精品解析：云南省楚雄彝族自治州2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

楚雄州春季学期高一年级第一次月考卷 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第一册第五章，必修第二册第六章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列角中与终边相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据终边相同的角的表示判断即可. 【详解】与终边相同的角是，， 当时，，当时，． 结合选项可知只有与终边相同． 故选：B． 2. 已知向量，若与共线，则（ ） A. 2 B. C. 8 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量共线的坐标表示列出方程求解即可. 【详解】因为向量， 若与共线，则，解得. 故选：A. 3. 已知在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由余弦定理，代入数值即可求得的值. 【详解】由余弦定理得. 故选：B. 4. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用诱导公式结合特殊角计算求解. 【详解】. 故选:C. 5. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由二次根式有意义得，结合正切函数的性质可得结果. 【详解】由题意得，， ∴， ∴， ∴函数的定义域为. 故选：B. 6. 已知某扇形的周长为4，则该扇形的面积的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由扇形的面积公式结合二次函数的性质求解即可. 【详解】设扇形的半径为，弧长为，则，即， 又扇形的面积，将上式代入，得， 当且仅当时，有最大值1． 故选：A． 7. 已知为的重心，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算求解，判断选项. 【详解】为的重心， . 故选：B． 8. 山西应县木塔，始建于1056年，是世界上现存最高大、最古老的纯木楼阁式建筑，与意大利比萨斜塔、巴黎埃菲尔铁塔并称“世界三大奇塔”.某同学为了估算木塔的高度MN，他在塔的附近找到一座建筑物AB，高为15m，在地面上点C处（B，C，N在同一水平面上且三点共线）测得木塔顶部M，建筑物顶部A的仰角分别为和，在A处测得木塔顶部M的仰角为，则可估算木塔的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在中，得，在中，得，在中得，代入数值即可求得的值. 【详解】， 在中，， 在中，， 则， 由正弦定理，得，所以， 在中，. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数是偶函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据奇偶函数定义对各选项判断即可. 【详解】对于A，定义域，，，所以为非奇非偶函数，故A错误； 对于B，定义域，,所以偶函数，故B正确； 对于C，定义域，，所以奇函数，故C错误； 对于D，定义域，,所以偶函数，故D正确； 故选：BD 10. 在中，角的对边分别为，则下列对的个数的判断正确的是（ ） A. 当时，有两解 B. 当时，有一解 C. 当时，无解 D. 当时，有两解 【答案】AC 【解析】 【分析】由正弦定理对四个选项一一判断，得到答案. 【详解】对于A，由正弦定理得，即，所以， 又因为，所以或，有两解，故A正确； 对于B，由正弦定理得，无解，故B错误； 对于C，由正弦定理得，无解，故C正确； 对于D，由正弦定理得， 又，所以为锐角，此三角形只有一解，故D错误. 故选：AC. 11. 已知是平面内两两不共线的向量，且则（ ） A. B. C. D. 当时，与的夹角为锐角 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，两边平方得到，A正确；B选项，两边平方得，得到B错误；C选项，根据平行向量的几何意义得到，C正确；D选项，根据题意得到不等式，得到答案. 【详解】A选项，由两边平方，得所以 所以，A正确； B选项，由得所以 所以所以．B错误； C选项，由不共线可得，故 所以，C正确； D选项，因为是两个不共线的向量，所以不共线，要使与的夹角为锐角， 则即 所以D正确． 故选：ACD． 【点睛】思路点睛：平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路： ①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解； ②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，若，则实数____. 【答案】##5.5 【解析】 【分析】利用平面向量垂直的坐标表示计算即可. 【详解】因为，所以，即，解得. 故答案为：. 13. 若，则 _____. 【答案】## 【解析】 【分析】利用二倍角的正弦公式结合弦化切可求得所求代数式的值. 【详解】因为，则. 故答案为：. 14. 如图，已知扇形OPQ的半径为1，圆心角为，点A，B，C分别是半径OP，OQ及弧PQ上的三个动点（不同于O，P，Q三点），则的周长的最小值是_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据图形的对称性得出，再应用共线时周长最小，再应用余弦定理计算即可求值. 【详解】如图，作点关于线段所在的直线的对称点，连接， 由图形的对称性知， 则， 的周长，当且仅当四点共线时取等号， ， 的周长的最小值是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知平面向量，满足，，． （1）若与的夹角为，求的值； （2）求在方向上的投影向量的模． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据两边同时平方化简可得，再根据向量的夹角公式计算即可； （2）先求出，再利用向量数量积的几何意义即可求得结果； 【小问1详解】 因为， 所以， 因为，，所以， 所以． 【小问2详解】 因为，所以， 所以向量在方向上的投影向量的模为：． 16. 在中，记角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求角； （2）若，且的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2）12 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理以及三角恒等变换可得，即可求角； （2）利用三角形面积公式以及余弦定理计算可得，即可得的周长. 【小问1详解】 由正弦定理知， 在中，， 所以. 又，，可得， 所以. 【小问2详解】 由题意可知的面积. 因为，所以. 由余弦定理， 可得，即， 所以，所以， 故的周长为12. 17. 函数在一个周期内的图象如图所示. （1）求的解析式； （2）将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，求在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1） （2）取到最小值为；取到最大值为 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的最值，周期和“五点法”，求解析式中的系数，即可求解； （2）首先求平移后函数的解析式，再利用代入法，结合三角函数的图象和性质，即可求解. 【小问1详解】 由最值得， 由相邻两个对称中心之间的距离得，则，即， 此时， 图象的一个最高点坐标为，代人得， 则，即， 又因为，所以， 故. 【小问2详解】 由题意得， 因为，所以， 又在上单调递减，在上单调递增， 所以当，即时，取到最小值，为； 当时，即时，取到最大值，为. 18. 如图，在直角梯形中，//，，，为上靠近点的一个三等分点，为线段上的一个动点． （1）用和表示； （2）设，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）从三等分点条件出发，利用“插点”的办法，在向量中加入即可； （2）易得，根据题干条件将等式右边写成有关表达式，根据平面向量基本定理得出关于的等量关系即可求解. 【小问1详解】 依题意，， ∴， ∴ 【小问2详解】 由已知， 因是线段上动点，则令， ， 又，不共线，根据平面向量基本定理，则有， ， 在上递增， 所以，，，， 故的取值范围是． 19. 在锐角中，角所对的边分别为，且. （1）证明：； （2）若的平分线交于，，，求的值； （3）求的取值范围. 【答案】（1）证明如下： 因为，由正弦定理得， 因为， 所以， 所以， 所以，或（舍去），所以. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理得，由两角和与差的正弦公式可得，从而得到； （2）因为，所以由得，代入数值即可求得的值； （3）由是锐角三角形得，由正弦定理得，设，根据在上单调递增即可求得的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，所以为锐角， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以，即. 【小问3详解】 因为是锐角三角形，所以，解得， 所以， 由正弦定理得 . 令，则在上单调递增， 而，所以， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 楚雄州春季学期高一年级第一次月考卷 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第一册第五章，必修第二册第六章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列角中与终边相同的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，若与共线，则（ ） A. 2 B. C. 8 D. 3. 已知在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 4. （ ） A. B. C. D. 5. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 6. 已知某扇形的周长为4，则该扇形的面积的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知为的重心，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 山西应县木塔，始建于1056年，是世界上现存最高大、最古老的纯木楼阁式建筑，与意大利比萨斜塔、巴黎埃菲尔铁塔并称“世界三大奇塔”.某同学为了估算木塔的高度MN，他在塔的附近找到一座建筑物AB，高为15m，在地面上点C处（B，C，N在同一水平面上且三点共线）测得木塔顶部M，建筑物顶部A的仰角分别为和，在A处测得木塔顶部M的仰角为，则可估算木塔的高度为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数是偶函数的是（ ） A. B. C. D. 10. 在中，角的对边分别为，则下列对的个数的判断正确的是（ ） A. 当时，有两解 B. 当时，有一解 C. 当时，无解 D. 当时，有两解 11. 已知是平面内两两不共线的向量，且则（ ） A. B. C. D. 当时，与的夹角为锐角 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，若，则实数____. 13. 若，则 _____. 14. 如图，已知扇形OPQ的半径为1，圆心角为，点A，B，C分别是半径OP，OQ及弧PQ上的三个动点（不同于O，P，Q三点），则的周长的最小值是_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知平面向量，满足，，． （1）若与的夹角为，求的值； （2）求在方向上的投影向量的模． 16. 在中，记角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求角； （2）若，且的面积为，求的周长. 17. 函数在一个周期内的图象如图所示. （1）求的解析式； （2）将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，求在区间上的最大值和最小值. 18. 如图，在直角梯形中，//，，，为上靠近点的一个三等分点，为线段上的一个动点． （1）用和表示； （2）设，求的取值范围． 19. 在锐角中，角所对的边分别为，且. （1）证明：； （2）若的平分线交于，，，求的值； （3）求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $