精品解析：甘肃省白银市第八中学2024-2025学年高三上学期12月质量检测数学试题

2024—2025学年（上）高三年级12月质量检测 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.回答非选择题时，将答案写在答题纸上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 已知复数，则复数在复平面内所对应的点的坐标为（ ） A. （3，1） B. C. D. 2. 已知集合，则的元素个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 无数 3. 在平行四边形中，点是边上的点，，点是线段的中点，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 4. 已知球的表面积为，一圆台的上、下底面圆周都在球的球面上，且下底面过球心，母线与下底面所成角为，则该圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 5. 2025年1月西藏定日发生6.8级地震，已知（里氏震级）的计算公式为（其中是被测地震最大振幅，常数是“标准地震”的振幅），5级地震给人的震感已比较明显，则定日这次地震的最大振幅大约是5级地震最大振幅的（ ）倍．（参考数据：） A. 1.8 B. 18 C. 63 D. 128 6. 已知点在双曲线上，且点到的两条渐近线的距离之积等于，则的离心率为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 7. 在中，角所对的边分别为，且，，则（ ） A. B. C. D. 8. 设是椭圆的上顶点，是上的一个动点．当运动到下顶点时，取得最大值，则的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某位射击运动员的两组训练数据如下：第一组：10，7，7，8，8，9，7；第二组：10，5，5，8，9，9，10．则（ ） A. 两组数据的平均数相等 B. 第一组数据的方差大于第二组数据的方差 C. 两组数据的极差相等 D. 第一组数据的中位数小于第二组数据的中位数 10. 下列说法正确的是（ ） A. 在一元线性回归分析中，如果回归系数的值为正，说明变量间存在正相关关系 B. 的最小正周期为 C. 决定系数越接近1，则残差平方和越小，说明拟合效果好 D. 在一元线性回归分析中，如果的值为，说明变量间存在微弱相关关系 11. 已知函数为奇函数，函数的图象关于直线对称，且当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为4 B. C. D. 函数的图象关于点对称 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 记为数列的前n项和，若，求_______． 13. 的展开式中，的系数是______． 14. 在正三棱锥中，，点在内部运动（包括边界），点到棱的距离分别记为，且，则点运动路径的长度为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 某生产工厂生产优质钢索，现需要通过不同场次进行钢索检索抽查．现从机器内随机选取了40组（各20组），记录了他们不同米数，并将数据整理如下表： 米数 组别 0～20 21～50 51～80 81～100 A 1 2 3 8 6 B 0 3 7 8 2 米数超过被系统评定为“优质”，否则被系统评定为“备选”． （1）利用样本估计总体的思想，试估计工厂中米数超过的概率； （2）根据题意完成下面的列联表，并据此判断能否有的把握认为“评定类型”与“组别”有关？ 优质 备选 总计 A B 总计 附：，其中． 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 已知数列满足．设． （1）求证：数列是等比数列，并求数列通项公式； （2）设数列，且对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 17. 椭圆：，左、右顶点分别为A，B，上顶点为C，原点为，P是椭圆上一点.，面积的最大值为6. （1）求椭圆的方程和离心率； （2）当点P不与椭圆顶点重合时，记直线与椭圆的另一个交点为，交直线为D，直线交x轴为E.求证：直线与直线的斜率之积为定值. 18. 已知函数，. （1）求斜率为1的切线方程； （2）若对于任意，任意，总有，求的最大值； （3）若有4个极值点，求的取值范围. 19. 如图，在空间直角坐标系中，点分别在轴上（点异于点），且. （1）当（表示面积）取得最大值时，求点到平面的距离. （2）若，动点在线段上（含端点），探究：是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. （3）记平面与平面、平面、平面的夹角分别为，比较与1的大小关系，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年（上）高三年级12月质量检测 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.回答非选择题时，将答案写在答题纸上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 已知复数，则复数在复平面内所对应的点的坐标为（ ） A. （3，1） B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简复数，即可得到复数对应点的坐标. 【详解】由，可得复数在复平面内所对应的点的坐标为，故选B． 2. 已知集合，则的元素个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 无数 【答案】B 【解析】 【分析】依题意，转换为两函数图象交点问题，联立方程组求解，从而得到答案. 【详解】联立，整理得， 解得，则，即，有1个元素. 故选：. 3. 在平行四边形中，点是边上的点，，点是线段的中点，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，及即可求解. 【详解】 因为点是线段的中点， 所以， 又， 所以， 所以， 故选：C 4. 已知球的表面积为，一圆台的上、下底面圆周都在球的球面上，且下底面过球心，母线与下底面所成角为，则该圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出球的半径，求出圆台上下底面的半径，圆台的母线，由圆台的侧面展图形是扇环，利用圆台的侧面积公式可求圆台的侧面积. 【详解】作出示意图如图所示： 设球的半径为，由题意可得，所以是等边三角形， 所以，所以， 因为球的表面积为，所以，解得，所以， 所以， 所以圆台的侧面积为. 故选：B. 5. 2025年1月西藏定日发生6.8级地震，已知（里氏震级）的计算公式为（其中是被测地震最大振幅，常数是“标准地震”的振幅），5级地震给人的震感已比较明显，则定日这次地震的最大振幅大约是5级地震最大振幅的（ ）倍．（参考数据：） A. 1.8 B. 18 C. 63 D. 128 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得，进而求出和时地震的最大振幅，进而求解即可. 【详解】由，则，即， 当时，地震最大振幅为， 当时，地震最大振幅为， 则. 故选：C. 6. 已知点在双曲线上，且点到的两条渐近线的距离之积等于，则的离心率为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，将点坐标代入双曲线方程中可得.求出点坐标代入双曲线的两条渐近线的距离之积，结合化简可得的其次方程，即可求解离心率. 【详解】设. ∵点在双曲线上，，即. 又双曲线的两条渐近线分别为和， 点到双曲线的两条渐近线的距离之积为： ， ，即. 又，，，. 故选：D. 7. 在中，角所对的边分别为，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用以及两角和差的余弦公式化简即可求得，再根据角的范围求得，进而求出角. 【详解】 ， 则 ， 则， 因，则，则，则，得，，故. 故选：A. 8. 设是椭圆的上顶点，是上的一个动点．当运动到下顶点时，取得最大值，则的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，由，求出消元可得，，再根据以及二次函数的性质可知，，即可解出． 【详解】设，，因为，， 所以，， 由题意知当时，取得最大值，所以，可得，即，则． 故选：B． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某位射击运动员的两组训练数据如下：第一组：10，7，7，8，8，9，7；第二组：10，5，5，8，9，9，10．则（ ） A. 两组数据的平均数相等 B. 第一组数据的方差大于第二组数据的方差 C. 两组数据的极差相等 D. 第一组数据的中位数小于第二组数据的中位数 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意，由平均数，方差，极差以及中位数的定义，代入计算，即可判断. 【详解】第一组数据从小到大排序为：， 其平均数为， 其方差为， 其极差为， 其中位数为：； 第二组数据从小到大排序为：， 其平均数为， 其方差， 其极差为， 其中位数为： 所以AD正确，BC错误； 故选：AD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 在一元线性回归分析中，如果回归系数的值为正，说明变量间存在正相关关系 B. 的最小正周期为 C. 决定系数越接近1，则残差平方和越小，说明拟合效果好 D. 在一元线性回归分析中，如果的值为，说明变量间存在微弱相关关系 【答案】AC 【解析】 【分析】根据正负相关关系定义判断A；根据周期函数定义判断B；根据决定系数的概念可判定C；根据相关系数的概念可判定D. 【详解】在一元线性回归分析中， 如果回归系数的值为正，说明变量间存在正相关关系，A正确； ， 则， 故不是周期函数，B错误； 决定系数越大，残差平方和越小，效果越好，故C正确； 在一元线性回归分析中，越接近于1，说明变量间线性相关程度越强，D错误. 故选：AC 11. 已知函数为奇函数，函数的图象关于直线对称，且当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为4 B. C. D. 函数的图象关于点对称 【答案】BCD 【解析】 【分析】由的图象关于直线对称与可判断选项正误B，D，由题可得的图象关于点对称，然后由的图象关于直线对称可画出的大致图象，即可完成判断A；函数得，后由可完成判断C； 【详解】对于B，因为函数的图象关于直线对称，且，所以，所以B正确； 对于D，由题意可知，，即，所以函数的图象关于点对称，所以D正确； 对于A：应用函数对称性得函数的图象如图所示，所以函数不是周期函数， 对于C，由函数的图象关于点对称，得， 注意到，又的图象关于直线对称， 则，，所以C正确； 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 记为数列的前n项和，若，求_______． 【答案】64 【解析】 【分析】由得，数列是以2为公比，1为首项的等比数列，利用等比数列的通项公式即可求解 【详解】由有，当时，得， 当时，， 所以数列是以2为公比，1为首项的等比数列， 所以，所以. 故答案为：. 13. 的展开式中，的系数是______． 【答案】 【解析】 【分析】写出展开式通项，对照所求项，求出参数的值，代入通项即可得解. 【详解】的展开式通项为， 的展开式通项为， 所以的展开式通项为， 由可得， 因此展开式中的系数为. 故答案为：. 14. 在正三棱锥中，，点在内部运动（包括边界），点到棱的距离分别记为，且，则点运动路径的长度为_______． 【答案】 【解析】 【分析】分析可知，结合正三棱锥可得在底面内的投影为底面的中心，且，做辅助线结合长方体的性质可得，即可知点的轨迹是以点为圆心，半径的圆的一部分即可求解. 【详解】由题意可知：， 则， 可知， 因为三棱锥为正三棱锥，则点在底面内的投影为底面的中心， 取的中点，则，， 设点在平面、平面和平面内的投影分别为、和， 根据正三棱锥的结构特征，可以以为邻边作长方体， 则平面，平面，则，即， 同理可知：， 由长方体的性质可知：， 可得，即， 又因为平面，平面， 则，可得， 可知点在以点为圆心，半径的圆上， 因为，可知与圆相交， 设圆与交于两点，则， 可知为等边三角形，则， 结合对称性可知点运动路径的长度为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 某生产工厂生产优质钢索，现需要通过不同场次进行钢索检索抽查．现从机器内随机选取了40组（各20组），记录了他们不同米数，并将数据整理如下表： 米数 组别 0～20 21～50 51～80 81～100 A 1 2 3 8 6 B 0 3 7 8 2 米数超过被系统评定为“优质”，否则被系统评定为“备选”． （1）利用样本估计总体的思想，试估计工厂中米数超过的概率； （2）根据题意完成下面的列联表，并据此判断能否有的把握认为“评定类型”与“组别”有关？ 优质 备选 总计 A B 总计 附：，其中． 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） （2）列联表完成如下， 优质 备选 总计 A 14 6 20 B 10 10 20 总计 24 16 40 没有的把握认为“评定类型”与“组别”有关.【解析】 【分析】（1）根据样本估计总体即可； （2）利用独立性检验思想求解. 【小问1详解】 由题可得，样本米数超过的频率为， 根据样本估计总体的思想，估计工厂中米数超过的概率为. 【小问2详解】 根据题意，列联表完成如下， 优质 备选 总计 A 14 6 20 B 10 10 20 总计 24 16 40 零假设：“评定类型”与“组别”无关， 则， 所以零假设成立，即“评定类型”与“组别”无关， 所以没有的把握认为“评定类型”与“组别”有关. 16. 已知数列满足．设． （1）求证：数列是等比数列，并求数列通项公式； （2）设数列，且对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） 由， 可得， 即数列是首项和公比均为3的等比数列， （2） 【解析】 【分析】（1）由数列的递推式，两边同时加上2，结合等比数列的定义和通项公式，可得所求； （2）求得，推得递减，可得，由不等式恒成立思想，可得所求取值范围． 【小问1详解】 则，即； 【小问2详解】 数列， 则， 可得递减，可得，对任意正整数，不等式恒成立， 可得，即的取值范围是. 17. 椭圆：，左、右顶点分别为A，B，上顶点为C，原点为，P是椭圆上一点.，面积的最大值为6. （1）求椭圆的方程和离心率； （2）当点P不与椭圆顶点重合时，记直线与椭圆的另一个交点为，交直线为D，直线交x轴为E.求证：直线与直线的斜率之积为定值. 【答案】（1）， （2）证明如下： 不妨设点，由椭圆的对称性可知， 直线的斜率为，故直线的方程为， 令，得点纵坐标； 直线的斜率为，故直线的方程为， 令，得点横坐标， 所以直线的斜率为， 直线的斜率为， 故直线和直线的斜率之积为 ， 因为点在椭圆上，所以有， 也即，代入斜率之积的表达式的三次项中， 得为定值. 【解析】 【分析】（1）由长轴长得，当点在椭圆上下顶点时，面积取得最大值， 由此求得，即得椭圆的方程，有平方关系可得，即求得离心率； （2）先设点的坐标，由椭圆的对称性得点的坐标， 再分别写出直线和直线的方程得点和的坐标， 由此得到的表达式，结合点在椭圆上代入化简即可证明. 【小问1详解】 由题意知，当点在椭圆上下顶点时， 面积取得最大值，即， 所以椭圆方程为，，所以离心率； 【小问2详解】 18. 已知函数，. （1）求斜率为1的切线方程； （2）若对于任意，任意，总有，求的最大值； （3）若有4个极值点，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求得斜率，利用点斜式写出方程； （2）利用导数研究函数的最小值，求得最小值为，利用导数研究函数的单调性和极值，进而根据题意得到的取值范围； （3）利用导数分析，根据极值存在的条件，并作换元，转化为函数 与直线在 内有2个不同的交点，利用对数函数的图像和直线的图像，即可得到实数的取值范围. 【小问1详解】 ,令， ，故切点为， 切线方程为； 【小问2详解】 分析 在 的最小值： ， 时,单调递减； 时 ,单调递增； . 分析在的最大值： 导数. 在或时,单调递增； 时,单调递减. 在处有极大值，在处有极小值. 令，解得， 当时，在内单调递增，趋近于. 保证； 当时，在内的最大值严格小于， 因此，的最大值为； 【小问3详解】 极值点满足，即：， 令 ，则，方程变为： 根据题意，此方程应当有四个不同的实数根 函数与直线在内有2个不同的交点， 函数在 内单调递减，以直线为渐近线， , 直线横截距为1，斜率为, 设,, ，所以, 此时，函数与直线在内有2个不同的交点， 交点横坐标分别记为，在每一个值的左右两函数值的差出现正负变号， 从而对应方程：的4个实数根的每一个的左右的值出现 正负变号，因此函数有4个极值点， 综上，实数的取值范围是. 19. 如图，在空间直角坐标系中，点分别在轴上（点异于点），且. （1）当（表示面积）取得最大值时，求点到平面的距离. （2）若，动点在线段上（含端点），探究：是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. （3）记平面与平面、平面、平面的夹角分别为，比较与1的大小关系，并说明理由. 【答案】（1）; （2）存在，; （3）结论：.下面给出证明： 同（1）设的长度分别为，则. 显然平面的一个法向量为. 设平面的法向量为， 则可取， 所以， 同理得， 故有. 要证.， 即证①. 事实上，有， 化简得， 则①式得证，故， 当且仅当即时等号成立，命题得证. 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式可求得取得最大值时，,再利用三棱锥的等体积法求出点到平面的距离； （2）利用空间向量坐标运算，结合参数表示线面角的正弦值，解方程即可得出参数值，进而得出结论； （3）利用空间向量坐标运算求出平面的法向量，再求出面面角的余弦值，利用基本不等式可得到结论并得证. 【小问1详解】 不妨设，则且， 故， 当且仅当时等号成立，取得最大值，此时. 记点到平面的距离为. 因为， 又， 所以，解得. 所以，点到平面的距离为. 【小问2详解】 由题可知， 故. 设，则. 设为平面的法向量， 则即可取. 记直线与平面所成的角为， 则， 解得，则. 所以,存在线段的中点满足题意，此时. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $