8.9 直线与圆锥曲线的位置关系之中点弦点差法 课件-2025届高三数学一轮复习

第八章 §8.9　直线与圆锥曲线的位置关系 课时三 中点弦（点差法） 389/392 李秀全 课标要求 1.了解直线与圆锥曲线位置关系的判断方法. 2.掌握直线被圆锥曲线所截的弦长公式. 3.能利用方程及数形结合思想解决中点弦问题. 第一部分 第二部分 落实主干知识 常用结论 解决圆锥曲线“中点弦”问题的思路 (1)根与系数的关系法：联立直线和圆锥曲线的方程得到方程组，消元得到一元二次方程后，由根与系数的关系及中点坐标公式求解. (2)点差法：设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将这两点坐标分别代入圆锥曲线的方程，并对所得两式作差，得到一个与弦AB的中点和直线AB的斜率有关的式子，可以大大减少计算量. 思维升华 第三部分 探究核心题型 题型三　中点弦问题 (1)求椭圆C的标准方程； 考法一：求中点弦所在直线方程问题 因为a2＝b2＋c2，所以b＝c. 因为四边形MF1NF2的面积为32， (2)直线l交椭圆C于A，B两点，若AB的中点坐标为(－2,1)，求直线l的方程. 由题意得，直线l的斜率存在. 因为AB的中点坐标为(－2,1)， 故直线l的方程为y－1＝x＋2，即x－y＋3＝0. 变式　(1)已知双曲线方程为x2－ ＝1，则以A(2,1)为中点的弦所在直线l的方程是 A.6x＋y－11＝0 B.6x－y－11＝0 C.x－6y－11＝0 D.x＋6y＋11＝0 √ 即直线l的斜率为6，故直线l的方程为y－1＝6(x－2)，即6x－y－11＝0. 经检验满足题意. 返回 例2 求直线 被抛物线 截得线段的中点坐标。 考法二：求弦中点的坐标问题 返回 变式 求直线 被抛物线 截得线段的中点坐标。 变式 已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点到准线的距离为1，若抛物线C上存在关于直线l：x－y－2＝0对称的不同的两点P和Q，则线段PQ的中点坐标为 √ ∵焦点到准线的距离为p，则p＝1， ∴y2＝2x. 设点P(x1，y1)，Q(x2，y2). ∴kPQ＝－1，即y1＋y2＝－2， 又∵PQ的中点在直线l上， ∴线段PQ的中点坐标为(1，－1). 返回 返回 例3 考法三：求弦中点的轨迹方程问题 返回 例3 考法三：求弦中点的轨迹方程问题 返回 变式：已知椭圆 椭圆外一点（0,2），过这点任意引直线与椭圆交于点A、 B，求弦AB的中点P的轨迹方程。 考法三：求弦中点的轨迹方程问题 返回 请同桌之间复述一下今天学到了什么？ 四、课堂小结 五、课后作业：课后三个习题。 本课结束 谢谢 1.已知M，N是椭圆C：＋＝1(a>b>0)上的两点，点O为坐标原点，且P是M，N的中点，则kMN·kOP＝－. 2.若曲线为双曲线，其余条件不变，则kMN·kOP＝. 3.若曲线为抛物线，P(x0，y0)为弦MN的中点：kMN＝(开口向右)，kMN＝－(开口向左)，kMN＝(开口向上)，kMN＝－(开口向下). 例3　(2024·衡水模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，短轴顶点分别为M，N，四边形MF1NF2的面积为32. 因为离心率e＝＝，所以a＝c， 所以2bc＝32，所以b＝c＝4，a＝4， 故椭圆C的标准方程为＋＝1. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 两式相减得＋＝0， 所以＝－·. 所以＝1，所以直线l的斜率为1，   设直线l交双曲线x2－＝1于点M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则由已知得 两式作差得x－x＝，所以＝＝6， A.(1，－1) B.(2,0) C. D.(1,1) 则则(y1－y2)(y1＋y2)＝2(x1－x2)， ∴kPQ＝，又∵P，Q关于直线l对称， ∴PQ中点的纵坐标为＝－1， ∴PQ中点的横坐标为＝(－1)＋2＝1. $$