精品解析：辽宁省丹东市第五中学2024-2025学年九年级下学期结束课程考试数学试题

丹东五中2024-2025（下）九年级结束课程考试 数学试卷 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在中学体育测试中，初一男生引体向上测试的满分标准为13次．在一次引体向上测试中，小明的成绩是12次，记为“”．如果小刚的成绩记为“”，那么小刚的成绩是（ ）次． A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 2. 国际学术期刊《自然》在2024年5月30日发表了我国生物专家朱家鹏教授及其团队研究成果，团队突破“蛋白质纯化”这一传统概念，直接对线粒体成像，获得了迄今为止最清晰、最接近真实生理状态的线粒体原位膜蛋白高分辨率三维解析结构，局部分辨率最高达米，其中用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 我国有56个民族，民俗文化丰富多彩，下面是几幅具有浓厚民族特色的服饰图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A. B. C. D. 4. 下列运算结果正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 一个正多边形，它的每一个外角都等于45°，则该正多边形是( ) A. 正六边形 B. 正七边形 C. 正八边形 D. 正九边形 6. 如图，直线，一块的直角三角板按如图所示放置，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 不透明的袋子中装有红、绿小球各2个和1个，除颜色外3个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于E，F两点，作直线和交于点O；②以点A为圆心，长为半径画弧，交于点D；③分别以点D，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，连接，和交于点N，连接．若，则的长为（　　） A. 2 B. C. 4 D. 9. 面积为12的平行四边形在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点，，若反比例函数的图象经过点，则的值为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 10. 如图，中，，点在折线上运动，过点作的垂线，垂足为，设，，则关于的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 方程的解为_____． 12. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是__________. 13. 图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2，已知其底部宽度为，高度为，则离地面处的水平宽度（即的长）为___________． 14. 如图，在矩形纸片中，，为边的中点，点在边上，连接，将沿翻折，点的对应点为，连接．若，则______． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 15. 计算 （1）． （2）化简：． 16. 某校积极开展劳动教育，两次购买A，B两种型号的劳动用品，购买记录如下表： A型劳动用品（件） B型劳动用品（件） 合计金额（元） 第一次 20 25 1150 第二次 10 20 800 （1）求A，B两种型号劳动用品的单价； （2）若该校计划再次购买A，B两种型号的劳动用品共40件，其中A型劳动用品购买数量不少于10件且不多于30件．该校购买这40件劳动用品至少需要多少元？（备注：A，B两种型号劳动用品的单价保持不变） 17. 为促进中学生对传统年俗文化知识的了解，某中学在八年级和九年级开展了“传统年俗文化知识竞赛”，并从八年级和九年级的学生中分别随机抽取了20名学生的竞赛成绩（百分制），通过收集、整理、描述和分析（得分用表示，共分为四组：80，，得到如下不完全的信息： 八、九年级所抽学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 86.6 86 九年级 86.6 88.5 八年级抽取的竞赛成绩在组中的数据为：89，88，86，86，86，86， 九年级抽取的所有学生竞赛成绩数据为：99，98，96，96，94，92，92，90，90，89，88，88，88，82，81，77，77，76，73，66． 请根据以上信息完成下列问题： （1）填空：________，_______，并补全八年级的成绩条形统计图； （2）根据以上数据，你认为该中学八年级和九年级中哪个年级学生的竞赛成绩更优秀？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）规定在90分及其以上的为优秀等级，该校八年级和九年级参加知识竞赛的学生共有1800名，请你估计八年级和九年级参加此次知识竞赛的学生中获得优秀等级的共有多少人？ 18. 某小区在旧小区改造过程中，需要为一段路面重新铺设地砖，由小区物业的甲、乙两个小组共同完成．甲小组先单独铺设路面，一段时间后，乙小组也赶来和甲小组一起铺设路面．甲、乙两个小组每小时铺设路面的长度不变，乙小组每小时铺设路面40米．甲、乙两小组铺设路面的总长度y（米）与甲小组铺设路面所用的时间x（时）之间的函数图象如图所示． （1）甲小组每小时铺设路面______米，m的值为______． （2）求乙小组加入后，y与x之间的函数关系式． （3）当铺设完路面总长度的一半时，求甲、乙两个小组各自铺设路面的长度． 19. 图（1）为某大型商场的自动扶梯、图（2）中的为从一楼到二楼的扶梯的侧面示意图．小东站在扶梯起点处时，测得天花板上日光灯的仰角为，此时他的眼睛与地面的距离，之后他沿一楼扶梯到达顶端后又沿向正前方走了，发现日光灯刚好在他的正上方．已知自动扶梯的坡度为，的长度是． （1）求图中B到一楼地面的高度．（结果保留根号） （2）求日光灯到一楼地面的高度．（结果精确到．参考数据：，，，） 20. 如图，为的直径，弦，垂足为点，直线与延长线交于点，且． （1）求直线与的位置关系：并说明理由． （2）若，求线段的长． 21. 综合与探究 【问题情境】 如图1，小美将矩形纸片折叠，使点落在射线上，点的对应点记为，折痕与边，分别交于点，． 【活动猜想】 （1）如图，当点与点重合时，请判断四边形的形状并证明； 【问题解决】 （2）如图，在矩形纸片中，若边，，与交于点． 请判断与对角线的位置关系，并说明理由； 当时，请求出此时的长． 22. 【定义】在平面直角坐标系中，是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差“”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的纵横值”中的最大值称为函数的“最优值” 【举例】已知点在函数的图象上，则点的“纵横值”为．函数的图象上所有点的“纵横值”可以表示为． 当时，的最大值为，故函数的“最优值”为7． 【问题】根据定义，解答下列问题： （1）点的“纵横值”为________； （2）求函数的“最优值”； （3）已知二次函数． ①求证：无论取何值，该二次函数的“最优值”为定值； ②当时，此二次函数的“最优值”为4，求出的值； ③若此函数的顶点记为点，它的“最优值”所在点记为点，点与点到直线的距离相等，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丹东五中2024-2025（下）九年级结束课程考试 数学试卷 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在中学体育测试中，初一男生引体向上测试的满分标准为13次．在一次引体向上测试中，小明的成绩是12次，记为“”．如果小刚的成绩记为“”，那么小刚的成绩是（ ）次． A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用．正负数是一对具有相反意义的量，若相对于标准次数不足用负数表示，那么相对于标准次数超出用正数表示，据此求解即可． 【详解】解：∵满分标准为13次，小明的成绩是12次，记为“”． ∴如果小刚的成绩记为“”，那么小刚的成绩是（次）． 故选：B． 2. 国际学术期刊《自然》在2024年5月30日发表了我国生物专家朱家鹏教授及其团队研究成果，团队突破“蛋白质纯化”这一传统概念，直接对线粒体成像，获得了迄今为止最清晰、最接近真实生理状态的线粒体原位膜蛋白高分辨率三维解析结构，局部分辨率最高达米，其中用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数．绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定． 【详解】解：用科学记数法表示为． 故选：D． 3. 我国有56个民族，民俗文化丰富多彩，下面是几幅具有浓厚民族特色的服饰图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，据此逐一判断即可求解，掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是关键． 【详解】解：、是中心对称图形，不是轴对称图形，该选项不合题意； 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，该选项符合题意； 、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，该选项不合题意； 、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，该选项不合题意； 故选：． 4. 下列运算结果正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据积的乘方，同底数幂的乘法，除法法则，合并同类项法则，逐一进行计算即可得出结论． 【详解】解：A、，选项计算错误，不符合题意； B、，选项计算错误，不符合题意； C、，选项计算正确，符合题意； D、，选项计算错误，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查积的乘方，同底数幂的乘法，除法，合并同类项．熟练掌握相关运算法则，是解题的关键． 5. 一个正多边形，它的每一个外角都等于45°，则该正多边形是( ) A. 正六边形 B. 正七边形 C. 正八边形 D. 正九边形 【答案】C 【解析】 【分析】多边形的外角和是360度，因为是正多边形，所以每一个外角都是45°，即可得到外角的个数，从而确定多边形的边数． 【详解】解：360÷45=8，所以这个正多边形是正八边形． 故选C． 6. 如图，直线，一块的直角三角板按如图所示放置，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角性质，平行线的性质．利用平行线的性质求得的度数，再利用三角形的外角性质求得的度数，最后对顶角相等即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 7. 不透明的袋子中装有红、绿小球各2个和1个，除颜色外3个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画树状图，得到所有等可能的结果，找出满足条件的结果数，再由概率公式求解即可．本题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：依题意，画树状图为： 由图知，一共有9种等可能的结果，其中第一次摸到红球、第二次摸到绿球的有2种结果， ∴第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率为， 故选：D． 8. 如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于E，F两点，作直线和交于点O；②以点A为圆心，长为半径画弧，交于点D；③分别以点D，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，连接，和交于点N，连接．若，则的长为（　　） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线、角平分线的尺规作图、三角形中位线定理等知识点，理解题意，灵活运用所学知识是解题的关键． 根据基本作图可知，进而可得，再根据作图可得平分，进而可得，然后根据三角形中位线定理求解即可． 【详解】解：由作图步骤①可知，是边的垂直平分线， ∴， 由作图步骤②可知，， ∵， ∴ 由作图步骤③可知，， ∴ ∵， ∴． 故选：B． 9. 面积为12的平行四边形在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点，，若反比例函数的图象经过点，则的值为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的面积．过点A作轴，过点B作轴，过点C作轴，交于M，交于N，根据平行四边形的性质可得，从而表示出，根据即可求解． 【详解】解：过点A作轴，过点B作轴，过点C作轴，交于M，交于N，如图， ∵， ∴，， ∵，，， ∴， ∴，，，， ∴，， ∵ ， ∴， ∵反比例函数的图象经过点B，， ∴， 故选：A． 10. 如图，中，，点在折线上运动，过点作的垂线，垂足为，设，，则关于的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了动点与面积的关系，相似三角形的判定和性质，二次函数图象的性质，掌握动点运用的规律，相似三角形的判定和性质得到的值，正确计算三角形的面积，确定函数关系式，结合图形分析是解题的关键． 运用勾股定理，等面积法得到边上的高，根据点在折线上运动，分类讨论：当点在上时，，即；当点在上时，如图所示，，即；运用相似三角形的判定和性质可得的值，由三角形面积的公式可得关于的函数解析式，结合二次函数图象的性质判定即可求解； 【详解】解：在中，， ∴， 如图所示，过点作于点， ∵， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点在上时，，即，， ∴， ∴图形是二次函数图象的一部分，开口向上，故A、B选项符合题意，C、D选项不符合题意； 当点在上时，如图所示，，即， ∵， ∴，且， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴图形是二次函数图象的一部分，开口向下，故A选项符合题意，B选项不符合题意； 故选：A ． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 方程的解为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解分式方程．先去分母化为整式方程，进而解整式方程，检验即可求解． 【详解】解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 化系数为1，得， 经检验，是原分式方程的解， 故答案为：． 12. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是__________. 【答案】x≥-5 【解析】 【分析】根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式求解． 【详解】解：根据题意得：x+5≥0，解得x≥-5． 【点睛】主要考查了二次根式的意义和性质． 概念：式子（a≥0）叫二次根式． 性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 13. 图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2，已知其底部宽度为，高度为，则离地面处的水平宽度（即的长）为___________． 【答案】40 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，正确地求出函数解析式是解题的关键．先建立直角坐标系，再根据题意设抛物线的解析式，然后根据点在抛物线上，可求出抛物线的解析式，最后将代入求出x的值，即可得的长． 【详解】解：以底部所在的直线为x轴，以线段的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系， ， 设抛物线的解析式为， 将代入， 得， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ， 故答案为：40． 14. 如图，在矩形纸片中，，为边的中点，点在边上，连接，将沿翻折，点的对应点为，连接．若，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】如图：连接，延长交的延长线于H，根据折叠的性质及矩形的性质，证明，进而得到为直角三角形，设，则，证明为等腰三角形，求出，进而完成解答． 【详解】解：如图：连接，延长交的延长线于H， ∵矩形中，为边的中点，， ∴，， ∵将沿翻折，点的对应点为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴为直角三角形， 设，则， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、勾股定理、折叠的性质等知识点，灵活运用相关性质定理是解题的关键． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 15. 计算 （1）． （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，分式的加减乘除混合运算． （1）根据立方根定义，特殊角的三角函数值，绝对值意义进行计算即可； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 16. 某校积极开展劳动教育，两次购买A，B两种型号的劳动用品，购买记录如下表： A型劳动用品（件） B型劳动用品（件） 合计金额（元） 第一次 20 25 1150 第二次 10 20 800 （1）求A，B两种型号劳动用品的单价； （2）若该校计划再次购买A，B两种型号的劳动用品共40件，其中A型劳动用品购买数量不少于10件且不多于30件．该校购买这40件劳动用品至少需要多少元？（备注：A，B两种型号劳动用品的单价保持不变） 【答案】（1）A种型号劳动用品单价为20元，B种型号劳动用品单价为30元 （2）该校购买这40件劳动用品至少需要900元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，不等式的实际应用，一次函数的实际应用．正确理解题意是解题的关键． （1）设A种型号劳动用品单价为x元，B种型号劳动用品单价为y元，根据表格中的数据列方程组求解即可； （2）设够买A种型号劳动用品a件，则，设购买这40件劳动用品需要W元，则可求得，最后根据一次函数的增减性，即可求得答案． 【小问1详解】 解：设A种型号劳动用品单价为x元，B种型号劳动用品单价为y元， ， 解得， 答：A种型号劳动用品单价为20元，B种型号劳动用品单价为30元； 【小问2详解】 解：设够买A种型号劳动用品a件，则够买B种型号劳动用品件， 根据题意可得：， 设购买这40件劳动用品需要W元， 则， ， 随着a的增大而减小， 当时，W取最小值（元）， 答：该校购买这40件劳动用品至少需要900元． 17. 为促进中学生对传统年俗文化知识的了解，某中学在八年级和九年级开展了“传统年俗文化知识竞赛”，并从八年级和九年级的学生中分别随机抽取了20名学生的竞赛成绩（百分制），通过收集、整理、描述和分析（得分用表示，共分为四组：80，，得到如下不完全的信息： 八、九年级所抽学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 86.6 86 九年级 86.6 88.5 八年级抽取的竞赛成绩在组中的数据为：89，88，86，86，86，86， 九年级抽取的所有学生竞赛成绩数据为：99，98，96，96，94，92，92，90，90，89，88，88，88，82，81，77，77，76，73，66． 请根据以上信息完成下列问题： （1）填空：________，_______，并补全八年级的成绩条形统计图； （2）根据以上数据，你认为该中学八年级和九年级中哪个年级学生的竞赛成绩更优秀？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）规定在90分及其以上的为优秀等级，该校八年级和九年级参加知识竞赛的学生共有1800名，请你估计八年级和九年级参加此次知识竞赛的学生中获得优秀等级的共有多少人？ 【答案】（1），， 补全八年级的成绩条形统计图如下： （2） 解：九年级学生的竞赛成绩更优秀，理由如下： 两个年级学生竞赛成绩的平均数相同，但九年级学生竞赛成绩的中位数和众数都高于八年级学生的， 所以九年级学生的竞赛成绩更优秀； （3）估计八年级和九年级参加此次知识竞赛的学生中获得优秀等级的共有人 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图，平均数、中位数和众数，样本估计总体． （1）根据中位数和众数的定义可求出，根据条形统计图求出成绩在组的学生人数，即可补全八年级的成绩条形统计图； （2）根据平均数、中位数和众数判断即可； （3）用乘以八、九年级参加知识竞赛的优秀人数占比即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可得，， ∵九年级抽取的学生竞赛成绩中分的人数最多， ∴， 故答案为：，， 由八年级的成绩条形统计图可得，成绩在组的学生人数为人， 图略； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计八年级和九年级参加此次知识竞赛的学生中获得优秀等级的共有人． 18. 某小区在旧小区改造过程中，需要为一段路面重新铺设地砖，由小区物业的甲、乙两个小组共同完成．甲小组先单独铺设路面，一段时间后，乙小组也赶来和甲小组一起铺设路面．甲、乙两个小组每小时铺设路面的长度不变，乙小组每小时铺设路面40米．甲、乙两小组铺设路面的总长度y（米）与甲小组铺设路面所用的时间x（时）之间的函数图象如图所示． （1）甲小组每小时铺设路面______米，m的值为______． （2）求乙小组加入后，y与x之间的函数关系式． （3）当铺设完路面总长度的一半时，求甲、乙两个小组各自铺设路面的长度． 【答案】（1）50，150 （2） （3）甲铺设路面的长度为米，乙铺设路面的长度为米 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是读懂图象，获取相关信息，用待定系数法求函数解析式． （1）根据图象列出方程解答即可； （2）设y与x之间的函数关系式为．利用待定系数法解答即可．将点，代入，即可求解； （3）根据时，求出甲的时间，进而求出各自各自铺设路面的长度． 【小问1详解】 解：由图像可知：甲小组每小时铺设路面米． ， 解得：， ∴甲小组每小时铺设路面米． 故答案为：50，150； 【小问2详解】 设y与x之间的函数关系式为． 将点，代入，得 由题意，得． 解得． ∴y与x之间的函数关系式为． 【小问3详解】 当时，． ∴（米）， （米）． ∴甲铺设路面的长度为米，乙铺设路面的长度为米． 19. 图（1）为某大型商场的自动扶梯、图（2）中的为从一楼到二楼的扶梯的侧面示意图．小东站在扶梯起点处时，测得天花板上日光灯的仰角为，此时他的眼睛与地面的距离，之后他沿一楼扶梯到达顶端后又沿向正前方走了，发现日光灯刚好在他的正上方．已知自动扶梯的坡度为，的长度是． （1）求图中B到一楼地面的高度．（结果保留根号） （2）求日光灯到一楼地面的高度．（结果精确到．参考数据：，，，） 【答案】（1）一楼扶梯顶端B到一楼地面的高度为； （2）日光灯C到一楼地面的高度约为． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理． （1）过点B作于点E，设，根据勾股定理列方程并求解，即可得到答案； （2）过点C作于点F，交于点G，过点D作于点J，交于点H，根据矩形性质得四边形，是矩形，结合（1）的结论，根据三角函数的性质，得，从而完成求解． 【小问1详解】 解：如图，过点B作于点E． 设， ∵的坡度为， ∴， 在中，由勾股定理，得， 解得：（舍去）或， ∴一楼扶梯顶端B到一楼地面的高度为； 【小问2详解】 解：如图，过点C作于点F，交于点G，过点D作于点J，交于点H， ∴四边形，是矩形， 根据题意，得：，， ∴，，， 由（1）可知，， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴日光灯C到一楼地面的高度约为． 20. 如图，为的直径，弦，垂足为点，直线与延长线交于点，且． （1）求直线与的位置关系：并说明理由． （2）若，求线段的长． 【答案】（1） 直线是的切线，理由： 直线是的切线，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴直径， ∴直线是的切线； （2）． 【解析】 【分析】（1）由圆周角定理可得，进而得到，即；根据平行线的性质可得，再根据垂径定理可得，即直径，即可证明结论； （2）连接，由垂径定理可得，设，解直角三角形求得，在中，利用勾股定理求出，由可得即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵， ∴， 设， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即， 解得：． 【点睛】本题主要考查圆周角定理、切线的判定和性质、三角函数解直角三角形、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识点，正确作出辅助线是解答本题的关键． 21. 综合与探究 【问题情境】 如图1，小美将矩形纸片折叠，使点落在射线上，点的对应点记为，折痕与边，分别交于点，． 【活动猜想】 （1）如图，当点与点重合时，请判断四边形的形状并证明； 【问题解决】 （2）如图，在矩形纸片中，若边，，与交于点． 请判断与对角线的位置关系，并说明理由； 当时，请求出此时的长． 【答案】（）四边形是菱形，理由如下： ∵将矩形纸片折叠，点与点重合， ∴，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （），理由如下： ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴， ∴， ∴， ∴； 或． 【解析】 【分析】（）根据矩形的性质及轴对称的性质，可证明四边形的四条边相等，即可证明菱形； （）先证明是等边三角形，再证明即可得出答案； 当点在线段上时， 设与交于点，先证明，再求得，即可列方程求解；当点在线段的延长线上时，设直线与直线交于点，同理，再求得，再列方程求解即可． 【详解】解：（）略 （）略 四边形是矩形， 如图，点在线段上时，设与交于点， ∴，由知， ∴， ∵， ∴， ∵与是折叠图形中的对应角， ∴， ∴， ∵， ∴， 当时，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴； 如图，点在线段的延长线上时，设直线与直线交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 同理可得， ∴， 解得， ∴， 综上所述：或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的判定，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识，掌握知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键． 22. 【定义】在平面直角坐标系中，是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差“”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的纵横值”中的最大值称为函数的“最优值” 【举例】已知点在函数的图象上，则点的“纵横值”为．函数的图象上所有点的“纵横值”可以表示为． 当时，的最大值为，故函数的“最优值”为7． 【问题】根据定义，解答下列问题： （1）点的“纵横值”为________； （2）求函数的“最优值”； （3）已知二次函数． ①求证：无论取何值，该二次函数的“最优值”为定值； ②当时，此二次函数的“最优值”为4，求出的值； ③若此函数的顶点记为点，它的“最优值”所在点记为点，点与点到直线的距离相等，直接写出的值． 【答案】（1）3 （2）函数的“最优值”为3； （3） ①证明：∵ ， ∵， ∴， ∴， ∴无论取何值，该二次函数的“最优值”为定值，定值为5； ②的值为或； ③的值为． 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，二次函数的图象和性质． （1）根据题干中的“纵横值”的值定义和“最优值”的定义计算即可； （2）根据“最优值”的定义计算即可； （3）①根据“最优值”的定义可知，求得，推出无论取何值，该二次函数的“最优值”为定值，定值为5； ②可知当时，有最大值5，所以可得不在之内，所以或，分两种情况求的值； ③先求得和，由点与点到直线的距离相等，得到点与点关于直线对称或，据此列式计算即可求解． 【小问1详解】 解：点的“纵横值”为． 【小问2详解】 解：函数的“纵横值”为， 时，的最大值为， 函数的“最优值”为3； 【小问3详解】 解：①略 ②∵， ∴当时，有最大值5， 当时，， 解得或（舍）； 当时，， 解得（舍）或； 综上，的值为或； ③∵， ∴， ∵，抛物线开口向下，对称轴为， ∴当时，取得最大值， ∵当时，， ∴， ∵点与点到直线的距离相等， ∴点与点关于直线对称或， 当点与点关于直线对称时，，即， 解得； 当时，， 解得，不符合题意，舍去； 综上，的值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $