2025年中考数学高频考点专题练习-待定系数法求二次函数解析式

2025年中考数学高频考点专题练习 待定系数法求二次函数解析式 一、单选题 1．若函数的图象经过点和，则当时，函数的最大值与最小值之和是（　　） A． B． C． D． 2．下列抛物线中，与抛物线形状相同、开口方向不同，且顶点坐标为的是（   ） A． B． C． D． 3．若二次函数的图象经过点，则a的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．二次函数的图象如图所示，当时，函数值为（    ） A． B． C． D． 5．已知抛物线的顶点坐标为，若关于的一元二次方程的两个解均满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知二次函数（其中a，h，k是实数，），当时，；当时，，（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于轴对称，轴，，最低点在轴上，高，，则右轮廓所在抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 8．已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如表： … 0 3 5 … … 0 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（    ） A．图象的开口向上 B．当时，的值随的值增大而增大 C．方程的一个解的取值范围是 D．图象的对称轴是直线 二、填空题 9．二次函数：的图象经过点、两点，其顶点坐标是 ． 10．在平面直角坐标系中，抛物线关于y轴对称的抛物线的表达式为 ． 11．如图，已知二次函数图象过点和点，当时，则函数的最大与最小值的和为 ． 12．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．若，，是抛物线上的一点，则的值为 ． 13．已知抛物线（a，b，c为常数，且）与x轴两个交点坐标分别为，，下列说法：①抛物线的对称轴为直线；②；③若，点，均在抛物线上，且，则；④当时，的最小值为，则a的值为或．其中一定正确的结论有 （填写序号）． 三、解答题 14．已知二次函数，经过点，对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)已知点，，连接，将向上平移3个单位长度，向右平移个单位长度后，恰好与的图象有交点，求m的取值范围； (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的值． 15．如图1，抛物线经过，两点，作轴于点．点是抛物线上一点．    (1)求该抛物线的解析式； (2)连接，交直线于点，作轴，若，求点的坐标； (3)若点为抛物线上一点，且在第四象限内，已知直线，与轴分别交于、两点，当点运动时，是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 16．如图1，抛物线与坐标轴分别交于A、B、C三点，其中A点坐标为，． (1)求抛物线解析式： (2)点E是直线上方抛物线上的一动点，于F，点D是x轴上一动点，连接，当线段长度最大时，求点E的坐标及的最小值． (3)如图2，在（2）条件下，将抛物线C沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，新抛物线与原抛物线C的交点为G，请在新抛物线上找一点M（不与点G重合），使直线与直线的夹角为，直接写出符合条件的点M的坐标． 17．如图，消防人员在进行救援火灾演练，发现在距离失火大楼米的位置向上面喷水，水流刚好在窗上沿处达到最高点后进入失火房间．已知消防人员所在的消防车上点距离地面米，窗上沿距离地面米． (1)如图，以消防员脚下地面为原点，建立平面直角坐标系，使水流线正好在一个平面上，求水流抛物线的解析式； (2)实际操作中发现，失火中心点在房间内与窗上沿水平距离米处，且比窗上沿低米的位置，问消防员怎样移动消防设施，可以使水流刚好落在失火中心？（不计其他因素，请设计两种移动方案．参考数据：，结果精确到米） 18．在平面直角坐标系中，抛物线（m，n是常数且）与轴的一个交点为点（点不与原点重合），抛物线的对称轴为直线且抛物线经过点． (1)求该抛物线的解析式； (2)，都是上的点，设点，点，分别过，作轴交抛物线于点，作轴交抛物线于点． （i）当时，连接，，求的值； （ii）当时，若点B，D，C，E围成的四边形的面积为14，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D B B C C B C 9． 10． 11． 12． 13．①②④ 14．(1) (2) (3)的值为或 【详解】（1）解：∵二次函数，经过点，对称轴为直线， ∴， 解得：， ∴二次函数的表达式为； （2）解：∵点，，连接，将向上平移3个单位长度，向右平移个单位长度， ∴平移后点对应的坐标为，点对应的坐标为， ∵平移后，恰好与的图象有交点， ∴当时，， ∴， 解得：， ∴m的取值范围为； （3）解：∵， ∴二次函数的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∵当时，二次函数的最大值与最小值的差为， ∴当，即时，此时在上，随着的增大而减小， 当时，取得最大值为，当时，取得最小值为， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， 当时，当时，二次函数的最大值为或，最小值为， ∴或， 解得：或（不符合题意，舍去），或（不符合题意，舍去） 当时，此时在上，随着的增大而增大，当时，取得最小值为，当时，取得最大值为， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， 综上所述，的值为或． 15．(1) (2) (3)是定值，该定值为，理由见解析 【详解】（1）解：抛物线经过，两点， ∴， 解得：， ∴该抛物线的解析式为：； （2）解：∵ 设直线的解析式为 ∴ 解得： ∴直线的解析式为 设 ∵ ∴ 解得：或（舍去） ∴ （3）是定值，该定值为，理由如下． 令， 解得，即抛物线与x轴的交点是：和， 设点P的坐标是，则， 设直线的解析式是：， 将点A、P代入得：， 解得：， ∴直线的解析式是：， 令， 解得：，即， ∴， 设直线的解析式是：， 将点B、P代入得：， 解得：， ∴直线的解析式是：， 令， 解得：，即， ∴，， ∴． ∴是定值，该定值为． 16．(1)抛物线的解析式为：； (2)点E的坐标为；的最小值为； (3)点M的坐标． 【详解】（1）解：由知， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交于点， ∴设抛物线的解析式为：， ∴， 解得：， 则抛物线的解析式为：； （2）解：过点E作轴交于点H， 由知，为等腰直角三角形， 则， ∵轴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 当取得最大值时，有最大值； 设直线的解析式为， 将代入，得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 设点，则点， ∴， 当时，有最大值，即有最大值； 此时，点E的坐标为； 作点E关于轴的对称点，连接交轴于点， 此时，取得最小值，最小值为的长， ∵点E的坐标为， ∴点的坐标为， ∴， 则的最小值为； （3）解：将该抛物线沿射线的方向平移个单位相当于向右平移4个单位向下平移4个单位， 则， 联立得：， 解得：， ∴， ∴， 作轴，垂足为点，直线交轴于点， ∵为等腰直角三角形， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴，， ∴， ∴， 同理，直线的解析式为， 联立得， 解得（舍去）或， ∴点M的坐标． 17．(1) (2)消防员把喷水头向下平移米，或向左平移米，可以使水流刚好落在失火中心 【详解】（1）解：由题意知，， 设水流抛物线的解析式为， 代入，得，解得， ∴水流抛物线的解析式是 （2）解：由题意知，失火中心点坐标是． 方案一：水流抛物线的解析式是， 当时，， 即抛物线向下平移（米）． 抛物线正好经过失火中心； 方案二：水流抛物线的解析式是， 当时，， 解得，（舍去）， ， 即抛物线向左平移（米）， 抛物线正好经过失火中心． 所以消防员把喷水头向下平移米，或向左平移米，可以使水流刚好落在失火中心． 18．(1) (2)（i）16；（ii）t的值为或或 【详解】（1）解：由抛物线的对称轴为直线可知点A的坐标为， 把点A和点代入抛物线的解析式，得 ， 解得， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：（i）由题意知点，， 当时，如图， ，，，， ； （ii）当时，如图， ， 整理，得， 解得，； 当时，如图， ， 整理，得，解得； 当时，如图， ， 整理，得，解得（舍去），（舍去）． 综上，t的值为或或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$