精品解析：吉林省松原市前郭县北部学区2024～2025学年下学期第一次月考试卷 八年数学

八年数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件．注意二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 由二次根式在实数范围内有意义，可得，继而求得答案． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， ∴． 故选：A 2. 下列根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．根据最简二次根式的定义进行判断即可． 【详解】解：，不是最简二次根式，故选项A错误； ，不是最简二次根式，故选项B错误； 是最简二次根式，故选项C正确； ，不是最简二次根式，故选项D错误； 故选C． 3. 已知一个直角三角形的两条边长分别为和1，则第三边长为（ ） A. B. 2 C. 或2 D. 或4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，分两种情况，①当和1均为直角边时，②当1为直角边，为斜边时，根据勾股定理分别求出第三条边长即可． 【详解】解：分两种情况： ①当和1均为直角边时，第三条边长； ②当1为直角边，为斜边时，第三条边长； 综上所述，第三边长为或2， 故选：C． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解答的关键． 根据二次根式的运算法则分析判断即可． 【详解】解：A、，选项正确，符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、与不是同类二次根式，不能进行加法运算，原计算错误，不符合题意； D、与不是同类二次根式，不能进行减法运算，原计算错误，不符合题意， 故选：A． 5. 如图，在中，，分别以点、为圆心，以长为半径画弧，两弧相交于点，连接、．若，，则的周长为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，尺规作图—作线段，根据作图可知：，勾股定理求出的长，利用周长公式进行求解即可． 【详解】解：由作图可知：， ∵，，， ∴， ∴， ∴的周长为； 故选C． 6. 如图所示的所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，在图中找出若干个图形，使得它们的面积之和恰好等于最大正方形①的面积，下列给出的方案中不正确的是（ ） A. ③④ B. ②⑤⑥ C. ④⑦⑨ D. ③⑧⑩ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，应用勾股定理和正方形的面积公式，即可求解． 【详解】解：如图， 正方形③的面积，正方形④的面积，正方形①的面积， 由勾股定理得到：， ∴正方形③和④的面积的和等于最大正方形①的面积， 故A不符合题意； 由勾股定理和正方形的面积公式得到⑦⑨的面积的和等于③的面积，⑧⑩的面积大的和等于④的面积的和， ∴④⑦⑨的面积的和等于最大正方形①的面积，③⑧⑩的面积的和等于最大正方形①的面积， 故C、D不符合题意； 由已知条件不能证明②⑤⑥的面积的和等于最大正方形①的面积， 故B符合题意． 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 计算：________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，根据算术平方根的定义进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：7． 8. 化简的结果是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先把化简为，约分后再进行分母有理化运算即可得到结果． 【详解】解： = = = 故答案为： 【点睛】本题主要考查了二次根式的除法，正确进行分母有理化运算昌解答本题的关键． 9. 如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，以点为圆心，长为半径画弧，交轴负半轴于点，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形旋转，勾股定理，根据勾股定理求出的长度，进而得出答案． 【详解】解：∵点A，B的坐标分别为，， ∴，， ∴， ∵以点A为圆心，长为半径画弧，交y轴负半轴于点C， ∴， ∴， ∴点C的坐标为． 故答案为：． 10. 如图，两个正方形的面积分别是64和49，则AC的长为_________． 【答案】17 【解析】 【分析】根据正方形的性质求出AB、BD、DC的长，再根据勾股定理求出AC的长． 【详解】解：∵两个正方形的面积分别是64和49， ∴AB＝BD＝8，DC＝7， 根据勾股定理得：AC＝． 故答案为:17. 【点睛】本题主要考查正方形的性质和勾股定理,解决本题的关键是要熟练掌握正方形的性质和勾股定理. 11. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝，BC＝，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处，再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段B′F的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，可知，再利用等面积法可求出的长度，根据折叠，推出. 【详解】解：∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∵折叠 ∴ ， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为 【点睛】本题主要考查了折叠问题，熟知折叠以前的图形与折叠以后的图形是全等的和利用等面积法求高是解题关键. 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的计算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据二次根式的运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 13. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先根据二次根式的乘除运算法则计算，再合并同类二次根式即可． 【详解】解： ． 14. 如图，等腰三角形中，，且． （1）求的长； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理、三角形的面积等知识点，设出未知数、借助勾股定理列方程求解是解题的关键． （1）在中，设，，再根据勾股定理列方程求解即可； （2）根据三角形的面积公式列式计算即可． 【小问1详解】 解：在中，设，， ∵ ∴，解得：， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴． 15. 已知x＝，y＝，求下列各式的值． （1）x2﹣y2； （2）x2﹣2xy+y2． 【答案】（1）2﹣2；（2）3﹣2 【解析】 【分析】（1）将x、y的值代入到原式＝（x+y）（x﹣y）计算即可； （2）将x、y的值代入到原式＝（x﹣y）2计算即可． 【详解】解：（1）当x＝，y＝时， 原式＝（x+y）（x﹣y） ＝（+）×（﹣） ＝2×（1﹣） ＝2﹣2； （2）当x＝，y＝时， 原式＝（x﹣y）2 ＝（﹣）2 ＝（1﹣）2 ＝1﹣2+2 ＝3﹣2． 【点睛】此题主要考查代数式求值，解题的关键是熟知完全平方公式与平方差公式的运用． 16. 图①、图②、图③是的正方形网格，每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点叫作格点．线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． （1）在图①中，找一格点，使是面积为3的等腰三角形； （2）在图②中，找一格点，使是面积为4的等腰三角形； （3）在图③中，找一格点，使是面积为5的等腰三角形． 【答案】（1） 如图①所示，即为所求； （2） 如图②所示，即为所求； （3） 如图③所示，即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识． （1）画一个底为2，高为3的等腰三角形即可； （2）画一个底和高都为的等腰三角形即可； （3）画一个底和高都为的等腰三角形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 17. 【阅读理解】 爱思考的小名在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ，． ，即． ． ． 请你根据小名的分析过程，解决如下问题： （1）计算： ； （2）计算： ； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）仿照题目的方法利用平方差公式分母有理化即可； （2）利用分母有理化可得，然后合并同类二次根式即可； （3）利用分母有理化可得，进而得到，，然后将所求代数式变形，代入计算即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：， ， ，即， ． 18. 如图，一架米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时底端到墙角的距离为米． （1）此时，这架梯子的顶端距离地面有多高？ （2）如果梯子的底端向内移动米，则顶端沿墙向上移动多少米？ 【答案】（1）这架梯子的顶端到地面的距离为； （2）梯子的顶端沿墙向上移动了． 【解析】 【分析】（）根据勾股定理即可得到结论； （）先求出，根据勾股定理求出的长，然后即可求解； 本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，勾股定理在直角三角形中的正确运用，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：在中，由勾股定理得， 即，所以， 即这架梯子的顶端到地面的距离为； 【小问2详解】 解：，， 在中，由勾股定理得， 即， ∴， ∴， 即梯子的顶端沿墙向上移动了． 19. 【题目】求的整数部分． 【解题方法】方法一：由，得， ， 的整数部分是1． 方法二：如图①，正方形的边长为1，由勾股定理可求得对角线的长为，再由三边关系可求得，进而求得的整数部分是1． 【应用】 （1）利用方法一求的小数部分； （2）如图②，在的正方形网络中，每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点叫作格点．借助图②，利用方法二说明与的大小关系． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查无理数的估算，勾股定理，三角形的三边关系，熟练掌握无理数的估算是解题的关键． （1）根据题意得到，即可得到答案； （2）由勾股定理可求得，，，根据三角形三边关系得到，即可得到结论． 【小问1详解】 解：由，得， ， 的小数部分是． 【小问2详解】 解：如图，由勾股定理可求得，，， 在中，， ． 20. 【感知】如图①，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，它巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，下面是小明不完整的证明过程： 解：设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，斜边长为，图形的总面积可以表示为， 亦可表示为 ， 即可证得，． （1）将小明的证明过程补充完整； （2）若，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为 ； 【探究】如图②，小明将图①的赵爽弦图里的4个全等的直角三角形适当拼合，并作出一条辅助线，其他条件没变，请利用这个图形验证勾股定理； 【应用】如图③，在中，，，，是边上的高，直接写出的长． 【答案】（1） （2）5； 探究：图形的总面积可以表示为， 亦可表示为， ， ； 应用： 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明和应用、完全平方公式与几何图形的面积等知识点． （1）根据大正方形的面积还可以表示为4个直角三角形与一个小正方形的面积的和，表示出来即可； （2）观察图形可知，小正方形的面积大正方形的面积个直角三角形的面积，利用已知，大正方形的面积为13，可以得出直角三角形的面积，进而求出小正方形的面积； 探究：根据图形的总面积等于一个大正方形的面积加上两个直角三角形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积，然后整理即可得证； 应用：设，则，由勾股定理得，，即可得关于x的方程，解方程即可． 【详解】解：（1）解：设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，斜边长为，图形的总面积可以表示为， 亦可表示为， 即可证得，． 故答案为：； （2）由可知， ∵大正方形的面积为13， ∴， ∴， ∴小正方形的面积为， 故答案为：5； 探究：略 应用：设，则， 在中，，即， 在中，，即， ∴， 解得， ∴． 21. 如图，把两个大小相同的含角的直角三角尺如图放置，使点、、在同一条直线上，且直角顶点重合，连接，经测得． （1）求的长； （2）连接，求的周长； （3）若点是边上一点，连接，直接写出的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，直角三角形的性质； （1）在等腰中利用勾股定理计算即可； （2）先求出，再由勾股定理求出，最后算周长即可； （3）过作于，连接，由，可得，则，当、、三点共线时，最小，此时，在根据求出的长度即可． 【小问1详解】 解：由题意，得， 在中，，， 由勾股定理，得， ； 【小问2详解】 解：如图， 在中，， ，， ， 在中，， 由勾股定理，得， ， 的周长； 【小问3详解】 解：如图，过作于，连接， ∵， ∴，， ∴， ∴当、、三点共线时，最小，此时， ∴， ∴， ∴的最小值为． 22. 如图，在中，，，于点D．点P是射线上的一点，且点P不与点B重合，连结． （1）求的长． （2）当是等腰三角形时，求的长． （3）当点P在边上时，求点P到边和的距离和． （4）当为等腰三角形时，直接写出的长． 【答案】（1） （2） （3） （4）或或 【解析】 【分析】（1）由垂线的性质可得，由三线合一可得，在中，根据勾股定理可得，据此即可求出的长； （2）由（1）可得：，，，可知是直角三角形，由于斜边始终大于直角边和，因此当是等腰三角形时，只能是，于是分两种情况讨论：①当点在点左侧时，可推出，因而此种情况不符合题意，故不予考虑；②当点在点右侧时，利用线段的和与差即可求出的长； （3）根据可得，即，化简即可得出答案； （4）当为等腰三角形时，分三种情况讨论：①当时；②当时；③当时，又分两种情况讨论：）当点在点左侧时；）当点在点右侧时；分别求解即可得出的长． 【小问1详解】 解：， ， 又， ， 在中，根据勾股定理可得： ， 的长是； 【小问2详解】 解：由（1）可知：，，， 是直角三角形， 斜边始终大于直角边和， 当是等腰三角形时，只能是， 分两种情况讨论： ①当点在点左侧时， 点P不与点B重合， ， 此种情况不符合题意，故不予考虑； ②当点在点右侧时， 如图①， ， ， 的长是； 【小问3详解】 解：如图②，过点分别作于点，于点， 由（1）可知：， ， ， 即：， ， 点P到边和的距离和为； 【小问4详解】 解：当为等腰三角形时，分三种情况讨论： ①当时， 点P不与点B重合， 此种情况不符合题意，故不予考虑； ②当时， 如图③， 由（1）可知：，，， ， ， 在中，根据勾股定理可得： ， 即：， 解得：； ③当时， 分两种情况讨论： ）当点在点左侧时， 如图④， ， ； ）当点在点右侧时， 如图⑤， ， ； 综上所述，的长为或或． 【点睛】本题主要考查了垂线的性质，三线合一，勾股定理，线段的和与差，三角形的面积公式，等式的性质，解一元一次方程等知识点，运用分类讨论思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知一个直角三角形的两条边长分别为和1，则第三边长为（ ） A. B. 2 C. 或2 D. 或4 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，分别以点、为圆心，以长为半径画弧，两弧相交于点，连接、．若，，则的周长为（ ） A. 3 B. C. D. 6. 如图所示的所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，在图中找出若干个图形，使得它们的面积之和恰好等于最大正方形①的面积，下列给出的方案中不正确的是（ ） A. ③④ B. ②⑤⑥ C. ④⑦⑨ D. ③⑧⑩ 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 计算：________． 8. 化简的结果是_______． 9. 如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，以点为圆心，长为半径画弧，交轴负半轴于点，则点的坐标为________． 10. 如图，两个正方形的面积分别是64和49，则AC的长为_________． 11. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝，BC＝，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处，再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段B′F的长为_____． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 计算：． 13. 计算：． 14. 如图，等腰三角形中，，且． （1）求的长； （2）求的面积． 15. 已知x＝，y＝，求下列各式的值． （1）x2﹣y2； （2）x2﹣2xy+y2． 16. 图①、图②、图③是的正方形网格，每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点叫作格点．线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． （1）在图①中，找一格点，使是面积为3的等腰三角形； （2）在图②中，找一格点，使是面积为4的等腰三角形； （3）在图③中，找一格点，使是面积为5的等腰三角形． 17. 【阅读理解】 爱思考的小名在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ，． ，即． ． ． 请你根据小名的分析过程，解决如下问题： （1）计算： ； （2）计算： ； （3）若，求的值． 18. 如图，一架米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时底端到墙角的距离为米． （1）此时，这架梯子的顶端距离地面有多高？ （2）如果梯子的底端向内移动米，则顶端沿墙向上移动多少米？ 19. 【题目】求的整数部分． 【解题方法】方法一：由，得， ， 的整数部分是1． 方法二：如图①，正方形的边长为1，由勾股定理可求得对角线的长为，再由三边关系可求得，进而求得的整数部分是1． 【应用】 （1）利用方法一求的小数部分； （2）如图②，在的正方形网络中，每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点叫作格点．借助图②，利用方法二说明与的大小关系． 20. 【感知】如图①，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，它巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，下面是小明不完整的证明过程： 解：设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，斜边长为，图形的总面积可以表示为， 亦可表示为 ， 即可证得，． （1）将小明的证明过程补充完整； （2）若，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为 ； 【探究】如图②，小明将图①的赵爽弦图里的4个全等的直角三角形适当拼合，并作出一条辅助线，其他条件没变，请利用这个图形验证勾股定理； 【应用】如图③，在中，，，，是边上的高，直接写出的长． 21. 如图，把两个大小相同的含角的直角三角尺如图放置，使点、、在同一条直线上，且直角顶点重合，连接，经测得． （1）求的长； （2）连接，求的周长； （3）若点是边上一点，连接，直接写出的最小值． 22. 如图，在中，，，于点D．点P是射线上的一点，且点P不与点B重合，连结． （1）求的长． （2）当是等腰三角形时，求的长． （3）当点P在边上时，求点P到边和的距离和． （4）当为等腰三角形时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $