专题18 不等式与不等式组2大考点6种考法（解析版+原卷版）-2025-2026学年七年级数学下章节单元小结及期中期末复习讲义与提优测试卷（新人教版）

专题18 不等式与不等式组2大考点6种考法（解析版） 考点1 解含参的一元一次不等式 考法1 解含参的一元一次不等式 【典例精析】 【典例】下面四个结论中，正确的个数有（　　） ①ax＝b，当a≠0时解为 ②ax＜b，当a≠0时解为 ③﹣ax＞b，当a＜0时解集为 ④（a2+1）x＞﹣b；的解集是 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路引领】在求解不确定系数的方程的解或不等式的解集时，一定要考虑未知数的系数是否等于0． 【完整解答】解：①ax＝b，当a≠0时解为x，正确； ②ax＜b，当a＞0时解为x，当a＜0时解为：x，故错误． ③﹣ax＞b，当a＜0时解集为x，正确． ④（a2+1）x＞﹣b；的解集是x，错误． 综上可得只有①③正确． 故选：B． 【总结提升】本题考查不等式的解集及一元一次方程的解，属于基础题，注意在求解不等式解集时不等式两边同除以一个小于0的数不等式要变号． 【针对训练】 1．（2023春•灵丘县校级期末）先阅读，再解答：写出关于x的不等式（a﹣1）x＞1的解集． 解：利用不等式的性质，不等式两边都除以（a﹣1）； 因不知（a﹣1）的符号，所以应分情况讨论； ①当a﹣1＞0，即a＞1时，； ②当a﹣1＜0，即a＜1时，； ③当a﹣1＝0，即a＝1时，此不等式为0＞1，无解． 请根据以上解不等式的思想方法，解关于x的不等式（k+2）x＞5． 【思路引领】因不知（k+2）的符号，分k+2＞0、k+2＜0、k+2＝0三种情况分别求解可得． 【完整解答】解：利用不等式的性质，不等式两边都除以（k+2）， 因不知（k+2）的符号，所以应分情况讨论； ①当k+2＞0，即k＞﹣2时，x； ②当k+2＜0，即k＜﹣2时，x； ③当k+2＝0，即k＝﹣2时，此不等式为0＞5，无解． 【总结提升】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变 2．（2023春•晋江市期中）解关于x的不等式2mx+3＜3x+n． 【思路引领】根据解一元一次不等式的基本步骤解答即可． 【完整解答】解：2mx+3＜3x+n， 2mx﹣3x＜n﹣3， （2m﹣3）x＜n﹣3， 当2m﹣3＞0时，x； 当2m﹣3＜0时，x． 当2m﹣3＝0时，即m时且n＞3时，其解集为其他实数； 当2m﹣3＝0时，即m时且n≤3时，不等式无解． 【总结提升】本题考查了解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的基本步骤是解答本题的关键．解一元一次不等式的基本步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 3．（2022秋•平湖市期末）解下列关于x的不等式： （1）a2x≥3﹣x； （2）（a+2）x＜1． 【思路引领】（1）先移项、合并同类项，再系数化为1可得答案； （2）分a+2＞0，a+2＝0，a+2＜0三种情况，分别求解即可． 【完整解答】解：（1）∵a2x≥3﹣x， ∴a2x+x≥3， （a2+1）x≥3， ∵a2+1＞0， ∴x； （2）当a+2＞0，即a＞﹣2时，x； 当a+2＝0，即a＝﹣2时，不等式恒成立； 当a+2＜0，即a＜﹣2时，x． 【总结提升】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 考法2 已知解集，求参数的值或取值范围 【典例精析】 【例】已知关于x的不等式组． （1）如果不等式组的解集为6＜x＜7，求m的值； （2）如果不等式组无解，求m的取值范围； （3）是否存在m，使不等式组的解集为1＜x＜2？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 【思路引领】首先解每个不等式求得每个不等式的解集． （1）根据不等式组的解集得到关于m的两个方程求解，两个方程的解相同就是所求的m的值； （2）根据不等式组无解即可得到关于m的不等式，从而求得m的范围； （3）根据不等式组的解集得到关于m的两个方程求解，两个方程的解相同就是所求的m的值，若不同满足条件的m就不存在． 【完整解答】解：， 解①得x， 解②得：x． （1）根据题意得， 解得m＝11； （2）根据题意得， 解得：m≤5； （3）， 能使两个方程同时成立的m的值不存在． 则不存在m，使不等式组的解集为1＜x＜2． 【总结提升】本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x＞较小的数、＜较大的数，那么解集为x介于两数之间． 【针对训练】 1．（2023春•榕城区期中）关于x的一元一次不等式2的解集为x≥4，则m的值为（　　） A．14 B．7 C．﹣2 D．2 【思路引领】先用含有m的式子把原不等式的解集表示出来，然后和已知解集进行比对得出关于m的方程，解之可得m的值． 【完整解答】解：解不等式2得：x， ∵不等式的解集为x≥4， ∴4， 解得m＝2， 故选：D． 【总结提升】本题主要考查解一元一次不等式，当题中有两个未知字母时，应把关于某个字母的不等式中的字母当成未知数，求得解集，再根据解集进行判断，求得另一个字母的值． 2．（2024•湖北一模）已知不等式组，在同一条数轴上表示不等式①，②的解集如图所示，则b﹣a的值为　2　 ． 【思路引领】直接利用不等式的解集结合数轴得出a，b的值，进而得出答案． 【完整解答】解：∵不等式组，在同一条数轴上表示不等式①，②的解集如图所示， 则﹣a﹣1≤x≤b， ∴﹣a﹣1＝﹣2，b＝3， 解得：a＝1，b＝3， 故b﹣a＝3﹣1＝2． 故答案为：2． 【总结提升】此题主要考查了在数轴上表示不等式的解集，正确得出a，b的值是解题关键． 3．（2020•绵阳）若不等式x的解都能使不等式（m﹣6）x＜2m+1成立，则实数m的取值范围是 　m≤6　 ． 【思路引领】解不等式x得x＞﹣4，据此知x＞﹣4都能使不等式（m﹣6）x＜2m+1成立，再分m﹣6＝0和m﹣6≠0两种情况分别求解． 【完整解答】解：解不等式x得x＞﹣4， ∵x＞﹣4都能使不等式（m﹣6）x＜2m+1成立， ①当m﹣6＝0，即m＝6时，则x＞﹣4都能使0•x＜13恒成立； ②当m﹣6≠0，则不等式（m﹣6）x＜2m+1的解要改变方向， ∴m﹣6＜0，即m＜6， ∴不等式（m﹣6）x＜2m+1的解集为x， ∵x＞﹣4都能使x成立， ∴﹣4， ∴﹣4m+24≤2m+1， ∴m， 综上所述，m的取值范围是m≤6． 故答案为：m≤6． 【总结提升】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的步骤和依据及不等式的基本性质． 4．已知a，b是实数，若不等式（2a﹣b）x+3a﹣4b＜0和4﹣9x＜0的解集相同，则不等式（a﹣4b）x+2a﹣3b＞0的解集是　x　 ？ 【思路引领】首先解不等式4﹣9x＜0的解集为x，不等式（2a﹣b）x+3a﹣4b＜0的解集为x，可以得出2a﹣b＜0，且，得出a、b的关系，进一步判定a﹣4b符号，从而可求不等式（a﹣4b）x+2a﹣3b＞0的解集． 【完整解答】解：由4﹣9x＜0，解得x， ∵不等式（2a﹣b）x+3a﹣4b＜0和4﹣9x＜0是同解不等式， ∴2a﹣b＜0，且， 解得：ba， 则2a﹣b＝2aaa＜0，解得a＜0， a﹣4b＝a﹣4aa＞0， 所以解不等式（a﹣4b）x+2a﹣3b＞0，可得x． 故答案为：x． 【总结提升】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键． 5．（1）不等式组的解集为x＞2，则m的取值范围为 　m≤2　 ． （2）若不等式组的解集是x＜a﹣4，则a的取值范围是 　a≥﹣3　 ． 【思路引领】（1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大，结合不等式组的解集可得答案． （2）根据口诀“同小取小”，结合不等式组的解集可得答案． 【完整解答】解：（1）由3x﹣6＞0，得：x＞2， ∵不等式组的解集为x＞2， ∴m≤2， 故答案为：m≤2； （2）∵不等式组的解集是x＜a﹣4， ∴3a+2≥a﹣4， 解这个不等式得a≥﹣3， 故答案为：a≥﹣3． 【总结提升】本题考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键． 考法3 已知“有解或无解”，求参数的取值范围 【典例精析】 【例】（2023春•永丰县期中）若关于x的一元一次不等式组无解，则a的取值范围 　a≥6　 ． 【思路引领】先求出每个不等式的解集，再根据不等式组无解得出关于a的不等式，再求出不等式的解集即可． 【完整解答】解：， 解不等式①，得x， 解不等式②，得x＜3， ∵关于x的一元一次不等式组无解， ∴3， 解得：a≥6， 故答案为：a≥6． 【总结提升】本题考查了解一元一次不等式组，能得出关于a的不等式3是解此题的关键． 【针对训练】 1．（2021秋•钱塘区期末）若不等式组有解，则k的取值范围是（　　） A．k＜3 B．k＞2 C．k≤3 D．k≥2 【思路引领】根据不等式的解集，即可解答． 【完整解答】解：∵不等式组有解， ∴k＜3， 故选：A． 【总结提升】此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式组取解集的方法是解本题的关键． 2．（2021春•大邑县期中）若关于x的不等式组有解，则常数m的取值范围是　m＞﹣2　 ． 【思路引领】先解不等式，求出解集，然后根据题不等式组有解，即可求出m的取值范围． 【完整解答】解：不等式组， 由①得x≤5， 由②得x＜m， 由③得x≥﹣2， ∵原不等式组有解 ∴m＞﹣2， 故答案为m＞﹣2． 【总结提升】本题考查了不等式的解集，不等式组的解集为不等式解集的公共部分是解题关键． 3．（2022春•永安市期中）若关于x的不等式组无解，则m的取值范围为 　m≤8　 ． 【思路引领】先求出两个不等式的解集，再根据不等式组无解列出关于m的不等式求解即可． 【完整解答】解：解不等式1，得：x＞5， 解不等式2（m﹣x）≥6，得：x≤m﹣3， ∵不等式组无解， ∴m﹣3≤5， 则m≤8， 故答案为：m≤8． 【总结提升】本题主要考查解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 4．（2022秋•海曙区期中）关于x的不等式组无解，则常数b的取值范围是　b＞﹣3　 ． 【思路引领】先求出每个不等式的解集，再根据已知不等式组无解得出关于b的不等式，求出不等式的解集即可． 【完整解答】解： ∵解不等式①得：x≥2+2b， 解不等式②得：x， 又∵关于x的不等式组无解， ∴2+2b， 解得：b＞﹣3， 故答案为：b＞﹣3． 【总结提升】本题考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组，能得出关于b的不等式是解此题的关键． 5．（2021春•达川区校级期中）不等式组有解且解集是2＜x＜m+7，则m的取值范围为 　﹣5＜m≤﹣1　 ． 【思路引领】根据已知得出不等式组，求出不等式组的解集，即可得出答案． 【完整解答】解：∵不等式组的解集是2＜x＜m+7， ∴m+1≤2且m+7≤6且m+7＞2， 解得：﹣5＜m≤﹣1， 故答案为：﹣5＜m≤﹣1． 【总结提升】本题考查了解一元一次不等式组，解此题的关键是能根据题意得出不等式组． 6．（2024•济南模拟）已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（　　） A．a＜2 B．a≤2 C．a＞2 D．a≥2 【思路引领】先把a当作已知条件求出各不等式的解集，再根据不等式组无解求出a的取值范围即可． 【完整解答】解：∵， ∴， ∵关于x的不等式组无解， ∴a≥2， 故选：D． 【总结提升】本题考查了不等式组的无解问题，解答本题的关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小解没了． 7．（2022•绵阳）已知关于x的不等式组无解，则的取值范围是 　0　 ． 【思路引领】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大大小小找不到并结合不等式组的解集可得答案． 【完整解答】解：解不等式2x+3≥x+m，得：x≥m﹣3， 解不等式3＜2﹣x，得：x＜2， ∵不等式组无解， ∴m﹣3≥2， ∴m≥5， ∴0， 故答案为：0． 【总结提升】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 考法4 已知特殊解，求参数的取值范围 【例】（2021秋•兰溪市校级月考）已知关于x的不等式组的整数解共有3个，则a的取值范围是（　　） A．﹣2≤a＜﹣1 B．﹣2＜a≤1 C．﹣2＜a＜﹣1 D．﹣2≤a≤1 【思路引领】不等式组整理后，表示出解集，根据整数解共有3个，确定出a的取值范围即可． 【完整解答】解：不等式组整理得：， ∵不等式组的整数解共有3个， ∴a＜x，整数解为﹣1，0，1， 则a的取值范围是﹣2≤a＜﹣1． 故选：A． 【总结提升】此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键． 【针对训练】 1．（2022秋•余姚市校级期末）已知关于x的不等式3x﹣a≥1只有两个负整数解，则a的取值范围是（　　） A．﹣10＜a＜﹣7 B．﹣10＜a≤﹣7 C．﹣10≤a≤﹣7 D．﹣10≤a＜﹣7 【思路引领】先解不等式得出，根据不等式只有2个负整数解知其负整数解为﹣1和﹣2，据此得出，解之可得答案． 【完整解答】解：∵3x﹣a≥1， ∴， ∵不等式只有2个负整数解， ∴不等式的负整数解为﹣1和﹣2， 则， 解得：﹣10＜a≤﹣7． 故选：B． 【总结提升】本题主要考查一元一次不等式的整数解，解题的关键是熟练掌握解不等式的基本步骤和依据，并根据不等式的整数解的情况得出某一字母的不等式组． 2．（2022•江津区一模）若数a使关于x的不等式组，有且只有四个整数解，且使关于y的方程2的解为非负数，则符合条件的所有整数a的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【思路引领】表示出不等式组的解集，由不等式有且只有4个整数解确定出a的值，再由分式方程的解为非负数以及分式有意义的条件求出满足题意整数a的值． 【完整解答】解：不等式组整理得：， 由不等式组有且只有四个整数解，得到01， 解得：﹣2＜a≤2，即整数a＝﹣1，0，1，2， 2 分式方程去分母得：y+a﹣2a＝2（y﹣1）， 解得：y＝2﹣a， ∵y≠1， ∴2﹣a≠1， ∴a≠1， 由分式方程的解为非负数以及分式有意义的条件，得到a为﹣1，0，2共3个． 故选：C． 【总结提升】此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 3．（2022春•安阳期末）若关于x的不等式组恰有3个奇数解，则m可以取到的正整数为 　6或7　 ． 【思路引领】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的奇数解得情况可得m的取值范围，继而得出答案． 【完整解答】解：由，得：x≥1， 由m﹣x＞0，得：x＜m， ∵不等式组恰有3个奇数解， ∴不等式组的奇数解为1、3、5， ∴5＜m≤7， ∴m可以取到的正整数为6或7， 故答案为：6或7． 【总结提升】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 4．（2024春•江汉区期末）已知关于x的不等式组有2019个整数解，则m的取值范围是　2016＜m≤2017　 ． 【思路引领】先求出原不等式组的解集，再根据已知得出关于m的不等式组，求出即可． 【完整解答】解： ∵解不等式①得：x＞1﹣m， 解不等式②得：x≤3， ∴不等式组的解集是1﹣m＜x≤3， ∵关于x的不等式组有2019个整数解， ∴﹣2016≤1﹣m＜﹣2015， 解得：2016＜m≤2017， 故答案为：2016＜m≤2017． 【总结提升】本题考查了一元一次不等式组的整数解和解一元一次不等式组，能得出关于m的不等式组是解此题的关键． 5．（2022•达州）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是 　2≤a＜3　 ． 【思路引领】首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围． 【完整解答】解：， 解不等式①得：x＞a﹣2， 解不等式②得：x≤3， ∴不等式组的解集为：a﹣2＜x≤3， ∵恰有3个整数解， ∴0≤a﹣2＜1， ∴2≤a＜3， 故答案为：2≤a＜3． 【总结提升】考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．本题要根据整数解的取值情况分情况讨论结果，取出合理的答案． 6．（2024春•包河区期末）已知关于x的不等式组． （1）若不等式组的最小整数解为x＝l，则整数a的值为 　1　 ； （2）若不等式组所有整数解的和为14，则a的取值范围为 　2≤a＜3或﹣1≤a＜0　 ． 【思路引领】（1）根据不等式组的最小整数解为x＝l，构建关于a的不等式组即可； （2）不等式组所有整数解的和为14，构建关于a的不等式组即可． 【完整解答】解：， 由①得x＞a﹣1， 由②得到，x+2＞5x﹣18， x≤5， （1）∵不等式组的最小整数解为x＝l， ∴0≤a﹣1＜1， ∴1≤a＜2， 整数α的值为1． 故答案为：1； （2）∵不等式组所有整数解的和为14， ∴整数解为5，4，3，2或5，4，3，2，1，0，﹣1 ∴1≤a﹣1＜2或﹣2≤a﹣1＜﹣1 ∴2≤a＜3或﹣1≤a＜0． 故答案为：2≤a＜3或﹣1≤a＜0． 【总结提升】本题考查一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式组等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题． 考法5 结合方程（组）求参数 【例】（2023春•德城区期末）若关于x的方程k﹣2x＝3（k﹣2）的解为非负数，且关于x的不等式组有解，则符合条件的整数k值的和为（　　） A．2 B．3 C．5 D．6 【思路引领】根据关于x的方程k﹣2x＝3（k﹣2）的解为非负数，且关于x的不等式组有解，可以求得k的取值范围，从而可以求得符合条件的整数k的值的和，本题得以解决． 【完整解答】解：由方程k﹣2x＝3（k﹣2），得x＝3﹣k， ∵关于x的方程k﹣2x＝3（k﹣2）的解为非负数， ∴3﹣k≥0，得k≤3， ， 由①，得x≥﹣1， 由②，得x＜k， ∵关于x的不等式组有解， ∴k＞﹣1， 由上可得，﹣1＜k≤3， ∴符合条件的整数k的值为0，1，2，3， ∴符合条件的整数k的值的和为：0+1+2+3＝6． 故选：D． 【总结提升】本题考查解一元一次方程、解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解方程和不等式的方法． 【针对训练】 1．（2021春•东坡区期末）已知关于x的不等式组的解集为x≥11，且关于x，y的二元一次方程组的解为正数，则满足条件的m的取值范围是（　　） A．﹣1＜m＜12 B．﹣1≤m＜12 C．﹣1＜m≤12 D．﹣1≤m≤12 【思路引领】先求出两个不等式的解集，根据关于x的不等式组的解集为x≥11，求出m＜12．再解方程组，得出，根据关于x，y的二元一次方程组的解为正数，得到m＞﹣1，进而求出m的取值范围． 【完整解答】解：， 解不等式①，得x≥11， 解不等式②，得x＞m﹣1， ∵关于x的不等式组的解集为x≥11， ∴m﹣1＜11， ∴m＜12． 解方程组，得， ∵关于x，y的二元一次方程组的解为正数， ∴m+1＞0， ∴m＞﹣1， ∴﹣1＜m＜12． 故选：A． 【总结提升】本题主要考查解二元一次方程组和一元一次不等式组的能力，根据题意得出关于m的不等式是解题的关键． 2．（2021秋•西湖区校级期中）整数a使得关于x的不等式组至少有4个整数解，且关于y的方程1﹣3（y﹣2）＝a有非负整数解，则满足条件的整数a的个数是（　　） A．6个 B．5个 C．3个 D．2个 【思路引领】解不等式组中两个不等式得出3﹣2a≤x＜3，结合其整数解的情况可得a≥2，再解方程得y，由其解为非负数得出a≤7，最后根据方程的解必须为非负整数可得a的取值情况． 【完整解答】解：解不等式6﹣2x＞0，得x＜3， 解不等式2（x+a）≥x+3，得x≥3﹣2a， ∴3﹣2a＜x＜3， ∵不等式组至少有4个整数解， ∴3﹣2a≤﹣1， 解得a≥2， 解方程1﹣3（y﹣2）＝a，得y， ∵方程有非负整数解， ∴0， 则a≤7， 所以2≤a≤7， 其中能使为非负整数的a值有4，7，共2个， 故选：D． 【总结提升】本题主要考查一元一次不等式组的整数解，解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． 3．（2022•五华区校级模拟）已知关于x的一元一次方程mx﹣2＝﹣3x有整数解，且关于y的不等式组有且只有四个整数解，则所有满足条件m的整数值之和是（　　） A．﹣9 B．9 C．﹣12 D．12 【思路引领】先解一元一次方程，根据方程有整数解确定满足条件的m的值，再解出每个不等式的解集，即可得到该不等式组的解集，然后根据不等式组有且只有三个整数解，确定m的取值范围，从而求和． 【完整解答】解：mx﹣2＝﹣3x， 移项，得：mx+3x＝2， 合并同类项，得：（m+3）x＝2， 系数化1，得：x， ∵该方程有整数解，且m+3≠0， ∴符合条件的整数m有﹣5，﹣4，﹣2、﹣1， ∵有整数解， ∴不等式组的解集为﹣2＜y， 又∵该不等式组有且只有四个整数解， ∴23， 解得：﹣7≤m＜﹣2， ∴满足条件的整数m值之和是﹣5﹣4＝﹣9． 故选：A． 【总结提升】本题考查解一元一次不等式组，解一元一次方程，理解解一元一次不等式组和解一元一次方程的步骤，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 4．（2022•新田县一模）若关于x，y的方程组解满足0＜x+y＜5，则k的取值范围是 　﹣2＜k＜3　 ． 【思路引领】①+②求出x+y＝k+2，根据已知得出不等式0＜k+2＜5，求出即可． 【完整解答】解：， ∵①+②得：3x+3y＝3k+6， ∴x+y＝k+2， ∵关于x，y的方程组解满足0＜x+y＜5， ∴0＜k+2＜5， ∴k的取值范围为：﹣2＜k＜3． 故答案为：﹣2＜k＜3． 【总结提升】本题考查了二元一次方程组的解和解一元一次不等式组的应用，关键是能得出关于k的不等式组． 5．（2020春•雨花区校级期中）（1）在关于x，y的二元一次方程组中，x＞1，y＜0，求a的取值范围． （2）已知x﹣2y＝4，且x＞8，y＜4，求3x+2y的取值范围． （3）已知a﹣b＝m，在关于x，y的二元一次方程组中，x＜0，y＞0，化简含有绝对值的式子2|a+b﹣3+m|+3|m﹣4+a+b|（结果用含a的式子表示）． 【思路引领】（1）在关于x，y的二元一次方程组中，利用参数a的代数式表示x，y，然后根据x＞1，y＜0列出关于参数a的不等式组即可求得a的取值范围． （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集； （3）解方程组得：，根据x＜0，y＞0可得1.5＜a＜2，进一步得到a+b的取值范围，即可化简2|a+b﹣3+m|+3|m﹣4+a+b|． 【完整解答】解：（1）由方程组解得， 又因为x＞1，y＜0， 所以，， 解得0＜a＜2； （2）设3x+2y＝a， 构成方程组得：， 解得， ∴， 解得28＜a＜44， ∴28＜3x+2y＜44． （3）解方程组得：， ∵x＜0，y＞0， ∴， 解得：1.5＜a＜2， ∵a﹣b＝m， ∴3﹣m＜a+b＜4﹣m． ∴2|a+b﹣3+m|+3|m﹣4+a+b| ＝2（a+b﹣3+m）+3（﹣m+4﹣a﹣b） ＝﹣2a+6． 【总结提升】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 6．（2024春•蒸湘区校级期中）我们已经学习了有理数乘法，不等式组与方程组的知识，它们之间有着一定的逻辑关联，请解决以下问题： （1）阅读理解：解不等式（x+1）（x﹣3）＞0． 解：根据两数相乘，同号得正，原不等式可以转化为或， 解不等式组，得x＞3；解不等式组，得x＜﹣1． ∴原不等式的解集为x＞3或x＜﹣1． 问题解决：根据以上材料，解不等式（x﹣5）（x+6）＜0． （2）已知关于x，y的方程组的解满足不等式组，求满足条件的m的整数值． 【思路引领】（1）根据阅读材料可得：当x﹣5和x+6异号时不等式成立，据此即可转化为不等式问题求解即可； （2）根据题意求出方程组的解，然后代入不等式组求解即可． 【完整解答】解：（1）根据两数相乘，异号得负，原不等式可以转化为：或． 解不等式组，不等式组无解； 解不等式 ，解得﹣6＜x＜5． 所以原不等式的解集为：﹣6＜x＜5； （2）， ①×2﹣②得：﹣7y＝﹣4，解得， 将代入①得，， ∴方程组的解为， ∵， ∴， 解不等式组得：， ∴m可取的整数值为﹣3，﹣2． 【总结提升】本题考查了一元一次不等式组的解法及二元一次方程组的解法，熟练掌握求不等式组的解集及二元一次方程组的解的方法是解题关键． 7．（2021•滨海县二模）已知关于x、y的方程组（实数m是常数）． （1）若x+y＝3，求实数m的值； （2）若3＜x﹣y＜6，化简：|m﹣3|﹣|5m﹣12|． 【思路引领】（1）两个方程相加得出x+y＝m+3，根据x+y＝3得出关于m的方程，解之可得答案； （2）第2个方程减去第1个方程得出x﹣y＝5m﹣9，根据3＜x﹣y＜6得出关于m的不等式组，解之即可得出m的取值范围，再利用绝对值的性质求解即可． 【完整解答】解：（1）， ①+②得：5x+5y＝5m+15， ∴x+y＝m+3， 又∵x+y＝3， ∴m+3＝3， ∴m＝0； （2）②﹣①得：x﹣y＝5m﹣9， ∵3＜x﹣y＜6， ∴3＜5m﹣9＜6， ∴， ∴m﹣3＜0；5m﹣12＞0， ∴|m﹣3|﹣|5m﹣12|＝3﹣m﹣5m+12＝15﹣6m． 【总结提升】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 8．（2024春•广陵区校级月考）已知方程组的解满足x为非正数，y为负数． （1）求m的取值范围． （2）在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式（2m+1）x＜2m+1的解为x＞1． 【思路引领】（1）根据题意，用m分别表示出x和y，再根据x为非正数，y为负数，建立关于m的不等式组即可解决问题． （2）根据题意得出2m+1为负数，再结合（1）中的结论即可解决问题． 【完整解答】解：（1）， ①+②得， 2x＝2m﹣6， 则x＝m﹣3． ①﹣②得， 2y＝﹣4m﹣8， 则y＝﹣2m﹣4． 因为x为非正数，y为负数， 所以， 解得﹣2＜m≤3． （2）由题知， 2m+1＜0， 解得m． 又因为﹣2＜m≤3， 所以﹣2＜m， 则整数m的值为﹣1． 【总结提升】本题主要考查了解一元一次不等式组、二元一次方程组的解、解一元一次不等式及一元一次不等式的整数解，熟知解一元一次不等式及解二元一次方程组的步骤是解题的关键． 9．（2023•鄂州）已知不等式组的解集是﹣1＜x＜1，则（a+b）2023＝（　　） A．0 B．﹣1 C．1 D．2023 【思路引领】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集得出a、b的值，代入计算可得． 【完整解答】解：由x﹣a＞2，得：x＞a+2， 由x+1＜b，得：x＜b﹣1， ∵解集为﹣1＜x＜1， ∴a+2＝﹣1，b﹣1＝1， 解得a＝﹣3，b＝2， 则（a+b）2023＝（﹣3+2）2023＝（﹣1）2023＝﹣1． 故选：B． 【总结提升】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 10．（2022•攀枝花）如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解．则称该一元一次方程为该一元一次不等式组的关联方程．若方程x﹣1＝0是关于x的不等式组的关联方程，则n的取值范围是 　1≤n＜3　 ． 【思路引领】先解方程x﹣1＝0得x＝3，再利用新定义得到，然后解n的不等式组即可． 【完整解答】解：解方程x﹣1＝0得x＝3， ∵x＝3为不等式组的解， ∴， 解得1≤n＜3， 即n的取值范围为：1≤n＜3， 故答案为：1≤n＜3． 【总结提升】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分．也考查了解一元一次方程的解． 考点2 一元一次不等式（组）的实际应用 【例】（2022春•宜丰县校级期中）市政公司为绿化一段沿江风光带，计划购买甲、乙两种树苗共500株，甲种树苗每株50元，乙种树苗每株80元有关统计表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为90%和95%． （1）若购买树苗的钱不超过34000元，应如何选购树苗？ （2）若希望这批树苗的成活率不低于92%，且购买树苗的费用最低，应如何选购树苗？ 【思路引领】（1）设购买甲种树苗x株，则购买（500﹣x）株乙种树苗．根据购买树苗的钱不超过34000元列不等式求得未知数的取值范围即可； （2）根据这批树苗的成活率不低于92%，列不等式求得未知数的取值范围，再进一步建立费用和树苗株数之间的函数关系式，根据函数的性质进行分析． 【完整解答】解：（1）设购买甲种树苗x株，则购买（500﹣x）株乙种树苗． 依题意得50x+80（500﹣x）≤34000， 50x+40000﹣80x≤34000， 解得x≥200． 又因为x＜500， 所以200≤x＜500． 答：购买甲种树苗至少为200株． （2）依题意得90%x+95%（500﹣x）≥500×92%， 解得x≤300． 由于两种树苗中，甲种树苗价格低， 因此应尽可能多地购买甲种树苗，所以x＝300． 答：购买300株甲种树苗，200株乙种树苗时，费用最低． 【总结提升】本题考查了一元一次不等式的应用，能够熟练找到题目中的不等关系分别列不等式进行求解． 【针对训练】 1．（2022•仁怀市模拟）校团委计划用800元为毕业生到某超市购买纪念册，该超市推出优惠活动，若一次购买不超过15册，则按每册10元付款，若一次性购买15册以上，则超过部分按八折优惠．问最多能购买多少册？设能购买x册，则下列不等关系正确的是（　　） A．10x≤800 B．10×0.8×15+10×0.8（x﹣15）≤800 C．15×10+10×0.8（x﹣15）≤800 D．15×10+10×0.8x≤800 【思路引领】根据题意可知，购买的纪念册超过15册，可根据一次性购买15册以上，则超过部分按八折优惠列出不等式即可． 【完整解答】解：800÷10＝80＞15， 所以应按第二种方式付款，则有15×10+10×0.8（x﹣15）≤800， 故选：C． 【总结提升】本题主要考查了根据实际问题列不等式，正确得到付款方式是解答本题的关键． 2．（2022春•深圳期中）安排学生住宿，若每间住3人，则还有13人无房可住；若每间住6人，则还有一间不空也不满，则宿舍的房间数量可能为　5或6　 ． 【思路引领】设共有x间宿舍，则共有（3x+13）个学生，根据“若每间住6人，则还有一间不空也不满”，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再结合x为正整数，即可得出结论． 【完整解答】解：设共有x间宿舍，则共有（3x+13）个学生， 依题意得：， 解得：x． 又∵x为正整数， ∴x＝5或6． 故答案为：5或6． 【总结提升】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 3．（2022春•仓山区校级期中）小宜跟几位同学在学校食堂吃饭，如下为食堂提供的套餐菜单，他们一共点了10份盖饭，6杯饮料．若A、B、C套餐均至少点了两份，则点餐方案有 　3　 种． A套餐：一份盖饭加一杯饮料 B套餐：一份盖饭加一份凉拌菜 C套餐：一份盖饭加一杯饮料与一份凉拌菜 【思路引领】由三种套餐中只有B套餐不含饮料，可得出他们一共点了4份B套餐，设他们点了x份A套餐，则点了（10﹣x﹣4）份C套餐，根据A、C套餐均至少点了两份，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再结合x为正整数，即可得出点餐方案共有3种． 【完整解答】解：∵他们一共点了10份盖饭，6杯饮料，且只有B套餐不含饮料， ∴他们一共点了10﹣6＝4（份）B套餐． 设他们点了x份A套餐，则点了（10﹣x﹣4）份C套餐， 依题意得：， 解得：2≤x≤4， 又∵x为正整数， ∴x可以为2，3，4， ∴点餐方案共有3种． 故答案为：3． 【总结提升】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 4．（2022春•台江区校级期末）上海某宾馆客房部有三人普通间和二人普通间，每间收费标准如表所示． 客房 普通间（元/天） 三人间 240 二人间 200 世博会期间，一个由50名女工组成的旅游团入住该宾馆，她们都选择了三人普通间和二人普通间，且每间正好都住满．设该旅游团入住三人普通间有x间． （1）该旅游团入住的二人普通间有 　　 间（用含x的代数式表示）； （2）该旅游团要求一天的住宿费必须少于4600元，且入住的三人普通间不多于二人普通间．若客房部能满足该旅游团的要求，那么该客房部有哪几种安排方案？ 【思路引领】（1）利用该旅游团入住的二人普通间间数，即可用含x的代数式表示出该旅游团入住的二人普通间间数； （2）根据“该旅游团要求一天的住宿费必须少于4600元，且入住的三人普通间不多于二人普通间”，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再结合x，为整数，即可得出各安排方案． 【完整解答】解：（1）依题意得：该旅游团入住的二人普通间有间． 故答案为：． （2）依题意得：， 解得：x≤10． 又∵x，为整数， ∴x可以为8，10， ∴该客房部有2种安排方案， 方案1：安排8间三人普通间，13间二人普通间； 方案2：安排10间三人普通间，10间二人普通间． 【总结提升】本题考查了一元一次不等式组的应用以及列代数式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 5．某商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价15元，售价20元；乙种商品每件进价35元，售价45元，若该商场同时购进甲、乙两种商品共100件恰好用去2700元． 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过300元 不优惠 超过300元且不超过400元 售价打九折 超过400元 售价打八折 （1）求能购进甲、乙两种商品各多少件？ （2）设甲商品购进x件，售完此两种商品总利润为y元，写出y与x的函数关系式； （3）在“五•一”黄金周期间，该商场对甲、乙两种商品进行如下优惠促销的活动．按此优惠条件，若小王第一天只购买甲种商品一次性付款200元，第二天只购买乙种商品打折的一次性付款324元，那么这两天他在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？（通过计算求出所有符合要求的结果） 【思路引领】（1）设购进甲种商品m件，则购进乙种商品（100﹣m）件，根据同时购进甲、乙两种商品共100件恰好用去2700元即可列出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值，再将其代入100﹣m中，此题得解； （2）设甲商品购进x件，售完此两种商品总利润为y元，则购进乙种商品（100﹣x）件，根据“总利润＝销售单件甲种产品的利润×销售甲种产品的数量+销售单件乙种产品的利润×销售乙种产品的数量”即可得出y与x的函数关系式； （3）根据购买件数＝付款额÷甲种商品的销售单价即可求出小王购买甲种商品的件数，设小王在该商场购买乙种商品n件（n为正整数），分300＜45n≤400和400＜45n两种情况结合第二天只购买乙种商品打折的一次性付款324元，即可得出关于n的一元一次方程，解之即可得出结论． 【完整解答】解：（1）设购进甲种商品m件，则购进乙种商品（100﹣m）件， 根据题意，得：15m+35×（100﹣m）＝2700， 解得：m＝40， ∴100﹣m＝60． 答：购进甲种商品40件，乙种商品60件． （2）设甲商品购进x件，售完此两种商品总利润为y元，则购进乙种商品（100﹣x）件， 根据题意，得：y＝（20﹣15）x+（45﹣35）（100﹣x）＝﹣5x+1000（0≤x≤100，且x为整数）． （3）小王在该商场购买甲种商品数量为：200÷20＝10（件）． 设小王在该商场购买乙种商品n件（n为正整数）， 当300＜45n≤400，即7≤n≤8时，有0.9×45n＝324， 解得：n＝8； 当400＜45n，即n≥9时，有0.8×45n＝324， 解得：n＝9． 10+8＝18（件）或10+9＝19（件）． 答：这两天小王在该商场购买甲、乙两种商品一共18件或19件． 【总结提升】本题考查了一次函数的应用，根据数量关系列出一次函数关系式（算式或一元一次方程）是解题的关键． 6．（2023春•赵县期末）某品牌护眼灯的进价为240元，商店以320元的价格出售，“五一节”期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于20%的价格降价出售，则该护眼灯最多可降价（　　）元 A．20 B．24 C．32 D．48 【思路引领】设该护眼灯可降价x元，利用利润＝售价﹣进价，结合利润率不低于20%，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再取其中的最大值，即可得出结论． 【完整解答】解：设该护眼灯可降价x元， 根据题意得：320﹣x﹣240≥240×20%， 解得：x≤32， ∴x的最大值为32， 即该护眼灯最多可降价32元． 故选：C． 【总结提升】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 7．（2023•怀化）某中学组织学生研学，原计划租用可坐乘客45人的A种客车若干辆，则有30人没有座位；若租用可坐乘客60人的B种客车，则可少租6辆，且恰好坐满． （1）求原计划租用A种客车多少辆？这次研学去了多少人？ （2）若该校计划租用A、B两种客车共25辆，要求B种客车不超过7辆，且每人都有座位，则有哪几种租车方案？ （3）在（2）的条件下，若A种客车租金为每辆220元，B种客车租金每辆300元，应该怎样租车才最合算？ 【思路引领】（1）设原计划租用A种客车x辆，则这次研学去了（45x+30）人，根据这次去研学的人数不变，可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设租用B种客车y辆，则租用A种客车（25﹣y）辆，根据“租用的25辆客车可乘坐人数不少于1200人，且租用的B种客车不超过7辆”，可得出关于y的一元一次不等式组，解之可得出y的取值范围，再结合y为正整数，即可得出各租车方案； （3）利用总租金＝每辆A种客车的租金×租用A种客车的辆数+每辆B种客车的租金×租用B种客车的辆数，可分别求出选择各方案所需总租金，比较后，即可得出结论． 【完整解答】解：（1）设原计划租用A种客车x辆，则这次研学去了（45x+30）人， 根据题意得：45x+30＝60（x﹣6）， 解得：x＝26， ∴45x+30＝45×26+30＝1200． 答：原计划租用A种客车26辆，这次研学去了1200人； （2）设租用B种客车y辆，则租用A种客车（25﹣y）辆， 根据题意得：， 解得：5≤y≤7， 又∵y为正整数， ∴y可以为5，6，7， ∴该学校共有3种租车方案， 方案1：租用5辆B种客车，20辆A种客车； 方案2：租用6辆B种客车，19辆A种客车； 方案3：租用7辆B种客车，18辆A种客车； （3）选择方案1的总租金为300×5+220×20＝5900（元）； 选择方案2的总租金为300×6+220×19＝5980（元）； 选择方案3的总租金为300×7+220×18＝6060（元）． ∵5900＜5980＜6060， ∴租用5辆B种客车，20辆A种客车最合算． 【总结提升】本题考查了一元一次不等式组的应用、一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次方程，（3）根据各数量之间的关系，求出选择各方案所需总租金． 8．（2022•绵阳）某水果经营户从水果批发市场批发水果进行零售，部分水果批发价格与零售价格如下表： 水果品种 梨子 菠萝 苹果 车厘子 批发价格（元/kg） 4 5 6 40 零售价格（元/kg） 5 6 8 50 请解答下列问题： （1）第一天，该经营户用1700元批发了菠萝和苹果共300kg，当日全部售出，求这两种水果获得的总利润？ （2）第二天，该经营户依然用1700元批发了菠萝和苹果，当日销售结束清点盘存时发现进货单丢失，只记得这两种水果的批发量均为正整数且菠萝的进货量不低于88kg，这两种水果已全部售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润，请通过计算说明该经营户第二天批发这两种水果可能的方案有哪些？ 【思路引领】（1）设第一天，该经营户批发了菠萝x kg，苹果y kg，根据该经营户用1700元批发了菠萝和苹果共300kg，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用总利润＝每千克的销售利润×销售数量（购进数量），即可求出结论； （2）设购进m kg菠萝，则购进kg苹果，根据“菠萝的进货量不低于88kg，且这两种水果已全部售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m，均为正整数，即可得出各进货方案． 【完整解答】解：（1）设第一天，该经营户批发了菠萝x kg，苹果y kg， 依题意得：， 解得：， ∴（6﹣5）x+（8﹣6）y＝（6﹣5）×100+（8﹣6）×200＝500（元）． 答：这两种水果获得的总利润为500元． （2）设购进m kg菠萝，则购进kg苹果， 依题意得：， 解得：88≤m＜100． 又∵m，均为正整数， ∴m可以为88，94， ∴该经营户第二天共有2种批发水果的方案， 方案1：购进88kg菠萝，210kg苹果； 方案2：购进94kg菠萝，205kg苹果． 【总结提升】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题18 不等式与不等式组2大考点6种考法（原卷版） 考点1 解含参的一元一次不等式 考法1 解含参的一元一次不等式 【典例精析】 【典例】下面四个结论中，正确的个数有（　　） ①ax＝b，当a≠0时解为 ②ax＜b，当a≠0时解为 ③﹣ax＞b，当a＜0时解集为 ④（a2+1）x＞﹣b；的解集是 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【针对训练】 1．（2023春•灵丘县校级期末）先阅读，再解答：写出关于x的不等式（a﹣1）x＞1的解集． 解：利用不等式的性质，不等式两边都除以（a﹣1）； 因不知（a﹣1）的符号，所以应分情况讨论； ①当a﹣1＞0，即a＞1时，； ②当a﹣1＜0，即a＜1时，； ③当a﹣1＝0，即a＝1时，此不等式为0＞1，无解． 请根据以上解不等式的思想方法，解关于x的不等式（k+2）x＞5． 2．（2023春•晋江市期中）解关于x的不等式2mx+3＜3x+n． 3．（2022秋•平湖市期末）解下列关于x的不等式： （1）a2x≥3﹣x； （2）（a+2）x＜1． 考法2 已知解集，求参数的值或取值范围 【典例精析】 【例】已知关于x的不等式组． （1）如果不等式组的解集为6＜x＜7，求m的值； （2）如果不等式组无解，求m的取值范围； （3）是否存在m，使不等式组的解集为1＜x＜2？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 【针对训练】 1．（2023春•榕城区期中）关于x的一元一次不等式2的解集为x≥4，则m的值为（　　） A．14 B．7 C．﹣2 D．2 2．（2024•湖北一模）已知不等式组，在同一条数轴上表示不等式①，②的解集如图所示，则b﹣a的值为　2　 ． 3．（2020•绵阳）若不等式x的解都能使不等式（m﹣6）x＜2m+1成立，则实数m的取值范围是 　 ． 4．已知a，b是实数，若不等式（2a﹣b）x+3a﹣4b＜0和4﹣9x＜0的解集相同，则不等式（a﹣4b）x+2a﹣3b＞0的解集是　 ？ 5．（1）不等式组的解集为x＞2，则m的取值范围为 　 　 ． （2）若不等式组的解集是x＜a﹣4，则a的取值范围是 　 ． 考法3 已知“有解或无解”，求参数的取值范围 【典例精析】 【例】（2023春•永丰县期中）若关于x的一元一次不等式组无解，则a的取值范围 　 　 ． 【针对训练】 1．（2021秋•钱塘区期末）若不等式组有解，则k的取值范围是（　　） A．k＜3 B．k＞2 C．k≤3 D．k≥2 2．（2021春•大邑县期中）若关于x的不等式组有解，则常数m的取值范围是　 ． 3．（2022春•永安市期中）若关于x的不等式组无解，则m的取值范围为 　 　 ． 4．（2022秋•海曙区期中）关于x的不等式组无解，则常数b的取值范围是　 　 ． 5．（2021春•达川区校级期中）不等式组有解且解集是2＜x＜m+7，则m的取值范围为 　 　 ． 6．（2024•济南模拟）已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（　　） A．a＜2 B．a≤2 C．a＞2 D．a≥2 7．（2022•绵阳）已知关于x的不等式组无解，则的取值范围是 　 ． 考法4 已知特殊解，求参数的取值范围 【例】（2021秋•兰溪市校级月考）已知关于x的不等式组的整数解共有3个，则a的取值范围是（　　） A．﹣2≤a＜﹣1 B．﹣2＜a≤1 C．﹣2＜a＜﹣1 D．﹣2≤a≤1 【针对训练】 1．（2022秋•余姚市校级期末）已知关于x的不等式3x﹣a≥1只有两个负整数解，则a的取值范围是（　　） A．﹣10＜a＜﹣7 B．﹣10＜a≤﹣7 C．﹣10≤a≤﹣7 D．﹣10≤a＜﹣7 2．（2022•江津区一模）若数a使关于x的不等式组，有且只有四个整数解，且使关于y的方程2的解为非负数，则符合条件的所有整数a的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2022春•安阳期末）若关于x的不等式组恰有3个奇数解，则m可以取到的正整数为 　 　 ． 4．（2024春•江汉区期末）已知关于x的不等式组有2019个整数解，则m的取值范围是　 　 ． 5．（2022•达州）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是 　 　 ． 6．（2024春•包河区期末）已知关于x的不等式组． （1）若不等式组的最小整数解为x＝l，则整数a的值为 　 　 ； （2）若不等式组所有整数解的和为14，则a的取值范围为 　 　 ． 考法5 结合方程（组）求参数 【例】（2023春•德城区期末）若关于x的方程k﹣2x＝3（k﹣2）的解为非负数，且关于x的不等式组有解，则符合条件的整数k值的和为（　　） A．2 B．3 C．5 D．6 【针对训练】 1．（2021春•东坡区期末）已知关于x的不等式组的解集为x≥11，且关于x，y的二元一次方程组的解为正数，则满足条件的m的取值范围是（　　） A．﹣1＜m＜12 B．﹣1≤m＜12 C．﹣1＜m≤12 D．﹣1≤m≤12 2．（2021秋•西湖区校级期中）整数a使得关于x的不等式组至少有4个整数解，且关于y的方程1﹣3（y﹣2）＝a有非负整数解，则满足条件的整数a的个数是（　　） A．6个 B．5个 C．3个 D．2个 3．（2022•五华区校级模拟）已知关于x的一元一次方程mx﹣2＝﹣3x有整数解，且关于y的不等式组有且只有四个整数解，则所有满足条件m的整数值之和是（　　） A．﹣9 B．9 C．﹣12 D．12 4．（2022•新田县一模）若关于x，y的方程组解满足0＜x+y＜5，则k的取值范围是 　 　 ． 5．（2020春•雨花区校级期中）（1）在关于x，y的二元一次方程组中，x＞1，y＜0，求a的取值范围． （2）已知x﹣2y＝4，且x＞8，y＜4，求3x+2y的取值范围． （3）已知a﹣b＝m，在关于x，y的二元一次方程组中，x＜0，y＞0，化简含有绝对值的式子2|a+b﹣3+m|+3|m﹣4+a+b|（结果用含a的式子表示）． 6．（2024春•蒸湘区校级期中）我们已经学习了有理数乘法，不等式组与方程组的知识，它们之间有着一定的逻辑关联，请解决以下问题： （1）阅读理解：解不等式（x+1）（x﹣3）＞0． 解：根据两数相乘，同号得正，原不等式可以转化为或， 解不等式组，得x＞3；解不等式组，得x＜﹣1． ∴原不等式的解集为x＞3或x＜﹣1． 问题解决：根据以上材料，解不等式（x﹣5）（x+6）＜0． （2）已知关于x，y的方程组的解满足不等式组，求满足条件的m的整数值． 7．（2021•滨海县二模）已知关于x、y的方程组（实数m是常数）． （1）若x+y＝3，求实数m的值； （2）若3＜x﹣y＜6，化简：|m﹣3|﹣|5m﹣12|． 8．（2024春•广陵区校级月考）已知方程组的解满足x为非正数，y为负数． （1）求m的取值范围． （2）在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式（2m+1）x＜2m+1的解为x＞1． 9．（2023•鄂州）已知不等式组的解集是﹣1＜x＜1，则（a+b）2023＝（　　） A．0 B．﹣1 C．1 D．2023 10．（2022•攀枝花）如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解．则称该一元一次方程为该一元一次不等式组的关联方程．若方程x﹣1＝0是关于x的不等式组的关联方程，则n的取值范围是 　 ． 考点2 一元一次不等式（组）的实际应用 【例】（2022春•宜丰县校级期中）市政公司为绿化一段沿江风光带，计划购买甲、乙两种树苗共500株，甲种树苗每株50元，乙种树苗每株80元有关统计表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为90%和95%． （1）若购买树苗的钱不超过34000元，应如何选购树苗？ （2）若希望这批树苗的成活率不低于92%，且购买树苗的费用最低，应如何选购树苗？ 【针对训练】 1．（2022•仁怀市模拟）校团委计划用800元为毕业生到某超市购买纪念册，该超市推出优惠活动，若一次购买不超过15册，则按每册10元付款，若一次性购买15册以上，则超过部分按八折优惠．问最多能购买多少册？设能购买x册，则下列不等关系正确的是（　　） A．10x≤800 B．10×0.8×15+10×0.8（x﹣15）≤800 C．15×10+10×0.8（x﹣15）≤800 D．15×10+10×0.8x≤800 2．（2022春•深圳期中）安排学生住宿，若每间住3人，则还有13人无房可住；若每间住6人，则还有一间不空也不满，则宿舍的房间数量可能为　 　 ． 3．（2022春•仓山区校级期中）小宜跟几位同学在学校食堂吃饭，如下为食堂提供的套餐菜单，他们一共点了10份盖饭，6杯饮料．若A、B、C套餐均至少点了两份，则点餐方案有 　 　 种． A套餐：一份盖饭加一杯饮料 B套餐：一份盖饭加一份凉拌菜 C套餐：一份盖饭加一杯饮料与一份凉拌菜 4．（2022春•台江区校级期末）上海某宾馆客房部有三人普通间和二人普通间，每间收费标准如表所示． 客房 普通间（元/天） 三人间 240 二人间 200 世博会期间，一个由50名女工组成的旅游团入住该宾馆，她们都选择了三人普通间和二人普通间，且每间正好都住满．设该旅游团入住三人普通间有x间． （1）该旅游团入住的二人普通间有 　 间（用含x的代数式表示）； （2）该旅游团要求一天的住宿费必须少于4600元，且入住的三人普通间不多于二人普通间．若客房部能满足该旅游团的要求，那么该客房部有哪几种安排方案？ 5．某商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价15元，售价20元；乙种商品每件进价35元，售价45元，若该商场同时购进甲、乙两种商品共100件恰好用去2700元． 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过300元 不优惠 超过300元且不超过400元 售价打九折 超过400元 售价打八折 （1）求能购进甲、乙两种商品各多少件？ （2）设甲商品购进x件，售完此两种商品总利润为y元，写出y与x的函数关系式； （3）在“五•一”黄金周期间，该商场对甲、乙两种商品进行如下优惠促销的活动．按此优惠条件，若小王第一天只购买甲种商品一次性付款200元，第二天只购买乙种商品打折的一次性付款324元，那么这两天他在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？（通过计算求出所有符合要求的结果） 【中考真题】 6．（2023春•赵县期末）某品牌护眼灯的进价为240元，商店以320元的价格出售，“五一节”期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于20%的价格降价出售，则该护眼灯最多可降价（　　）元 A．20 B．24 C．32 D．48 7．（2023•怀化）某中学组织学生研学，原计划租用可坐乘客45人的A种客车若干辆，则有30人没有座位；若租用可坐乘客60人的B种客车，则可少租6辆，且恰好坐满． （1）求原计划租用A种客车多少辆？这次研学去了多少人？ （2）若该校计划租用A、B两种客车共25辆，要求B种客车不超过7辆，且每人都有座位，则有哪几种租车方案？ （3）在（2）的条件下，若A种客车租金为每辆220元，B种客车租金每辆300元，应该怎样租车才最合算？ 8．（2022•绵阳）某水果经营户从水果批发市场批发水果进行零售，部分水果批发价格与零售价格如下表： 水果品种 梨子 菠萝 苹果 车厘子 批发价格（元/kg） 4 5 6 40 零售价格（元/kg） 5 6 8 50 请解答下列问题： （1）第一天，该经营户用1700元批发了菠萝和苹果共300kg，当日全部售出，求这两种水果获得的总利润？ （2）第二天，该经营户依然用1700元批发了菠萝和苹果，当日销售结束清点盘存时发现进货单丢失，只记得这两种水果的批发量均为正整数且菠萝的进货量不低于88kg，这两种水果已全部售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润，请通过计算说明该经营户第二天批发这两种水果可能的方案有哪些？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$