精品解析：河南省三门峡市渑池县第二高级中学2024-2025学年高二下学期第一次月考（3月）数学试题

渑池二高2024-2025学年下学期第一次月考 高二数学试题 注意事项： 考试时间120分钟，满分150分.答案写在答题卡，在试题卷上作答无效.交卷时只交答题卡. 一､单选题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同报名方法有（ ） A. 10种 B. 20种 C. 25种 D. 32种 2. 在的展开式中，的系数为（ ） A. B. C. D. 3. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 老师有6本不同的课外书要分给甲、乙、丙三人，其中甲分得2本，乙、丙每人至少分得一本，则不同的分法有（ ） A. 248种 B. 168种 C. 360种 D. 210种 5. 已知，则 （ ） A. B. C. 1 D. 0 6. 已知曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 7. 设满足，则（ ） A. 120 B. C. 40 D. 8. 若函数在内无极值，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 函数的导函数的图象如图所示，下列命题中正确的是（ ） A. 是函数的极值点 B. 在区间上单调递增 C. 是函数的最小值点 D. 在处切线的斜率小于零 10. 某校高二年级安排甲､乙､丙三名同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，每名同学只能选择一个社区进行实践活动，且多名同学可以选择同一个社区进行实践活动，则下列说法正确的有（ ） A. 如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有61种 B. 如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有50种 C. 如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有60种 D. 如果甲､乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种 11. 已知二项展开式，下列说法正确的有（ ） A. 的展开式中的常数项是 B. 的展开式中的各项系数之和为 C. 的展开式中的二项式系数最大值是 D. ，其中为虚数单位 三､填空题（每题5分共15分） 12. 某电视台计划在春节期间某段时间连续播放6个广告，其中3个不同的商业广告和3个不同的公益广告，要求第一个和最后一个播放的必须是公益广告，且商业广告不能3个连续播放，则不同的播放方式有__________. 13. 已知函数，则的最大值为__________. 14. 已知定义在的函数满足，则不等式的解集为__________． 四､解答题 15. 已知函数在处有极值. （1）求的值； （2）求函数的单调减区间. 16. 若，其中． （1）求m的值； （2）求； （3）求． 17. 已知函数，. （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）试判断函数的单调性. 18. 为庆祝3.8妇女节，东湖中学举行了教职工气排球比赛，赛制要求每个年级派出十名成员分为两支队伍，每支队伍五人，并要求每支队伍至少有两名女老师，现高二年级共有4名男老师，6名女老师报名参加比赛. （1）一共有多少不同的分组方案？ （2）在进入决赛后，每个年级只派出一支队伍参加决赛，在比赛时须按照1、2、3、4、5号位站好，为争取最好成绩，高二年级选择了、、、、、六名女老师进行训练，经训练发现不能站在5号位，若、同时上场，必须站在相邻的位置，则一共有多少种排列方式？ 19. 已知函数. （1）证明：曲线在处的切线恒过定点； （2）已知有两个零点，且，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 渑池二高2024-2025学年下学期第一次月考 高二数学试题 注意事项： 考试时间120分钟，满分150分.答案写在答题卡，在试题卷上作答无效.交卷时只交答题卡. 一､单选题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同报名方法有（ ） A. 10种 B. 20种 C. 25种 D. 32种 【答案】D 【解析】 【分析】由分步乘法原理计算． 【详解】由题意，每个同学有2种选择，故不同报名方式为. 故选：D 2. 在的展开式中，的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】写出二项展开式，令，解出然后回代入二项展开式系数即可得解. 【详解】的二项展开式为， 令，解得， 故所求即为. 故选：A. 3. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据基础函数导数的公式计算即可. 【详解】，，，. 故选：D 4. 老师有6本不同的课外书要分给甲、乙、丙三人，其中甲分得2本，乙、丙每人至少分得一本，则不同的分法有（ ） A. 248种 B. 168种 C. 360种 D. 210种 【答案】D 【解析】 【分析】根据分类加法原理，结合组合、排列的定义进行求解即可. 【详解】根据题意进行分类： 第一类：甲、乙、丙每人分得2本，（种）； 第二类：甲分得2本，乙、丙两人中一人分得1本另一人分得3本，（种）. 所以由分类加法计数原理可得共有种不同的分法． 故选：D. 5. 已知，则 （ ） A. B. C. 1 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的定义可得，求得得解. 【详解】由，可得， 即，又，则， 所以. 故选：D. 6. 已知曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】求，利用导数的几何意义可求的值. 【详解】由题意得，函数的定义域为，且， ∴， ∵曲线在点处的切线与直线垂直， ∴，即，故. 故选：D. 7. 设满足，则（ ） A. 120 B. C. 40 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用赋值法令可计算得出，再令求出，构造方程组计算可得. 【详解】因为， 令，即可得， 令，即可得，可得，所以； 令，即可得， 得，得， 所以. 故选：A. 8. 若函数在内无极值，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出导数，再由导函数在内无变号零点，结合函数的单调性确定最小值和最大值的范围即可求解. 【详解】由函数在内无极值，得在内无变号零点， 而函数在上单调递增，则或，解得或， 所以实数a的取值范围是. 故选：C 二､多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 函数的导函数的图象如图所示，下列命题中正确的是（ ） A. 是函数的极值点 B. 在区间上单调递增 C. 是函数的最小值点 D. 在处切线的斜率小于零 【答案】AB 【解析】 【分析】根据导函数的正负确定函数的单调性，即可结合极值的定义，逐一求解. 【详解】根据导函数图象可知：当时，，在时，函数在上单调递减，在上单调递增，故B正确； 则是函数的极小值点，故A正确； 在上单调递增，不是函数的最小值点，故C不正确； 函数在处的导数大于切线的斜率大于零，故D不正确． 故选：AB 10. 某校高二年级安排甲､乙､丙三名同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，每名同学只能选择一个社区进行实践活动，且多名同学可以选择同一个社区进行实践活动，则下列说法正确的有（ ） A. 如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有61种 B. 如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有50种 C. 如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有60种 D. 如果甲､乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，根据社区A必须有同学选择，由甲､乙､丙三名同学都有5种选择减去有4种选择求解；对于B，根据同学甲必须选择社区A，有乙丙都有5种选择求解；对于C，根据三名同学选择的社区各不相同求解；对于D，由甲､乙两名同学必须在同一个社区，捆绑再选择求解； 【详解】对于A，如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有（种），故A正确； 对于B，如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有（种），故B错误； 对于C，如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有（种），故C正确； 对于D，甲､乙两名同学必须在同一个社区，第一步，将甲､乙视作一个整体，第二步，两个整体挑选社区，则不同的安排方法共有（种），故D错误. 故选：AC. 11. 已知二项展开式，下列说法正确的有（ ） A. 的展开式中的常数项是 B. 的展开式中的各项系数之和为 C. 的展开式中的二项式系数最大值是 D. ，其中为虚数单位 【答案】BC 【解析】 【分析】结合二项式系数的性质、系数的性质及对数的运算计算即可得. 【详解】， 对A：令，即，则，故A错误； 对B：令，即，故各项系数之和为，故B正确； 对C：由，故二项式系数中的最大值为，故C正确； 对D：，故D错误. 故选：BC. 三､填空题（每题5分共15分） 12. 某电视台计划在春节期间某段时间连续播放6个广告，其中3个不同的商业广告和3个不同的公益广告，要求第一个和最后一个播放的必须是公益广告，且商业广告不能3个连续播放，则不同的播放方式有__________. 【答案】72 【解析】 【分析】将第一个和最后一个先安排为公益广告，然后由商业广告不能3个连续播放，将其排成一列，之间有两个空，将剩下的公益广告插进去即可. 【详解】先从3个不同的公益广告中选两个安排到第一个和最后一个播放有种方法，然后将3个不同的商业广告排成一列有种方法，3个不同的商业广告之间有两个空，选择一个将剩下的一个公益广告安排进去即可，所以总共有：种方式. 故选:B. 13. 已知函数，则的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用导函数分析函数的单调性，再通过比较端点值得出函数最大值. 【详解】由题意，，所以. 令则， 所以，时，单调递减； 时，单调递增. 又， 故答案为：. 14. 已知定义在的函数满足，则不等式的解集为__________． 【答案】 【解析】 【分析】令函数，求导函数并根据函数符号与单调性的关系判断得出的单调性，再利用单调性解不等式可得结论. 【详解】构造函数，则， 又，，可得， 因此在上单调递增， 原不等式可化为，即， 可得，因此， 解得. 故答案为：. 四､解答题 15. 已知函数在处有极值. （1）求的值； （2）求函数的单调减区间. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用极值的定义建立方程组，即可求解； （2）对求导，利用导数与函数单调性间的关系，即可求解. 【小问1详解】 因为，又在处有极值， 得，即，解得， 此时，令，得到， 当时，，时，， 所以在处取到极小值，故满足题意， 所以. 【小问2详解】 由（1）可知，其定义域是，且， 由，得，所以函数的单调减区间是. 16. 若，其中． （1）求m的值； （2）求； （3）求． 【答案】（1）1 （2）255 （3）0 【解析】 【分析】（1）写出展开式的通项，然后由条件可得答案； （2）分别令、可得答案； （3）令可得，然后利用平方差公式可得答案. 【小问1详解】 的展开式的通项为， 所以，所以，解得； 【小问2详解】 由（1）知，令，可得， 令，可得，所以； 【小问3详解】 令，可得， 由（2）知， 所以． 17. 已知函数，. （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）试判断函数的单调性. 【答案】（1） （2） 当时，的减区间为，无增区间； 当时，的减区间为，增区间为. 【解析】 【分析】（1）当时，求出、的值，结合导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）对求导，得到，对进行讨论，判断的单调性． 【小问1详解】 当时，，则，所以，，， 故当时，函数在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 函数的定义域为，， 当时，，的减区间为，无增区间； 当时，令，， 时，，单调递减， 时，，单调递增， 综上所述，当时，的减区间为，无增区间； 当时，的减区间为，增区间为. 18. 为庆祝3.8妇女节，东湖中学举行了教职工气排球比赛，赛制要求每个年级派出十名成员分为两支队伍，每支队伍五人，并要求每支队伍至少有两名女老师，现高二年级共有4名男老师，6名女老师报名参加比赛. （1）一共有多少不同的分组方案？ （2）在进入决赛后，每个年级只派出一支队伍参加决赛，在比赛时须按照1、2、3、4、5号位站好，为争取最好成绩，高二年级选择了、、、、、六名女老师进行训练，经训练发现不能站在5号位，若、同时上场，必须站在相邻的位置，则一共有多少种排列方式？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分成两组，根据是否平均分组分别写出即可； （2）首先讨论有限制的、、有哪些人上场，其次若、同时上场，则利用捆绑法，求解即可. 【小问1详解】 队伍分配方案可分为：①两组都是3女2男；②一组是1男4女，另一组是3男2女， ①若两组都是3女2男， 则先将6女平均分成两组共种方式， 再将4男平均分成两组共种方式， 所以两组都是3女2男的情况有种； ②一组是1男4女，另一组是3男2女的情况有种， 所以总情况数为种. 故一共有种不同的分组方案； 【小问2详解】 总共可分为三种情况，如下： ①若上场且不上场： 先将全排列，共有种方式， 再把捆绑后和全排列共有种方式， 所以上场且不上场共有种不同的排列方式； ②若上场且也上场： （i）若在1号位，先将全排列，共有种方式， 再从中选两人，有种方式， 则捆绑后和中的两人全排列，有种方式， 所以在1号位共有种不同的方式； （ii）若在2号位， 再将全排列，且可位于3，4号位或4，5号位，共有种方式， 再从中选两人进行排列，有种方式， 所以在2号位或3号位共有种不同的方式； （iii）若在3号位， 再将全排列，且可位于1，2号位或4，5号位，共有种方式， 再从中选两人进行排列，有种方式， 所以在2号位或3号位共有种不同的方式； （iiii）若在4号位， 将全排列，且可位于1，2号位或2，3号位，共有种方式， 再从中选两人进行排列，有种方式， 所以在4号位共有种不同的方式. 所以上场且也上场共有种不同的方式； ③若中有一人上场且上场： 上场且不在5号位，则可位于1，2，3，4号位，有种方式， 再从中选一人，有种方式， 中的一人和共4人全排列，共种方式， 所以中有一人上场且上场共有种不同的排列方式. 综上所述，共有种排列方式. 19. 已知函数. （1）证明：曲线在处的切线恒过定点； （2）已知有两个零点，且，证明：. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求，计算以及，写出直线方程化简可求出定点； （2）由的零点以及零点的范围可得出，，两式移项做比，变量集中为，得到，可通过判断的单调性及最值得到的范围，从而通过基本不等式可证. 【小问1详解】 由题意得： 所以，因为， 所以曲线在处的切线方程为. 整理得：. 令，解得， 所以曲线在处的切线恒过定点. 【小问2详解】 因为，，， 所以，， 即，； 当时，方程只有一解，不满足题意； 当时，两式相比得，.令，因为，所以， 所以，解得，， 所以， 令，则， 令，则 所以在上单调递增.因为h（1）=0且，所以， 所以，在上单调递增，所以， 所以. 因为， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $