精品解析：贵州省毕节市织金县第二中学2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试题

高一联考数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册占，必修第二册第六章第1节至第3节占. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量的加法运算及数乘运算可得结果. 【详解】由题意得，. 故选：B. 2. 已知集合，则集合中的元素个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据，根据集合的交运算即可求解. 【详解】由， 由， 故，故中的元素个数是4. 故选：C 3. 若向量，且，则（ ） A. 28 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，结合，列出方程，即可求解. 【详解】由向量， 因为，可得，即，解得. 故选：D. 4. 已知点是线段上靠近点的一个三等分点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得，计算坐标，再得出坐标. 【详解】由题意可得，， 设，则，所以， 即，解得 故选：B 5. 如图1，这是杭州第19届亚运会会徽，名为“潮涌”.如图2，这是“潮涌”的平面图，若，则图形的面积与扇形的面积的比值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设扇形的圆心角为，利用扇形的面积公式，分别求得扇形和的面积，进而求得图形的面积与扇形的面积的比值，得到答案. 【详解】解：设扇形的圆心角为， 可得扇形的面积为，扇形的面积为， 因为，所以，即， 所以图形的面积与扇形的面积的比值. 故选：D. 6. 已知向量，且的夹角为锐角，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据夹角公式判断出，同时需排除两向量同向共线的情况. 【详解】由夹角公式，的夹角为锐角，即， 即，解得； 当共线时，，解得， 此时满足，此时两向量夹角为， 于是的夹角为锐角时，. 故选：A 7. 某企业研发一款新产品，计划第一年投入研发经费10万元，此后每年投入的研发经费比上一年增长.若第年投入的研发经费首次超过20万元，则（ ）（参考数据：） A. 4 B. 5 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】依题意可得第年投入的研发经费为万元，令，根据指数函数的性质及对数的运算性质求出的取值范围，即可得解. 【详解】依题意可得第年投入的研发经费为万元， 令，即， 所以 ， 所以，又，所以的最小值为，即第年投入的研发经费首次超过20万元. 故选：B 8. 若向量满足，且向量与向量的夹角为，则的最大值是（ ） A. B. 40 C. 64 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，设，结合向量的坐标运算，再由三角函数的性质即可得到最值. 【详解】因为，且向量与向量的夹角为， 设，其中， 则 ，其中， 因为，当时， 有最大值. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 我们把既有大小又有方向的量叫作向量 B. 单位向量是相等向量 C. 零向量与任意向量平行 D. 向量的模可以比较大小 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据向量的定义以及单位向量，零向量的定义，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，我们把既有大小又有方向的量叫作向量，A正确， 对于B，单位向量是长度为1的向量，方向不确定，故不一定是相等向量，B错误， 对于C， 零向量与任意向量平行，C正确， 对于D，向量的模长是实数，故可以比较大小，D正确. 故选：ACD 10. 已知向量和均不共线，且，则向量可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据条件可得不共线，结合共线向量的坐标表示可得结果. 【详解】由题意得，不共线. A.∵，∴不共线，A正确. B.∵，∴，故为共线向量，B错误. C. ∵，∴不共线，C正确. D.∵，∴，故为共线向量，D错误. 故选：AC. 11. 已知函数的最小正周期为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 的值域为 D. 在上单调递减 【答案】ABD 【解析】 【分析】首先得到，即可求出函数的最小正周期，求出，即可判断A，再由判断B，求出函数在上的值域，即可判断C，结合函数解析式及正弦函数的性质判断D. 【详解】对于A：因为 因为函数的最小正周期为； 则函数的最小正周期为， 所以的最小正周期为，所以，则， 此时，则 ，符合题意，故A正确； 对于B：因为， 则， 所以的图象关于直线对称，故B正确； 对于C：因为的最小正周期为，所以只需研究函数在上的值域即可， 当，则，此时， 则，所以，所以； 即的值域为，故C错误； 对于D：当时，则， 因为在上单调递减，所以在上单调递减，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用投影向量的概念求解即可. 【详解】∵向量，，则，， 所以在向量方向上的投影向量为. 故答案为：. 13. 已知为正六边形的中心，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先由正六边形结构性质得、和即可由数量积定义计算得解. 【详解】由正六边形性质可知，为正三角形，且， 所以，， 所以. 故答案为： 14. 已知函数是定义在上的偶函数，且，当时，，则当时，__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先根据函数的奇偶性可得，结合可知函数是周期为4的周期函数.再根据当时的函数解析式，利用周期性和奇偶性即可求解. 【详解】∵函数是定义在上的偶函数，. 又，. 以代替可得， ∴函数是周期为4的周期函数. 当时，. ∵当时，，∴. 由周期性可得， . 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量满足. （1）若向量的夹角为，求的值； （2）若，求向量的坐标. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据题意，由向量的模长公式代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，设，然后列出方程，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 因为，且向量的夹角为， 则， 则. 【小问2详解】 设，因为，且， 则，解得或， 所以或. 16. 已知函数（，且），且． （1）求的值； （2）判断的奇偶性并证明你的结论； （3）若不等式恒成立，求t的取值范围． 【答案】（1）； （2） 由（1）知， 函数的定义域为R， ， 所以是R上的奇函数； （3）. 【解析】 【分析】（1）把给定条件代入函数式求出参数值； （2）利用函数奇偶性定义判断并证明； （3）确定函数的单调性，结合奇函数的性质求解不等式即可. 【小问1详解】 函数中，由，得，而， 所以； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 函数都是R上的增函数，则是R上的增函数， 不等式， 因此，即，则， 解，得或； 解，即，得. 于是， 所以t的取值范围是. 17. 如图，四边形是等腰梯形，，是线段的中点，在线段上. （1）若是线段的中点，且，求； （2）若是线段的中点，且，求梯形的面积； （3）若，且，求的值. 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）取的三等分点（靠近），连接，在中，由勾股定理的逆定理可得，，从而得，，在中，由余弦定理求解即可； （2）以为原点，所以直线为轴，过且垂直的直线为轴，建立平面直线坐标系，设等腰梯形的高为，利用向量的坐标运算，求出的值，再由梯形的面积公式求解即可； （3）当时，由（2）可知，设，由向量的坐标运算可得，再求出，即可得答案. 【小问1详解】 解：取的三等分点（靠近），连接， 易知四边形为平行四边形， 所以, 所以, 在中，, 所以, 所以为直角三角形，， 所以， 所以，， 在中，， 由余弦定理可得：， 所以， 即； 【小问2详解】 解：以为原点，所以直线为轴，过且垂直的直线为轴，建立如图所示的坐标系： 设等腰梯形的高为， 则有， 所以， 所以， 解得， 所以； 【小问3详解】 解：当时，由（2）可知， 所以，，， 设，则， 所以， 解得， 所以， 所以. 18. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求的解析式； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象. ①若，求的值； ②若对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据得，利用结合函数的周期得，由此可得函数解析式. （2）①求出函数的解析式，利用二倍角公式及同角三角函数的关系可得，的值，根据两角和的余弦公式可得结果. ②求出的值域，条件转化为，由此可得结果. 【小问1详解】 由得，， ∵，∴，. 由得，， ∴，故， 设函数的最小正周期为， 由图象得，，∴，故， ∴. 【小问2详解】 ①由题意得，. ∵，∴，， ∴. ②∵，∴， ∴，故. ∵对任意的恒成立， ∴恒成立，即， ∴，即， ∴的取值范围是. 19. 在平行四边形中，与交于点. （1）若，求； （2）已知. ①若为的重心，求； ②若为线段上一动点，求的最小值. 【答案】（1）， （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据平面向量线性运算法则及平面向量基本定理计算可得； （2）①以、为基底，表示出、，再根据数量积的运算律计算可得；②设，以、为基底，表示出、，再根据数量积的运算律及二次函数的性质计算可得. 【小问1详解】 依题意， 设，因为， 所以， 因为、、三点共线， 设， 因为、不共线，所以，解得， 所以，又，所以； 【小问2详解】 ①因为，所以， 因为为的重心，所以 ， 所以 . ②因为， 又为线段上一动点， 设， 所以， ， 所以 ，所以当时取得最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一联考数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册占，必修第二册第六章第1节至第3节占. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则集合中的元素个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 若向量，且，则（ ） A. 28 B. C. D. 4. 已知点是线段上靠近点的一个三等分点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 如图1，这是杭州第19届亚运会会徽，名为“潮涌”.如图2，这是“潮涌”的平面图，若，则图形的面积与扇形的面积的比值是（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，且的夹角为锐角，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 某企业研发一款新产品，计划第一年投入研发经费10万元，此后每年投入的研发经费比上一年增长.若第年投入的研发经费首次超过20万元，则（ ）（参考数据：） A. 4 B. 5 C. 7 D. 8 8. 若向量满足，且向量与向量的夹角为，则的最大值是（ ） A. B. 40 C. 64 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 我们把既有大小又有方向的量叫作向量 B. 单位向量是相等向量 C. 零向量与任意向量平行 D. 向量的模可以比较大小 10. 已知向量和均不共线，且，则向量可以是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数的最小正周期为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 的值域为 D. 在上单调递减 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是__________. 13. 已知为正六边形的中心，且，则__________. 14. 已知函数是定义在上的偶函数，且，当时，，则当时，__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量满足. （1）若向量的夹角为，求的值； （2）若，求向量的坐标. 16. 已知函数（，且），且． （1）求的值； （2）判断的奇偶性并证明你的结论； （3）若不等式恒成立，求t的取值范围． 17. 如图，四边形是等腰梯形，，是线段的中点，在线段上. （1）若是线段的中点，且，求； （2）若是线段的中点，且，求梯形的面积； （3）若，且，求的值. 18. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求的解析式； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象. ①若，求的值； ②若对任意的恒成立，求的取值范围. 19. 在平行四边形中，与交于点. （1）若，求； （2）已知. ①若为的重心，求； ②若为线段上一动点，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $