四川省雅安中学2024-2025学年高一下期3月考试数学试题

雅安中学2024-2025学年下期3月考试高一年级 数学试题 (命题人：黄播审题人：备课组) 本试卷分第1卷选择题和第川卷非选择题，满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、座位号和准考证号填写在答题卡相应位置上。 2.第丨卷的答案用2B铅笔填涂到答题卡上，第川卷必须将答策填写在答题卡规定位置。回 答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束，将答题卡交回。 第I卷（选择题 共58分) 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一个 选项是符合题意的) 1,79im30°cos30°=0 B.4 c.3 D. 8 【答案】C 2.下列函数中是奇函数，且最小正周期为π的函数是() A.y=tan2x B.y=cos.x C.y=cos2x D.y=sin2x 【答案】D 3.把函数y=sm3x图象上的所有点（)可得到函数y=sm3x-4) 的图象 A.向左平移”个单位 B. 4 向右平移好个单位 C.向左平移 2 个单位 D.向右平移1 个单位 【答案】D 4.设C,、已是不共线的两个向量，则下列四组向量不能作为基底的是() A.g和e+e2 B.g-2E与-g+2e, C.g+e与e1-e2 D.3e-e,与4e,-e 【答案】B 试卷第1页，共10页 5.设ā、五是任意两个非零向量，则“a方=0”是“a1的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件 【答案】C 4 6.若∈0， 4 sin a+ 4 则coSo=() A.② B.-② c.72 D.-7 10 10 10 10 【答案】C 【解1因为e则a+ 所以， cos 因此， cwa=m[a+升到-owa+m子a+n 3V242_72 525210 7.已知1w>0,函数f(x)=3sin w*》 2在区间 上单调递减，则的取值范围是 () B.(0,2] C nB 【答案】D 【解】由2+受m+牙2部太eZ,得2c无s 2 2m+5π，keZ 141 即函数的单调递减区间为 2kπ，π2kπ，5π] ,keZ, 1p41p14 令k=0,则函数∫(x)其中一个的单调递减区间为： π5π 4'4p 函数f(x)在区间 2,π内单调递减， 「5π 1 ≥π 1≥ 41Ψ 2 则满足 得 所以的取值范围 4w2 1≤ 8.在△ABC中，cosA:cosB:cosC=2:2:7,则cosC=() A日 7 B.10 c.2 D. 7 【答案】A 试卷第2页，共10页 【解】记ab,c分别为角A,BC的对边，根据题意，A=B,cosA-2 cos C 7 COS A=COSC' 号6or-2)-3cos24=-32cos94-》. 4c092A+7c0S4-2=0,c0sA=或c0sA=-2(舍去)， 4 cosC= 7 7 -8 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得6分，部分选对得3分，有选错的0分) 9.下列命题正确的是() A.零向量是唯一没有方向的向量 B.零向量的长度等于0 a B C.若，都为非零向量，则使 =0成立的条件是ā与方反向共线 D.若a=,c=b,则a=c 【解】A零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误； B.由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B正确： a c因为a' T都是单位向量，所以只有当同与同是相反向量，即ā与6反向共线时才成立， 故C正确； D.由向量相等的定义知D正确： 故选：BCD 8右侧 10.已知函数f0)-Am(ox+o。>0叫习的部分图象如图所示（分隔直线x= 函数的零点为”严)，则下列说法正确的是() 8 5π 7π 8 8 试卷第3页，共10页 A.函数(x)的最小正周期为π B.g 5π7π C. D. 函数f(x)在 44 上单调递增 【解】对于A,由图可知，函数f(x)的最小正周期T=2× 7π5π 8 8 故A错误； 对于B.由0产登2 所以f(x)=Atan(2x+p), 2 因为(g）4牙*p小0，则平pke列.则0=平c四， (7兀 因为子则子故B正确： 对于c,fe)=4m2+到》，又04m子1，所以41， 4 所以f(x)=tam2x+, 4 6等，故c正确， 得1匹<2x+亚15m 4 4 4 面2x+牙受即“时，）4 7π 没有意义，故D错误： 8 (8 2 故选：BC 11.已知函数f(x)=sinx+cosx+sin2.x+cos2x,则() A.兀是f(x)的一个周期 B.f(x)是非奇非偶函数 C.f(x)的最小值为-2√2 D.关于x的方程f(x)=f(2x)有无数个实数解 【解】对于A,由f(x+π)=sin(x+π)+cost+πHsin(2x+2πHcos(3+2π) =-sinx-cosx+sin2x+cos2x≠f(),则兀不是函数f(x)的一个周期，故A错误； 对于B,由f(x)=sinx+cosx+sin2x+cos2x,则其定义域为ò， f(-x)=sin (x)+cos(x)+sin 2(x)+cos2(-x)=-sinx+cosx-sin 2x+cos 2x, 所以函数∫(x)是非奇非偶函数，故B正确： 试卷第4页，共10页 对于C,imx+cosx=万smx+上-5，当且仅当x=-3亚+2k,k∈Z,等号成立： 4 4 m2+cos2x=归m2牙2当且议当誓k,名e么，等号成立 P 由-经-2流≠-无，则f≥-25，妆c错误： 对于D,由f(x)=f(2x), sinx+cosx+sin 2x+cos2x=sin 2x+cos 2x+sin 4x+cos4x, 可得sinx+cosx=sin4r+cos4K,整理可得V反simx+=5sn4x+ 4 4 解得x+亚4怀++2km或x+ 4 +r-（4+到，ez。 化简可得x= 2或亚+2m,keZ,故D正确， 31 105 故选：BD 第Ⅱ卷（非选择题 共92分) 三、填空题 (共3个小题请将正确答案填写在答题卡相应位置) 12.若sinx= 2 则c0s2x= 【答案 13.设a,5为单位向量，ā在6方向上的投影向量为-号五，则a-2=一 【答案】√万 ab 1 【解】由题意可知， 所以a-2五=va2+462-4a.万=M+4+2=万 14.如图，在VABC中，已知BD=DC,A正=2C,P是线段AD与B驱的交点，若 AP=mAB+nAC,则m+n的值为】 试卷第5页，共10页 【答案】9 【解】此题共有3个方法，提供其：设=D0<A<,由BD-=c得BD-C, AF-AD-(AB+BD)-B+B(C-AB) +c 由A花=2C得A证=AC, 故亚经亚丽， 3 由于8n8三点共线，放头+子-1，则1-写 32 3 又A=mAB+nAC,故m=22n 3, 21.16 所以m+n= 33=7’ 故答案为： 四、解答题（共5个小题请将正确答案填写在答题卡相应位置） 15.(13分)设e,e是两个不共线的向量，如果AB=3-2e,BC=4e+e,CD=e,-9e,. (1)求证：A,B,D三点共线： (2)试确定1的值，使2+e,和e+e共线； 解(1)因为BD=BC+CD=4e1+e2+&1-2=1221-&,=421-22244B, 所以A正与BD共线 因为AB与BD有公共点B, 所以A,B,D三点共线。 (2)因为2e+e和e+2e共线， 所以存在实数4，使2E+巴=4(+肥) 「2=u 因为ξ，是两个不共线的向量，所以 1= 所以九=士 2 试卷第6页，共10页 16.(15分)已知函数f(x)=Asin(x+9)(其中A>0,w>0,l网<)的部分图像如图 2 所示， 2 7元 12 -2 (1)求f(x)的解析式： @8)的值： (3)求函数f(x)的单调递增区间. T_7π九_π 【解】(1)由图可知：A=2,41234 所以T=元，所以0=20-2亚=2， 又图像过点 臣2小所-2=227径+0 即s2x7+p=-1,2x7证+ 7π “设0=分2版e2. 所以2点晋：☑，又因为M受所以9 3 所0=2m2+写引 “气2 =2 (3) 2m- s2x+≤2+(ke☑，解得m-证sxsm+亚(k∈Z, 3 12 12 所以函数∫(x)的单调递增区间为： -SLk+] (k∈Z) 1212 17.(15分)如图，在菱形ABCD中，B亚=BC,C京=2D D B (1)若EF=xAB+yAD,求3x+4y的值； (2)若AB=3,∠BAD=60°，求AEF 试卷第7页，共10页 【解】(1)因为在菱形ABCD中，B正=BC,CF=2FD 2 故环=c+亚0-西， 3=2所以3x+4y=0, (2)显然正=AB+,AD, 所以取-(6+号0}而洒 =丽+而+名而0 因为菱形ABCD,且AB=3,∠BAD=60°，故AD=3,(AB,AD)=60°. 所以AB.AD=3×3×c0s60°=9 2 放0式 ×3+x32+ =-3 4 12 故A正.EF=-3. 18.(17分)如图，某公园有一块扇形人工湖OMN,其中圆心角∠MON= 年，半径为1干 米，为了增加观赏性，公园在人工湖中划分出一片荷花池，荷花池的形状为矩形ABCD(四 个顶点都落在扇形边界上)：再建造一个观景台，形状为△DAM,记∠MOD=. a A (1)当角α取何值时，荷花池的面积最大？并求出最大面积 (2)若在OA的位置架起一座观景桥，已知建造观景桥的费用为每千米8万元（不计桥的宽度 )；且建造观景台的费用为每平方千米16万元，求建造总费用的范围， 【解】1)由题意可得l04=cosa40=如a,其巾0<a<子 在RtAOCB中，lOB=|BC=sina,则AB=OA-|OB=cosa-sina 所以S矩iscm=CDAD=-(cos&-sinc)sin a=coss-in'a -5nawa- +π1 -sin 2a+- 2 42 试卷第8页，共10页 因为0a至所以耳2a+子识 441 所以当2+聋行即Q专时，矩形A8CD的面积取最大值， 2 所以当a=受时，荷花池的面积最大，最大面积51（年方干米）： (2)由(1)可知AM=1-AB-OB=1-cosa,则 S.p(-cos@)sina, 设建造总费用为y万元， 则y=8cosw+16x1-cos)四sinm=8(sima+cos）-8 sin 令t=sina+cosa=√2 sina+ 4 因为0<a<, 所以牙a子至所以u回. 4 4 则sina cos= 2-1 2 所以y=0-8- 2-4r248+4e尽5-4,8）】 所以建造总费用的范围为(8√2-4,8)万元. 19.(17分)三角代换是解决代数问题时的常用的重要手段之一，简单的三角代换通常是通 过将问题中给出的未知数设成某个角的正弦、余弦、正切、余切等形式，从而利用常用的三 角公式将题目中的条件进行化简如：可将y2-x2=1中的x与y分别设为x=am0与 1 V=- 请使用适当的三角代换，完成如下两个问题： os日 (1)已知非负实数x,y,满足x2+y2=1.证明：3x+2y≤√13， (2)设a,b,c为正实数，且abc+a+c=b.求p=- 33+ 4的最大值. +1b2+1c2 【解】(1)由x2+y2=1,设x=cos0,y=sin0, 3 则3x+2y=3cos0+2sin0=√13sin(θ+9其中p为锐角，且tanp= 故当09时，3双+2取设大位厅， 故3x+2y≤V13 (2)由abc+a+c=b可得b=a+c 1-ac 试卷第9页，共10页 设a=la团ab-mRe=ty.a.P.7e0写， 且B=x+y, 则tanB= tana+tany Q--tan tan),满足abc+a+c=b 3-3+4,-3c0s2ax-3cos20+4co27】 3 3 则卫= a2+1b2+1c2+1 cos2c 2+4co --3sin(a+B)sin(a-B)+4cos2y=3sin(a+B)sin y+4cosys3siny+4-4sin2y, 由于3siny+4-4sin27=-4sin7- 3+73≤3 81616 当且仅当sm7=3且a+B=)时取到等号，故最大值为 81 16 故答案为： 73 16 试卷第10页，共10页 雅安中学2024-2025学年下期3月考试高一年级 数学试题 本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、座位号和准考证号填写在答题卡相应位置上. 2.第Ⅰ卷的答案用2B铅笔填涂到答题卡上，第Ⅱ卷必须将答案填写在答题卡规定位置.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束，将答题卡交回. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题意的） 1. （    ） A. B. C. D. 2. 下列函数中是奇函数，且最小正周期为的函数是（ ） A. B. C. D. 3. 把函数图象上的所有点（ ）可得到函数的图象. A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 4. 设、是不共线的两个向量，则下列四组向量不能作为基底的是（ ） A. 和 B. 与 C. 与 D. 与 5. 设、是任意两个非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 6. 若，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，则（） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得3分，有选错的0分） 9. （多选题）下列命题正确的是（ ） A. 零向量是唯一没有方向的向量 B. 零向量的长度等于0 C. 若都为非零向量，则使成立的条件是与反向共线 D. 若则 10. 已知函数的部分图象如图所示（分隔直线右侧函数的零点为），则下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. C. D. 函数在上单调递增 11. 已知函数，则（ ） A. 是的一个周期 B. 是非奇非偶函数 C. 的最小值为 D. 关于x的方程有无数个实数解 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（共3个小题.请将正确答案填写在答题卡相应位置） 12. 若，则__________． 13. 设，为单位向量，在方向上的投影向量为，则____． 14. 如图，在中，已知是线段与的交点，若，则的值为__________. 四、解答题（共5个小题.请将正确答案填写在答题卡相应位置） 15. 设，是两个不共线的向量，如果，，. （1）求证：A，B，D三点共线； （2）试确定的值，使和共线； 16. 已知函数（其中，，）的部分图像如图所示， （1）求 （2）的值 （3）求函数的单调递增区间. 17. 如图，在菱形中，. （1）若，求的值； （2）若，求. 18. 如图，某公园有一块扇形人工湖OMN，其中圆心角，半径为1千米，为了增加观赏性，公园在人工湖中划分出一片荷花池，荷花池的形状为矩形(四个顶点都落在扇形边界上)；再建造一个观景台，形状为，记 （1）当角取何值时，荷花池的面积最大？并求出最大面积. （2）若在OA的位置架起一座观景桥，已知建造观景桥的费用为每千米8万元不计桥的宽度；且建造观景台的费用为每平方千米16万元，求建造总费用的范围. 19. 三角代换是解决代数问题时的常用的重要手段之一．简单的三角代换通常是通过将问题中给出的未知数设成某个角的正弦、余弦、正切、余切等形式，从而利用常用的三角公式将题目中的条件进行化简如：可将中的x与y分别设为与．请使用适当的三角代换，完成如下两个问题： （1）已知非负实数x，y，满足．证明：． （2）设a，b，c为正实数，且．求的最大值． 雅安中学2024-2025学年下期3月考试高一年级 数学试题 本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、座位号和准考证号填写在答题卡相应位置上. 2.第Ⅰ卷的答案用2B铅笔填涂到答题卡上，第Ⅱ卷必须将答案填写在答题卡规定位置.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束，将答题卡交回. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题意的） 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】A 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得3分，有选错的0分） 【9题答案】 【答案】BCD 【10题答案】 【答案】BC 【11题答案】 【答案】BD 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（共3个小题.请将正确答案填写在答题卡相应位置） 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题（共5个小题.请将正确答案填写在答题卡相应位置） 【15题答案】 【答案】（1） 因为， 所以与共线. 因为与有公共点B， 所以A，B，D三点共线. （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1），最大值为(平方千米)； （2）万元 【19题答案】 【答案】（1）证明：由，设，， 则其中为锐角，且， 故当时，取最大值， 故 （2） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $