4.2 等差数列 练习-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.2等差数列 练习 一、单选题 1．已知数列满足，，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 2．若公差为的等差数列满足，，则n等于（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 3．已知p：数列满足：存在正整数，对任意的，，都有，：数列是等差数列.则是的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 4．由公差的等差数列组成一个新的数列，下列说法正确的是（   ） A．新数列不是等差数列 B．新数列是公差为d的等差数列 C．新数列是公差为2d的等差数列 D．新数列是公差为3d的等差数列 5．设数列满足，，，若表示大于的最小整数，如，，记，则数列的前2024项之和为（   ） A．4050 B．4049 C．4048 D．4047 6．设是等差数列的前项和，若，则（   ） A．5 B．7 C．9 D．11 7．等差数列的前16项和为640，前16项中偶数项和与奇数项和之比为11：9，则公差的值分别是（   ） A． B． C． D． 8．记等差数列的前项和为，公差为，若，，则（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知满足，，则下列说法正确的是（    ） A． B．是等差数列 C． D．设的前项和为，则 10．数列的前项和，则（     ） A． B． C．当或6时，数列有最小项 D．是等差数列 11．设等差数列的公差为，前项和为，若，则下列结论正确的是（    ） A．数列是递增数列 B． C． D．中最大的是 三、填空题 12．在等差数列中，，记，则数列的前30项和为 ． 13．等差数列中，若，则的值为 ． 14．记为数列的前项积，已知，，则数列的通项公式为 . 四、解答题 15．设为数列的前n项和，且． (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式． 16．设等差数列的前n项和为，且，（为常数） (1)求a的值； (2)求的通项公式； (3)若，求数列的前n项和 17．已知正项数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)数列满足，求的前项和. 18．记数列的前n项和为，已知， (1)求的通项公式; (2)是否存在m和k，使得是和的等差中项?若存在，求出m和k的值;若不存在，请说明理由. 19．设正项数列的前项和为，满足（）. (1)求证：数列为等差数列； (2)求数列的通项公式. 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B C B A D C ABD ABD 题号 11 答案 BD 1．D 【分析】当时，代入得.将两边同时除以可得，即数列是首项为，公差为1的等差数列.利用等差数列通项公式可得，化简即可求解. 【详解】， ∴当时，，即. ， ∴数列是首项为，公差为1的等差数列， ，即. 故选：D. 2．B 【分析】由等差数列的通项公式，建立方程，可得答案. 【详解】由题意可得，则，解得. 故选：B. 3．B 【分析】根据充分条件和必要条件的概念，结合等差数列的通项公式可得答案. 【详解】当成立时，即存在正整数，对任意的，，都有，则， 若，则，对任意的，都成立，即， 对于数列，满足上述条件，但不是等差数列，故由不能得到. 当成立时，即数列是等差数列，设等差数列的公差为， 则，，， ∴，即恒成立， ∴由能得到. 综上得，是的必要不充分条件. 故选：B. 4．C 【分析】结合已知根据等差数列定义判断即可. 【详解】因为， 所以数列是公差为2d的等差数列. 故选：C 5．B 【分析】变形得到，从而为等差数列，得到，累加法得到，从而，得到，当时，，故，从而求出答案. 【详解】， 故为公差为2的等差数列，首项为， 所以， 则 ， 故， 故，当时，，故， 所以数列的前2024项之和为. 故选：B 6．A 【分析】根据等差数列的性质即可求解. 【详解】由可得，故， ， 故选：A 7．D 【分析】根据给定条件，求出前16项中偶数项和与奇数项和，再利用等差数列性质及前和公式求解. 【详解】在等差数列中，设， 依题意，，解得， 而，， 所以. 故选：D 8．C 【分析】由等差数列的性质有即可判断A；由得，又即可判断C，由即可判断B，由解出即可判断D. 【详解】由有，故A错误； 由，，所以，故C正确； ，故B错误； 由，故D错误. 故选：C. 9．ABD 【分析】两边取倒数，可得，可得是等差数列，逐项计算可判断其正误. 【详解】由，可得， 所以，所以是以为首项，为公差的等差数列， 则，所以，则，故AB正确,C错误； 又， 则，故D正确. 故选：ABD. 10．ABD 【分析】根据作差求出的通项，即可判断A、B，根据二次函数的性质判断C，根据等差数列的定义判断D. 【详解】对于A：因为，当时，故A正确； 对于B：当时， 所以， 经检验时也成立，所以，故B正确； 对于C：因为，所以当或时取得最大值，且，即数列有最大项，故C错误； 对于D：因为，则，又， 所以是首项为，公差为的等差数列，故D正确. 故选：ABD 11．BD 【分析】利用等差数列的前项和公式和等差数列的性质得到，，再利用等差数列的通项公式求得的范围可判断AC；进而得可判断B；利用可判断D，从而得解. 【详解】对于AC：因为， 且， 所以，，又因为， 所以，解得； 所以等差数列是递减数列，故AC错误； 对于B：因为，所以，故C正确； 对于D：因为等差数列是递减数列， 且，，则，， 所以，，故D正确. 故选：BD. 12．755 【分析】根据分组求和，结合等差求和公式求解. 【详解】当时，，当时，， 故 ． 故答案为：755 13．20 【分析】应用等差数列项的性质计算求解. 【详解】因为数列为等差数列，又因为 ，即， 则 . 故答案为：20. 14． 【分析】由题意可得，代入化简得，根据数列为等差数列可求通项公式. 【详解】由题意得，. ∵，∴，即， ∴， ∵，∴， ∴数列是以3为首项，2为公差的等差数列， ∴. 故答案为：. 15．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意化简得到，结合等差数列的定义，即可证得数列是等差数列. （2）由（1），利用等差数列的通项公式，求得，结合当时，，即可求得数列的通项公式. 【详解】（1）由题意，数列满足， 可得，则， 所以． 又由，所以， 所以数列表示首项为2，公差为1的等差数列． （2）由数列表示首项为2，公差为1的等差数列， 可得，所以， 当时，可得． 因为，可得，不适合上式， 所以数列的通项公式为. 16．(1)0 (2) (3) 【分析】（1）利用的关系可求得； （2）由（1）可得 （3）由（2）可得，利用裂项相消法可求得. 【详解】（1）当时，， 当时，， 因为是等差数列，则时也应满足，即， 又，所以，解得； （2）由（1）得 （3）， 17．(1) (2) 【分析】（1）运用之间的关系式，结合等差数列的通项公式计算即可； （2）运用裂项相消法计算即可求解. 【详解】（1）因为， 当时，，解得， 当时，， 两式作差得， 则， 因为，所以，， 所以是以2为首项，2为公差的等差数列，； （2）由（1）知， ， 所以 . 18．(1) (2)存在且或 【分析】（1）利用与的关系式，由等差数列定义即可判断数列是公差为d的等差数列，可得其通项公式； （2）由等差中项性质可得，即求出，再根据整除性质可得存在且或满足题意. 【详解】（1）因为，①， 所以，②， ①-②，得， 化简，得 由，，得，仍适合， 所以数列是公差为d的等差数列， 所以 （2）假设是和的等差中项， 则，即， 化简得， 当时，，则，显然不成立; 当时，由，解得 当时，，则是和的等差中项； 当时，，则是和的等差中项； 当时，，则，不适合题意. 综上，存在且或，使得是和的等差中项. 19．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由，可得，两式相减可得，两式平方可得结论； （2）利用等差数列的通项公式结合（1）得：，配方求解可得，判断，可得结论. 【详解】（1）当时，，整理，又，所以. ，，， ，. ，数列为等差数列，首项为2，公差为4. （2）由（1）得：，，，. 由求根公式可知，.. 学科网（北京）股份有限公司 $$