精品解析：广西柳州柳江中学2024-2025学年高一下学期3月质量检测数学考试题

高一数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第一册，必修第二册第六章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】明确集合，再根据交集的运算求交集即可. 【详解】由，所以， 所以. 故选：B 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由存在量词命题的否定为全程量词命题判断即可. 【详解】由存在量词命题的否定的定义知：命题“”的否定是, 故选：A. 3. 在中，内角所对的边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，利用正弦定理，即可求解. 【详解】由正弦定理，得，解得， 故选：C. 4. 已知单位向量，向量在向量上的投影向量为，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量定义并结合图形即可得出结论. 【详解】如图向量在向量上的投影向量为， 依题意可知， 向量在向量上的投影向量为，所以. 即向量与的夹角为. 故选：A. 5. 已知是周期为4的函数，且时，，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】由函数的周期为4，可得，将代入解析式，即可得答案. 【详解】解：因为是周期为4的函数， 且时，， . 故选：A. 6 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用指数式和对数式的互化以及对数的运算性质即可求解. 【详解】，则， 即. 故选：C. 7. 如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D，现测得，米，在点C处测得塔顶A的仰角为，在点D处测得塔顶A的仰角为，则铁塔的高度为（ ） A. 80米 B. 100米 C. 112米 D. 120米 【答案】B 【解析】 【分析】设，则有，，在中用余弦定理求解. 【详解】设，由，，，， 知，． 在中，因，米， 由余弦定理，得，解得米． 故选：B． 8. 已知点是菱形所在平面内的一点，若菱形的边长为定值，且的最小值为，则该菱形的边长为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】以菱形的对角线为坐标轴，对角线的交点为坐标原点建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算及基本不等式求解即可. 【详解】解：由，可建立如图所示平面直角坐标系， 设，， 则， 所以， 则 ， 故， 所以. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于向量，下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AB 【解析】 【分析】依据向量加法的三角形法则可判断A，依据向量的概念可判断BC，依据平行向量的概念可判断D. 【详解】，当且仅当方向相同或中至少有一个零向量时等号成立，A正确； 当时，，B正确； 若和无法比较大小，C错误； 当时，与可能不共线，D错误. 故选：AB. 10. 已知幂函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数为偶函数 C. 不等式的解集为 D. 若函数在上单调递增，则实数取值范围为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用幂函数的概念求解析式，从而可判断ABC，利用分段函数单调性，结合分界点的端点值大小比较，可判断D. 【详解】由幂函数的定义，知，故，所以，A错误； 由，得函数为偶函数，B正确； 由，得，解得，C正确； 若函数在上单调递增，必有解得，D错误. 故选：BC. 11. 在锐角中，内角所对的边分别为，且，则（ ） A. B C. D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据已知条件结合正弦定理边化角得到，利用三角形内角关系及两角和的正弦公式整理式子得到，判断A选项；根据，即三角形形状得到关于角的不等式，解不等式即可确定角的取值范围，即可判断B；根据化为，利用基本不等式即可求最值，即可判断C；由已知条件将边化成角，再根据角的范围即可求出的范围，即可判断D. 【详解】由正弦定理及，得， 即，， 整理得，又，， 所以，故，，A错误； 由，得，又为锐角三角形， 所以解得，B正确； （当且仅当，即时取等号），C正确； 由，得，由正弦定理得： 即， 所以 . 又，所以，故，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，内角所对的边分别为，且，则__________. 【答案】3 【解析】 【分析】由余弦定理即可求解； 【详解】由余弦定理知， 即， 整理得，解得.（负值舍去） 故答案为：3 13. 函数的最大值为______. 【答案】1 【解析】 【分析】先利用诱导公式把函数化成的形式，再结合正弦函数的值域求函数的最大值. 【详解】因为， 所以（当，即，取“”）. 故答案为：1 14. 已知为内切圆的圆心，且，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】取的中点，则，代入等式可证三点共线.设 ，由直角三角形性质以及三角形相似可求出各边长，从而求出比例关系. 【详解】如图，设的中点，圆与分别相切于点，由为的中点，知. 又，所以，即则三点共线. 因为为的内切圆的圆心，所以. 不妨设，则. 在中，. 由，知，即，解得，且， 又，所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知点. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】依据向量平行和垂直的坐标表示形式来求得的值即可. 【小问1详解】 由题知，. 若，则， 解得，故实数的值为. 【小问2详解】 若，则，整理得， 解得或. 16. 在中，内角所对的边分别为，且. （1）求； （2）若的面积为，求. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）对给定式子合理变形，结合余弦定理求解角度即可. （2）利用三角形面积公式求出，再结合给定条件利用余弦定理建立方程，求解边长即可. 【小问1详解】 因为，所以， 整理得，则， 由余弦定理得. 又，解得. 【小问2详解】 由的面积为，得， 即，解得， 由余弦定理得， 因为，，所以， 即，而，解得. 17. 已知函数（且，）的图象过点，. （1）求的解析式； （2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把已知点代入函数解析式，解方程组可求的值，得函数的解析式. （2）分析函数的单调性，根据单调性，把函数不等式转化成代数不等式，再分离参数，利用基本不等式求最值即可. 【小问1详解】 因为函数的图象过点，， 所以，解得. 故. 【小问2详解】 因为，，都为增函数，且， 所以函数在上单调递增， 所以不等式恒成立等价于恒成立， 即恒成立. 设，则，， 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 故实数的取值范围是. 18. 若函数满足，且，则称函数为“函数”.已知函数为“函数”. （1）求函数的解析式； （2）求不等式的解集； （3）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度，得到的图象关于轴对称，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）由题意得“函数”是周期为6的函数，且为其的一条对称轴，结合三角函数的周期及对称性即可求解； （2）由（1）知，利用三角函数的性质解不等式即可； （3）根据三角函数的图象变换及奇偶性即可求解. 【小问1详解】 由，得， 所以是周期为6的函数， 由，得， 所以是的一条对称轴， 因为函数为“函数”，所以， 是的一条对称轴，所以. 因为，所以， 所以函数的解析式为. 【小问2详解】 由（1）知，，即， 所以， 解得， 即不等式的解集为. 【小问3详解】 将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变）， 得到函数， 再将所得图象向左平移个单位长度， 得到， 因为的图象关于轴对称， 所以，解得. 因为，所以时，取最小值，为. 19. 如图，在中，，点为和的交点，设. （1）若，求的值； （2）若与的夹角为，求的面积； （3）若在上，，且，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）通过向量，得，求出向量表达式； （2）应用三角形面积公式及，有即可求面积； （3）已知向量的长度，以及，利用向量的正交条件和长度关系来确定比例的范围. 【小问1详解】 设，则， 所以， 所以，解得，所以， 又，所以. 【小问2详解】 ， 由（1）知，，所以， 所以的面积. 【小问3详解】 由（1）知，， 所以. 设与的夹角为，其中， 则 而， 因为，所以， 即， 所以，所以. 因为，所以，所以，解得， 所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第一册，必修第二册第六章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 在中，内角所对的边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知单位向量，向量在向量上的投影向量为，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 5. 已知是周期为4的函数，且时，，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3 6 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D，现测得，米，在点C处测得塔顶A的仰角为，在点D处测得塔顶A的仰角为，则铁塔的高度为（ ） A. 80米 B. 100米 C. 112米 D. 120米 8. 已知点是菱形所在平面内一点，若菱形的边长为定值，且的最小值为，则该菱形的边长为（ ） A B. C. 2 D. 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于向量，下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知幂函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数为偶函数 C. 不等式的解集为 D. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围为 11. 在锐角中，内角所对的边分别为，且，则（ ） A. B. C. D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，内角所对的边分别为，且，则__________. 13. 函数的最大值为______. 14. 已知为内切圆圆心，且，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知点. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值. 16. 在中，内角所对的边分别为，且. （1）求； （2）若的面积为，求. 17. 已知函数（且，）的图象过点，. （1）求解析式； （2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 18. 若函数满足，且，则称函数为“函数”.已知函数为“函数”. （1）求函数的解析式； （2）求不等式的解集； （3）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度，得到的图象关于轴对称，求的最小值. 19. 如图，在中，，点为和的交点，设. （1）若，求的值； （2）若与的夹角为，求的面积； （3）若在上，，且，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$