精品解析：山东省五莲县第一中学2024-2025学年高二下学期3月阶段检测数学试题

五莲一中高二年级下学期阶段检测 数学试题测试题 一､单选题：（40分） 1. 若，则（ ） A. 3 B. 6 C. 12 D. -3 2 已知函数，则（   ） A. 0 B. 1 C. D. 3. 若，则以下不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 过原点且与曲线相切的直线有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 6. 已知对于都有，则a的最小值为（ ） A. 1 B. C. 0 D. 7. 已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 若定义在上的函数，，，，可以作为一个三角形的三条边长，则称是上的“三角形函数”．已知函数是定义在区间上的“三角形函数”，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 二､多选题：（18分） 9. 下列命题正确的有（ ） A. ，则 B. ，则 C. D. 设函数的导函数为，且，则 10. 若两曲线与存在公切线，则正实数取值可能是（  ） A. B. C. D. 11. 已知函数有三个零点，记为，则（ ） A. B. 过可作曲线的三条切线 C. D. 三､填空题：（15分） 12. 曲线在点处的切线与坐标轴围成的封闭图形的面积为______ 13. 曲线上的点到直线的最短距离是______． 14. 已知恒成立，则正数的取值范围为______． 四､解答题：（77分） 15. 已知数列的首项，且满足. （1）求，； （2）证明：数列等比数列； （3）求数列的通项公式. 16. 设函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数在区间上的最大值和最小值. 17. 已知函数 （1）求函数单调区间； （2）若恒成立，求的取值范围. 18. 已知数列满足． （1）证明：数列为等差数列； （2）设，记数列的前n项和为． （i）求； （ii）若成立，求m的取值范围． 19. 已知函数， （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）当时，求函数的单调区间； （3）若在上存在零点，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 五莲一中高二年级下学期阶段检测 数学试题测试题 一､单选题：（40分） 1. 若，则（ ） A. 3 B. 6 C. 12 D. -3 【答案】A 【解析】 【分析】先化简得到，转化为导数的定义式，即可求解. 【详解】由， 所以. 故选：A. 2. 已知函数，则（   ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对函数两边同时求导，再由赋值法代入计算可得结果. 【详解】由可得， 令可得，解得. 故选：C 3. 若，则以下不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先构造函数判断出最小，再依据函数单调性去比较的大小即可解决. 【详解】令，则， 由，得，由，得， 即当时单调递减，当时单调递增， 即当时取得最小值， 则有，，即，， 又， 综上的大小关系为. 故选：A 4. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的导数，由题意可得在上恒成立，由此参变分离，结合二次函数的最值即可求得答案. 【详解】因为，所以， 由在上单调递增，得在上恒成立， 即在上恒成立， 即在上恒成立，在上， 二次函数在上单调递增， 当时，二次函数取到最大值， 故，即a的取值范围为， 故选：A 5. 过原点且与曲线相切的直线有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 【答案】C 【解析】 【分析】先求出导函数，再设切点，根据导函数得出切线斜率再应用两点求斜率计算求参进而得出切线即可. 【详解】设切点，因为曲线，所以， 所以，所以， 所以或， 当时，所以，所以切线方程为，即； 当时，所以，所以切线方程为，即； 当时，所以，所以切线方程为，即； 所以切线有3条. 故选：C. 6. 已知对于都有，则a的最小值为（ ） A. 1 B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】将题意的不等式变形为，构造函数，利用函数的单调性得到,再次构造函数，结合导数的应用求出函数的最大值即可. 【详解】对于，由， 可得：， 设，则， 所以函数在上单调递增，所以， 所以 所以， 设，则， 令， 所以在上单调递增，在上单调递减， 得，所以， 即实数的最小值为. 故选：B 7. 已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，根据题意可判断，是偶函数，在上是增函数，在减函数，把原不等式转化为解不等式，进而，解得即可. 【详解】令，则， 当时，，所以当时，， 即在上是增函数，由题意是定义在上的偶函数，所以， 所以，所以是偶函数，在单调递减， 所以，， 即不等式等价为， 所以，解得或， 所以不等式的解集为． 故选：D 8. 若定义在上的函数，，，，可以作为一个三角形的三条边长，则称是上的“三角形函数”．已知函数是定义在区间上的“三角形函数”，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导，得到函数单调性和最值，由题意得，即，求出答案. 【详解】，令得， 令得， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，， 又，， 故， 由题意得，即， 解得. 故选：A 二､多选题：（18分） 9. 下列命题正确的有（ ） A. ，则 B. ，则 C. D. 设函数的导函数为，且，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据基本初等函数的求导公式和求导的四则运算逐一判断即可. 【详解】对于A项，，则，故A项正确； 对于B项，，故B项错误； 对于C，因为，故C错误； 对于D，因为，故，故D正确. 故选：AD. 10. 若两曲线与存在公切线，则正实数的取值可能是（  ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】首先设出两个函数在两点处的切线，利用待定系数法将用表示，再构造函数解决函数最值即可． 【详解】解：设 由两曲线与分别求导得， 所以， 故在处切线为：，整理得：， 在处切线为，整理得：， 所以，解得， 构造函数，， 令，解得：，故在递增，在递减， 故， ∵正实数，∴的取值范围是， 故选：ABC 11. 已知函数有三个零点，记为，则（ ） A. B. 过可作曲线的三条切线 C. D 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，对求导，求出函数极值，结合条件得，即可求解；对于B，设出切点，结合条件，利用导数的几何意义得，构造函数，将问题转化成的解的个数，即可求解；对于选项C，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，得在上递增，从而得到，再利用单调性，即可求解；对于选项D，构造，再利用导数与函数单调性间的关系，得在上递增，从而得到，再利用单调性，即可求解. 【详解】由题意，得，令，得到或， 令，得或，令，得， 则的增区间为，减区间为， 所以极大值，极小值． 因为函数有三个零点，所以，解得，所以选项A正确； 对于选项B，设切点，则， 所以切线方程， 将代入切线方程，得， 令，则， 由，得到或， 当或时，，当时，， 则的增区间为，减区间为， 所以极大值，极小值， 又时，，时，，所以有两个解， 即过可作曲线的两条切线，所以选项B错误； 对于选项C，令， 则， 所以在区间上递增．因为，所以， 即，因为，所以， 因为，且在区间上单调递增， 所以，即，所以选项C正确， 对于选项D，令， 则， 所以在区间上递增．因为，所以， 即，因为，所以， 因为，且在区间上递增，所以，即， 所以选项D正确， 故选：ACD． 三､填空题：（15分） 12. 曲线在点处的切线与坐标轴围成的封闭图形的面积为______ 【答案】##0.25 【解析】 【分析】求出函数的导数，从而求得切线斜率，写出切线方程，求出切线与坐标轴的交点坐标，然后得到面积. 【详解】所以， ∴曲线在点处的切线斜率， ∴切线方程：， 切线与坐标轴交点为， ∴封闭图形的面积：. 故答案为：. 13. 曲线上的点到直线的最短距离是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用数形结合方法，结合指数函数的图象和利用导数研究切线，求得与已知直线平行的切线的切线坐标，进而得解. 【详解】，曲线在  处的切线斜率为 ， 对应切点，切线与直线  平行，如图所示. 此时距离最短. 曲线 上点到直线的最短距离为, 故答案为：. 14. 已知恒成立，则正数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】将原不等式同构为，即，令，分析单调性可得，令利用导数求出最值得解. 【详解】由，可得． 令，易知在上单调递增， 由，可得， 故，即. 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则， 所以，即， 故正数的取值范围是. 故答案为：. 四､解答题：（77分） 15. 已知数列首项，且满足. （1）求，； （2）证明：数列为等比数列； （3）求数列的通项公式. 【答案】（1），； （2）证明见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）直接代入计算即可； （2）变形得，即可证明； （3）根据（2）的结论得，再移项即可. 【小问1详解】 ，. 【小问2详解】 由得， 且，所以数列是首项为2，公比为3的等比数列. 【小问3详解】 由（2）知数列是首项为2，公比为3的等比数列， 所以， 即. 16. 设函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数在区间上最大值和最小值. 【答案】（1） （2）最大值为18，最小值为 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义即可求解； （2）求导，确定单调性即可求解. 【小问1详解】 解：，所以， 所以切线的斜率， 又因为， 所以曲线在点处的切线方程为：， 即. 【小问2详解】 因为， 所以或， 0 + 0 - 0 + 单调递增 2 单调递减 单调递增 所以当时，在单调递减， 当时，在单调递增， 因为， 所以， 所以函数在区间上的最大值为18，最小值为. 17. 已知函数 （1）求函数的单调区间； （2）若恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求导并分类讨论，根据导数的正负确定函数的单调区间； （2）由条件可得恒成立，设，求导并分类讨论，确定的单调性及最大值，可得，令，，利用的单调性确定的范围，从而可得范围. 【小问1详解】 的定义域为， ，， 当时，，则在上单调递增； 当时，当时，， 当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减， 综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为；的单调递减区间为. 【小问2详解】 若恒成立，即恒成立， 则恒成立， 设， ， ∵，∴， 当时，，则在上单调递增， 当时，， 所以不合题意； 当时，当时，， 当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减， 则的最大值为， 则， 令，， ，则在上单调递增， 又， ∴由，得， ∴且， ∴. 18. 已知数列满足． （1）证明：数列等差数列； （2）设，记数列的前n项和为． （i）求； （ii）若成立，求m的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）等式两边同时除以可得； （2）（ii）由错位相减法求和即可； （ii）构造数列，由不等式组求数列的最值大即可. 【小问1详解】 因为，即， 所以数列是以为首项，3为公差的等差数列. 【小问2详解】 （i）由（1）知， 所以， 所以， 所以， ， 所以 ， 所以. （ii）因为， 所以， 令， 不妨设的第项取得最大值， 所以，解得， 所以的最大值为， 所以，即m的取值范围是. 19. 已知函数， （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）当时，求函数的单调区间； （3）若在上存在零点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）单调递减区间为单调递增区间为 （3） 【解析】 【分析】（1）代入得到函数解析式，求出切点坐标.求函数的导数得到切线斜率，然后写出切线方程； （2）代入得到函数解析式，求函数的导数，令，再求的导数，从而知道的单调性，由此得到对应区间内，从而得到函数的单调区间. （3）由解析式分析得到函数在上存在零点，则.求函数导数，由（2）可知且.然后分类讨论：①，证明当，，且，得到结论；②时，使得，得到，通过换元后求导，证明，由零点存在性可知存在零点，故得到结果. 【小问1详解】 当时，，，切点为， ，∴，∴切线方程为： 【小问2详解】 当时，， 令，，令，得到， ∴时，，∴在单调递增，即在单调递增； ∴时，，∴在单调递减，即在单调递减； ∵，且时，恒成立， ∴变化时，的变化情况如下表： 0 极小值 ∴的单调递减区间是，单调递增区间为， 【小问3详解】 ， ∵时，，，∴，若，则恒成立， ∵在上存在零点，∴； ，由（2）可知在单调递增，在单调递减. ∴，∵，∴， ①若，即，时， ，，，， ∴，，∴在单调递增，∴， ∴无零点. ②若，即，时， ∵，使得，当时，， ∴变化时，的变化情况如下表： 0 极小值 ∴在上单调递减，∴，∴在无零点. ，， ，单调递增，∴，∴ ，，∴，∴ ∴，∴在上存在零点. 综上所述，若在上存在零点，实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛，连续函数在区间是否存在零点，只需证明，使得，本题借助导数求得函数的单调区间及最值，从而研究函数是否存在零点问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $