7.1.2 全概率公式 课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7.1.2　全概率公式 济 南 市 钱 学 森 高 级 中 学 条件概率及其公式 一般地，设，为两个随机事件，且，我们称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率，简称条件概率. Ω 读法：一般把读作在事件发生的条件下，事件发生的概率. 复习回顾 条件概率同样具有概率的性质，设P(A)>0，则 (1)0≤P(B|A)≤1； (2)P(Ω|A)＝1； (3)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝_________________； (4)设和B互为对立事件，则P＝1－___________． P(B|A)＋P(C|A) P(B|A) A B AB C AC B 复习回顾 整体感知 [学习目标]　 1．了解利用概率的加法公式和乘法公式推导全概率公式．(数学抽象) 2．理解全概率公式，会用全概率公式计算概率．(数学运算) 3．了解贝叶斯公式，并会简单应用．(数学抽象、数学运算) 探究1　全概率公式 探究问题　一个盒子里装有同一型号的7只好的晶体管、5只坏的晶体管，每次随机摸出1只，摸出的晶体管不放回，则 (1)第一次摸到好的晶体管的概率是多少？ (2)第二次摸到好的晶体管的概率又是多少？ (1)P＝. (2)设Ai表示事件“第i次摸到好的晶体管”， Bi表示事件“第i次摸到坏的晶体管”，i＝1，2. 则A2＝A1A2∪B1A2，且A1A2与B1A2互斥， ∴P(A2)＝P(A1A2∪B1A2)＝P(A1A2)＋P(B1A2) ＝P(A1)P(A2|A1)＋P(B1)P(A2|B1) ＝＝. 一个盒子里装有同一型号的7只好的晶体管、5只坏的晶体管，每次随机摸出1只，摸出的晶体管不放回，则 (1)第一次摸到好的晶体管的概率是多少？ (2)第二次摸到好的晶体管的概率又是多少？(3)两个事件有怎样的关系？ (1)P＝. (3)这两个事件的概率相等． [新知生成] 一般地，设A1，A2，…，An是一组__________的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω， 有P(B)＝ 两两互斥 称此公式为全概率公式． 【教用·微提醒】　(1)全概率公式体现了转化与化归的数学思想，即采用了化整为零的方式，把各块的概率分别求出，再相加求和． (2)全概率公式实质上是条件概率性质的推广形式：P(B)＝P(A1B)＋P(A2B)＋…＋P(AnB)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋…＋P(An)P(B|An). [典例讲评]1．采购员要购买某电器元件一包(10个)．他的采购方法是：从一包中随机抽查3个，如这3个元件都是好的，才买下这一包．假定含有4个次品的包数占30%，其余包中各含1个次品，求采购员随机挑选一包拒绝购买的概率． [解]　设事件B1＝“取到的是含有4个次品的包”，事件B2＝“取到的是含有1个次品的包”，事件A＝“采购员拒绝购买” 则P(B1)＝，P(B2)＝. 由古典概型计算概率公式知： P(A|B1)＝＝， P(A|B2)＝＝. 由全概率公式，可知 P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2) ＝＝. 采购员随机挑选一包拒绝购买的概率为. 反思领悟　两个事件的全概率问题求解策略 (1)拆分：将样本空间拆分成互斥的两部分如A1，A2(或A与)． (2)计算：利用乘法公式计算每一部分的概率． (3)求和：所求事件的概率P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)． [学以致用]　1．某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查，参加活动的甲、乙两班的人数之比为5∶3，其中甲班中女生占，乙班中女生占.求该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率． [解]　设事件A1＝“此同学是甲班的”，事件A2＝“此同学是乙班的”， 事件B ＝“此同学是女生”则Ω＝A1∪A2，且A1，A2互斥，B⊆Ω， 由题意可知，P(A1)＝，P(A2)＝， 且P(B|A1)＝，P(B|A2)＝. 由全概率公式可知P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2) ＝＝. 探究2　多个事件的全概率问题 [典例讲评]　2．假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如下表所示。在该市场中任意买一部智能手机，求买到的是优质品的概率． 品牌 甲 乙 其他 市场占有率 50% 30% 20% 优质率 95% 90% 70% [解]　用A1，A2，A3分别表示买到 的智能手机为甲品牌、乙品牌、 其他品牌的事件，B表示买到的是 优质品的事件， 则Ω＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥， 可得P(A1)＝50%，P(A2)＝30%，P(A3)＝20%， 且P(B|A1)＝95%，P(B|A2)＝90%，P(B|A3)＝70%， 因此，由全概率公式有P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3) ＝50%×95%＋30%×90%＋20%×70%＝88.5%. 反思领悟　“化整为零”求多事件的全概率问题 (1)如图，P(B)＝ (2)已知事件B的发生有各种可能的情形Ai(i＝1，2，…，n)，事件B发生的可能性，就是各种可能的情形Ai发生的可能性与已知在Ai发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和． [学以致用]　2．从数字1，2，3，4中任取一个数，记为X，再从1，…，X中任取一个数，记为Y，则P(Y＝2)＝________． 由题意知P(X＝1)＝P(X＝2)＝P(X＝3)＝P(X＝4)＝， P(Y＝2|X＝1)＝0，P(Y＝2|X＝2)＝，P(Y＝2|X＝3)＝，P(Y＝2|X＝4)＝， 由全概率公式得P(Y＝2)＝ P(X＝1)P(Y＝2|X＝1)＋P(X＝2)P(Y＝2|X＝2)＋P(X＝3)·P(Y＝2|X＝3) ＋P(X＝4)P(Y＝2|X＝4) ＝＝. 探究3　全概率公式与贝叶斯公式的综合应用 [典例讲评]　3．某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的．根据以往的记录有以下的数据： 元件制造厂 次品率 提供元件的份额 Ⅰ 0.02 0.15 Ⅱ 0.01 0.80 Ⅲ 0.03 0.05 设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别标志． (1)在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率； (2)在仓库中随机地取一只元件，若已知取到的是次品，求此次品由三家工厂生产的概率分别是多少． 制造厂 次品率 提供元件份额 Ⅰ 0.02 0.15 Ⅱ 0.01 0.80 Ⅲ 0.03 0.05 (1) 随机取一只元件，是次品的概率；(2)在仓库中随机取一只元件，若已知取到的是次品，求此次品由三家工厂生产的概率分别是多少． [解]　设事件A=“取到的是一只次品”，Bi(i＝1，2，3)=“取到的产品是由第i家工厂提供的”． 本题的概率树状图为： 易知P(B1)＝0.15，P(B2)＝0.80，P(B3)＝0.05， P(A|B1)＝0.02，P(A|B2)＝0.01，P(A|B3)＝0.03. 设事件A=“取到的是一只次品”，Bi(i＝1，2，3)=“取到的产品是由第i家工厂提供的”． P(B1)＝0.15，P(B2)＝0.80，P(B3)＝0.05，P(A|B1)＝0.02，P(A|B2)＝0.01，P(A|B3)＝0.03. (1)由全概率公式得P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＋P(A|B3)P(B3) ＝0.012 5. (2)由贝叶斯公式得P(B1|A)＝＝＝0.24. 同理可得P(B2|A)＝0.64，P(B3|A)＝0.12. (1)在仓库中随机地取一只元件，是次品的概率； (2)在仓库中随机地取一只元件，若已知取到的是次品，求此次品由三家工厂生产的概率分别是多少． 反思领悟　贝叶斯公式的内涵 (1)公式P(A1|B)＝＝反映了P(A1B)，P(A1)，P(B)，P(A1|B)，P(B|A1)之间的互化关系． (2)P(A1)称为先验概率，P(A1|B)称为后验概率，其反映了事情A1发生的可能在各种可能原因中的比重． [学以致用]　3．设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车中途停车修理的概率为0.01，今有一辆汽车中途停车修理，求该汽车是货车的概率． [解]　设B＝“中途停车修理”，A1＝“经过的是货车”， A2＝“经过的是客车”，则B＝A1B∪A2B， 由贝叶斯公式得 P(A1|B)＝＝＝0.8. 应用迁移 √ 1．已知P(BA)＝0.4，P(B)＝0.2，则P(B)的值为(　　) A．0.08 B．0.8 C．0.6 D．0.5 因为P(BA)＝P(A)P(B|A)， P(B)， 所以P(B)＝P(A)P(B|A)＋P() ＝0.4＋0.2＝0.6 2．有朋自远方来，乘火车、船、汽车、飞机来的概率分别为0.3，0.2，0.1，0.4，迟到的概率分别为0.25，0.3，0.1，0.则他迟到的概率为(　　) A．0.65 B．0.075 C．0.145 D．0 √ 设A1＝“乘火车来”，A2＝“乘船来”，A3＝“乘汽车来”， A4＝“乘飞机来”，B＝“迟到”．易知A1，A2，A3，A4两两互斥由全概率公式得P(B)＝ ＝0.3×0.25＋ 0.2×0.3＋0.1×0.1＋0.4×0 ＝0.145 √ 设A＝“此人恰是色盲”，B1＝“随机挑选一人为男人”， B2＝“随机挑选一人为女人”， 则P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2) ＝×0.05＋×0.002 5＝0.026 25. 3．已知5%的男人和0.25%的女人患色盲，假设男人、女人各占一半，现随机地挑选一人，则此人恰是色盲的概率为(　　) A．0.012 45 B．0.057 86 C．0.026 25 D．0.028 65 4．甲袋中有3个白球和2个黑球，乙袋中有4个白球和4个黑球，今从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，则该球是白球的概率为________． 设A＝“从乙袋中取出的是白球”， Bi＝“从甲袋中取出的两球恰有i个白球”，i＝0，1，2. 由全概率公式P(A)＝P(B0)P(A|B0)＋P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2) ＝＝. 　 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．你能写出全概率公式吗？ 　全概率公式：P(B)＝ 2．什么情况下使用全概率公式？ 若某一事件的发生可能是由多种情况(原因)引起，那么求此事件的概率，用全概率公式． 课时分层作业(十三)　全概率公式 一、选择题 1．一袋中装有10个球，其中3个黑球、7个白球，从中先后随意各取一球(不放回)，则第二次取到的是黑球的概率为(　　) A． B． C． D． 记事件A，B分别表示第一、二次取到的是黑球， 则P(B)＝P(AB)＋P( )＝， 于是P(B)＝＝. C 2．某种疾病的患病率为0.5%，通过验血诊断该病的误诊率为2%，即非患者中有2%的人验血结果为阳性，患者中有2%的人验血结果为阴性，随机抽取一人进行验血，则其验血结果为阳性的概率为(　　) A．0.068 9 B．0.049 C．0.024 8 D．0.02 P＝0.5%×(1－2%)＋(1－0.5%)×2%＝0.024 8. C 3．现有完全相同的甲，乙两个箱子(如图)，其中甲箱装有2个黑球和4个白球，乙箱装有2个黑球和3个白球，这些球除颜色外完全相同．某人先从两个箱子中任取一个箱子，再从中随机摸出一球，则摸出的球是黑球的概率是(　　) A． B． C． D． B 记事件A表示“球取自甲箱”， 事件表示“球取自乙箱”， 事件B表示“取出黑球”， 则P(A) ＝ P( ) ＝＝ 4．长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约30%的人近视，而该校大约有40%的学生每天玩手机超过2 h，这些人的近视概率约为60%.现从每天玩手机不超过2 h的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为(　　) A． B． C． D． A 令A1＝“玩手机时间超过2 h”，A2＝“玩手机时间不超过2 h” B＝“任意调查一人，近视”，则Ω＝A1∪A2，且A1，A2互斥． P(A1)＝0.4，P(A2)＝0.6，P(B|A1)＝0.6，P(B)＝0.3， 由全概率公式可知，P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2) ＝0.4×0.6＋0.6×P(B|A2)＝0.3， 得P(B|A2)＝ 5．(多选)箱子中有6个大小、材质都相同的小球，其中有4个红球、2个白球．每次从箱子中随机地摸出一个球，摸出的球不放回．设事件A表示“第1次摸球，摸到红球”，事件B表示“第2次摸球，摸到红球”，则下列结论正确的是(　　) A．P(A)＝ B．P(B)＝ C．P(B|A)＝ D．P(B|)＝ AD P(A)＝＝，A正确； P(B|A)＝＝ )＝＝＝. P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()·P(B|) ＝＝. 二、填空题 6．根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验有如下效果：若以事件A表示“试验反应为阳性”，以事件C表示“被诊断者患有癌症”，则有P(A|C)＝0.95，P(|)＝0.95，现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为0.005，即P(C)＝0.005，则P(C|A)＝________．(精确到0.001) 0.087 由题设，有P()＝1－P(C)＝0.995， P(A|)＝0.05， 由贝叶斯公式，得P(C|A)＝≈0.087. 7．学校有a，b两个餐厅，如果王同学早餐在a餐厅用餐，那么他午餐也在a餐厅用餐的概率是；如果他早餐在b餐厅用餐，那么他午餐在a餐厅用餐的概率是.若王同学早餐在a餐厅用餐的概率是，那么他午餐在a餐厅用餐的概率是________． 设A1表示“早餐去a餐厅用餐”，B1表示“早餐去b餐厅用餐”， A2表示“午餐去a餐厅用餐”，且P(A1)＋P(B1)＝1， 由题意得P(A1)＝，P(B1)＝，P(A2|A1)＝，P(A2|B1)＝， 由全概率公式得P(A2)＝P(A1)P(A2|A1)＋P(B1)P(A2|B1) ＝＝. 8．人们为了解一支股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票价格的基本因素，比如利率的变化．现假设人们经分析估计利率下调的概率为60%，利率不变的概率为40%.根据经验，人们估计，在利率下调的情况下，该支股票价格上涨的概率为80%，而在利率不变的情况下，其价格上涨的概率为40%，则该支股票将上涨的概率为________． 设A “利率下调”， “利率不变”，B “股票价格上涨”． 依题意知P(A)＝0.6，P() ＝ 0.4， ) ＝0.6×0.8＋0.4×0.4＝0.64 0.64 THANKS $$