2025年广东省数学中考一轮复习之最后一题（压轴题）

2025年广东数学中考一轮复习之最后一题（压轴题） 一、解答题 1．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，．抛物线的对称轴与经过点的直线交于点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）若在抛物线上存在点，使得是以为直角边的直角三角形，求出所有点的坐标； （3）以点为圆心，画半径为的圆，为上一个动点，请求出的最小值． 2．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，交轴于点，且． （1）如图，求抛物线的解析式； （2）如图，点是第一象限抛物线上一点，其横坐标为，连接，交轴于点，的面积为，求与之间的函数关系式； （3）如图，在（）的条件下，点在上（点不与点重合），过点作轴交抛物线于点，交于点，连接，点在上，连接，交于点，若，，，求点坐标． 3．如图，在菱形中，，，点，分别在边，上，连接，． （1）如图（），若，分别是边，的中点，连接，则______ （2）当时，请回答下列问题： ①如图（），求的值； ②如图（），若平分时，求的值； ③如图（），若时，求的值． 4．在平面直角坐标系中，已知点A在y轴正半轴上． （1）如果四个点中恰有三个点在二次函数（a为常数，且）的图像上． ① ： ②如图1，已知菱形的顶点B、C、D在该二次函数的图象上，且轴，求点D的坐标； ③如图2，已知正方形的顶点B、D在该二次函数的图象上，点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，试探究是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由． （2）已知正方形的顶点B、D在二次函数（a为常数，且）的图像上，点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，直接写出m、n满足的等量关系式． 5．把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．已知：∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=10cm．如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动；当点P移动到点B时，点P停止移动，△DEF也随之停止移动．DE与AC交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）． （1）用含t的代数式表示线段AP和AQ的长，并写出t的取值范围； （2）连接PE，设四边形APEQ的面积为y（cm2），试探究y的最大值； （3）当t为何值时，△APQ是等腰三角形． 6．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC的角平分线交AC上点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，△BEF的外接圆⊙O与CB交于点D． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若BC＝9，EH＝3，求⊙O的半径长； （3）如图2，在（2）的条件下，过C作CP⊥AB于P，求CP的长． 7．如图 （1）问题背景：如图1，∠ACB=∠ADE=90°，AC=BC，AD=DE．求证：△ABE∽△ACD； （2）尝试应用：如图2，E为正方形ABCD外一点，∠BED=45°，过点D作DF⊥BE，垂足为F，连接CF.求 的值； （3）拓展创新：如图3，四边形ABCD是正方形，点F是线段CD上一点，以AF为对角线作正方形AEFG，连接DE，BG．当DF=1， 时，则BG的长为　 　． 8．如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+4经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1． （1）求抛物线的表达式； （2）D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标； （3）若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由． 9．已知：抛物线：. （1）若顶点坐标为，求b和c的值（用含a的代数式表示）； （2）当时，求函数的最大值； （3）若不论m为任何实数，直线与抛物线有且只有一个公共点，求a，b，c的值；此时，若时，抛物线的最小值为k，求k的值. 10．问题：如何设计击球路线？情境：某校羽毛球社团的同学们经常运用数学知识对羽毛球技术进行分析，下面是他们对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，球网AB与y轴的水平距离OA＝3m，击球点P在y轴上． 击球方案： 扣球 羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足一次函数关系C1：y＝﹣0.4x+b，当羽毛球的水平距离为1m时，飞行高度为2.4m． 吊球 羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足二次函数关系C2，此时当羽毛球飞行的水平距离是1米时，达到最大高度3.2米． 高远球 羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足二次函数关系C3：y＝a（x﹣n）2+h，且飞行的最大高度在4.8m和5.8m之间． 探究： （1）求扣球和吊球时，求羽毛球飞行满足的函数表达式； （2）①若选择扣球的方式，刚好能使球过网，求球网AB的高度为多少； ②若选择吊球的方式，求羽毛球落地点到球网的距离； （3） 通过对本次训练进行分析，若高远球的击球位置P保持不变，接球人站在离球网4m处，他可前后移动各1m，接球的高度为2.8m，要使得这类高远球刚好让接球人接到，请求出此类高远球抛物线解析式a的取值范围． 11．综合与实践“求真”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究． 提出问题：如图1，在线段AC同侧有两点B，D，连接AD，AB，BC，CD，如果，那么A，B，C，D四点在同一个圆上． 探究展示：如图2，作经过点A，C，D的，在劣弧AC上取一点E（不与A，C重合），连接AE，CE，则（依据1） ，， 点A，B，C，E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）， 点B，D在点A，C，E所确定的上（依据2）， 点A，B，C，D四点在同一个圆上． 反思归纳： （1）上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？ 依据1：　 　；依据2：　 　． （2）如图3，在四边形ABCD中，，，则的度数为　 　． （3）拓展探究： 如图4，已知是等腰三角形，，点D在BC上（不与BC的中点重合），连接AD．作点C关于AD的对称点E，连接EB并延长交AD的延长线于F，连接AE，DE． ①求证：A，D，B，E四点共圆； ②若，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由． 12． 在平面直角坐标系中，设直线l的解析式为：（k、m为常数且），当直线l与一条曲线有且只有一个公共点时，我们称直线l与这条曲线“相切”，这个公共点叫做“切点”． （1）求直线l：与双曲线的切点坐标； （2）已知一次函数，二次函数，是否存在二次函数，其图象经过点，使得直线与，都相切于同一点？若存在，求出的解析式；若不存在，请说明理由； （3）在（2）的条件下，抛物线的顶点坐标为B，点P为y轴上一点．在平面内存在点M，使，且这样的点P有且只有一个，则点P的坐标为　 　． 13． 如图1，已知正方形ABCD的边长为1，点P是AD边上的一个动点，点A关于直线BP的对称点是点Q，连接PQ、DQ、CQ、BQ，设． （1）的最小值是　 　；此时x的值是　 　． （2）如图2，若PQ的延长线交CD边于点E，并且． ①求证：点E是CD的中点；②求x的值． （4） 如图2，若PQ的延长线交CD边于点E，求线段PE的最小值． 14．综合探究 如图1，AC为ABCD的对角线，△ABC的外接圆交CD于点E． （1）求证：； （2）如图2，当时，连接OA，OB，延长AO交BE于点G，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，记AC，BE的交点为点F，连接AE，当时，求的值． 15． 在平面直角坐标系中，设直线l的解析式为：（k、m为常数且），当直线l与一条曲线有且只有一个公共点时，我们称直线t与这条曲线“相切”，这个公共点叫做“切点”． （1）求直线与双曲线的切点坐标； （2）已知一次函数，二次函数，是否存在二次函数，其图象经过点，使得直线与都相切于同一点？若存在，求出的解析式；若不存在，请说明理由； （3）在（2）的条件下，抛物线的顶点坐标为B，点P为y轴上一点．在平面内存在点M，使，且这样的点P有且只有一个，则点P的坐标为　 　． 16． 如图1，已知正方形ABCD的边长为1，点P是AD边上的一个动点，点A关于直线BP的对称点是点Q，连接PQ、DQ、CQ、BQ，设． （1）的最小值是　 　；此时x的值是　 　． （2）如图2，若PQ的延长线交CD边于点E，并且． ①求证：点E是CD的中点：②求x的值． （3） 如图2，若PQ的延长线交CD边于点E，求线段PE的最小值． 17．【项目式学习】根据以下素材，探索完成任务. 绿化带灌溉车的操作方案 素材1 一辆绿化带灌溉车正在作业，水从喷水口喷出，水流的上下两边缘可以抽象为两条抛物线的一部分：喷水口离开地面高1.6米，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为3米，高出喷水口0.9米，下边缘水流形状与上边缘相同，且喷水口是最高点. 素材2 路边的绿化带宽4米 　 素材3 绿化带正中间种植了行道树，为了防治病虫害、增加行道树的成活率，园林工人给树木“打针”，针一般打在离地面1.5米到2米的高度(包含端点). 问题解决 任务1 确定上边缘水流形状 建立如图所示直角坐标系，求上边缘抛物线的函数表达式 任务2 探究灌溉范围 灌溉车行驶过程中喷出的水能浇灌到整个绿化带吗?请说明理由 任务3 拟定设计方案 灌溉时，发现水流的上下两边缘冲击力最强，喷到针筒容易造成针筒脱落，那么请问在满足最大灌溉面积的前提下对行道树“打针”是否有影响，并说明理由；若你认为有影响，请给出具体的“打针”范围. 18．综合运用 如图(1)所示，一质地均匀的小球从斜坡O点处抛出，它抛出的路线可以用抛物线a，b，c为常数)的一部分进行刻画，斜坡可用直线y=kx(k≠0，k为常数)的一部分进行刻画.如题23图(2)所示建立直角坐标系，已知小球能达到的最高点的坐标为(-2，4)，小球在斜坡上的落点A的横坐标为-3. （1）求出抛物线与直线的函数解析式并写出自变量的取值范围. （2）当小球落到A点时由于受到重力因素的影响会加速下滑，当小球滑到O点时速度最大.设小球落到A点的速度为v0，小球滑落到点O时的速度为v，v与v0满足(t为小球从A点滑落到O点所需时间)，已知小球从A点滑落到O点需要秒，请分别求出v与v0的值(提示：平均速度 （3）如题23图(2)所示，点B是抛物线上(小球从起点到落点的运动轨迹)的动点，连接BO，AB.是否存在点B，使得AB⊥OB?若存在，请求出点B的坐标；若不存在，请说明理由. 19．影子在我们生活中是常见的，那么利用影子能解决什么问题呢?某校以《影子的故事》展开项目式学习： （1）地球有多大？2000多年前，古希腊数学家埃拉托斯特尼（Eratosthenes）利用太阳光线测量出了地球子午线的周长． 项目任务（一） 如图1，太阳光线是竖直插在球面上的木杆，AB、CE的延长线都经过圆心．已知B、E间的劣弧长约为800千米，子午线周长约为40000千米，则的度数为 ▲ . （2）中国古代也有类似的记载，陈子测日法是由我国古代杰出的数学家陈子提出，用来测量太阳高度的．陈子测量太阳高度的方法可叙述为︰当夏至太阳直射北回归线时，在北方立一八尺高的标竿，观其影长为六尺。然后测量者向南移动标竿，每移动一千里，标竿的影长就减少一寸。查阅资料后，进行如下项目式研究： 项目任务（二） 如图2，某日正午，小红和小明在同一子午线的B地、C地测得太阳光与木棍的夹角分别为α，β，则∠BOA＝ ▲ ，若测得AB之间弧长为l，则地球子午线周长为 ▲ ．（用含α，β，l的代数式表示） 项目任务（三） 如图3，日落时，身高为h的小亮趴在地上平视远方，在太阳完全从地平线上消失的一瞬间，按下秒表开始计时．同时马上站起来，当太阳再次完全消失在地平线的瞬间，停止计时，小亮利用这个时间差和地球自转的速度计算出了∠PQH＝θ，请据此计算出地球的半径R= ▲ ．（用含h，θ的代数式表示） 项目任务（四） 如图，同学们发现校门旁边有一根电线杆AB和一块半圆形广告牌，在太阳光照射下，电线杆的顶端A的影子刚好落在半圆形广告牌的最高处G，而半圆形广告牌的影子刚好落在地面上一点E，通过测量得到BC＝5米，DE＝2米，并测得光线与水平面夹角∠DEF＝43°．请你利用同学们的测量数据求出电线杆AB的高度．（参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93；结果保留整数） 20．在中，，点在CD上，点在AB上，点在BD的延长线上，连接． （1）如图1，当时，求证线段AG与线段DF的数量关系 小刚同学有如下想法： 解：（1）当时，，在AD上截取，连接HG，如图： （请续写证明过程） （2）如图2，当时，请直接写出线段AD，DE和DF之间的数量关系. （3）在（2）的条件下，当点G是AB的中点时，连接BE，求的值． 答案解析部分 1．【答案】（1） （2）存在，或或 （3） 2．【答案】（1） （2） （3） 3．【答案】（1） （2）①；②；③ 4．【答案】（1）①1；②；③1 （2）或． 5．【答案】（1）解：AP=2t ∵∠EDF=90°，∠DEF=45°， ∴∠CQE=45°=∠DEF， ∴CQ=CE=t， ∴AQ=8﹣t， t的取值范围是：0≤t≤5； （2）解：过点P作PG⊥x轴于G，可求得AB=10，SinB= ，PB=10﹣2t，EB=6﹣t， ∴PG=PBSinB= （10﹣2t） ∴y=S△ABC﹣S△PBE﹣S△QCE= = ∴当 （在0≤t≤5内），y有最大值，y最大值= （cm2） （3）解：若AP=AQ，则有2t=8﹣t解得： （s） 若AP=PQ，如图①：过点P作PH⊥AC，则AH=QH= ，PH∥BC ∴△APH∽△ABC， ∴ ， 即 ， 解得： （s） 若AQ=PQ，如图②：过点Q作QI⊥AB，则AI=PI= AP=t ∵∠AIQ=∠ACB=90°∠A=∠A， ∴△AQI∽△ABC ∴ 即 ， 解得： （s） 综上所述，当 或 或 时，△APQ是等腰三角形． 6．【答案】（1）证明：连接OE．如图1所示： ∵BE⊥EF， ∴∠BEF＝90°， ∴BF是圆O的直径， ∴OB＝OE， ∴∠OBE＝∠OEB， ∵BE平分∠ABC， ∴∠CBE＝∠OBE， ∴∠OEB＝∠CBE， ∴OE∥BC， ∴∠AEO＝∠C＝90°， ∴AC⊥OE， ∴AC是⊙O的切线； （2）解：∵∠ACB＝90°， ∴EC⊥BC， ∵BE平分∠ABC，EH⊥AB， ∴EH＝EC，∠BHE＝90°， 在Rt△BHE和Rt△BCE中，， ∴Rt△BHE≌Rt△BCE（HL）， ∴BH＝BC＝9， ∵BE⊥EF， ∴∠BEF＝90°＝∠BHE，BF是圆O的直径， ∴BE＝ ∵∠EBH＝∠FBE， ∴△BEH∽△BFE， ∴，即， 解得：BF＝10， ∴⊙O的半径长＝BF＝5； （3）解：连接OE，如图2所示： 由（2）得：OE＝OF＝5，EC＝EH＝3， ∵EH⊥AB 在Rt中，， 在Rt中，， ， ， ， 的面积， 7．【答案】（1）证明：如图1， ∵∠ACB=∠ADE=90°，AC=BC，AD=DE ∵∠BAC＝∠EAD =45° ∴∠BAE＝∠CAD ∴△ABE∽△ACD （2）解：如图2，连接BD. 在Rt△DEF中， ∠E=∠EDF=45°， 在Rt△BCD中，∠BDC=∠CBD=45°， ∴∠EDB＝∠FDC， ∴△EDB∽△FDC （3） 8．【答案】（1）解：对于，当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝﹣3， ∴点A的坐标为（﹣3，0），点C的坐标为（0，4）， ∵对称轴是直线：x＝﹣1， ∴有：，解得：， ∴抛物线的表达式为：； （2）解：对于，当y＝0时，，解得：x1＝3，x2＝1， ∴点B的坐标为（0，1）， 又∵点A（﹣3，0），点C（0，4）， ∴OA＝3，OB＝1，OC＝4 作DE⊥x轴于E， ∵点D在第二象限内的抛物线上，且横坐标为m ∴点D的坐标为（m，n），则， ∴OE＝﹣m，DE＝n， ∴AE＝OA﹣OE＝3﹣（﹣m）＝m+3， ∵DE⊥x轴，则四边形OCDE为直角梯形， ∴， 又，， ∴S＝S四边形OCDE+S△ADE+S△BOC， 即， 又， ， 当m＝﹣1.5时，S为最大， 此时 ∴点D的坐标为（﹣1.5，5）． （3）解：存在点P和点Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形，理由如下： ∵点P在抛物线的对称轴x＝﹣1上， ∴可设点P的坐标为：（﹣1，t）， ∵以A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形， ∴PA＝PC＝QA＝QC，AC与PQ互相垂直平分， 设直线x＝﹣1与x轴交于点F，过点P作PT⊥y轴，AC与PQ交于点K， ∵点A（﹣3，0），C（0，4）， ∴OA＝3，CO＝4，OF＝PT＝1，OT＝PF＝t， ∴AF＝OA﹣OF＝3﹣1＝2，CT＝OC﹣OT＝4﹣t， 在Rt△APF中，由勾股定理得：PA2＝PF2+AF2＝t2+4， 在Rt△CPT中，由勾股定理得：PC2＝PT2+CT2＝1+（4﹣t）2 ∴t2+4＝1+（4﹣t）2，解得：， ∴点P的坐标为， 设点K的坐标为（xK，yK）， ∵点K为AC的中点， ∴，， 设点Q的坐标为（xQ，yQ）， ∵点K为PQ的中点， ∴，， 解得：xQ＝﹣2，， ∴点Q的坐标为． 9．【答案】（1）解：抛物线的解析式y=a(x-1)2+1，即y=ax2-2ax+a+1，于是b=-2a，c=a+1； （2）解：当c<0时，△=b2-4ac>0，故抛物线C1与x轴必有交点，故，故≤-1，故y的最小值为-1. （3）解：直线与抛物线联立得，即直线与抛物线有且仅有一个公共点，有△=0，即恒成立，得 1-a=0，-2(2a+b)=0，b2-4ac=0，解得a=1，b=-2，c=1，此时抛物线解析式为y=x2-2x=1 抛物线开口向上，且对称轴为直线x=1，而时，抛物线的最小值为k，则 ①当k<0时，k+1<1，当时，y随x的增大而减少，当x=k+1时，取最小值k，即(k+1-1)2=k，解得k=0或k=1，均不符合题意，舍去； ②当0≤k≤1时，当x=1时，取最小值0，即k=0； ③当k>1时，y随x的增大而增大，当x=k时，y有最小值k，则(k-1)2=k，得k=或 而k>1，故k= 综上所述，k=0或. 10．【答案】（1）解：（1）∵y=-0.4x+b，直线经过点（1，2.4）， ∴-0.4+b=2.4． 解得：b=2.8． ∴扣球时，羽毛球飞行满足的函数表达式为：y=-0.4x+2.8． ∴点P的坐标为（0，2.8）． 吊球时，设y=a（x-1）2+3.2． ∵抛物线经过点（0，2.8）， ∴2.8=a（0-1）2+3.2． 解得：a=-0.4． ∴吊球时，羽毛球飞行满足的函数表达式为：y=-0.4（x-1）2+3.2． （2）（2）①当x=3时，y=-0.4×3+2.8=1.6． 答：球网AB的高度为1.6米． ②当y=0时，0=-0.4（x-1）2+3.2． 解得：x1=1+2，x2=1-2（不合题意，舍去）． ∴羽毛球落地点到球网的距离为1+2-3=（2-2）米． （3）（3）①接球点为（6，2.8）． 若最大高度为5.8，那么a的值最小． ∵点P的坐标为（0，2.8）， ∴n=3． ∴y=a（x-3）2+5.8． ∴2.8=a（6-3）2+5.8． 解得：a=-． ②接球点为（8，2.8）． 若最大高度为4.8，那么a的值最大． ∵点P的坐标为（0，2.8）， ∴n=4． ∴y=a（x-4）2+4.8． ∴2.8=a（8-4）2+4.8． 解得：a=-． ∴a的取值范围为：-≤a≤-． 11．【答案】（1）圆内接四边形对角互补；过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆 （2） （3）解：①证明：，， 点E与点C关于AD的对称，，， ，，，， ，D，B，E四点共圆； ②解：的值不会发生变化， 理由如下：如图4，连接CF， 点E与点C关于AD对称，，，， ，D，B，E四点共圆，，， ，B，F，C四点共圆，， ，，，． 12．【答案】（1）解：联立，得：，整理得：，解得：， ∴切点的坐标为 （2）解：存在二次函数，其图象经过点， 使得直线与，都相切于同一点，理由如下： ∵直线与相切， 联立， 整理得：，解得：， ∴切点为， 又∵直线与，都相切于同一点， ∴经过点，， ∴，解得， ∴， 联立， 整理得：， ∴， ∴，，， ∴的解析式为 （3） 13．【答案】（1）； （2）解：①证明：在正方形ABCD中，，． ∵Q点为A点关于BP的对称点，∴，， ∴，，∴， ∵，， ∴，∴． ∵， 又∵，，∴，∴， ∴，即E为CD的中点． ②解：∵，，，∴，． ∵，E为CD的中点，∴，∴， 在中，，∴， 解得：． （3）解：在正方形ABCD中，，． ∵Q点为A点关于BP的对称点，∴，，， ∴，， 连接BE， 在与中 ，∴ ∵，∴ 作△PBE的外接圆，圆心为O ∵∴ 过O作OH垂直PE于H，设的半径为r， 则，， ∵，∴，解得： ∴ 则PE的最小值为 14．【答案】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形， ，． ，， ． （2）证明：，AO经过圆心， 根据等腰三角形三线合一的性质可得 ． ，． ， ． 又， ． （3）解：如答图，延长AG交BC于点H，连接CG． ， ． ，设，则，， 由（2）可知，，， ， ，． ，， 又，．， ，． ，． ，即CF是∠ECG的平分线， 点F到∠ECG两边的距离相等， ，． ，， ，即， ， 由（2）可知，B0是∠ABG的平分线， 同理，即，． 设的半径为R， ，， ， ，即． 设， 在Rt△ABH和Rt△OBH中， ， 即， 整理得，即， ，， ， ． 15．【答案】（1）解：联立，得：， 整理得：， 解得：， 当时，， 则切点坐标为：． （2）解：存在，理由： ∵与相切， 联立，得， 整理得： 解得：， 当时，， 则切点为：； ∵直线与，都相切于同一点， 即与的切点在图象上， 将、代入抛物线表达式得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：， ∵与相切， 联立，得， 整理得：， 则该一元二次方程有唯一解，即， 整理得： 解得：， 故抛物线的表达式为：． （3） 16．【答案】（1）； （2）解：①证明：在正方形中，，， ∵点关于直线的对称点是点， ∴，， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 即为的中点； ②解：根据题意可得：，，，， ∴， 在中，， 即， 解得：． （3）解：在正方形中，，， ∵点关于直线的对称点是点， ∴，，， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 连接， 则是的角平分线， ∴， ∵， ∴， 作的外接圆，圆心为，如图： ∵， ∴， 过点作交于点，设的半径为， 则，，， ∵， 即， 解得：， ∴， 则的最小值为． 17．【答案】解：任务1上边缘抛物线的顶点坐标为， 设上边缘拋物线的函数表达式为， 将代入得，解得； 任务2：上边缘抛物线的表达式：， 将代入得，解得(舍去)，， 下边缘水流形状与上边缘相同，且喷水口是最高点， 下边缘抛物线的表达式：，将代入得，解得(舍去)，， 路边的绿化带宽4米，(米)，灌溉车行驶过程中喷出的水能浇灌到整个绿化带； 任务3：根据题意得，将代入有影响，设针打在离地面米的高度不受影响，则. 18．【答案】（1）解：∵小球达到最高点的坐标为(-2，4)， ∴设抛物线的函数解析式为 ∵抛物线经过原点， ∴将原点(0，0)代入得，4a+4=0. ∴a=-1. ∴抛物线的函数解析式为即 ∵当x=-3时，y=3， ∴点A的坐标为(-3，3) 将(-3，3)代入y=kx得，k=-1， ∴直线的函数解析式为y=-x(-3≤x≤0) （2）解： ∵点A的坐标为(-3，3)， ∴平均速度 ∵平均速度 （3）解：存在，理由如下：设点B的坐标为(m，如答图所示，过点B向y轴作垂线交y轴于点M，过点A向x轴作垂线，两垂线相交于点N，则有∠ANB=∠BMO=90°. ∵A(-3，3)， ∴AN=-m2-4m-3，BM=-m，BN=3+ ∵AB⊥OB，即∠ABO=90°， ∴∠ABN+∠OBM=90°. ∵∠ABN+∠BAN=90°， ∴∠BAN=∠OBM. ∴△ANB∽△BMO 即 整理，得 解得(不合题意舍去) ∵当时， ∴存在点使得AB⊥OB. 19．【答案】（1）7.2° （2）（二）a-β，； （三）； 项目任务（四）：解：如图，连接OF，过点G作GH⊥AB于H，则BOGH是矩形． ∵FE是⊙O的切线， ∴∠OFE=90°， ∵∠DEF=43°，DE=2米， ∴sin∠DEF==， 即sin43°=， ∵sin43°≈0.68， ∴≈0.68， 解得OD=4.25（米）， ∴BH=OG=OF=4.25米， HG=BO=BC+CO=5+4.25=9.25（米）， OE=OD+DE=4.25+2=6.25（米）， ∴EF===（米）． ∵太阳光线是平行光线， ∴AG∥EF， 又∵GH∥OE， ∴∠E=∠AGH． 又∵∠OFE=∠AHG=90°， ∴△AGH∽△OEF， ∴=，即=， 解得：AH≈8.58（米）． 即AB=AH+BH=8.58+4.25≈13（米）． 答：电线杆AB的高度约为13米． 20．【答案】（1）（1）当k=1时，AD=BD，DG=EF， ∵在▱ABCD中，∠ADB=90°， ∴∠A=∠ABD=45°，AB∥CD， ∴∠CDB=45°， ∴∠CDF=135°， 在AD上截取DH=DE，连接HG， ∵∠FED=∠ADG， ∴△DHG≌△EDF（SAS）， ∴∠DHG=∠EDF=135°，DF=HG， ∴∠AHG=45°，∠AGH=90°， ∴AG=GH=DF； （2）9AD=20DF+12DE； （3）过点E作EN⊥BD于N， 设AG=BG=DG=4x，则BD=x，AD=x， ∴MG=3x，AM=5x，DM=AD-AM=x， ∵△DMG∽△EDF， ∴===， ∴EF=3x，DE=x，DF=x， 设DN=y， ∵EN2=EF2-FN2，EN2=DE2-DN2， ∴EF2-FN2=DE2-DN2， ∴（3x）2-（x+y）2=（x）2-y2， ∴y=x， ∴EN===x， BN=BD-DN=x-x=x， ∴tan∠EBF===． 学科网（北京）股份有限公司 $$