜率为1的切线方程为在处的切线方程， 该切线方程为． 【小问2详解】 由得，即， 所以没有整数解， 设，， 设，，所以单调递增， 且，， 所以存在唯一的，使，即， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 又，所以当时，， 所以当时，没有整数解，即没有整数解． 17. 已知等差数列的前项和为，且，，． （1）求的通项公式； （2）设其中是正整数． （i）求，，，； （ii）求． 【答案】（1） （2）（i），，，；（ii） 【解析】 【分析】（1）结合题意，由等差数列的基本量法列方程组可得； （2）（i）由递推数列可得； （ii）采用分组法，再利用等差数列的求和公式求解. 【小问1详解】 由题意得，解得， ∴的通项公式为. 【小问2详解】 （i）∵其中是正整数， ∴，，，. （ii） ． ． 18. 如图，在四棱锥中，四边形是菱形，，三角形是正三角形，是棱的中点，设平面与平面的交线为． （1）证明：平面； （2）证明：； （3）若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：四边形是菱形，所以，平面，平面， 所以平面， 又因为平面，平面平面，所以， 又因为平面，平面， 所以平面. （2）证明：取与中点，．连接，，，， 则运用中位线性质知，且,则，， 则四边形是平行四边形， 是正三角形，易知，， 底面是菱形，， 则是正三角形，则， 平面， 平面， 平面，， 由于四边形是菱形，四边形是平行四边形， 所以，， ． （3）. 【解析】 【分析】（1）由线面平行的判定定理证明平面，再由线面平行的性质定理得 ，最后由线面平行的判定定理证明平面； （2）取与中点，．连接，，，，证明四边形是平行四边形．得到线面垂直，再用性质即可； （3）建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量为，再用向量夹角计算公式计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知为二面角的平面角，即，前面知道平面POB， 则过在平面POB内作的垂线，以为坐标原点，为坐标轴，建立空间直角坐标系如图， 设，则，，，，，，，，， 设平面的一个法向量为， 则进而求得一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则． 19. 抛物线的弦与弦的端点处的两条切线形成的三角形称为阿基米德三角形，由抛物线的三条切线围成的三角形称为抛物线的切线三角形．已知抛物线的焦点为F，直线过点F，过x轴下方的一点P作C的两条切线和，且，分别交x轴于点A，B，交l于点M，N． （1）求抛物线C的标准方程； （2）若△PMN为阿基米德三角形，求∠MPN； （3）证明：切线三角形PAB的外接圆过定点． 【答案】（1） （2） （3） 由（1）可知抛物线， 设分别与抛物线切于点， 由（1）可知直线的斜率为，直线的斜率为， 所以直线的方程为.即 直线的方程为，即， 所以. 设外接圆的圆心为， 则圆心在线段的垂直平分线上， 所以， 则圆的半径为， 所以圆的方程为， 又点在圆上， 所以， 即，所以， 所以 整理得， 即， 令，得， 所以的外接圆过定点. 【解析】 【分析】（1）由条件求得即可； （2）通过求出抛物线方程和切线斜率，利用斜率乘积判断两切线垂直得出角度； （3）先求出切线方程，进而得到、坐标，再根据外接圆性质证明过定点； 【小问1详解】 由题意得，则， 所以抛物线的方程为， 【小问2详解】 因为为阿基米德三角形， 所以分别与抛物线切于点， 不妨设点在轴左侧，则. 由，得， 则， 所以的斜率为的斜案为1， 所以， 所以. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $