云南省玉溪师范学院附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

试卷第 1页，共 4页 玉溪师院附中 2025 届高二下学期期中考试数学试卷 命题人：王浩川 审题人：范晓燕 一、单选题 1．已知 i 为虚数单位，若复数  1 i i,z z  为 z的共轭复数，则1 z z  （ ） A． 1 3 i 2 2  B． 1 3 i 2 2  C． 3 1 i 2 2  D． 3 1 i 2 2  2．已知集合  P x y x ∣ ，  2xQ y y ∣ ，则（ ） A．Q P B． P Q C． P Q D． RQ P ð 3．已知两平行直线 1l ：3 4 4 0x y   和 2l ：6 2 0x my   ，则 1l 与 2l 的距离为（ ） A．1 B． 3 5 C． 6 5 D． 2 4．若 0.1 5 35 , log 4, tan 5 a b c    ，则 , ,a b c的大小关系是（ ） A． a b c  B． a c b  C． c a b  D． c b a  5．已知 3sin 6 5       ，则 6 in 2 5s        （ ） A． 7 25  B． 7 25 C． 3 5 D． 24 25 6．函数 2 ( ) 2 2x x xf x   的图象大致为（ ） A． B． C． D． 7．如图， ABCD EFGH 是棱长为 1 的正方体，若 P在正方体内 部且满足 3 1 2 5 2 3 AP AB AD AE       ，则 P到直线 AB的距离为（ ） A． 3 4 B． 4 5 C． 5 6 D． 3 5 8．直线 l过点  3,2P ，分别与两坐标轴交于 A，B两点，О为坐标 原点， ABO△ 的面积为 12，符合条件的直线 l的条数（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 试卷第 2页，共 4页 二、多选题 9．如果 ,a b  都是非零向量，则下列判断正确的是（ ） A．若 2 2a b  ，则 =a b  或 a b   B．若 | | | | | |a b a b      ，则 a b∥  C．若 | | | |a b a b      ，则 a b  D．若 ,a b  同向，则 b a a b      10．函数 π( ) sin( ) 0,| | 2            f x x 的部分图象如图所示，则下列关于函数  f x 的说 法正确的是（ ） A．  f x 的最小正周期为 π B．  f x 的图象关于 7π ,0 12       中心对称 C．  f x 在 7π π, 12 6      上单调递减 D．把  f x 的图像向右平移 π 12 个单位长度，得到一个奇函数的图象 11．有 4 个相同的球，分别标有数字 1，2，3，4，从中不放回的随机取两次，每次取 1 个球，事件 A表示“第一次取出的球的数字是 1”，事件 B表示“第二次取出的球的数字 是偶数”，事件 C表示“两次取出的球的数字之和是偶数”，事件 D表示“两次取出的球的 数字之和是奇数”，则（ ） A．A与 B互斥 B．C与 D对立 C．B与 C相互独立 D．B与 D相互独立 12．已知定义在R 上的函数  f x 满足    2f x f x   ，且函数  1y f x  为奇函数， 则下列说法一定正确的是（ ） A．  f x 是周期函数 B．  f x 的图象关于点  2023,0 对称 C．  f x 是R 上的偶函数 D．  f x 是R 上的奇函数 第 II 卷（非选择题） 三、填空题 13．若三个向量  2,3,2a   ，  6, ,7b m  ，  0,5,1c   共面，则实数m的值为 . 14．圆 2 2 22 2 1 0x y ax ay a a       的半径的最大值为 . 15．已知 0, 0a b  ，且 2a b ab  ，则 1 9 1 2a b    的最小值是 . 试卷第 3页，共 4页 16．如图，平行六面体 1 1 1 1ABCD ABC D 中， 1 1AD BD AA   ， AD BD ， 1 45A AB   ， 1 60A AD   ，则线段 1BD 的长为 . 四、解答题 17．已知圆心为C的圆经过  0,3A ，  1,2B 两点，且圆心C在直线 : 0l x y  上． (1)求圆C的标准方程； (2)求过点  2 3， 且与圆C相切的直线方程． 18．哈尔滨地铁第一条线路于 2013 年 9 月 26 日开通试运营，使哈尔滨成为中国首个建 有“高寒地铁”系统的城市，截止目前，哈尔滨地铁开通运营线路共有三条，分别为 1 号 线，2 号线，3 号线，为全市人民出行带来了便捷，某社团小组在一高峰时段对某座地 铁站随机抽取了 100 名乘客，统计其乘车等待时间（等待时间不超过 30 分钟），制成如 下频率分布直方图. (1)求样本中等待时间大于 15分钟的人数 及 x的值； (2)根据频率分布直方图，估计这 100 名 乘客等待时间的： （i）中位数（结果用分数表示）； （ii）平均值（各组区间的数据以该组区 间的中间值作代表）. 试卷第 4页，共 4页 19．在锐角 ABC 中，角 A，B，C的对边分别为 , ,a b c，且 2 sin 3b A a ． (1)求角 B； (2)若 6a c  ， ABC 的面积为 3 ，求 b． 20．如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD是 梯形， / / , 90CD AB ABC   ， 4AB  ， 2BC CD  ，侧面 PAD 底面 ABCD， 2PA PD  ， E为 PA中点. (1)求证： / /DE 平面 PBC； (2)求直线BD和平面 PBC所成角的正弦值. 21．已知函数   2 22sin cos 2cos 2 f x x x x   ． (1)求函数  f x 的单调递增区间； (2)若      π π 4 4 g x f x f x f x f x                ，存在 1 2, Rx x  ，对任意 x R ，有      1 2g x g x g x  恒成立，求 1 2x x 的最小值； 22．第四届中国国际进口博览会于 2021 年 11 月 5 日至 10 日在上海举行.本届进博会有 4000 多项新产品､新技术､新服务.某跨国公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研， 中国甲企业计划在 2022 年与该跨国公司合资生产此款空调.生产此款空调预计全年需投 入固定成本 260 万元，生产 x千台空调，需另投入资金 R万元，且 2 2 10 ,0 40 901 9450 10000 , 40 x ax x R x x x x          .经测算，当生产 10 千台空调时需另投入的资金 R=4000 万元.现每台空调售价为 0.9 万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完. (1)求 2022 年该企业年利润 W（万元）关于年产量 x（千台）的函数关系式； (2)2022 年产量为多少时，该企业所获年利润最大？最大年利润为多少？注：利润=销售 额-成本. 答案第 1页，共 12页 参考答案： 1．B 【分析】求出复数 z和 z，然后代入 1 z z  中化简计算即可. 【详解】因为   21 i i i i 1 iz       ， 所以 1 iz   ， 所以 21 1 1 i (2 i)(1 i) 2 2i i i 1 3 i 1 i (1 i)(1 i) 2 2 2 z z                 ， 故选：B 2．A 【分析】根据幂函数定义域和指数函数值域即可求出 ,P Q，再根据集合间关系即可判断. 【详解】根据幂函数 y x 的定义域知 | 0x x  ，则  0,P   ， 根据指数函数的值域知 2 0x  ，则  0,Q   ， 则Q P ，且Q P ，故 BC 错误，  R ,0P  ð ，则 D 错误， 故选：A. 3．A 【分析】根据 1 2l l// ，求得 8m   ，得到 2l 的方程，解两平行线间的距离公式，即可求解. 【详解】由题意，两直线 1 : 3 4 4 0l x y   和 2 : 6 2 0l x my   ， 因为 1 2l l// ，可得 6 2 3 4 4 m     ，即 8m   ，所以 2 : 6 8 2 0l x y   ， 把直线 1l 化为6 8 8 0x y   ， 根据两平行线间的距离公式，可得 2 2 8 ( 2) 1 6 ( 8)      ， 即两平行线间的距离为1. 故选：A. 4．A 【分析】利用指数函数、对数函数、正切函数的性质借助 0、1 比较大小． 【详解】 0.1 0 5 5 55 5 1 log 5 log 4 log 1 0. 0a b a b           ，又 3 3, tan 0 2 5 5 c       ， a b c   ， 答案第 2页，共 12页 故选：A. 5．B 【分析】由诱导公式变形后，再由二倍角公式计算． 【详解】 2 25 3 7cos(2 ) 1 2sin ( ) 1 2 ( ) 6 3 6 5 25 sin 2                   . 故选：B. 6．A 【分析】利用函数的性质和特值法对不符合题意的选项加以排除，即可得出答案. 【详解】因为 2 2 0x x  ，所以 0x  ，定义域为    ,0 0, U ； 因为 2 ( ) 2 2x x xf x   ，所以   2 2 2x x xf x    ，故    f x f x   ，所以  f x 为奇函数，排除 B， 当 x趋向于正无穷大时， 2x 、2 2x x 均趋向于正无穷大，但随 x变大，2 2x x 的增速比 2x 快， 所以  f x 趋向于 0 ，排除 D， 由   21 3 f  ， 1 2 2 4 f       ，则   11 2 f f       ，排除 C. 故选：A. 7．C 【分析】以A 为原点，以 , ,AB AD AE分别为 , ,x y z轴建立空间直角坐标系，进而求得 AP  在 AB  上的投影向量的长度，进而结合勾股定理求解即可. 【详解】以A 为原点，以 , ,AB AD AE分别为 , ,x y z轴建立空间直角坐标系， 则  0,0,0A ，  1,0,0B ，  0,1,0D ，  0,0,1E ， 所以  1,0,0AB   ，  0,1,0AD  uuur ，  0,0,1AE   ， 所以      3 1 2 3 1 2 3 1 21,0,0 0,1,0 0,0,1 , , 5 2 3 5 2 3 5 2 3 AP AB AD AE                 ， 所以 AP  在 AB  上的投影向量的长度为： 3 5 AP AB AB      ， 所以 P到直线 AB的距离为 2 2 3 5 5 6 AP        . 答案第 3页，共 12页 故选：C. 8．C 【分析】由题意得到直线 l的斜率存在且斜率不为 0，设出直线方程的点斜式，表达出 ,A B的 坐标，从而根据 ABO△ 面积得到方程，分 0k  与 0k  ，分别求出相应的 k值，得到结论. 【详解】显然，直线 l的斜率存在且斜率不为 0， 设直线 l的方程为  2 3y k x   ， 令 =0x 得： 2 3y k  ，令 =0y 得： 23x k   ， 则 1 22 3 3 12 2 k k     ，即  23 2 24k k  ， 当 0k  时，  23 2 24k k  ，即 29 36 4 0k k   ， 解得： 36 24 2 4 22 0 18 3 k     ，符合要求， 当 0k  时，  23 2 24k k   ，即  23 2 0k   ， 解得： 2 3 k   ，满足要求， 综上：符合条件的直线 l的条数为 3. 故选：C 9．BCD 【分析】根据向量的相关概念，结合数量积、模长的运算逐个分析判断. 【详解】若 2 2a b  ，则 =a b  ，但方向无法确定，A 错误； ∵ | | | || | cos | | | |a b a b a b         ，则 cos 1  ∴ ,a b  的夹角 0  ，即 ,a b  同向，则 a b∥  ，B 正确； 答案第 4页，共 12页 若 | | | |a b a b      ，则 2 2| | | |a b a b      即 2 2 2 22 2a a b b a a b b              ，则 0a b   ，即 a b  ，C 正确； ∵ b a b a      ， a b a b      ，则 b a a b      ； 又∵ 0, 0a b   ，且 ,a b  同向，则 ,b a a b     同向 ∴ b a a b      ，D 正确； 故选：BCD. 10．AD 【分析】由图象可得函数周期，可得，由  f x 在 π 6 处取最大值，可确定 .A 选项，由图 象可得函数周期；BC 选项，由 A 分析，可得 .由在 π 6 处取最大值，可确定，后由正弦函 数对称性，单调性可判断选项正误；D 选项，判断平移后所得函数的奇偶性即可判断选项. 【详解】A 选项，由图可得，  f x 的半个最小正周期为 2 3 6 2 π π π   ，则 ( )f x 的最小正周 期为 π，故 A 正确； BC 选项， 2π π, 0 2       ，由  f x 在 π 6 处取最大值，则 π π 2 π 3 2 k   ， Zk .则 π 2 π 6 k   ，取 0k  ，则 π 6   .即 π( ) sin(2 ) 6 f x x  . 将 7π 12 x  代入  f x ，得 7π 4πsin 0 12 3 f        ，则 7π ,0 12       不是  f x 对称中心； 72 12 6 π π π           ， π π π2 6 6 6          ，因 siny x 在 ππ, 2       上递减，在 π π, 2 6       上 递增，则 7π π, 12 6      不是  f x 的单调递减区间，故 BC 错误； D 选项，由 BC 选项分析可知， π( ) sin(2 ) 6 f x x  ，向右平移 π 12 个单位长度后，得 2 2 12 6 π π sin siny x x             ，为奇函数，故 D 正确. 故选：AD 11．BCD 【分析】利用列举法列出所有可能结果，再根据互斥事件及相互独立事件的概念判断即可. 【详解】设采用不放回方式从中任意摸球两次，每次摸出一个球， 答案第 5页，共 12页 全部的基本事件有：  1,2 ，  1,3 ，  1,4 ，  2,1 ，  2,3 ，  2, 4 ，  3,1 ，  3,2 ，  3, 4 ，  4,1 ，  4, 2 ，  4,3 共12个， 事件A 发生包含的基本事件有：  1,2 ，  1,3 ，  1,4 有3个， 事件 B发生包含的基本事件有：  1,2 ，  1,4 ，  2, 4 ，  3,2 ，  3, 4 ，  4, 2 有6个， 事件C发生包含的基本事件：  1,3 ，  2, 4 ，  3,1 ，  4, 2 有4个， 事件D发生包含的基本事件： 1,2 ， 1,4 ， 2,1 ， 2,3 ， 3,2 ， 3, 4 ， 4,1 ， 4,3 有8 个， 显然当出现  1,2 ，  1,4 时事件A 、 B同时发生，故事件A 与 B不互斥，故 A 错误； 事件C与D不可能同时发生，即事件C与D互斥，又事件C与D包含所有的结果， 所以 C与 D对立，故 B 正确； 又   6 1 12 2 P B   ，   4 1 12 3 P C   ，   2 1 12 6 P BC   ，所以      P BC P B P C ， 所以事件 B与C相互独立，故 C 正确； 又   8 2 12 3 P D   ，   4 1 12 3 P BD   ，   6 1 12 2 P B   ，所以      P BD P B P D ， 所以事件 B与D相互独立，故 D 正确. 故选：BCD. 12．ABC 【分析】利用周期函数的定义即可判断 A；利用函数关于点对称的性质可判断 B；利用偶函 数的判断方法即可判断 C；举反例排除 D. 【详解】对于 A：由 ( 2) ( )f x f x   知  ( 4) 2 ( )f x f x f x     ，所以 ( )f x 是周期为 4 的周 期函数，故 A 正确； 对于 B：由 ( 1) y f x 为奇函数得  ( 1) 1f x f x     ，所以 ( )f x 的图象关于点 ( 1,0) 对称， 又因为 ( )f x 的周期是 4， 2023 506 4 1   ，所以  f x 的图象关于点  2023,0 对称，故 B 正 确； 对于 C：因为 ( 2) ( )f x f x   ，所以 ( 2) ( )f x f x     又 ( )f x 的图象关于点 ( 1,0) 对称，所以有 ( 2) ( )f x f x    ， 因此 ( 2) ( 2)f x f x    ，即 ( ) ( )f x f x  ，又  f x 的定义域为R ，故  f x 是偶函数，故 C 答案第 6页，共 12页 正确； 对于 D：不妨取 π( ) cos 2 f x x ，显然满足已知条件，但它是一个偶函数，故 D 错误， 故选：ABC. 13．14 【分析】由空间向量共面向量的充要条件存在实数，  ，使得 c a b      ，即可求解． 【详解】解：三个向量  2,3,2a   ，  6, ,7b m  ，  0,5,1c   共面 则存在实数， ，使得 c a b      所以 0=2 +6 5=3 + 1=2 +7 m            ，解得 1, 3, 14m     . 故答案为：14. 14． 2 3 3 / 2 3 3 【分析】化为圆的标准方程求出半径，根据 a的范围利用抛物线的单调性可得答案. 【详解】由 2 2 22 2 1 0x y ax ay a a       可得   2 2 23 1 2 4 ax y a a a           ， 当 23 1 0 4 a a    表示圆，即解得 a的取值范围是 22, 3      ， 半径为 2 2 4 4 3 3 3 21 4 3 a a a          ， 23 2 4 4 3 3 y a        是开口向下对称轴为 2 3 a   的抛物线，在 22, 3       单调递增， 在 2 2, 3 3      单调递减，所以 2 3 a   时最大值为 2 3 3 . 故答案为： 2 3 3 ． 15．3 2. 【分析】本题先要将2a b ab  整理成合适的表达式，然后对 1 9 1 2a b    运用基本不等式. 答案第 7页，共 12页 【详解】   1 2 2 1 0 2 , 0 , 2 02 0 1 a b aba b ab a bb ab a                       ， 又 1 9 1 92 3 2. 1 2 1 2a b a b         当且仅当 1 9 1 2a b    即 2 1, 2 3 2 3 a b    取得. 故答案为：3 2. 16．1 【分析】根据空间向量的数量积运算律求解即可. 【详解】由题可得, 1AD BD  ， AD BD , 所以 1 1 2AB    ,且 45DAB   , 因为 1 11 1 1BA AA AB D AB AA ADD               , 所以  22 2 2 211 1 1 12 2 2B D AB AA AD AB AA A AB AA AB AD AD A AD                          2 2 2 1 1 12 cos 45 2 cos 45 2 cos60AB AA AD AB AA AB AD AA AD                     2 1 1 2 2 1 1       ， 所以 1 1BD   ， 故答案为:1. 17．(1)    2 21 1 5x y    (2) 3 10 10 2 y x  和 3 10 10 2 y x  【分析】（1）求出线段 AB的垂直平分线方程，圆心C在线段 AB的垂直平分线上，故联立 两直线方程，求出圆心坐标，进而求出半径，得到圆的方程； （2）设出切线方程，由点到直线距离公式得到方程，求出 3 10 2 k  ，得到切线方程. 【详解】（1） ,A B的中点为 1 5, 2 2       ， 1ABk   ，所以线段 AB的垂直平分线方程为 2 0x y   ， 由垂径定理可知，圆心C在线段 AB的垂直平分线上， 答案第 8页，共 12页 所以它的坐标是方程组 0 2 0 x y x y       的解，解之得 1, 1, x y     所以圆心C的坐标是  1,1 ，圆的半径 5r AC  ， 所以圆C的标准方程是    2 21 1 5x y    ． （2）由题意斜率不存在时不满足，所以设切线方程为 ( 2) 3y k x   即 2 3 0kx y k    由已知得 2 3 2 5 1 k k     解得 3 10 2 k  所以切线方程为 3 10 10 2 y x  和 3 10 10 2 y x  18．(1)53人， 0.060x  (2)（i） 108 7 ；（ii）15.1 【分析】（1）根据小矩形面积等于频率以及小矩形面积之和=1，即可求解； （2）根据频率分布直方图以及平均数和中位数的定义求解即可. 【详解】（1）等待时间大于 15 分钟的共有三组，它们的频率之和为： 5 (0.07 0.03 0.006) 0.53    ， 所以人数为：100 0.53 53  人； 由图可知：5 (0.01 0.024 0.07 0.03 0.006) 1x       ， 解得： 0.060x  . （2）（i）第一组频率：5 0.010 0.05  ，第二组频率：5 0.024 0.12  ， 第三组频率：5 0.060 0.3  ，所以中位数在第四组， 设中位数为 t，则有： 0.05 0.12 0.3 ( 15) 0.07 0.5t      解得：中位数 t  108 7 （ii）平均数 2.5 0.010 5 7.5 0.024 5 12.5 0.060 5 17.5 0.070 5x             22.5 0.030 5 27.5 0.006 5 15.1       19．(1) π 3 B  (2) 2 6b  答案第 9页，共 12页 【分析】（1）根据正弦定理结合锐角三角形即可求解； （2）由面积公式及余弦定理即可求解. 【详解】（1）在 ABC 中，根据正弦定理 2 sin sin sin a b c R A B C    可得 sin sina B b A ， 因为 2 sin 3b A a ， 所以 2 sin 3a B a ， 即 3sin 2 B  ， 因为 ABC 为锐角三角形， 所以 π 3 B  . （2）由第一问知 π 3 B  ， 所以 1 3sin 3 2 4ABC S ac B ac   ， 所以 4ac  ， 根据余弦定理得： 2 2 2 22 cos ( ) 2 (1 cos )b a c ac B a c ac B       ， 代入数据得： 2 6b  . 20．(1)证明过程见详解 (2) 11 11 【分析】（1）利用线面平行判定定理作辅助线证明. （2）通过面面垂直的性质作辅助线证明线面垂直，再建立直角坐标系，求直线的方向向量 和平面的法向量，再利用公式求线面角的正弦值. 【详解】（1）取 PB中点 F ，连接 ,EF CF . E 为 PA中点 1/ / , 2 EF AB EF AB  又 1/ / , 2 AB DC DC AB / / ,EF DC EF DC  四边形 EFCD为平行四边形 / /DE CF DE 平面 PBC，CF 平面 PBC / /DE 平面 PBC （2）取 AD中点M ，因为 PAD 中， 2PA PD  ，所以 PM AD 又因为侧面PAD 底面 ABCD，平面 PAD平面 ABCD AD ， PM 平面 PAD 答案第 10页，共 12页 所以 PM 平面 ABCD 因为 / / , 90CD AB ABC   ，所以 BC DC 如图，以点C为原点， ,CB CD所在直线分别为 ,x y轴，过点C作PM的平行线为 z轴建立空 间直角坐标系. 则        0,0,0 , 2,0,0 , 0,2,0 , 1,3, 2C B D P ,    2,0,0 , 1,3, 2 ,CB CP    2, 2,0DB   ，设 平面 PBC的法向量为  , ,n x y z  ， 则 2 0 3 2 0 CB n x CP n x y z               ，令 3z  ，得  0, 2,3n    设直线BD和平面 PBC所成角为 ，则 11sin cos , 11 n DB n DB n DB            . 21．(1)  π 3ππ, π Z 8 8 k k k       (2) 3π 8 【分析】（1）利用三角恒等变换及三角函数的单调性计算即可； （2）先化简  g x ，再利用换元法结合二次函数的性质判定  g x 的值域，后结合三角函数 的图象与性质计算即可. 【详解】（1）化简   2 22 sin cos 2 cos 2 f x x x x   得    2 2 2sin 2 1 cos 2 2 2 2 f x x x    2 2 πsin 2 cos 2 sin 2 2 2 4 x x x        ， 令  π π π2 π 2 2 π Z 2 4 2 k x k k       ， 得  π 3ππ π Z 8 8 k x k k      ， 答案第 11页，共 12页 ∴函数  f x 的单调递增区间为  π 3ππ, π Z 8 8 k k k       ； （2）结合（1）得      π π 4 4 g x f x f x f x f x                π π π πsin 2 cos 2 sin 2 cos 2 4 4 4 4 x x x x                             ， 令 π πsin 2 cos 2 4 4 x x t              ，则 2 sin 2 2, 2t x     ， 所以 2 2 π πsin 2 cos 2 1 4 4π π 1sin 2 cos 2 4 4 2 2 x x tx x                                ， 即      221 1 1 1 1 2 2 2 g x h t t t t         可得，当 1t  即 2sin 2 2 x  时，  max 1g x  ； 当 2t   即 sin 2 1x   时，  min 12 2 g x    ∵存在 1 2 Rx x 、 ，对任意 x R ， 有      1 2g x g x g x  恒成立， ∴  1g x 为  g x 的最小值，  2g x 为  g x 的最大值， ∴ 1sin 2 1x   ， 2 2sin 2 2 x  ， 若求 1 2x x 的最小值，即求 1 22 2x x 的最小值， 利用正弦函数的图象与性质，不妨在一个周期内取两个相邻的满足题意的自变量， 即 1 2 min 3π 3π 3π2 2 2 4 4 x x    ， ∴ 1 2 min 3π 8 x x  ． 22．(1) 2 2 10 600 260,0 40 9190 10000 , 40 x x x W x x x x           (2)当 2022 年产量为 100 千台时，该企业的年利润最大，最大年利润为 8990 万元 【分析】（1）由题意可知 10x  时，R=4000，代入函数中可求出 a，然后由年利润等于销售 总额减去投入资金，再减去固定成本，可求出年利润 W（万元）关于年产量 x（千台）的函 数关系式， 答案第 12页，共 12页 （2）分别当0 40x  和 40x  求出函数的最大值，比较即可得答案 【详解】（1）由题意知，当 10x  时，   210 10 10 4000R x a    ，所以 a=300. 当0 40x  时，  2 2900 10 300 260 10 600 260W x x x x x        ； 当 40x  时， 2 2901 9450 10000 9190 10000900 260x x x xW x x x          . 所以 2 2 10 600 260,0 40 9190 10000 , 40 x x x W x x x x           ， （2）当0 40x  时，  210 30 8740W x    ，所以当 30x  时，W有最大值，最大值为 8740； 当 40x  时， 10000 100009190 2 9190 8990W x x x x              ， 当且仅当 10000x x  ，即 x=100 时，W有最大值，最大值为 8990. 因为8740 8990 ， 所以当 2022 年产量为 100 千台时，该企业的年利润最大，最大年利润为 8990 万元.